DAY THEM TOAN 11

TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN KỶ

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II - CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
NĂM HỌC: 2010 – 2011
A. PHẦN GIẢI TÍCH
I. Giới hạn
Bài 1 :Tính các giới hạn sau:
x 2 + 5x + 4
x→ −4
x+4
2− x
5) lim
x →2
x+7 −3

x2 + 2x − 3
x →1 2 x 2 − x − 1
4x + 1 − 3
6) lim
x →2
x2 − 4

1) lim

x2 −1
x 2 − 3x + 2
x + 5 − 2x + 1
7) lim
x→4
x−4

x 4 − 16
x →−2 x 3 + 2 x 2
x +1 + x + 4 − 3
8) lim
x →0
x

3) lim
x − >1

2) lim

4) lim

Bài 2: Tính các giới hạn sau:
1) xlim
→3

−

2x −1
x−3

2) lim
x →2

+

x 2 − 3x + 3
x−2

3) lim
x →1

x 2 − 5x + 3
( x − 1) 2

x+ x
4) xlim
−>0
+

Bài 3: Tính các giới hạn sau:
1) xlim
→ −∞

− x+3
2x − 1

( x 2 + 2 x + 3 − x)
5) xlim
→ +∞

5) lim

x− x

x →0

2 x3 + 3x − 4

2) lim 3 2
x →+∞ − x − x + 1

3) lim

(2 x − 4 x 2 − x + 3 )
6) x lim
→ +∞

( x 2 + x − 1 − x 2 − x − 1)
7) xlim
→ −∞

Bài 4: Tính các giới hạn sau:
(− x 3 + x 2 − x + 1) 2) lim ( x 4 − 2 x 2 − 3)
1) xlim
→−∞
x→ − ∞

x → −∞

x2 − x + 5
2x − 1

(−2 x 3 − 2 x 2 + x − 3)
3) xlim
→ +∞

4) lim

x →−∞

−

2 x +x
x2 − x

x 2 − 3x + 2 x
3x − 1

3x 2 − 5 x
4) xlim
→−∞

Bài 5: Xét tính liên tục trên R của hàm số sau:
 x2 - 4

1) f(x)=  x+ 2
-4


khi x ≠ -2
khi x = -2

 x2 − x − 2

3) f ( x ) =  x − 2
 5− x


khi x > 2
khi x ≤ 2

x2 - 1
khi x ≥ 1

2) f(x) =  x - 1
x 2
khi x < 1

 1− x
2

4) f ( x) =  ( x − 2 )
 3


khi x ≠ 2
khi x = 2

Bài 6: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x 0.
 x2 − x − 2
 x2
khi x < 1
khi x ≠ −1

1) f ( x ) =  x + 1
với x0 = -1 2) f ( x) = 
với x0 = 1
2ax − 3 khi x ≥ 1



a
khi x = −1

 x+7 −3
 x2 + x - 2
khi x ≠ -2
khi x ≠ 2


3) f ( x) =  x − 2
với x0 = 2 4) f(x) =  x + 2
với x0 = -2
 a −1

khi x = -2
khi x = 2
 2x + m


Bài 7: Chứng minh rằng phương trình:
1) x5 − 3 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm.
2) 2 x3 − 3 x 2 + 5 = 0 có ít nhất một
nghiệm
3) 2 x3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
4) x3 + 3x 2 − 1 = 0 có 3 nghiệm
phân biệt.
3
5) ( 1 − m 2 ) ( x + 1) + x 2 − x − 3 = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi

m.
“Quá khứ là kinh nghiệm, hiện tại là đấu tranh, tương lai là chính mình.”


TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN KỶ

6) m ( x − 1) ( x 2 − 4 ) + x 4 − 3 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
II. Đạo hàm
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
3

1) y = x 3 − 2 x + 1

2) y = 2 x 4 − 2 x 2 + 3x

5) y = x ( 2 x − 1)(3x + 2)

6)
y = ( x + 1)( x + 2) 2 ( x + 3) 3
10) y = (x 7 + x)2

9) y = (x3 + 3x - 2)20
13) y =

2x − 3
x−2

14) y =

3x 2 − 2 x + 1

17) y =
2x − 3
3
21) y = − 6 x
x

25) y =

18) y =
22) y =

1+ x
1− x

y = ( x + 1) x 2 + x + 1
33) y =

x2 + a2

3x - 2
x - x +2
2

3 4
5
6
− 2 + 3 − 4
x x
x
x

30) y =

12) y = x 4 + 6 x 2 + 7
3
16) y = 2
( x + x + 1) 3

19) y = x 1 + x 2

20) y = x − 1 + x + 2

x 2 − 3x + 4
2x 2 + x + 3

3x 2 − ax + 2a , ( a là hằng số)

