Tài liệu bồi dưỡng MTBT THCS

CHƯƠNG I: ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC
1. Dạng 1: Tìm ước chung lớn nhất – Tìm bội chung nhỏ nhất
(Chương trình Toán lớp 6)
1.1. Tìm “Ước chung lớn nhất” - Toán 6 – Tập 1.
Các bước giải
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.
Tích đó là ƯCLN.
Như vậy sau bài học này để tìm được ƯCLN của hai số học sinh phải thực
hiện đầy đủ cả ba bước trên. Điều này chỉ phù hợp khi các em luyện tập về cách
tìm ƯCLN, trong nhiều trường hợp việc tìm ƯCLN chỉ là một bước nhỏ trong bài
giải toán, nếu áp dụng cách trên sẽ làm mất rất nhiều thời gian. Do đó giáo viên có
thể trình bày cho các em các thuật toán sau đây để kết hợp với máy tính bỏ túi tìm
nhanh kết qủa:
 Thuật toán 1 (Thuật toán Euclide)
Cở sở thuật toán: Giả sử a = bq + c (c ≠ 0) thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,c).
Thuật toán: a = bq + r1

(0 < r1 < b)

b = r1q1 + r2

(0 < r2 < b)

r1 = r2q2 + r3

(0 < r3 < b)

……
rn-2 = rn-1qn-1 + rn

(0 < rn < b)

rn-1 = rnqn

(rn+1 = 0)

Thuật toán kết thúc khi số dư rn+1 = 0.
Như vậy ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r1) = ƯCLN(r1,r2) = … = ƯCLN(rn-1,rn) = rn.
Ví dụ minh họa 1.1.a: Tìm ƯCLN(7752;5472)
(Qui trình với máy Casio Fx 500 MS)
Ấn:

7752 ÷ 5472 =

− 1 = x 5472 =
5472 ÷ 2280 =

− 2 = x 2280 =
2280 ÷ 912 =

− 2 = x 912 =
912 ÷ 456 =

Đáp số: 1,416666667

(số dư khác 0)

Đáp số: 2280
Đáp số: 2,4

(số dư khác 0)

Đáp số: 912
Đáp số: 2,5

(số dư khác 0)

Đáp số: 456
Đáp số: 2

(số dư bằng 0)


Vì 2 là số nguyên (hay số dư rn+1 = 0 trong thuật toán) vậy ƯCLN(7752;5472) = 456.
 Thuật toán 2
Cở sở thuật toán: Nếu

a c
c
= và phân số tối giản thì ƯCLN(a,b) = a:c (=b:d)
b d
d

Ví dụ 1.1.b: Tìm ƯCLN(7752;5472)
(Qui trình với máy Casio Fx 500 MS)
17
Ấn: 7752 a b / c 5472 = Đáp số:
12
7752 ÷ 17 =

Đáp số: 456

Vậy ƯCLN(7752;5472) = 456
1.2. Tìm “Bội chung nhỏ nhất” - Toán 6 – Tập 1.
Các bước giải
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.
Tích đó là BCNN.
Như vậy sau bài học này giáo viên có thể trình bày cho các em thuật toán sau
đây để kết hợp với máy tính bỏ túi tìm nhanh kết qủa:
Cở sở thuật toán: Muốn tìm BCNN(a,b) ta sử dụng công thức sau:
a.b
BCNN(a, b) =
ƯCLN(a, b)
Vì học sinh đã được biết cách tìm ƯCLN(a,b) nên việc tìm BCNN(a,b) trở
nên dễ dàng hơn với các em.
Ví dụ 1.2.: Tìm BCNN(7752;5472)
(Qui trình với máy Casio Fx 500 MS)
17
Ấn: 7752 a b / c 5472 =
Đáp số:
12
7752 ÷ 17 = SHIFT STO A
Đáp số: 456
(//Ta được: ƯCLN(7752;5472) = 456)
Ấn tiếp: 7752 x 5472 = ÷ ALPHA A =
Đáp số: 93024
Vậy BCNN(7752;5472) = 93024.

Ví du1ï: Tìm UCLN(209865, 283935).
Ta ghi vào màn hình 209865⌋283935 ấn =
Mà
= n hình hòên 17 ⌋23
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 209865÷17 và nhấn
=
Kết quả: UCLN(209865, 283935)=1234
Tìm BCNN(209865, 283935)
Đưa con trỏ lên sửa thành
209865X23 và ấn
=


Kết quả:BCNN(209865, 283935) =4826895
Ví dụ 2: Tìm UCLN(2419580247, 3802197531)
Ta ghi vào màn hình 2419580247⌋38021975 31 ấn
= Màn hình hòên 7⌋ 11
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành
2419580247÷7 và nhấn
=
Kết quả: UCLN((2419580247, 3802197531 )=345654321
Tìm BCNN(2419580247, 3802197531 )
Đưa con trỏ lên sửa thành
2419580247X11 và ấn
=
Kết qủa =2.661538272x1010
Ở đây găp trường hợp tràn màn hình. Muốn ghi đầy đủ đúng số ta đưa con trỏ lên dòng
biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247X11 và ấn
=
Màn hình hòên 4615382717

Ta đọc kết quảBCNN(2419580247, 3802197531)=4615382717
Bài tập thực hành:
Bài 1 Tìm UCLN và BCNN của hai số:
a. 182666 và 5149980
a.UCLN=1……; BCNN=9407262467
b. 12880 và 136620
b.UCLN=460…; BCNN=3825360 ………
Quy trình bấm máy :
a/ 182666⌋5149980
Màn hình hòên 0,035469263
Kết quả: UCLN(182666,5149980 ) =1 (vì 182666 và 5149980 nguyên tố cùng
nhau )
Tìm BCNN(182666,5149980)
Đưa con trỏ lên sửa thành
182666x5149980 và ấn =
Kết qủa = 9,407262467x1010
Đưa con trỏ lên sửa thành: Kết qủa = 9407262467
b.Tìm UCLN(12880 , 136620)
Ta ghi vào màn hình 12880⌋136620
ấn
Màn hình hòên 28 ⌋297
=
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành
12880÷28 và nhấn
= )=460
Kết quả: UCLN(12880 , 136620
-Tìm BCNN(12880 , 136620 )
Đưa con trỏ lên sửa thành
12880 X11 và ấn
Kết quả: 3825360

