Đề thi HSG cấp huyện 2010 2011 có đáp án

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
----------------------------Bài 1: ( 5 điểm)
1. Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất:
A=

2010 x 2011 − 1005
2010 x 2010 + 1005

2. Thực hiện phép tính:



2 
3 

2 
5 

B = 331 − 1 − ...1 −

2 

99 

Bài 2: (5 điểm)
Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220
a. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5.

b. Tìm chữ số tận cùng của M.
Bài 3: ( 5 điểm )
1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho :
n+5 n–2
2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho :
(2x + 1)(y – 3) = 10
Bài 4: ( 5 điểm)
1. Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm
của AC , điểm N là trung điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN =

a
.
2

2. Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông. Đường chéo AC cắt
đường cao BH tại I. So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác
BHC.

-------------------------------


HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: ( 5 điểm)
1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất:
A=

2010 x 2011 − 1005
2010 x (2010 + 1) − 1005 2010 x 2010 + 2010 − 1005
=
=

2010 x 2010 + 1005
2010 x 2010 + 1005
2010 x 2010 + 1005
2010 x 2010 + 1005
=1
=
2010 x 2010 + 1005

2) Thực hiện phép tính:



2 
3 

2 
5 

B = 331 − 1 − ...1 −

2 
1 3 5 97
1
1
 = 33. . . ...
= 33.
=
99 
3 5 7 99
99

3

Bài 2: (5 điểm)
Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220
a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 :
M = 2 + 22 + 23 + … + 220
= (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + … + (217 + 218 + 219 + 220)
= 2.(1 + 2 + 22 + 23 ) + 25.(1 + 2 + 22 + 23) + … +217.(1 + 2 + 22 +23)
= 2. 15 + 25.15 + …+ 217.15
= 15. 2(1 + 24 + …+ 216)
= 3 . 5 .2 .(1 + 24 + …+ 216)  5
b) Tìm chữ số tận cùng của M:
Dễ thấy M  2 ; M  5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M  10.
Do đó M tận cùng bằng chữ số 0.
Bài 3: ( 5 điểm )
1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7  n – 2 ⇒ 7  n – 2
⇒ n – 2 ∈ Ư(7) = { ± 1 ; ± 7}
n–2
1
-1
7
-7
n
3
1
9
-5
Vậy : n ∈ { 3 ; 1 ; 9 ; − 5}
2) Ta có x , y ∈ N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10. Hơn nữa 2x + 1 > 0
và là số lẻ nên 10 = 1 . 10 = 5 . 2

2 x + 1 = 1
2 x + 1 = 5
hoặc 
 y − 3 = 10
y − 3 = 2
x = 0
x = 2
Suy ra : 
hoặc 
 y = 13
y = 5

Do đó : 

Bài 4: ( 5 điểm)


1) M là trung điểm của AC nên : AM = MC =
N là trung điểm của CB nên : CN = NB =
Suy ra : MC + CN =

1
.AC
2

1
.CB
2

1

( AC + CB )
2

C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N .
C nằm giữa M và N ⇒ MC + CN = MN
C nằm giữa A và B ⇒ AC + CB = AB = a
Do đó : MN =

a
.
2

2) Nối BD. Ta có : SBDC = SADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD)
SBDH = SDBA (=

1
SABHD)
2

;

SDBA = SIAD ( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau)

Do đó :
SBHC = SBDC – SBDH = SBDC - SDBA = SADC – SIAD = SIDC
Vậy : SBHC = SIDC .