4) y = sin 2x +1

7) y = (1+ cotx)2
11) y = sin 2 (cos3x)

8) y = cosx.sin 2 x
12)y = x.cotx

15) y = tan

18) y = 2+tan 2 x

19) y =

4
x

7) y =

x+1
2

10) y = 3 sin x − cos x + x
Bài 4: Giải của bất phương trình sau:

3) y’ ≥ 0

với

x2 + x + 2
y=
x −1

2

16) y =

sinx + cosx
sinx - cosx

20) y = sin 4

y=

1 3 1 2
x + x − 2x + 3
3
2

4) y’>0 với y = x 4 − 2x 2

“Quá khứ là kinh nghiệm, hiện tại là đấu tranh, tương lai là chính mình.”

x
2

1
y = sin 2 x + sin x − 3
2
y
=
20
cos
3
x
+
12
cos 5 x − 15 cos 4 x
11)

2) y’ < 4 với

5) y’≤ 0 với y = 2 x − x 2

sinx
x
+
x
sinx

4) y = x 1 − x 2
8)

x
x +4

9) y = cos x + sin x + x

1) y’ > 0 với y = x3 − 3x 2 + 2

(

)

32) y = 2 x 2 + 3 x − 1

3) y = 2sin2x.cos3x

14) y = cot 3 (2x + )

6) y = x +

y = ( x + 1) x 2 + x + 1

x x

34) y =

π
4

x 2 − 5 x + 15
x−2

1


24) y =  x 3 + − 6 x 
x


28)

1

Bài 3: Giải phương trình : y’ = 0 biết rằng:
1) y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5 2) y = x 4 − 2 x 2 + 5 3) y = x 4 − 4 x 3 + 3
5) y =

8) y = (1- 2t)10

31)
y = x −1 + x + 2

1
2 x + 3x − 5
2

Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y = sin2x –
2) y = sin5x – 2cos(4x
cos2x
+ 1)
6) y = sin 2 x +cos 3 x
5) y = sin2x
9) y= sin(sinx) 10)y = cos( x3 + x -2 )
1+ sinx
2 - sinx
17) y = 1+ 2tanx

11) y = x 2 − 3x + 2
2x
15) y = 2
x −1

27) y =

, ( a là hằng số)

13) y =

4) y = ( x 3 + 2)( x + 1)

23) y =

26) y = x x

29)
x2

2x 2 − 6x + 5
2x + 4

3)
y = ( x 2 + x)(5 − 3 x 2 )
7) y = ( x 2 + 5) 3

3

3


TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN KỶ

Bài 5: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y = x 3 − 5 x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của
(C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x
+ 1.
1
7

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – 4.

Bài 6: Cho hàm số: y = x3 + 4x +1. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong
của trường hợp sau:
a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1;
b) Tiếp tuyến có hệ số
góc k = 31;
c) Song song với đường thẳng d: y = 7x + 3;
d) Vuông góc với
(∆): y = -

1
x −5 .
16

Bài 7: Cho đường cong (C): y =

x+2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x−2

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ
1
bằng
3
c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là −4
Bài 8: Chứng minh rằng các hàm số sau thoả mãn của hệ thức:
a) f ( x) = x 5 + x 3 − 2 x − 3 thoả mãn: f ' (1) + f ' (−1) = −4 f (0)
c) y = a.cosx +b.sinx
thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0 .
d) y = cot2x

thoả mãn hệ thức: y’ + 2y 2 + 2 = 0
Bài 9: Tìm đạo hàm cấp 2 của của hàm số sau:
2x − 3
1) y = x 3 − 2 x + 1
2) y = 2 x 4 − 2 x 2 + 3
2x 2 − 6x + 5
3) y =
4) y =
x−2

