Đề thi thử ĐH Toán lần 3 chuyên Nguyễn Huệ có đáp án

wWw.VipLam.Info
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ

KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
KHỐI A,B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
1
3

Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = mx 3 + (m − 1) x 2 + (4 − 3m) x + 1 có đồ thị là (Cm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số khi m = 1
2. Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (C m) tồn tại duy nhất một điểm A có
hoành độ âm mà tiếp tuyến với (Cm) tại A vuông góc với đường thẳng : x + 2y − 3 = 0.
Câu II: (2,0 điểm)
Giải phương trình: 2sin 2  x − π  = 2sin 2 x − t anx

÷
1.
4

2 xy
 2
2
x
+
y
+
= 1 (x, y∈ R)

Giải hệ phương trình: 
x
+
y

2.
 x + y = x2 − y

Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân:

π
4

∫
0

tan x.ln(cos x)
dx
cos x

Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a;
·
góc DAB
= 600 ; cạnh bên BB’= a 2 . Hình chiếu vuông góc của điểm D trên BB’ là điểm K
1
4

nằm trên cạnh BB’ và BK= BB' ; hình chiếu vuông góc của điểm B’ trên mặt phẳng (ABCD)
là điểm H nằm trên đoạn thẳng BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng
cách giữa hai đường thẳng B’C và DC’.

Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 = 1; c − d = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = ac + bd − cd .
Câu VI (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn :(C): x 2 + y 2 = 16 . Viết phương trình
chính tắc của elip có tâm sai e =

1
biết elip cắt đường tròn (C) tại bốn điểm A, B, C, D sao cho
2

AB song song với trục hoành và AB = 2.AD.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai đường thẳng:

x −1 y +1 z
x −1 y − 2 z
=
= ; d2 :
=
= và mặt phẳng (P) : x + y − 2 z + 3 = 0 .
2
1
1
1
2
1
Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (P) và cắt d1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho
d1 :

AB = 29

Câu VII (1,0 điểm)

Cho hai số phức z, z’ thỏa mãn z = z ' = 1 và z + z ' = 3 .
Tính z − z '

------------------------Hết---------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì them
Họ và tên:………………………………………………..SBD:……………………


wWw.VipLam.Info
TRNG THPT
CHUYấN
NGUYN HU

HNG DN CHM THI TH I HC LN TH BA
NM HC 2010 2011
THI MễN: TON KHI A, B

CU

NI DUNG

0,25

+ Hm s luụn ng bin trờn Ă
+ Hm s cú khụng cc i v cc tiu .
Giới hạn: lim y = ; lim y = + .

0,25

x

Bng bin thiờn:
x -
y
I-1
(1im)

IM

1
Với m = 1 ta có y = x 3 + x + 1 .
3
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên
Chiu bin thiờn:
y ' = x 2 + 1 >0 x Ă

y

x +

+
+

0,25

+
-

th:
th giao vi Oy ti (0;1)

y

1
O

I-2
(1im)

0,25
x

Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng x+2y-3=0 cú h s gúc k=2. Gi x l honh tip
2
2
im thỡ: f '(x) = 2 mx + 2(m 1)x + (4 3m) = 2 mx + 2(m 1)x + 2 3m = 0 (1)
Bi toỏn tr thnh tỡm tt c cỏc m sao cho phng trỡnh (1) cú ỳng mt nghim õm
Nu m=0 thỡ (1) 2 x = 2 x = 1 loi
2 3m
Nu m 0 thỡ d thy phng trỡnh (1) cú 2 nghim l x = 1 hay x=
m
m < 0
2 3m
<0
do ú cú mt nghim õm thỡ
m > 2
m
3

2
Vy m < 0 hay m > thỡ trờn (C) cú ỳng mt tip im cú honh õm tha yờu cu
3
bi

0,25
0,25
0,25

0,25


wWw.VipLam.Info

II-1
(1điểm)

Điều kiện: cosx ≠ 0

0,25

π
π
sinx


2sin 2  x − ÷ = 2sin 2 x − t anx ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ = 2sin 2 x −
4
2

cos x


⇔ cos x − sin 2 x.cos x − 2sin 2 x.cos x + sinx

0,25

⇔ cos x + sinx − sin 2 x ( cos x + sinx ) = 0
⇔ (sinx + cos x)(1 − sin 2 x) = 0
π

sinx
=
−
cos
x
⇔
x
=
−
+ kπ

4
⇔
sin 2 x = 1 ⇔ 2 x = π + l 2π ⇔ x = π + lπ

2
4
π
π

⇔ x = + k (thỏa mãn điều kiện)
4
2
2 xy
 2
2
x
+
y
+
= 1 ( 1)

x
+
y

 x + y = x2 − y ( 2)


0,25

0,25

0,25

Điều kiện: x + y > 0

( 1) ⇔ ( x + y )
II-2
(1điểm)

⇔ ( x + y)

2

− 2 xy +

2 xy
3
− 1 = 0 ⇔ ( x + y ) − 2 xy ( x + y ) + 2 xy − ( x + y ) = 0
x+ y

( ( x + y ) − 1) − 2 xy ( x + y − 1) = 0
2

⇔ ( x + y − 1) ( x + y ) ( x + y + 1) − 2 xy  = 0 (3)
Với x + y > 0 thì x + y + x + y > 0
Nên (3) ⇔ x + y = 1 thay vào (2) được − y 2 + 2 y = 0
2

