Tài liệu Chuyên đề ôn thi vào 10: Hàm số và đồ thị

Chuyên đề 4
: hàm số và đồ thị
Bài 1: Hàm số
A. kiến thức cần nắm vững
1. Khái niệm hàm số:
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x thay đổi sao cho:
với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng
ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến
số. Kí hiệu y = f(x)
Chú ý: Khi x thay đổi mà y chỉ nhận một giá trị không đổi
thì y đợc gọi là hàm hằng
2. TXĐ của hàm số:
Là tập các giá trị của biến x làm cho hàm số xác định (tức
là biểu thức f(x) của hàm số có nghĩa)
3. Hàm số đồng biến, nghịch biến:
Với x
1
, x
2
(a;b) và x
1
< x
2
ta có :
Hàm số y=f(x) đồng biến trong khoảng (a;b) f(x
1
)<f(x
2
)
Hàm số y=f(x) nghịch biến trong khoảng (a;b) f(x
1

)>f(x
2
)
Chú ý: Khi vẽ đồ thị từ trái sang phải, nếu đồ thị đi lên thì hàm
số đồng biến, nếu đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến
4. Đồ thị của hàm số:
+ Khái niệm: Là tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị t-
ơng ứng (x;y) trên mặt phẳng toạ độ
+ Vẽ đồ thị: Là việc biểu diễn các cặp giá trị tơng ứng (x;y)
trên mặt phẳng toạ độ
+ Điểm thuộc đồ thị: Điểm M(x
0
;y
0
) thuộc đồ thị của hàm số
f(x) y
0
= f(x
0
)
Bài 2: hàm số bậc nhất
1. Dạng tổng quát : y = ax + b (a 0); a, b R
2. Tính chất:
- TXĐ: x R
- Tính biến thiên:
+ Nếu a > 0 thì hàm số luôn đồng biến trên tập xác định
R
+ Nếu a < 0 thì hàm số luôn nghịch biến trên tập xác
định R
3. Đồ thị :

- Là đờng thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ b và song
song với đờng thẳng y = ax
- d cắt Ox tại
( ;0)
b
a

; Oy tại (0;b)
Cách vẽ: Ta cần xác định hai điểm thuộc đồ thị hàm
số và vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm đó.
Cách thứ nhất:
Cách thứ hai:
Chú ý: Điểm (x
0
;y
0
) d y
0
= ax
0
+ b
4. Quan hệ tơng giao của hai đờng thẳng:
y = ax + b (d) và y = a
/
x + b
/
(d
/
)
- Toạ độ giao điểm của (d) và (d

) là nghiệm của hệ phong
trình:
/ /
y ax b
y a x b
= +


= +

(I)
- Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (d
/
) là :
ax + b = a
/
x + b
/
(*)
- (d) ì (d
/
) a a
/
hệ (I) và (*) có nghiệm duy nhất
- (d)//(d
/
) a = a
/
và b b

/
hệ (I) và (*) vô nghiệm
- (d) (d
/
) a = a
/
và b = b
/
hệ (I) và (*) có vô số nghiệm
1
1. Cho hàm số
2
1
2
x

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là -2
và 1. Viết phơng trình đờng thẳng MN
c) Xác định hàm số y = a.x +b biết rằng đồ thị (d) của nó
song song với đờng thẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1 điểm
d) Lập phơng trình đờng thẳng (D) đi qua A(-2;-2) và tiếp
xúc với (P)
Bài 539
Cho hàm số: y =
2
2
1
x

1) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
2) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là -2; 1
Viết phơng trình đờng thẳng MN
3) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song
song với đờng thẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1 điểm.
Bài 540
Cho hàm số: y =
2
2
1
x

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
2) Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua A(-2; -2) và tiếp xúc
với (P)
Bài 541
Cho hàm số: y = f(x) = 2 -
12
2
+
xx
a) Vẽ đồ thị của hàm số trên
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x)

1
Bài 542
Cho hàm số: y = x
2
và y = x + m ( m tham số)
1) Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x

2
và đồ thị (D) của y = x
+ m có hai giao điểm phân biệt A và B
2) Tìm phơng trình của đờng thẳng (d) vuông góc với (D) và (d)
tiếp xúc với (P).
3) a) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
theo tọa độ của hai điểm ấy.
b) áp dụng:Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A,
B (ở câu 1) là 3
3
Bài 543
Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax
2
và
(D) là đồ thị hàm số y = -x + m
2
1) Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm đợc
2) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) ( ở câu 1) và tìm tọa độ
tiếp điểm.
3) Gọi B là giao điểm của (D) ( ở câu 2) với trục tung. C là
điểm đối xứng của A qua trục tung. Chứng tỏ rằng C nằm trên
(P) và tam giám ABC vuông cân.
Bài 544
Trong cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai đờng thẳng:
(D
1
): y = x + 1, (D
2
): x + 2y + 4 = 0
1) Tìm tọa độ giao điểm A của (D

