De thi vao lop 10 cac nam

❈→❝ ❜➔✐ t❤✐ ❚♦→♥ ✈➔♦ ❝→❝
❧î♣ ✶✵ ❝❤✉②➯♥ ❝❤å♥
❍➔ ❉✉② ❍÷♥❣
◆❣➔② ✷✽ t❤→♥❣ ✾ ♥➠♠ ✷✵✵✺




ữ

t ợ P

ớ õ
ú tổ ổ ữủ ỳ ự tữ ỳ õ ữủ ởt số ở
t ợ ữớ ừ trữớ P ở õ r tr
ữợ õ r ớ ổ ỵ õ ú tổ ồ r õ s
õ ợ ồ s ử tr ỳ ở t
ợ P tỷ t rt r
ở ỡ
ữủ s ỹ tr ở t t sữ t ữủ ởt ởt số


rt t
t ỳ q t sỹ s ũ õ ữợ
t tự t t ụ õ sỹ ỗ ỵ ừ t ồ tữ tứ
ỷ

ữ

ố P ồ ữ ở
ồ ữ ở t

rt

rt ữ



ữủ t s LATEX


❍➔ ❉✉② ❍÷♥❣

❈→❝ ❜➔✐ t❤✐ ✈➔♦ ❧î♣ ✶✵ ❚❍P❚ ❈❤✉②➯♥

✸

❱➔✐ ❦➼ ❤✐➺✉ q✉② ÷î❝
✶✳ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❍❚◆ ❍➔ ◆ë✐ ✿ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ❚ü ♥❤✐➯♥ ❍➔ ◆ë✐✱ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳
✷✳ ❚❍P❚ ✿ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤æ♥❣✳
✸✳ a ∩ b ✿ a ❣✐❛♦ ✈î✐ b✳
✹✳ a

b ✿ a s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ b✳

✺✳ a ⊥ b ✿ a ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ b✳
✻✳ = ✿ ❦❤→❝ ✈â✐✳
✼✳ Z ✿ ❚➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✳
✽✳ Q ✿ ❚➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè ❤ú✉ t✛✳
✾✳ R ✿ ❚➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè t❤ü❝✳
✶✵✳ Z+ ✿ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳
✶✶✳ N ✿ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥✱ ✐❡✳ ✳✳✳ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠✳

✶✷✳ [x] ✿ P❤➛♥ ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ ♠ët sè t❤ü❝ x✱ ✐❡✳ ✳✳✳ sè ♥❣✉②➯♥ ❧î♥ ♥❤➜t ♠➔ ❦❤æ♥❣ ✈÷ñt q✉→ x✳
✶✸✳ {x} ✿ P❤➛♥ ❧➫ ❝õ❛ ♠ët sè t❤ü❝ x✱ ✐❡✳ ✳✳✳ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú x ✈➔ ♣❤➛♥ ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ ♥â✳
✶✹✳ n! ✿ ❚➼❝❤ ❝õ❛ n sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✤➛✉ t✐➯♥✳
✶✺✳ {a, b, . . .} ✿ ❚➟♣ ❤ñ♣✳
✶✻✳

√

x ✿ ❈➠♥ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝õ❛ ♠ët sè t❤ü❝ x✳


✹

❍➔ ❉✉② ❍÷♥❣

❈→❝ ❜➔✐ t❤✐ ✈➔♦ ❧î♣ ✶✵ ❚❍P❚ ❈❤✉②➯♥


▼ö❝ ❧ö❝
✶ ❚r÷í♥❣ ❚❍P❚ ❈❤✉②➯♥ ✣❍❙P ❍➔ ◆ë✐

✼

✶✳✶

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✶ ✲ ✶✾✾✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✷

◆➠♠ ❤å❝✿ ✶✾✾✷ ✲ ✶✾✾✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✸

◆➠♠ ❤å❝✿ ✶✾✾✸ ✲ ✶✾✾✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✶✳✹

◆➠♠ ❤å❝✿ ✶✾✾✼ ✲ ✶✾✾✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✺

◆➠♠ ❤å❝✿ ✶✾✾✽ ✲ ✶✾✾✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✻

◆➠♠ ❤å❝✿ ✶✾✾✾ ✲ ✷✵✵✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✶✳✼

◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✵ ✲ ✷✵✵✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✶✳✽

◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✶ ✲ ✷✵✵✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✾

◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✷ ✲ ✷✵✵✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✶✳✶✵ ◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✸ ✲ ✷✵✵✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✶✳✶✶ ◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✹✲✷✵✵✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✶✳✶✷ ◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✺✲✷✵✵✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✷ ❚r÷í♥❣ ❚❍P❚ ❈❤✉ ❱➠♥ ❆♥ ✈➔ ❍➔ ◆ë✐ ❆♠st❡r❞❛♠

✷✼

✷✳✶

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✽✾✲✶✾✾✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✷✳✷

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✶✲✶✾✾✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✸

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✷✲✶✾✾✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✾

✷✳✹

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✸✲✶✾✾✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✸ ❚r÷í♥❣ ❚❍P❚ ❈❤✉②➯♥ ✣❍❑❍❚◆ ❍➔ ◆ë✐

✸✸

✸✳✶

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✶✲✶✾✾✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✸✳✷

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✷✲✶✾✾✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

✸✳✸

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✸✲✶✾✾✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻

✸✳✹

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✹✲✶✾✾✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✽

✸✳✺

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✺✲✶✾✾✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✾

✸✳✻

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✻✲✶✾✾✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

✺


▼Ö❈ ▲Ö❈

✻
✸✳✼

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✼ ✲ ✶✾✾✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✷

✸✳✽

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✽ ✲ ✶✾✾✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✹

✸✳✾

◆➠♠ ❤å❝ ✶✾✾✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

✸✳✶✵ ◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✵✲✷✵✵✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✼

✸✳✶✶ ◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✶✲✷✵✵✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✾

✸✳✶✷ ◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✷ ✲ ✷✵✵✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✶

✸✳✶✸ ◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✸ ✲ ✷✵✵✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✷

✸✳✶✹ ◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✸ ✲ ✷✵✵✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✹

✹ ❚r÷í♥❣ ❚❍P❚ ❈❤✉②➯♥ ◆❣ú✱ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣♦↕✐ ◆❣ú
✹✳✶

◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✺✲✷✵✵✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺ ▼ët sè ❜ë ✤➲ t❤✐ ✈➔♦ ❧î♣ ✶✵ ❦❤æ♥❣ ❝❤✉②➯♥ ❚♦→♥

✺✼
✺✼

✺✾

✺✳✶

✣➲ sè ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✾

✺✳✷

✣➲ sè ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

✺✳✸

✣➲ sè ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵


ữỡ
rữớ P P ở
ồ
t tự t
ữỡ tr

y 5|x| 3 = 0
2x |y| + 3 = 0
r ởt õ õ ở t t ự ở ỹ
tr ởt tr ữủt ởt tr ữủt ộ tr t ữủ
t trứ õ ởt ữủ 6 ỏ t ộ
ữủ 0
t tú ở B.L ữủ t số tr t số tr ỏ số tr
t ừ ở B.L
r ờ tờ t s ổ ố số ừ ộ ở tự tỹ
ừ ở ở trữ ở B.L t rỗ õ t t số ừ ở
ú tr ở số ừ tt ở ỹ ữủ
ỵ ởt trồ t t t t rỗ õ ở trữ ở
B.L ổ t ú rỗ
t ú s t s
ữớ trỏ (O1 ) (O2 ) t t t A B ởt t t t
ờ q A t ữớ trỏ tự t t C t ữớ trỏ tự t D s A
tr t CD tr ừ t t CD s t BCD
tr ợ t
t ABC M N ữủt t tr AB AC
AM
AN
s
+
= 1 ự r M N ổ t ú ợ ữớ trỏ ở t
MB
NC



ì ì P P

t ABC

t ABC õ õ ồ ự r sin A + sin B + sin C <
2(cos A + cos B + cos C) tr õ A, B C õ ừ t ABC

t tự
a, b số ữỡ rút ồ tự s


a + 2 ab + 9b



2
b

a + 3 b 2 4 ab
t O ừ ổ ABCD t ởt t t t AB M t
AM
1
CD N s
= ởt I tr M N ồ d1 , d2 , d3 , d4
MB
2
tứ I ố ừ ổ s t tự tỹ d1 d2 d3 d4
ự r I tr M N t ổ õ d1 d2 = d2 d3 = d3 d4
ỳ t ABCD ởt M tũ ỵ tr ừ ỳ t
õ t ữớ t s s ợ ừ ỳ t ữớ t