Bài 2 Tìm UCLN và BCNN của hai số:
a.UCLN=49356……; BCNN=811560750
a. 1248555 và 3207750
b. 4492512 và 57000
b.UCLN=460…; BCNN=3825360 …
Quy trình bấm máy :

=


a/ 1248555⌋ 3207750 Màn hình hòên 253⌋650
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành
1248555÷253 và nhấn
=
Kết quả: UCLN(1248555,ø 3207750)=49356
a.UCLN=49356……; BCNN=811560750
Tìm BCNN(182666,5149980)
b.UCLN=456…; BCNN=561564000……
Đưa con trỏ lên sửa thành
1248555x650 và ấn
=
b.Tìm UCLN(4492512,ø 57000)
Ta ghi vào màn hình 4492512⌋ 57000
ấn
Màn hình hòên 9852⌋125 Đưa con trỏ lên dòng biểu =thức sửa thành
449251÷9852 và nhấn
456
=
Kết quả: UCLN(4492512,ø 57000)=456
-Tìm BCNN((4492512,ø 57000)

a.
Đưa con trỏ lên sửa thành
4492512 X125 và ấn
=
Kết quả: 561564000



BÀI TOÁN TÌM SỐ DƯ
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 9124565217:123456
Ghi vào màn hình:
9124565217:123456 ấn =
Máy hiện số 73909,45128
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 9124565217-123456 x73909 và ấn =
Kết quả : Số dư 55713
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 24614205:10719433
Ghi vào màn hình:
24614205:10719433 ấn =
Máy hiện số 2,296222664
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 24614205-10719433x2
và ấn =
Kết quả : Số dư 3175339
Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567
Chú ý : số lớn nên bò tràn màn hình ta có thể làm như sau :
Ghi vào màn hình:
234567890 : 4567 ấn =
Máy hiện số 51361,48237
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 234567890 - 4567 x51361
và ấn =
Kết quả : Số dư 2203 Ta làm tiếp 22031234 :4567 ấn =

Máy hiện số 4824,005693
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 22031234 - 4567 x4824
và ấn
Kết quả : 26
Bài toán 1 : Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 148750:31416
148750:31416
Máy hiện số 4,734848485
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 148750-31416X4
và ấn
Kết quả : = Số dư 23086


2. Dạng tính giá trị của biểu thức
Bài toán 1:
Ghi chính xác kết quả sau:
a.20032003x20042004
b.200033
Giải: ( 20030000+2003)(20040000+2004)
= (2003.104 +2003)(2004.104 +2004)
=2003.2004.108 +2003.2004.104 +2003.2004 .104 +2003.2004
=2003.2004.108 +2.2003.2004.104 +2003.2004
401401200000000
80280240000
4014012
401481484254012
b. Nhấn 20003^3 = 2,700810081x1013 ghi 2700810081000
Bài 2 :Ghiû chính xác kết quả phép tính sau:
a. 20042003x 2005200
b. 20045
Giải: (20040000+2003)(2005000+200)

=2004.104 x2005.103 +2004.104 x2.102 +2003x2005.103 +2005.2.102
Bấm máy:2004x2005 ấn = 4018020 và 2003x2005= 4016015
Ghi kêt quả thứ nhất 2004.104 x2005.103 =
40180200000000
4
2
Ghi kêt quả thứ hai: 2004.10 x 2.10
=
4008000000
3
Ghi kêt quả thứ ba 2003x2005.10
=
4016015000
2
Ghi kêt quả thứ tư 2x2005 .10
401000
Ghi kết quả cuối cùng
401882124416000
b.n máy : 2004^5
Máy hiện :3.22128256x1016
Ghi kết quả:3221282560000000
Bài 3 :Ghiû chính xác kết quả phép tính sau:
a. 20032004x 20042005
b. 20045
Giải: (20040000+2003)(20050000+2005)
=(2004.104+2003)(2005.104+2005)
=2004.104 x2005.104 +2004.104 x2005. +2003x2005.104 +2003x2005
Bấm máy:2004x2005 ấn = 4018020 và 2003x2005= 4016015
Ghi kêt quả thứ nhất 2004.104 x2005.104 =
401802000000000

4
Ghi kêt quả thứ hai: 2004.10 x2005
=
40180200000
4
Ghi kêt quả thứ ba 2003x2005.10
=
40160150000
Ghi kêt quả thứ tư 2003x2005 .
4016015
Ghi kết quả cuối cùng
401882344366015
Bài 4 :Ghiû chính xác kết quả phép tính sau
a. A =20032004x 20042005


b. 19985
Giải: (20040000+2003)(2005000+2005)
=2004.104 x2005.103 +2004.104 x2.102 +2003x2005.103 +2005.2.102
Bấm máy: 2004x2005 ấn = 4018020 và 2003x2005= 4016015
Ghi kêt quả thứ nhất 2004.104 x2005.103 =
40180200000000
4
2
Ghi kêt quả thứ hai: 2004.10 x 2.10
=
4008000000
3
Ghi kêt quả thứ ba 2003x2005.10
=

4016015000
Ghi kêt quả thứ tư 2x2005 .102
401000
Ghi kết quả cuối cùng
401882124416000
b.n máy : 1998^5 =
Máy hiện :3.184031968x1016
Ghi kết quả:3.1840319680000000
TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Câu1: Cho dãy số: 1;1+23;1+23+33;1+23+33+43
a/ Tính giá trò số hạng thứ 10.
b/Tính :112+122+132+ ….303
Giải:a/Ta thấy 1+23=(1+2)2=9; 1+23+33=(1+2+3)2=36; 1+23+33+43=(1+2+3+4)2=100 Suy ra giátrò số
hạng thứ 10 là:
S10= (1+2+3+4+5+……10)2 =3025
b / Tính:113+123+133+……303=(1+2+3+….30)2-3025
15 cặp 31
2
=(15.31) -3025=201100
a/Quy trình nhấn máy Tính giá trò số hạng thứ 10
Nhấn (1+2+3+4+5+..10) ^2 =(5.11)2 kết quả
3025
b.nhấn shift sto A nhấn tiếp 15.31
=
nhấn x2 –A
=
kết quả:201100
Câu 2: Cho dãy số: 1,2,,22, 23 ,, 24
a/ Tính giá trò số hạng thứ 41.
b/Tính :2+22+23+ ….221

