De thi thu tot nghiep so 3

THPT HOÀNG DIỆU

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỒ THÔNG NĂM 2011

ĐỀ THI THAM KHẢO

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

I - PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số y = − x 3 − 3x 2 + 4 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3 + 3x 2 + m − 4 = 0 .
Câu 2 (3,0 điểm)
1) Giải phương trình log32 x − 8log3 x + 3 = 0 .
e 3
x + ln x
dx .
2) Tính tích phân I = ∫
2
x
1

(

)

1 3

3x + 2 4x 2 − 5x

3) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = e
trên đoạn  ;  .
2 2

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AC = a , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600 . Gọi G là trọng
tâm của tam giác SAB, tính thể tích của khối chóp G.ABC theo a.
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần cho chương trình chuẩn 4a,5a; phần cho
chương trình nâng cao 4b,5b).
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu 4a (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; -2; -5) và đường thẳng (d) có phương trình:
x −1 y +1 z
=
=
2
−1 2

1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng (d).
Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d).
2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d) và đi qua hai điểm A và O.
Câu 5a (1,0 điểm). Giải phương trình (z + 2) 2 + 2(z + 2) + 5 = 0 trên tập số phức.
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 4b (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và đường thẳng (d) có phương trình:
(S): x 2 + y 2 + z 2 − 8x + 6y − 4z + 15 = 0 và (d):

x+2 y+2 z
=
=

3
2
−1

1) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng (d).
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với (d).
Câu 5b (1,0 điểm). Giải phương trình z 2 − ( 4 − 2i ) z + 7 − 4i = 0 trên tập số phức.

----------------Hết--------------1


Đáp án và thang điểm
CÂU

Ý

I. PHẦN CHUNG
Câu 1

1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = − x 3 − 3x 2 + 4 .
1. Tập xác định: D = ¡
2. Sự biến thiên:
a) Giới hạn: lim y = +∞ và lim y = −∞
x →−∞
x →+∞
b) Bảng biến thiên:
• y ' = −3x 2 − 6x

x
y'

y

 x = −2
y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x = 0 ⇔ 
x = 0
-∞
-2
−
0
+
+∞

ĐIỂM
7.0
2.0
0.25
0.25

0.25

+∞

0
0
4

−

0.75

0
-∞
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; −2 ) và ( 0; +∞ ) , đồng biến trên

khoảng ( −2;0 ) .
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y(0) = 4 .
+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = −2 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(−2) = 0 .
3. Đồ thị:
+ Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm ( 0; 4 ) .
+ Giao điểm của đồ thị với trục hoành là các điểm ( −2;0 ) ; ( 1;0 ) .
+ Đồ thị đi qua điểm ( −1; 2 ) .

8

y

7
6
5
4
3
2

y=-x - x +

1

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1
-2

m

y=m

0.5

-3
-4
-5

2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x 3 + 3x 2 + m − 4 = 0 (1)
•
•

Ta có : x 3 + 3x 2 + m − 4 = 0 ⇔ m = − x 3 − 3x 2 + 4 .
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y = − x 3 − 3x 2 + 4 và đường thẳng y = m .

•

Dựa vào đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình
(1) như sau:
+ m < 0 ∨ m > 4 : Phương trình (1) có 1 nghiệm.
+ 0: Phương trình (1) có 3 nghiệm.
m = 0
+ 
: Phương trình (1) có 2 nghiệm.
m = 4

1.0
0.25
0.25

0.5

2


Câu 2

1 Giải phương trình log 2 x − 8log x + 3 = 0 (1)
3
3
Điều kiện: x > 0
• Khi đó: log32 x − 8log3 x + 3 = 0 ⇔ log32 x − 4 log3 x + 3 = 0 (2)
t = 1
2
• Đặt t = log3 x , phương trình (2) trở thành: t − 4t + 3 = 0 ⇔ 
t = 3

• Với t = 1 thì log3 x = 1 ⇔ x = 3
Với t = 3 thì log3 x = 3 ⇔ x = 27

1.0
0.25
0.25
0.25
0.25

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = { 3; 27} .
2
e 3
x + ln x
dx
Tính tích phân I = ∫
2
x
1
e 3
e
e
x + ln x
1
dx = ∫ xdx + ∫
ln xdx
• Ta có: I = ∫
2
2
x
x

1
1
1
e
e
 x2 
e2 1
• ∫ xdx =   =
−
2 2
 2 
1
1
1
u = ln x
du = dx
x
⇒
1
• Đặt
dv =
dx
1
v=−
x2
x
Do đó:
e
e e 1
1

1  1 e
1 1
2
 1

∫ x 2 ln xdx = − x ln x  + ∫ x 2 dx = − e +  − x  = − e − e + 1 = 1 − e
1 1
1
1
2
• Vậy I = e − 2 + 1 .
2 e 2
3
3x + 2 4x 2 − 5x
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = e
trên
•

(

)

1.0

0.25
0.25

0.25
0.25

1.0

1 3
đoạn  ;  .
2 2
•

1 3
Trên đoạn D =  ;  ta có:
2 2
y ' = 3e3x + 2 . 4x 2 − 5x + ( 8x − 5 ) .e3x + 2 = e3x + 2 . 12x 2 − 7x − 5

(

•

•

•
Câu 3

)

(

 x = 1∈ D
2
y ' = 0 ⇔ 12x − 7x − 5 = 0 ⇔ 
x = − 5 ∉ D


12
 1
3 7
f  2 ÷ = − 2 e
  

5
So sánh ba giá trị: f ( 1) = −e

f  3  = 3 e13
  2 ÷
 2

3 13
5
e và min f (x) = −e .
Ta suy ra được: Max f (x) =
2
x∈D
x∈D

)