ỳ t t ố ỳ t ọ ộ ỳ t ự
ởt tr ố A, B, C, D ự r t t ởt tr ỳ t
1
ự A C õ t ổ ữủt q t ỳ t ABCD
4
số tỹ ọ t 0 õ tt t t s ởt ỷ ừ õ
ữỡ ừ ởt số ởt ừ õ ữỡ ừ ởt số ởt
ừ õ ụ tứ ừ ởt số
ữỡ tr a2 |x2 2| + |a2 x2 1| + 2a2 = 1 (1) tr ừ t số
a ữỡ tr (1) õ ú tr t ủ số
r ởt s ữớ số tỹ tứ 1 12 tr ởt ỏ trỏ s
t ự số a, b, c ự t tự tỹ õ t ỗ ỗ
ữủ ữủ ụ tọ số b2 ac ổ t 13
t s s ữ õ t

ữ
r t tts
rst t
t


ữủ t s LATEX






ồ
t tự t

tr ừ a ữỡ tr s ổ

x + ay = 1
ax 3ay = 2a + 3
số y = f (x) =


x+2 x1+


x2 x1

ữỡ tr f (x) = 2
tr t ừ số y = f (x)
tr ừ m ữỡ tr x + |x2 2x + m| = 0 õ t
t m
ữớ trỏ t O ữớ AB r ữớ t AB ởt C ố
AB ứ C t t CE CF tợ ữớ trỏ ợ E
F t ồ I ừ AB EF C t t tũ ỵ t
ữớ trỏ t M N ự r AIM = BIN
ữỡ tr


x1 x2 x3 ...x1992 = 1





x1 x2 x3 ...x1992 = 1

x x x x ...x
1 2
3 4
1992 = 1

................................





x1 x2 ...x1990 x1991 x1992 = 1



x1 x2 ...x1991 x1992 = 1
ọ x1990 õ t ỳ tr
t r n số tỹ a1 , a2 , ..., an n 2 tọ ỗ tớ
0 < ai < 1, i = 1, 2, 3, ..., n
ợ ộ t tũ ỵ số 1993 t tờ ừ n số tỹ 0 1993 =
k1 + k2 + ... + kn ợ ki N tỗ t ởt ỳ số i {1, 2, ..., n} s ki ai Z
ự r a1 + a2 + ... + an Z

t tự
ự r số x y ũ (xy 0) t t ổ õ

x+y

x+y
+ xy +
xy = |x| + |y|.
2
2


❈❍×❒◆● ✶✳ ❚❘×❮◆● ❚❍P❚ ❈❍❯❨➊◆ ✣❍❙P ❍⑨ ◆❐■

✶✵

❜✮ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ s❛✉ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû

A = x10 + x5 + 1
✽✳ ❈❤♦ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ AB ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ d AB ✳ M ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣
AB ✱ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♥û❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝â ❜í ❧➔ AB ✱ ♥û❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✤â ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣
(d)✳ ●å✐ C ✈➔ D ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❝→❝ t✐❛ M A ✈➔ M B ✈î✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d)✳ ❚➻♠ t➟♣ ❤ñ♣
♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ M tr♦♥❣ ♠é✐ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♥â✐ tr➯♥ s❛♦ ❝❤♦ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ M CD ❧➔ ♥❤ä
♥❤➜t✳
✾✳ ❈❤♦ ✤❛ t❤ù❝ f (x) = ax3 + bx2 + cx + d✳
❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ f (x) ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ♥❣✉②➯♥ ✈î✐ ♠å✐ x ♥❣✉②➯♥ t❤➻ ❜è♥ sè 6a, 2b, a +
b + c, d ✤➲✉ ♥❣✉②➯♥✳
❜✮ ✣↔♦ ❧↕✐✱ ♥➳✉ ❝↔ ❜è♥ sè 6a, 2b, a + b + c, d ✤➲✉ ♥❣✉②➯♥ t❤➻ ❧✐➺✉ f (x) ❝â ♥❤➟♥ ❣✐→ trà
♥❣✉②➯♥ ✈î✐ ❜➜t ❝ù ❣✐→ trà ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦ ❝õ❛ x ❤❛② ❦❤æ♥❣❄ ❱➻ s❛♦❄
✶✵✳ ❈❤♦ ✶✵✵ sè tü ♥❤✐➯♥ ❧➫ ✤➛✉ t✐➯♥✿ 1, 3, 5, ..., 199✳ ❚➻♠ sè tü ♥❤✐➯♥ k ❜➨ ♥❤➜t s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐
❝❤å♥ k sè tò② þ tr♦♥❣ ✶✵✵ sè ✤➣ ❝❤♦ t❤➻ ❜❛♦ ❣✐í ❝ô♥❣ ❝❤å♥ ✤÷ñ❝ ❤❛✐ sè tr♦♥❣ k sè ✤➣ ❝❤å♥
♠➔ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ sè ✤â ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ sè ❦✐❛✳
✶✶✳ ▼é✐ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✤÷ñ❝ tæ ❜ð✐ ♠ët tr♦♥❣ ❜❛ ♠➔✉✿ ①❛♥❤✱ ✤ä✱ ✈➔♥❣✳ ❈❤ù♥❣
♠✐♥❤ r➡♥❣ ❜❛♦ ❣✐í ❝ô♥❣ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❝ò♥❣ ♠➔✉ ♠➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣ ❜➡♥❣
♠ët ✤ë ❞➔✐ ❝❤♦ tr÷î❝ tò② þ✳