Giải: a \ tính giá trò số hạng thứ 41 ,
S4= 241 nhấn 2^41
=
Kết quả: 2199023256000
b .Tính tổng S=2+22+23+ ….221=2(1+2 +22+…..220)
2(2 − 1)(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + .....2 20 )
=
(2 − 1)
2(2 21 − 1)
2 −1
=2.(221-1) Nhấn (2^21 -1 )x 2
=

=

Kết quả: 4194302
Câu 3: Cho dãy số: 1,2,,22, 23 ,, 24
a/ Tính giá trò số hạng thứ 40.
b/Tính :2+22+23+ ….220
Giải: a \ tính giá trò số hạng thứ 40 ,

S4= 240 nhấn 2^20

=


Kết quả: 1048576
b .Tính tổng S=2+22+23+ ….220=2(1+2 +22+…..219)
2(2 − 1)(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + .....219 )
=

(2 − 1)
2(2 20 − 1)
2 −1
=2.(220-1)
=

Nhấn (2^20 -1 )x 2
=
Kết quả: 2097150
Câu 4: Tính tổng A=5+52+53+54+55…..520 =5(1+5+52+…519)
5 20 − 1
=5(
)
4
Nhấn( 5^20-1)X5 :4
=
Kết quả:119209289600000
Cách 2: A=5+52+53+54+55…..520
=(5+52)+(53+54)+…(519+520)
=5(1+5)+52(1+5)+…519(1+5)
=6(5+52+53…+519)=30(1+5+52+…518)
5(519 − 1)
=
Nhấn( 5^19-1)X30- :4
4
Kết quả:19073486330000
Câu 5: Tính giá trò của biểu thức:
B=(22+42+62+..962+982)-(1+32+52+72….952+972)
Giải: B=(22+42+62+..962+982)-(1+32+52+72….952+972)
=(22-1)+(42-32)+ (62-52) +…(982-972)

= 3 + 7 + 11 +…
195 (còn lại 49 số)
3 +195
=
Có dạng : B=49(
) Nhân(195 +3)x49:2
2
Kết quả:12201
Câu1: Tính giá trò của biểu thức (Viết kết quả dưới dạng phân số hoặc hỗn số )
7
5
3
11
−
) + 200520052005(
+
) Giải:
A=1010101010(
13131313131 2626262626
100251002510025 601560156015
7
5
3
11
−
) + 200520052005(
+
)
A=1010101010(
13131313131 2626262626

100251002510025 601560156015
7
5
3
11
−
) + 200520052005(
+
)
=1010101010(
13.101010101 26.101010101
5.200520052005 3.200520052005
70 50
3 11
− )+( + )
=(
13 26
5. 3.
140 − 50
9 + 55
)+(
)
=(
26
15
90 64
+
=
Nhấn 90 a/b 26 +64 a/b 15 =
26 15

142
Kết quả :7⌋142⌋195 Viết 7
195
Câu2: Tính giá trò của biểu thức (Viết kết quả dưới dạng phân số hoặc hỗn số )


7
5
3
11
−
) + 200320032003(
+
) Giaûi:
1111111111 2222222222
100151001510015 600960096009
7
5
3
11
−
) + 200320032003(
+
)
A=101010101(
11.101010101 22.101010101
5.200320032003 3.200320032003
7
5
3 11

( + )+( + )
11 22
5 3
14 64
+
=
Nhaán 14 a/b 22 +64 a/b 15
22 15
149
Keát quaû :4⌋149⌋165 Vieát 4
165

A=101010101(

1,3454 × 3,1432,3
A=
7 189,35

B=

Kq: 1,077072806

6 1,815 × 2,7325
(7 4,621)4

Kq: 70,097

π 3 (5 2,3144)4
C=
(4 3,785)7

Kq: 5,97246

D=

π 3 816,137
5 712,3517

E=

π (3 2,2132 (3,753 + 2,14))
5,244 − 7,512

Kq: 96,26084258

π 2 3 (1, 263)2
F=
5 (3,123)2 ×15 × (2,36)3
F=

3− 2 2
17 − 12 2

−

3+ 2 2
17 + 12 2

Kq:0,029185103

Kq: 0,3236

+3 9+ 4 5 +39−4 5

Kq:5,828427125

G = 53 6 32 − 33 9 162 − 116 18 + 23 75 50

Kq:0,00000000

3 4 5 6
H = 2 − 3+ 4 − 5+ 6 − 7 7 + 8 8− 9 9

Kq:

I = 1 − 2 + 3 3 − 4 4 + 5 5 − 6 6 + 7 7 − 8 8 + 9 9 − 10 10 KQ:
9 8 7 6
K = 9 8 7 65 54 43 3 2

6
5
4
3
2
1
+
−
+
−
+

5
7
2
3
4
6
K = 3 3 5 − 3 4 − 3 2 − 3 20 + 3 25
L =7−

KQ:
Kq:
KQ:


J = 3 200 + 1263 2 +

54
18
+3
− 63 2
3
3
1+ 2
1+ 2

π 2 3 (1,263)2

M=

5

A=

KQ:

(3,124)2 × 15 × (2,36)3

3−2 2
17 − 12 2

−

Kq:

3+2 2
17 + 12 2

+ 3 9+4 5 + 3 9−4 5

kq:

A = 5 3 6 32 − 3 3 9 162 − 11 6 18 + 2 3 75 50 kq: 0
A = 1 − 2 + 3 3 − 4 4 + 5 5 − ....... − 10 10 kq:- 0.313232
6
5
4
3
2
1
kq;

A =7−
+
−
+
−
+
2
3
4
5
6
7

A = 2 + 3 + 4 4 + ..... + 8 8 + 9 9
3

kq:

II) TÝnh
1) cho cosA=0,8516; tanB=3,1725; sinC=0,4351 TÝnh sin(A+B-C)
2) Cho cos x =0,81735 (0< x<900), TÝnh: sin 3x, cos 7x
3) Cho tan x=2,324. tÝnh

A=

8cos3 x − 2sin3x + cos x
2cos x - sin3 x + sin 2 x

Kq:-0.769172966

4) Cho sin x=0,32167(05) Cho cos x=0,7651 (0
A=

cos3x -sin2 x - 2
cosx + sin2x

Kq:-1,667129452

6) sinA=0,458 ; cosB=0,217 .TÝnh: sin(2A-B); Tan A
2
7) cho sin A=0,458 ; Tinh.