0.25
0.25

0.25

0.25

1.0
3


•
•

Do SA ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC). Suy ra
·
= 600 .
( SC;(ABC) ) = ( SC; AC ) = SCA
Xét hai tam giác vuông SAC và ABC ta suy ra được:
SA = AC.t an600 = a 3


AC a 2
=
 AB = BC =
2
2


1
1
a 3
Do G là trọng tâm tam giác SAB nên: d ( G; AB ) = d ( S; AB ) = SA =
3
3
3
• Vậy thể tích khối chóp G.ABC là:

1
1 1
a3 3 .
V = S∆ABC .d ( G; ABC ) = . AB2 .d ( G; AB ) =
3
3 2
36
II.PHẦN RIÊNG
1 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với
đường thẳng (d). Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d).
r
• Đường thẳng (d) đi qua M 0 ( 1; −1;0 ) và có VTCP là: a = ( 2; −1; 2 )
•

Câu 4a

•
•
•

0.25
0.25
0.25
3.0
1.0
0.25

Do mặt phẳng (P) đi qua điểm A ( 1; −2; −5 ) và vuông góc với (d) nên VTPT
r r
của (P) là n = a = ( 2; −1; 2 )

0.25

Suy ra phương trình của mặt phẳng (P):
2 ( x − 1) − 1( y + 2 ) + 2 ( z + 5 ) = 0 ⇔ 2x − y + 2z + 6 = 0

0.25

Tọa độ giao điểm H của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của hệ
phương trình:
 2x − y + 2z = −6
 x = −1


⇔  y = 0 ⇒ H ( −1;0; −2 ) .
 x + 2y = −1
 2y + z = −2
 z = −2



2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d) và đi qua hai điểm A và
O.
 x = 1 + 2t

• Phương trình tham số của (d):  y = −1 − t ( t ∈ ¡ ) . Do tâm I của mặt cầu
 z = 2t

•

0.25

(S) thuộc (d) nên I ( 1 + 2t; −1 − t; 2t )
Do mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, O nên:

0.25

1.0

0.25

4


IO = IA ⇔ IO2 = IA 2
⇔ ( 1 + 2t ) 2 + ( −1 − t ) 2 + ( 2t ) 2 = ( 2t ) 2 + ( 1 − t ) 2 + ( 2t + 5 ) 2

•
•

⇔ 1 + 4t + 4t 2 + 1 + 2t + t 2 + 4t 2 = 4t 2 + 1 − 2t + t 2 + 4t 2 + 20t + 25
⇔ t = −2
Suy ra mặt cầu (S) có tâm I ( −3;1; −4 ) , bán kính R = IO = 9 + 1 + 16 = 26
Vậy phương trình của (S) là:
x + 3 2 + y − 1 2 + z + 4 2 = 26 .

(

Câu 5a

)

(

)

(

Phương trình (1) có: ∆ ' = 9 − 13 = −4 = ( 2i ) 2

•

Câu 4b

Do đó phương trình (1) có hai nghiệm là:
z1 = −3 − 2i và z1 = −3 + 2i .
1 Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ I đến
đường thẳng d
• Mặt cầu (S) có tâm I ( 4; −3; 2 ) , bán kính R = 16 + 9 + 4 − 15 = 14
r
• Do đường thẳng (d) đi qua điểm M 0 ( −2; −2;0 ) và có VTCT a = ( 3; 2; −1)
uuuur r
 M0 I;a 


nên d ( I, (d) ) =
r
a
uuuur
 M0 I = ( 6; −1; 2 )

uuuur r  −1 2 2 6 6 −1 
⇒  M 0I;a  = 
;
;
• r
÷ = ( −3;12;15 )
 2 −1 −1 3 3 2 
a = ( 3; 2; −1)
378
378
=
= 27 = 3 3 .
• Do đó: d ( I, (d) ) =
14
14
2 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông
góc với (d).
r r
• Do mặt phẳng (P) vuông góc (d) nên VTPT của (P) là n = a = ( 3; 2; −1)
•

Câu 5b

0.25

)

Giải phương trình (z + 2) 2 + 2(z + 2) + 5 = 0 trên tập số phức.
• Ta có: (z + 2) 2 + 2(z + 2) + 5 = 0 ⇔ z 2 + 6z + 13 = 0 (1)
•

0.25
0.25

1.0
0.25
0.25
0.5
1.0
0.25

0.25
0.25
0.25
1.0
0.25

Phương trình mặt phẳng (P) vuông góc (d) có dạng:
3x + 2y − z + D = 0
• Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
4+D
 D = 10
d(I, (P)) = R ⇔
= 14 ⇔ 4 + D = 14 ⇔ 
14
 D = −18
• Vậy có hai mặt phẳng thỏa đề bài là:
3x + 2y − z + 10 = 0 và 3x + 2y − z − 18 = 0 .
Giải phương trình z 2 − 4 − 2i z + 7 − 4i = 0 trên tập số phức.

0.25

•

Ta có: ∆ ' = ( 2 − i ) 2 − ( 7 − 4i ) = 3 − 4i − 7 + 4i = −4 = ( 2i ) 2

0.5

•

Do đó phương trình có hai nghiệm là:
z1 = 2 − i − 2i = 2 − 3i và z 2 = 2 − i + 2i = 2 + i .

(

)

0.25
0.25
1.0

0.5

5