❈♦♠♣✐❧❡❞ ❜② ❍➔ ❉✉② ❍÷♥❣ ✷
❍✐❣❤ ❙❝❤♦♦❧ ❢♦r ●✐❢t❡❞ ❙t✉❞❡♥ts
❍❛♥♦✐ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❊❞✉❝❛t✐♦♥
❍❛♥♦✐✱ ❱✐❡t♥❛♠✳

✶✳✸ ◆➠♠ ❤å❝✿ ✶✾✾✸ ✲ ✶✾✾✹
◆❣➔② t❤✐ t❤ù ♥❤➜t
✶✳ ❈❤♦ ✤❛ t❤ù❝

P (x, y) = 4xy(x2 + y 2 ) − 6(x3 + y 3 + x2 y + xy 2 ) + 9(x2 + y 2 )
❛✮ ❍➣② ♣❤➙♥ t➼❝❤ P (x, y) t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✳
❜✮ ❚➻♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë t➟♣ ❤ñ♣ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♠➔ tå❛ ✤ë (x, y) ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ P (x, y) = 0✳
✷

❚➔✐ ❧✐➺✉ ♥➔② ✤÷ñ❝ t→❝ ❣✐↔ ❜✐➯♥ s♦↕♥ ❜➡♥❣ LATEX✷❡


✶✳✸✳ ◆❿▼ ❍➴❈✿ ✶✾✾✸ ✲ ✶✾✾✹

✶✶

✷✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ABCD✱ ❜✐➳t AB CD ✈➔ AB = a, CD = b✳ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠
❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ✈➔ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ AB ❝➢t ❝→❝
√ ❝↕♥❤ ❜➯♥ AD ✈➔ BC ð E ✈➔ F ✳ ❚➼♥❤ ✤ë
❞➔✐ ✤♦↕♥ EF t❤❡♦ a, b ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ EF ≤ ab✳
✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈î✐ a > 0✱ ❤➺ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ✈æ ♥❣❤✐➺♠



4x2 < y 2 − 1


2y 2 < 2x2 + a

√

a − xy 2 < 1
2
✹✳ ❈❤♦ ❜❛ sè a, b, c ✤æ✐ ♠ët ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ c = 0✳ ❇✐➳t r➡♥❣ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ❝â ✤ó♥❣
♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣✿
x2 + ax + bc = 0 (1)

x2 + bx + ca = 0 (2)
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤â ✤➲✉ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
x2 + cx + ab = 0 (3)
✺✳ ❈❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O ❜→♥ ❦➼♥❤ R ✈➔ ♠ët ✤✐➸♠ K ❝è ✤à♥❤ ♥➡♠ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤â✳
✣➦t OK = a (0 < a < R)✳ ❍❛✐ ❞➙② ❝✉♥❣ AC ✈➔ BD ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤➣ ❝❤♦ ✈✉æ♥❣ ❣â❝
✈î✐ ♥❤❛✉ t↕✐ K ✳
❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ❜è♥ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❜è♥ ❝↕♥❤ AB, BC, CD, DA ❝õ❛ tù ❣✐→❝ ABCD
✈➔ ❜è♥ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ K tr➯♥ ❜è♥ ❝↕♥❤ ✤â ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥✳
❜✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤✐ q✉❛ t→♠ ✤✐➸♠ ♥â✐ tr➯♥ ✈➝♥ ❝è ✤à♥❤ ❦❤✐ ❝→❝ ❞➙② ❝✉♥❣
AC ✈➔ BD q✉❛② q✉❛♥❤ ✤✐➸♠ K ✭♠➔ ✈➝♥ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ♥❤❛✉✮✳ ❳→❝ ✤à♥❤ t➙♠ ✈➔ ❜→♥ ❦➼♥❤
❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤â✳
❝✮ ❱î✐ ♠é✐ ✈à tr➼ ❝õ❛ ❝→❝ ❞➙② ❝✉♥❣ AC ✈➔ BD✱ ✈➩ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t KALB ✳ ❚➻♠ t➟♣ ❤ñ♣
❝→❝ ✤➾♥❤ L ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ♥➔② ❦❤✐ AC ✈➔ BD q✉❛② q✉❛♥❤ K ✳