P=

cos2 A -sin3A
Tan A

Kq: 1,348678205

8) cho cosA=0,8516; TanB=3,1725; sinC=0,4351; TÝnh sin(A+B-C)

2

2

9) cho sin x= 3 .TÝnh A = 2cos x + 5sin2x + 3tan x Kq:0,998417149
5
5tan2 2x + 6cot2x

10) cho sin x=0,813 .TÝnh cos 5x
11) cho cos x=0,8157. TÝnh sin 3x
12) cho sin x= 0,6132. TÝnh Tan x
13) cho cos x=0,7651 . TÝnh x ra ®é , phót, gi©y
TÝnh 8cos4x-8cos2x-cos4x+1,05678 Kq;0,5678
14)cho sinA=0,81; cosB=0,72; tan2c=2,781; cotgD=1,827
TÝnh A+B+C-2D
4
5
15)cho tam gi¸c ABC cã cosA= ; cosB= ; tÝnh ®é lín cña gãc C Kq:750450
5
13

2sin 2 x + cos 2 x
8
A
=
16) cho cotg x= ; tÝnh
x
15
tan 2 x − cos + 1
3
A
sin 2 A − cos
20
2
17)cho cotgx=
; tÝnh A =
A
21

cos + sin 2 A
2

Kq:


18) sin x = 0,32167(0 0 < x < 90 0 ) . tÝnh A= cos2 x − 2s inx − sin 3 x KQ:

3
2cos2 x + 5sin 2 x + 3 tan 2 x
19) s inx = .tÝnhA =
kq:0.998417149
5
5 tan 2 2 x + 6 cot g 2 x
20) Cho cosx=0,7561 với 0- TÝnh sè ®o cña x ra ( ®é, phót, gi©y)
- TÝnh B= 8cos4 x − 8cos 2 x − cos4 x + 1, 05678

cos3 x.(1 + sin 3 x ) + tan 2 x
sin x=0,3456(0(cos3 x + sin 3 x ).cot g 3 x
sin 2 x (1 + cos3 x ) + cos2 x (1 + sin 3 x )
22) N =
biÕt cos2 x = 0,5678
3
3
4
(1 + tan x )(1 + cot x ) 1 + cos x
tan 2 x (1 + cos3 x ) + cot 2 x(1 + sin 3 x )
23) K =

(sin 3 x + cos3 x )(1 + s inx + cos x )
biÕt tanx = tan 35 0.tan 36 0.......tan 530 (021) M =

II). TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

3x5 − 2 x 4 + 3x 2 − x + 1
4 x3 − x2 + 3x + 5
P( x) = 19 x − 13x − 11x

A=

víi x=1,8165

kq:1,498465582

khi x=1,51425367

B=

1 + x + x 2 + x3 + x 4
1 + y + y 2 + y3 + y 4

C=

x − xy − y + y 2
y − 3 y2 + 3 y −1

khi x = 2
3

D=

x 2 − xy − y 2 + 1,9 y
y − 0,3x 2 + 25 x − 9

khi x =

E=

x 24 + x20 + x16 + .... + x4 + 1
x26 + x24 + x22 + .... + x2 + 1

khi x=1,8597 , y=1,5123

, y=0,19

−2
1
,y=
7
3

Kq: 1,831985866

Kq: -1,456968793

KQ:-0,044151343

Khi x=1,23456789 , x=9,87654321

Với x=1,35627
Y = x 4 + 5 x 3 − 3x 2 + x − 1
cho x=1,76853; y=2,23765; z=3,02146

KQ:

C = 6 x + 7 x+ y − 5 y + z
P( x) = 3x − 12 x − 2002 x ; tÝnh P(1,0012); P(1,41422)
1 + x + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9
A=
1 + y + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 + y 7 + y8 + y 9

Khi x = 1, 2345 ; y = 5, 6789

2x2 + 5x − 3
1 −1 1
khi x= ; ;
3x − 1
2 3 3
5
4
2
3x − 2 x + 3x − x − 1
C=
cho x=1,8363 Kq:
x+5
P( x ) = 3 x − 12 x − 2002 x TÝnhP(1,411422)
A=

Kq: 0,000000010

kq:0,0000041299


III) tính giá trị biểu thức

3h 47'55''× 3 + 5h11' 45''
Kq:2.414601609
6 h52'17''
22 h 25'18''× 2.6 + 7 h 47'53''
B=
9 h 28'16''
sin15 017'29'' + cos24 032 '11'
A=
cos510 39'13''
6 h 47'29'' − 2 h58'38''
A=
1h31' 42 ''× 3
B = cos2 75 0 21'18'' + sin 75 021'18'' kq;1
2cos30 0 25'− sin 2 47030'
C=
kq: 0.8902
tan 37015''
22 h 25'18''× 2.6 + 7 h 47'50''
A=
9 h 28'16 ''
2 × 3h 47'22'' + 5 × 2 h16'77''
A=
3 × 2 h16 '17''+ 4 × 3h15'20 ''

sin 34 036'− tan180 43'
A=
cos78012''+ cos13'17''
tan 4 0 26 '12'' + tan 77 0 41'
B=
cos670 23' − sin 23028'
A=

IV) tính

(64,619 : 3,8 − 4,505)2 + 125 × 0,75
A=
( 0,66 2 : 1,98 + 3,53 ) 2 − 2,752  : 0,52 kq:20


