BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN

BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN
Tìm miền xác định của hàm
a2 − x2 − y 2 .

1) u =

2) u = arcsin

x
.
y2

3) u = ln(2z2 – 6x2 – 3y2 – 6)

Giới hạn của hàm nhiều biến
x− y
;
x+ y

1) Chứng minh rằng đối với hàm f(x, y) =

(

)

lim⎛⎜ lim f ( x, y ) ⎞⎟ = 1 ; lim lim f ( x, y ) = −1 . Trong khi đó lim f ( x, y ) không tồn tại.
y →0 x →0
x →0 ⎝ y → 0
x →0
⎠
y →0

x2 y2
. Có lim⎛⎜ lim f ( x, y ) ⎞⎟ =
2) Chứng minh rằng đối với hàm f(x, y) = 2 2
x →0 ⎝ y →0
⎠
x y + ( x − y) 2
lim lim f ( x, y ) = 0. Nhưng không tồn tại lim f ( x, y ) .

(

y →0 x →0

)

x →0
y →0

3) Tìm các giới hạn kép sau đây:
x+ y
.
x → ∞ x − xy + y 2
y →∞

a.) lim

d) lim(x 2 + y
x →0
y →0

)

2 2
2 x y

c) lim (x 2 + y 2 )e − ( x + y ) .

sin xy
.
x →0
x
y→a

b) lim

2

⎛
y →a ⎝

1⎞
x⎠

e) lim⎜1 + ⎟
x →∞

.

x2
x+ y

x → +∞
y → +∞

.

f) lim
x →1
y →0

ln( x + e y )
x2 + y2

.

Xét sự liên tục của hàm nhiều biến
1) Chứng minh rằng hàm số:
Liên tục theo mỗi biến x và y riêng biệt (với
giá trị cố định của biến kia), nhưng không liên tục
đồng thời theo cả hai biến đó.
2) Chứng minh rằng hàm số: ⎧ x 2 y
⎪ 2
2
Liên tục tại điểm (0, 0).
⎨x + y
⎪0
⎩

⎧ 2 xy
⎪

f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2
⎪0
⎩

nếu x2 + y2 ≠ 0
nếu x2 + y2 = 0

Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến

1) Cho hàm số: f(x, y) = x + (y – 1)arcsin

x
tìm f’x(x, 1).
y

2) Cho u = x2 – 3xy – 4y2 – x + 2y + 1. Tìm

∂u
∂u
và
.
∂x
∂y

nếu x2 + y2 ≠ 0
nếu x2 + y2 = 0


3) z = e x

2

+ y2

, tìm

∂z ∂z
,
.
∂x ∂y

4) Chứng tỏ rằng, hàm z = yln(x2 – y2), thoả mãn phương trình:

1 ∂z 1 ∂z z
+
=
x ∂x y ∂y y 2

Xét sự khả vi của hàm
1) Cho hàm u = f(x, y) =

3

xy . Hàm số đó có khả vi tại điểm O(0, 0) hay không?

2) Khảo sát tính khả vi của hàm f(x, y) = e
O(0, 0).
3) Chứng minh rằng f(x, y) =

−

1

x2 + y2

khi x2 + y2 > 0 và f(0, 0) = 0 tại điểm

xy liên tục tại O(0, 0), có cả hai đạo hàm riêng f’x(0,

0), f’y(0, 0) tại điểm đó, tuy nhiên hàm này không khả vi tại O(0, 0).
xy
⎧
⎪ 2
f ( x, y ) = ⎨ x + y 2
⎪0
⎩

4) Cho hàm

nếu x2 + y2 ≠ 0
nếu x2 + y2 = 0

khi x ngoài đoạn [a, b]

Chứng minh rằng trong lân cận của điểm (0, 0), hàm liên tục và có các đạo hàm
riêng f’x(x, y), f’y(x, y) giới nội. Tuy nhiên hàm đó không khả vi tại điểm O(0, 0).

Tìm vi phân của hàm
1) Tìm du nếu:
a.) u = arctg

x+ y
.
x− y

2

b) u = x y z .

2) Bằng cách thay số gia của hàm bởi vi phân, hãy tính gần đúng:
a.)

sin 2 1.55 + 8.e 0, 015 .

b) arcrg

1,02
.
0,95

Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao
1) Cho u = ylnx. Tìm

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
,
,
.
∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

2) Cho u = sinx.siny. Tìm d2u.

3) Cho u = x2y. Tìm d3u.
Tìm cực trị của hàm nhiều biến
1) Tìm cực trị của hàm
a.) u = x2 + xy + y2 – 3x – 6y.

b) u =

1
x
y
xy + (47 – x – y)( + ).
2
3
4


c) u = x +

y2 1
+ +2.
4x y

d) u = 1 -

x2 + y2 .

2) Tìm cực trị có điều kiện của hàm: u = xy với điều kiện x2 + y2 = 2a2.
y
x

z
y

1
z

3) Tìm cực trị của hàm f(x, y, z) = x + + + .
4) Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x + y với điều kiện:

x2 y2
+ = 1.
4
9

5) Tìm cực trị của hàm f(x, y, z, u) = x + y + z + u với điều kiện:
g(x, y, z, u) = 16 – xyzu = 0.