1
) và (D
2
) bằng đồ thị và
kiểm tra lại bằng phép toán
2) Tìm a trong hàm số y = ax
2
có đồ thị (P) qua A. Khảo sát và
vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc.
3) Tìm phơng trình của đờng thẳng tiếp xúc với (P) tại A
Bài 545
Cho (P) là đồ thị của hàm số y =ax
2
và điểm A(-2; -1) trong
cùng hệ trục.
1) Tìm a sao cho A thuộc (P). Vẽ (P) với a tìm đợc
2) Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4. Viết phơng trình
đờng thẳng AB
3) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và song song
với AB
Bài 546
Cho Parabol (P): y =
2
4
1
x
và đờng thẳng (D) qua 2 điểm A và
B trên (P) có hoành độ lần lợt là -2 và 4
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2) Viết phơng trình của (D)

3) Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tơng ứng hoành độ) x

[-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất
Bài 547
Trong cùng hệ trục vuông góc, cho Parabol (P): y = -1/4x
2
và
vẽ đờng thẳng (D): y = mx 2m -1
1) Vẽ (P)
2) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)
3) Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định A
thuộc (P)
Bài 548
3
Trong cùng hệ trục vuông góc có Parabol (P): y =
4
2
x
và đờng
thẳng (D) qua điểm I







1;
2
3

có hệ số góc m
1) Vẽ (P) và viết phơng trình của (D)
2) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)
3) Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 549
Trong cùng hệ trục tọa độ cho Parabol (P): y =
2
4
1
x
và đờng
thẳng (D):
y =
2
2
1
+
x
.
1) Vẽ (P) và (D)
2) Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D)
3) Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp
tuyến của (P) song song với (D).
Bài 550
Cho họ đờng thẳng có phơng trình: mx + (2m 1)y + 3 = 0
(1)
a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(2; 1)
b) Chứng minh rằng các đờng thẳng trên luôn đi qua một điểm
cố định M với mọi m. Tìm tọa độ của M.
Bài 551

Cho hàm số ; y = f(x) =
4
8822
2
23

+
x
xxx
a) Tìm tập xác định của hàm số
b) Vẽ đồ thị (D) của hàm số
c) Qua điểm M(2;2) có thể vẽ đợc mấy đờng thẳng không cắt
đồ thị (D) của hàm số ?
Bài 552
Cho Parabol (P): y = x
2
4x + 3
a) Chứng minh đờng thẳng y = 2x 6 tiếp xúc với Parabol (P)
b) Giải bằng đồ thị bất phơng trình : x
2
4x + 3 > 2X 4
Bài 553
a) Cho đờng thẳng (d
1
) : y = kx +5. Tìm k để đờng thẳng (d
1
)
song song với đờng thẳng (d
2
); biết rằng (d

2
) qua hai điểm
A(1; 2) và B(-3; -2)
b) Giải bằng đồ thị bất phơng trình: x + 1

x
2
1
4
Bài 554
Cho Parabol y =
2
2
1
x
(P) điểm I(0; 2) và điểm M(m,0) với m #
0
1) Vẽ (P)
2) Viết phơng trình đờng thẳng (D) đi qua hai điểm M, I
3) Chứng minh rằng đờng thẳng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai
điểm phân biệt A, B với mọi m # 0
4) Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hoành. Chứng
minh rằng tam giác IHK là tam giác vuông.
5) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn AB > 4 với m # 0
Bài 8:
Cho đờng thẳng d có phơng trình:
32
2
3
+

=
mx
m
y
a, Xác định M để d đi qua điểm a (2,-1)
b, Với giá trị nào của m thì d song song với đờng thẳng d
3
21
)2(
m
xmy

++=
c, chớng tỏ d luôn đi qua một điểm cố định I. Xác định toạ độ
điểm I
Bài 9:
Trong một mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có phơng
trình cạnh AB là:
2
1
2
+=
x
y
, phơng trình cạnh AC là 3x 4y
+1=0.Hãy tìm phơng trình cạnh BC biết trung điểm của BC là
M (4,3)
Bài 10:
Cho hàm số

xxy
++=
32

a, Vẽ đồ thị (T) của hàm số trên
b, Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
mxx
=++
32
c, gọi d là đờng thẳng có phơng trình y=m cắt đồ thi (T) tạo
thành một hình thang. Tìm m để diịen tích hình thang bằng 28
Bài 11: Cho hệ phơng trình:



=+
=+
)2(7332
)1(3
myx
myx
m là tham số
1. giải hệ phơng trình trên với m =2
2.Gọi (D
1
); (D
2
) là các đờng thẳng có phơng trình (1) và (2)
a, Xác định toạ độ giao điểm M của (D
1

) và (D
2
) theo m
b. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì điểm M luôn di động
trên một đờng cố định
c. Xác định giá trị của m để OM=
10
Bài 12: Cho hệ phơng trình



=+
=++
myx
yx
2
21
1. Giải hệ phơng trình trên với m=2
2. Với m =3. Vẽ các đờng thẳng có phơng trình (1) và 2).
Xác định giao điểm của chúng
3. Biện luận theo m số nghiệm của hệ pơhơng trình trên
III
1, Tìm tập xác định của các hàm số sau:
5