31
10
2003
A=
; B=
C=
1
1
2
2+
7+
3+
1
1
4

3+
6+
5+
1
1
8
4+
5+
7+
5
4
9
1 1 1 
2 2 2

 1 + 3 + 9 + 27 ÷ 2 + 3 + 9 + 27 91919191
A = 182 × 
×
÷:
4
4
4
1
1
1
80808080
4− + −
÷ 1− +
−
7 9 343 

7 49 343

1994 × 1993 − 2
1993 × 19941994 212121
B=
−
+
1992 + 1992 × 1994 19931993 × 1994 434343
3 : 0, 4 − 0, 09 : (0,15 : 2,5)
(2,1 − 1,965) : (1,2 × 0, 045)
C=
+
0,32 × 6 + 0, 03 − (5,3 − 3,88) + 0,67
0, 00325 : 0, 013
 13
 
7 
7
1
1
D =  × 1, 4 − 2,5 × ÷: 2 + 4 × 0,1 :  70,5 − 528 : 7 ÷
80  18
2
2
 84
 


2  2


4
0,6 : × 1,25
 10 − ÷:
6 1 3
25  35
5
A=
+ 
+ × : Kq:28,071071
1
1
1 5 2 5
 5
0,64 −
6 − 3 ÷× 2

25
4  17
 9
5
5
5
10 10
10
5+ +
−
10 + +
−
187
17 89 113 :

23 243 611 × 434343
A=
×
129 11 + 11 + 11 − 11 3 + 3 + 3 − 3
515151
17 89 113
23 243 611
1
C =9+
2
8+
3
7+
4
6+
5
5+
6
4+
7
3+
8
2+
9
3
1
A = 17 +
+
12
5

1+
23 +
1
1
1+
3+
12
1
17 +
7+
2002
2003
2
2
2
A=
+
+
0,19981998... 0, 019981998... 0, 0019981998...

π2
1 1
1
1 + 2 + 2 + ..... + 2
2 3
10
1
1
14 − (49 : 16 − 14 : 8 ) × 7
3

6
A=
17  59 37
19 
1 : 1 +
+2 ÷
18  70 42
30 
1 1
6  12  10

10  24 − 15 ÷− ×  − 1,75 ÷
3 7
7  11  3

B=
8
5
 60
 9 − 0,25 ÷× 11 + 194 99


5
 1
 1 

4,85 −  3 + 1,105 ÷ ×  9 : 0, 45 − × 0, 9 ÷
6
 8
:5 


C=
12
3

2 + 1 × 0,66 : 0,3
9,1 :  6,85 − 2 ÷
33
4

T ×mphÇnnguy ªncña B =

Tính kết quả đúng
M=2222255555x2222266666
N= 20032003x20042004


A=

B=

A=

1
5+



1
4+

1
3+

2+

6
5+

3+

7+

5+

1
3

1
2

; C=

1
6+

5
2+

4

2+

2+

1
7+

1
8
1

; B=7+

4
2+

3+

4+

5
2+

1

; B=365+

1
7+

1
5

2

1
5

1

4+
1

5+

4+

1

3+

; B=
1

4+

1

1

3
4

20
1

A = 365 +

A = 3+

+

7
8+

2+

1
2

1
9+

1

1
3+

3+

4+

5
6+

7
8
1

; C=365+

1
7+

2003
3

4+

1
3+

1
5

1
7+

1
3+

1
5+

1
20

1
1

3+

1
3+

1
4

5
3

4. Một số bài toán sử dụng tính tuần hoàn của các số d khi nâng lên luỹ thừa:
Định lí: Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số d của phép chia a, a2, a3, a4... cho m lặp lại một
cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu).
Chứng minh. Ta lấy m + 1 luỹ thừa đầu tiên:
a, a2, a3, a4..., am, am+1
và xét các số d của chúng khi chia cho m. Vì khi chia cho m chỉ có thể có các số d {0, 1, 2, ..., m - 2, m
- 1}, mà lại có m + 1 số, nên trong các số trên phải có hai số có cùng số d khi chia cho m. Chẳng hạn hai số
đó là ak và ak + l, trong đó l > 0.
Khi đó:

ak ak + l (mod m)

(1)

Với mọi n k nhân cả hai vế của phép đồng d (1) với an - k sẽ đợc:
an an + l (mod m)
Điều này chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí tơng ứng với ak các số d lặp lại tuần hoàn.


Số l đợc gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số d khi chia luỹ thừa của a cho m.
Sau đây ta xét một số dạng bài tập sử dụng định lí trên:
Bài toán: Xét các luỹ thừa liên tiếp của số 2:
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,...
Tìm xem khi chia các luỹ thừa này cho 5 nhận đợc các loại số d nào ?
Giải: Ta có:
21 = 2,

23 = 8 3 (mod 5),

22 = 4,

24 = 16 1 (mod 5)

(1)

Để tìm số d khi chia 25 cho 5 ta nhân cả hai vế phép đồng d (1) với 2 sẽ đợc:
25 = 24.2 1x2 2 (mod 5)
26 = 25.2 2x2 4 (mod 5)
27 = 26.2 4x2 3 (mod 5)
...

Ta viết kết quả vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng dới ghi số d tơng ứng khi chia các luỹ thừa
này cho 5:
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 ...
(2 4
3
1) (2 4
3
1) (2 4
3
...
hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số d lập lại một cách tuần hoàn: sau 4 số d (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo
đúng thứ tự trên.
Bài 10: Tìm số d khi chia 22005 cho 5
Giải:
* áp dụng kết quả trên: ta có 2005 1 (mod 4) số d khi chia 22005 cho 5 là 2
Bài 11: Tìm chữ số cuối cùng của số: 234
Giải:
- Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện theo quy
trình sau:
1 SHIFT STO A 2
ANPHA

:

ANPHA

ANPHA

A

ANPHA

A

=

ANPHA

A

+ 1 =

= ...)

ta đợc kết quả sau:
21
(2

22
4

23
8

24
6)

25
(2

26
4

27
8

28
6)

29
(2

210
4

211
8

...
...

hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số d lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số (2, 4, 8, 6)
ta có 34 = 81 1 (mod 4) số d khi chia 23 cho 10 là 2
4

Vậy chữ số cuối cùng của số 234 là 2.
Bài 12: Tìm hai chữ số cuối cùng của số:
A = 21999 + 22000 + 22001
Giải: Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, thực hiện theo quy
trình nh bài 11), ta đợc kết quả sau:

21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
212
2
(4
8
16
32
64
28
56
12
24
48
96
213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224


92

84

68

36

72

44

88

76

52)

(4

8

16

các số d lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số 4 đến số 52). Ta có:
1999 19 (mod 20)



số d khi chia 21999 cho 100 là 88

2000 0 (mod 20)



số d khi chia 22000 cho 100 là 76

2001 1 (mod 20)

số d khi chia 22001 cho 100 là 52

88 + 76 + 52 = 216 16 (mod 100)
số d của A = 21999 + 22000 + 22001 khi chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng của số A là 16.
Bài 13: Chứng minh rằng ( 148 )

2004

+10 chia hết cho 11

Giải:
8
- Ta có: 14 3 (mod 11) ( 14 )

2004

8
Do 38 = 6561 5 (mod 11), nên ( 3 )

8
(3 )
2004

2004

(mod 11)

= 65612004 52004 (mod 11)

Xét sự tuần hoàn của các số d khi chia luỹ thừa của 5 cho 11:

51
52
53
54
55
56
(5
4
9
1)
(5
4
52004 = (54)501 1501 (mod 11) 1 (mod 11)

57
9

58
1)

...
...

58
4

...
...

28

1

...
...

(1)

Mặt khác: 10 10 (mod 11)
(2)
Cộng vế với vế phép đồng d (1) và (2) có:
2004
2004
148 +10 11 (mod 11) 0 (mod 11) 148 +10 chia hết cho 11.
Bài 14: Chứng minh rằng số 222555 + 555222 chia hết cho 7.
Giải:
1) Trớc hết tìm số d của phép chia 222555 cho 7:

- Vì 222 = 7 x 31 + 5, nên 222 5 (mod 7) 222555 5555 (mod 7)
- Xét sự tuần hoàn của các số d khi chia luỹ thừa của 5 cho 7:
51
52
53
54
55
56
57
(5
4
6
2

3
1)
(5
5555 = 56.92 + 3 = (56)92.53 53 6 (mod 7)
Vậy số d khi chia 222555 cho 7 là 6.
2) Tơng tự, tìm số d của phép chia 555222 cho 7:

(1)

- Vì 555 = 7 x 79 + 2, nên 555 2 (mod 7) 555222 2222 (mod 7)
- Xét sự tuần hoàn của các số d khi chia luỹ thừa của 2 cho 7:
21
22
23
24
25
26
27
(2
4
1
2
4)
(2
4
2222 = 23.74 = (23)74 174 1 (mod 7)
(2)
222
Vậy số d khi chia 555 cho 7 là 1.
Cộng vế với vế các phép đồng d (1) và (2), ta đợc:

222555 + 555222 6 + 1 0 (mod 7)


Vậy số 222555 + 555222 chia hết cho 7.
5. Số nguyên tố:
Định lí 1 (Định lí cơ bản về số nguyên tố):
Mọi số nguyên dơng n, n > 1, đều có thể đợc viết một cách duy nhất (không tính đến việc sắp xếp các
nhân tử) dới dạng:
n = p1e1 p2e2 ... pkek ,

với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p1 < p2 <...< pk
Khi đó, dạng phân tích trên đợc gọi là dạng phân tích chính tắc của số n.
Bài 15: Tìm các ớc nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:
A = 2152 + 3142
H. Dẫn:
- Tính trên máy, ta có: A = 144821
- Đa giá trị của số A vào ô nhớ A : 144821 SHIFT STO A
- Lấy giá trị của ô nhớ A lần lợt chia cho các số nguyên tố từ số 2:
ANPHA

A

ữ 2 =

(72410,5)

ANPHA

A

ữ 3 =

(48273,66667)

....
tiếp tục chia cho các số nguyên tố: 5, 7, 11, 13,...,91: ta đều nhận đợc A không chia hết cho các số đó.
Lấy A chia cho 97, ta đợc:
ANPHA

A

ữ 97 =

(1493)

Vậy: 144821 = 97 x 1493
Nhận xét: Nếu một số n là hợp số thì nó phải có ớc số nguyên tố nhỏ hơn

n.

để kiểm tra xem 1493 có là hợp số hay không ta chỉ cần kiểm tra xem 1493 có chia hết cho số
nguyên tố nào nhỏ hơn 1493 < 40 hay không.
- Thực hiện trên máy ta có kết quả 1493 không chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn 40 1493 là số
nguyên tố.
Vậy A = 2152 + 3142 có ớc số nguyên tố nhỏ nhất là 97, lớn nhất là 1493.
Bài 15: Tìm các ớc nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:
A = 10001
Đáp số: A có ớc số nguyên tố nhỏ nhất là 73, lớn nhất là 137
Bài 16: Số N = 27.35.53 có bao nhiêu ớc số ?

Giải:
- Số các ớc số của N chỉ chứa thừa số: 2 là 7, 3 là 5, 5 là 3
- Số các ớc số của N chứa hai thừa số nguyên tố:
2 và 3 là: 7x5 = 35; 2 và 5 là: 7x3 = 21; 3 và 5 là: 5x3 = 15


- Số các ớc số của N chứa ba thừa số nguyên tố 2, 3, 5 là 7x5x3 = 105
Nh vậy số các ớc số của N là: 7 + 5 + 3 + 35 + 21 + 15 + 105 + 1 = 192.
Định lí 2 (Xác định số ớc số của một số tự nhiên n):
Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta đợc:
n = p1e1 p2e2 ... pkek ,

với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p1 < p2 <...< pk
Khi đó số ớc số của n đợc tính theo công thức:
(n) = (e1 + 1) (e2 + 1)... (ek + 1)
Bài 17: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Hãy tìm số các ớc dơng của số A = 6227020800.
Giải:
- Phân tích A ra thừa số nguyên tố, ta đợc:
A = 210.35.52.7.11.13
áp dụng định lí trên ta có số các ớc dơng của A là:
(A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584
Bài 18: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004):
Có bao nhiêu số tự nhiên là ớc của:
N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004
Giải:
- Phân tích N ra thừa số nguyên tố, ta đợc:
N = 25 x 34 x 55 x 7 x 11 x 79 x 167 x 179 x 193 x 389 x 977
áp dụng định lí 2, ta có số các ớc dơng của N là:

(N) = 6 x 5 x 6 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 46080
6. Tìm số tự nhiên theo các điều kiện cho trớc:
Bài 19: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng:
1x 2 y 3z 4

chia hết cho 7.
Giải:
- Số lớn nhất dạng 1x 2 y 3z 4 chia hết cho 7 sẽ phải có dạng:

19293z 4 với z {0, 1, 2,...,8, 9}
lần lợt thử với z = 9; 8; 7; 6; 5... đến z = 5, ta có:
1929354 ữ 7 =

(275622)

Vậy số lớn nhất dạng 1x 2 y 3 z 4 chia hết cho 7 là 1929354, thơng là 275622
- Số nhỏ nhất dạng 1x 2 y 3z 4 chia hết cho 7 sẽ phải có dạng:


10203z 4 với z {0, 1, 2,...,8, 9}
lần lợt thử với z = 0; 1; 2; 3... đến z = 3, ta có:
1020334 ữ 7 =

(145762)

Vậy số nhỏ nhất dạng 1x 2 y 3z 4 chia hết cho 7 là 1020334, thơng là 145762
Bài 20: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng:
1x 2 y 3z 4 chia hết cho 13.

Đáp số: - Số lớn nhất dạng 1x 2 y3 z 4 chia hết cho 13 là 1929304

- Số nhỏ nhất dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 13 là 1020344
Bài 21: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004)
Tìm tất cả các số n dạng:
N = 1235679 x 4 y chia hết cho 24.

H.Dẫn:
- Vì N M24 N M3 ; N M8 (37 + x + y) M3 ; x 4 y M8.
y chỉ có thể là 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Dùng máy tính, thử các giá trị x thoả mãn: (x + y + 1) M3 và x 4 y M8, ta có:
N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840
Bài 22: Tìm các số khi bình phơng sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. Có hay không các số khi bình phơng có tận
cùng là bốn chữ số 4 ?
H.Dẫn:
- Chữ số cuối cùng của x2 là 4 thì chữ số cuối cùng của x là 2 hoặc 8. Tính trên máy bình phơng của
số:
2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
ta chỉ có các số:
12, 62, 38, 88
khi bình phơng có tận cùng là hai chữ số 4.
- Tính trên máy bình phơng của các số:
12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912;
62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962;
38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938
88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988
ta đợc: 462, 962, 38, 538 khi bình phơng có tận cùng là 444.
* Tơng tự cách làm trên, ta có kết luận: không có N nào để N2 kết thúc bởi 4444.
Bài 23: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoã mãn:


1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị

2) Là số chính phơng.
H. Dẫn:
- Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3 a4 a5 a6 .
- Đặt x = a1a2 a3 . Khi ấy a4 a5 a6 = x + 1 và n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2
hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.
Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ớc của một trong hai thừa số của vế trái và số còn lại
phải là ớc của thừa số còn lại của vế trái.
Dùng máy tính, xét các khả năng đi đến đáp số:
n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
Bài 24: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393 cũng nh 655 đều có
số d là 210.
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 x -210 chia hết cho 393
x = 655.q2 + 210 x -210 chia hết cho 655
x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965
x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210
- Từ giả thiết 10000 < x < 15000 10000 < 1965k + 210 < 15000
hay 9790 < 1965k < 14790 5 k < 8.
Tính trên máy:
Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035
Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000
Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965
Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965
Bài 25: Tìm các chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9.
Giải:
- Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số x, y, z sao cho 579xyz chia
hết cho 5.7.9 = 315.
Ta có 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz
30 + xyz chia hết cho 315. Vì 30 30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy tính tìm các bội của 315 trong
khoảng (30 ; 1029):

- Nếu 30 + xyz = 315 thì xyz = 315 - 30 = 285
- Nếu 30 + xyz = 630 thì xyz = 630 - 30 = 600
- Nếu 30 + xyz = 945 thì xyz = 945 - 30 = 915
Vậy ta có đáp số sau:
x
y
z
2
8
5
6
0
0
9
1
5
Bài 26: (Thi Quốc tế IMO 1962):
Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất có tính chất sau:
1) Viết dới dạng thập phân a có tận cùng là số 6.
2) Nếu bỏ chữ số 6 cuối cùng và đặt chữ số 6 lên trớc các chữ số còn lại sẽ đợc một số gấp 4 lần chữ
số ban đầu.
Giải:
- Giả sử số cần tìm có n + 1 chữ số.
- Từ điều kiện 1) số đó dạng: a1a2 ...an 6
- Từ điều kiện 2), ta có: 6a1a2 ...an = 4. a1a2 ...an 6

(*)

- Đặt a = a1a2 ...an , thì: a1a2 ...an 6 = 10a + 6

6a1a2 ...an = 6.10n + a
- Khi đó (*) trở thành:
6.10n + a = 4.(10a + 6) 2.(10n - 4) = 13a (**)
Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13.
Vì (2 ; 13) = 1 nên: 10n - 4 chia hết cho 13.
Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để (10n - 4) chia hết cho 13, khi đó tìm ra số a và số cần
tìm có dạng: 10a + 6.
Thử lần lợt trên máy các giá trị n = 1; 2;... thì (10n - 4) lần lợt là:
6, 96, 996, 9996, 99996,... và số đầu tiên chia hết cho 13 là: 99996.
Khi đó a = 15384 Số cần tìm là: 153846.
Bài 27: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 2n + 7 chia hết cho n + 1
b) n + 2 chia hết cho 7 - n
H.Dẫn:
a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần lợt n = 0, 1, 2,...
thì 2n + 7 chia hết cho n + 1.