2

Hệ có 2 nghiệm (x;y) = (1;0); (x;y) = (-1; 2)
III
*Đặt t=cosx
(1điểm)
1
π
dt=-sinxdx , đổi cận x=0 thì t=1 , x =
thì t =

2
4
1
2

Từ đó I = − ∫
1

ln t
dt =
t2

*Đặt u = ln t;dv =

0,25

1

∫

1
2

ln t
dt
t2

1
1
1

dt ⇒ du = dt; v = −
2
t
t
t

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25


wWw.VipLam.Info
1
1
Suy ra I = − ln t 1 +
t
2
*Kết quả

I = 2 −1−

1
1
2
1
∫1 t2 dt = − 2 ln 2 − t 1
2

2
1

2
ln 2
2

0,25
a 2
; trong tam giác vuông
4
a 14
BKD : DK = BD 2 − BK 2 =
4
Ta có BK =

0,25

IV
(1điểm)
3a 2
a 14
; trong tam giác vuông B’KD : B ' D = B ' K 2 + KD 2 =
=a 2
4
4
Suy ra ∆ B’BD cân tại B’ do đó H chính là g iao điểm của AC và BD
a 3 a 2 3 3a3
VABCD. A ' B 'C ' D ' = B ' H .S ABCD =
=

2
2
4
Ta có B ' K =

DC’//AB’ suy ra d ( DC '; B 'C ) = d ( DC ';( AB 'C )) = d ( D;( B ' AC ) = d ( B;( A ' AC )) = BH =

Nêu và chứng minh:

a 2
2

( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ac + bd Dấu bằng xảy ra khi ad = bc

M ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) − cd = 2d 2 + 6d + 9 − d 2 − 3d = f (d )

V
(1 điểm)

3
9
1 − 2(d + ) 2 +
Ta có
2
2
f '(d ) = (2d + 3)
2
2 d + 6d + 9
3
9

1 − 2(d + ) 2 +
Để ý rằng
2
2 < 0 với mọi d nên dấu của f’(d) chính là dấu của : 2d+3

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

2d 2 + 6d + 9

Bảng biến thiên của f(d) suy ra

3 9+6 2
f (d ) ≤ f (− ) =
2
4
9+6 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là
4

0,25
đạt khi d = −

1

3
3
;c= ;a=-b= ±
2
2
2


wWw.VipLam.Info
Giả sử elip có phương trình chính tắc

c 1
x2 y 2
+ 2 = 1 , theo đề bài e = =
2
a 2
a
b

0,25

c2 1
a 2 − b2 1
3
=
⇔
= ⇔ b2 = a2
2
2
a

4
a
4
4
2
x
4 y2
Suy ra elip có phương trình 2 + 2 = 1 ⇔ 3 x 2 + 4 y 2 = 3a 2 . Tọa độ các giao điểm A, B,
a
3a
2
2
 x + y = 16 (1)
C, D của elip và đường tròn là nghiệm của hệ :  2
2
2
3 x + 4 y = 3a (2)
Do elip và đường tròn (C) cùng nhận trục hoành và trục tung làm trục đối xứng và
AB // Ox nên A, B đối xứng với nhau qua Oy ; C, D đối xứng nhau qua Ox.
2
2
AB = 2CD ⇔ 2 x = 2.2 y ⇔ x = 4 y (3)
⇔

VI- 1
(1 điểm)

43 2 4 2
;y =
5

5
256
2
Thay vào (3) ta được a =
15
x2
y2
+
=1
Suy ra elip có phương trình 256 64
.
15
5
∈
d
∈
d
A 1 suy ra A(1+2t ; -1+t ; t) ; B 2 suy ra B(1+t’ ; 2+2t’ ; t’)
uuur
AB(t '− 2t ;3 + 2t '− t; t '− t ) .
r
(P) có VTPT n(1;1 − 2)
uuur
uuur r
AB // (P) suy ra AB.n = 0 ⇔ t ' = t − 3 . Khi đó AB = (−t − 3; t − 3; −3)

0,25

0,25

Từ (1) và (2) tìm được x 2 =

0,25
0,25

Theo đề bài AB 2 = 29 ⇔ ( t + 3) + ( t − 3) + 9 = 29 ⇔ t = ±1
uuur
Với t = 1 suy ra A(3 ;0 ;1) ; AB ( −4; −2; −3)
2

VI-2
(1 điểm)

0,25

2

0,25

 x = 3 + 4t

Suy ra ∆ :  y = 2t
 z = 1 + 3t


uuur
Với t = -1 suy ra A(-1 ;-2 ;-1) ; AB ( −2; −4; −3)

0,25

 x = −1 + 2t

Suy ra ∆ :  y = −2 + 4t
 z = −1 + 3t

Đặt z = x + iy; z ' = x '+ iy '; ( x, x ', y, y ' ∈ R )

VII.
(1 điểm)

0,25

 x 2 + y 2 = 1
z = z ' =1⇔  2
2
 x ' + y ' = 1

0,25

z + z ' = 3 ⇔ ( x + x ') + ( y + y ') = 3
2

2

0,25

(

z − z ' = ( x − x ') + ( y − y ' ) = 2 ( x 2 + y 2 ) + 2 ( x '2 + y '2 ) − ( x + x ' ) + ( y + y ')
2

= 2.1 + 2.1 − 3 = 1

2

2

2

)

0,25


wWw.VipLam.Info