5) y = sin2x –
cos2x

6) y = x.cos2x

7) y = x

2x + 4

8) y = x 1 + x 2

 π
 π 
Bài 8: Cho f ( x ) = sin3x . Tính f ''  - ÷; f '' ( 0 ) ; f ''  ÷
 2
 18 
B. PHẦN HÌNH HỌC
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD);
SA = a 6 , AM, AN là các đường cao của tam giác SAB và SAD;
1) CMR: Các mặt bên của chóp là các tam giác vuông. Tính tổng diện tích

các tam giác đó.
2) Gọi P là trung điểm của SC. Chứng minh rằng OP ⊥ (ABCD).
3) CMR: BD ⊥ (SAC) , MN ⊥ (SAC).
4) Chứng minh: AN ⊥ (SCD); AM ⊥ SC
5) CMR: SC ⊥ (AMN)
6) Chứng minh BN ⊥ SD
7) Tính góc giữa SC và (ABCD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA ⊥ (ABC)
. Kẻ AH , AK lần lượt vuông góc với SB , SC tại H và K , có SA = AB = a .
1) Chứng minh tam giác SBC vuông.
2) Chứng minh tam giác AHK vuông và tính diện tích tam giác AHK.
“Quá khứ là kinh nghiệm, hiện tại là đấu tranh, tương lai là chính mình.”


TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN KỶ

3) Tính góc giữa AK và (SBC).
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có (ABD) ⊥ (BCD), ∆ABD cân tại A; ∆BCD vuông tại C ,
MN là trung điểm của BD và BC
a) Chứng minh AM ⊥ (BCD; (AMN) ⊥ (BCD)
c) Kẻ MH ⊥ AN, chứng minh MH ⊥ (ABC)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a;
SA=SB=SC=SD=a 2 ; O là tâm của hình vuông ABCD.
a) CMR: (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD).
b) CMR:
(SAC) ⊥ (SBD)
c) Tính khoảg cách từ S đến (ABCD)
d) Tính góc giữa đường SB và
(ABCD).
e) Gọi M là trung điểm của CD, hạ OH ⊥ SM, chứng minh H là trực tâm tam

giác SCD
f) Tính góc giưa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
g) Tính khoảng cách giữa SM và BC; SM và AB.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và SA=a; đáy ABCD là hình thang
vuông có đáy bé là BC, biết AB=BC=a, AD=2a.
1)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
2)Tính khoảng cách giữa AB và SD
3)Gọi M, H là trung điểm của AD, SM chứng minh rằng AH ⊥ (SCM)
4)Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (ABCD)
5)Tính góc giữa SC và (SAD)
6)Tính tổng diện tích các mặt của hình chóp.
Bài 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB. OC đôi một vuông góc nhau và
OA=OB=OC=a
a)Chứng minh các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) đôi một vuông góc
b)Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh (ABC) vuông góc với (OAM)
c)Tính khoảng cách giữa OA và BC
d)Tính góc giữa (OBC) và (ABC)
e)Tính d(O, (ABC) )
·
·
Bài 7: Cho chóp OABC có OA=OB=OC=a; ·AOC = 1200 ; BOA
= 600 ; BOC
= 900 cm
a)ABC là tam giác vuông
b)M là trung điểm của AC; chứng minh tam giác BOM vuông
c)cm (OAC) ⊥ (ABC)
d)Tính góc giữa (OAB) và (OBC)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C,
CA=CB=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt đáy, cạnh SA=a.
Gọi D là trung điểm của AB.

a)CMR: (SCD) ⊥ (SAB)
b)Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
c)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
Bài 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
b)Tính góc giữa câc cạnh bên và mặt đáy
c)Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy
d)Chứng minh các cặp cạnh đối vuông góc nhau.

“Quá khứ là kinh nghiệm, hiện tại là đấu tranh, tương lai là chính mình.”


TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN KỶ

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
a 3
2
·
và BAD = 60 0 . Gọi H là hình chiếu của S trên AC.

SA = SB = SD =

1. CMR: BD ⊥ (SAC) và SH ⊥ (ABCD) .
2. CMR: AD ⊥ SB .
3. CMR: (SAC) ⊥ (SBD).
4. Tính khoảng cách từ S đến
(ABCD) và SC.
5. Tính sin của góc α giữa SD và (SAC), côsin của góc β giữa SC và (SBD).
6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD).
7. Tính góc giữa (SAD) và

(ABCD).
8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính
khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy.
Thiên tài = 99% mồ hôi và nước mắt + 1% thông minh bẩm sinh

“Quá khứ là kinh nghiệm, hiện tại là đấu tranh, tương lai là chính mình.”