ta đợc n = 0 và n = 4

Chứng minh với mọi n 5, ta đều có 2n + 7 không chia hết cho n + 1, thật vậy:
(2n + 7) M(n + 1) [(2n + 7) - 2(n + 1)] M(n + 1) 5 M(n + 1) n 5.
Vậy số n cần tìm là 0 hoặc 4.
b) Tơng tự ta có: n = 4 hoặc n = 6.
Bài 28: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều là số 1.
Giải:


Nhận xét:

1) Để n3 có tận cùng là 11 thì n có tận cùng là số 1. Thử trên máy các số:
11, 21, 31,...81, 91
đợc duy nhất số 71 khi luỹ thừa bậc ba có tận cùng là 11.
2) Để n3 có tận cùng là 111 thì n có phải tận cùng là số 471.
(Thử trên máy với các số: 171, 271, 371,...871, 971 )
3) Để n3 có tận cùng là 1111 thì n phải có tận cùng là số 8471.
(Thử trên máy với các số: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 )
- Giả sử m là số chữ số đứng giữa các số 111 và 1111:
+ Nếu m = 3k, k Z+, thì:
111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4
< 111 ...
{
{ 1111 < 112 000...00
{ )
14 2 43 0000
14 2 43 0000
( 111000...00
3k



3

4

m =3 k

3k

4

1110.10k +1 < 3 n3 = 3 111...1111 < 3 1120.10 k +1

Tính trên máy:
10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1
Do đó, với k 1. Cho k = 1 ta đợc n bắt đầu bằng số 103, nghĩa là:
n = 103...8471
Số nhỏ nhất trong các số đó là: n = 1038471
+ Nếu m = 3k + 1 và m = 3k + 2, ta đợc các số này đều vợt quá số 1038471
Kết luận: Số nhỏ nhất thoã mãn yêu cầu bài toán là: n = 1038471 khi đó:
(tính kết hợp trên máy và trên giấy): n3 = 1119909991289361111
Bài 29: a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà n2 bắt đầu bởi số 19 và kết thúc bằng số 89
b) Tìm số tự nhiên n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong đó xxxxxx là 6 số có thể khác nhau).
Giải:
a) Trớc hết ta tìm số n2 có tận cùng là 89:
- Vì n2 có tận cùng là 9 nên n chỉ có thể có tận cùng là 3 hoặc 7.
- Thử trên máy các số: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta tìm đợc:
để n2 có tận cùng là 89 thì n phải có 2 số tận cùng là một trong các số sau:


17, 33, 67, 83 (*)
* Bây giờ ta tìm số n bắt đầu bởi số 19:
- Để n2 bắt đầu bởi số 19 thì nó phải có dạng:
2

19 x 10k n2 < 20 x 10k

19.10k n < 20.10k

(1)

+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:
19.10m n < 20.10m
4,3588989.10m n < 4,472135955.10m (2)
Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy):
ta đợc n có thể là: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447
+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:
190.10m n < 200.10 m
13,78404875.10m n < 14,14213562.10m (3)
Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy):
ta đợc n có thể là: 14, 138, 139, ... , 141
1379, 1380, 1381, ... , 1414
Tóm lại để n bắt đầu bởi số 19 thì n có thể là:
14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**)
Từ (*) và (**) ta nhận thấy trong các số trên chỉ có số 1383 thoả mãn bài toán.
b) Ta có:

2525 x 108 x2 < 2526 x 108

50,24937811 x 104 x < 50,25932749 x 104
Vậy : 502493 < x < 502593
Số x tận cùng phải là: 17, 33, 67, 83 (theo câu a), do đó các số thoả mãn là:
502517, 502533, 502567, 502583.
Bài 30: Với giá trị tự nhiên nào của n thì:
1,01n - 1 < (n - 1) và 1,01n > n.
Giải:
- Ta có:
1,01512 163,133... < 512
1,011024 26612,56.. > 1024
Vậy: 512 < n < 1024

Thu hẹp khoảng cách chứa n bằng phơng pháp chia đôi:
- Chia đôi đoạn [512 ; 1024], ta có:
521+1024
2

1, 01

= 1, 01768 = 2083, 603... > 768

Vậy lại có: 512 < n < 768
Sau một số bớc chia đôi nh thế đi đến:


650 < n < 652
Cuối cùng ta có: 1,01651 = 650,45... < 651
1,01652 = 656,95.. > 652
n = 652
Ta hoàn toàn giải bài toán trên bằng một quy trình trên MTBT:
(Thuật toán: Xét hiệu 1,01A - A , gán cho A các giá trị tự nhiên: 0, 1, 2,...
dừng lại khi hiệu trên chuyển từ (-) sang (+))
- Gán cho ô nhớ A giá trị tự nhiên đầu tiên:
0 SHIFT STO A
- Lập công thức tính hiệu 1,01A - A và gán giá trị ô nhớ bởi số tự nhiên kế tiếp:
1,01
:

ANPHA

A

ANPHA

A

-

ANPHA

ANPHA

=

A

ANPHA

A

+ 1

- Lặp lại công thức trên:
= ... =

Bài toán kết thúc khi chuyển từ n = 651 sang n = 652.
7. Một số dạng toán khác:
7.1 Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa:
1) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số
tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (có đuôi bất biến).
2) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ
số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).

3) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ
số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến).
4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những số ấy) đều có
chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến).
...
Bài 31: Tìm số d khi chia số 133762005! cho 2000 (TH & TT T3/ 317)
Giải:
- Giả sử A, B là hai số tự nhiên có tận cùng là 376, thì:
A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762
= 2000t + 1376; với a, b t N
A.B chia 2000 có số d là 1376.
Với k > 1 khi chia 13376k cho 2000 (thực hiện (k - 1) lần phép nhân 2 số đều có tận cùng là 376 rồi
chia cho 2000) thì đợc d là 1376. Đề bài ứng với k = 2005!
Bài 32: Tìm 2 chữ số tận cùng của số:
A = 21999 + 22000 + 22001
H.Dẫn:
- Ta có: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 22) = 7 x 29 x 210 x 21980
= 7 x 29 x 210 x (220)99