◆❣➔② t❤✐ t❤ù ❤❛✐
✻✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤


x + 3y


x + x2 + y 2 = 3 (1)


y − y − 3x = 0 (2)
x2 + y 2

✼✳ ❈❤♦ ✹✵ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ a1 , a2 , ..., a19 ✈➔ b1 , b2 , ..., b21 t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿

1 ≤ a1 < a2 < ... < a19 ≤ 200
1 ≤ b1 < b2 < ... < b21 ≤ 200


ì ì P P



ự r tỗ t số ai , aj , bk , bp s



ai < aj
bk < b p


aj ai = b p b k

số t tũ ỵ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 t

P = (a1 a2 )(a1 a3 )(a1 a4 )(a1 a5 )(a2 a3 )(a2 a4 )(a2 a5 )(a3 a4 )(a3 a5 )(a4 a5 )
ự rP ổ t 288
r t tồ ở ởt A(x, y) ữủ ồ x, y Z
sỷ A1 A2 A3 ...An ừ ởt n ỗ õ tt
t r õ ỗ tt tở tr tở
ổ ự t ự ởt A1 , A2 , ..., An ự
r n 4
t Ax ởt E A E Ax ứ E t Ey C D
t E trữợ tr t Ey ởt B tr t Ex ữớ t
AC BD t M AD BC t N
ự r ữớ t M N ổ t t Ey t ởt F ố
ởt tr ừ B tr t Ex s t M CD N CD
õ t

ữ
r t tts
rst t
t

ồ
t tự t
ự r ợ ồ số ữỡ n t õ 5n (5n + 1) 6n (3n + 2n ) t
91


ữủ t s LATEX

✶✳✹✳ ◆❿▼ ❍➴❈✿ ✶✾✾✼ ✲ ✶✾✾✽

✶✸

✷✳ ❈❤♦ x, y ❧➔ ❤❛✐ sè ❞÷ì♥❣ t❤❛② ✤ê✐ ❧✉æ♥ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ xy = 1✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ❧î♥ ♥❤➜t
❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ s❛✉✿
x
y
A= 4
+ 2
2
x +y
x + y4
✸✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

√

x + 1 + 2(x + 1) = x − 1 +

√

√
1 − x + 3 1 − x2

✹✳ ❳➨t ♠ët ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ✈➔ ♠ët ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝✳ ◆➳✉ ❤❛✐ ❤➻♥❤ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ t❤➻ ❤➻♥❤
♥➔♦ ❝â ❝❤✉ ✈✐ ❧î♥ ❤ì♥❄ ❱➻ s❛♦❄
✺✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ❣â❝ A = 450 ❀ BC = a❀ O ❧➔ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣❀ B , C ❧➔
❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❤↕ tø B, C ①✉è♥❣ ❝→❝ ❝↕♥❤ AC ✈➔ AB t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ●å✐ O ❧➔ ✤✐➸♠ ✤è✐
①ù♥❣ ❝õ❛ ✤✐➸♠ O q✉❛ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ B C ✳
❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ A, B , O , C ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥✳

❜✮ ❚➼♥❤ B C t❤❡♦ a✳

◆❣➔② t❤✐ t❤ù ❤❛✐
✻✳ ❱î✐ ❣✐→ trà ♥➔♦ ❝õ❛ t❤❛♠ sè a✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t

|2x − a| + 1 = |x + 3|
✼✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉


x+y =3



xz + yt = 4

xz 2 + yt2 = 6


 3
xz + yt3 = 10
✽✳ ❚➻♠ ❝→❝ ❝➦♣ sè ♥❣✉②➯♥ tè (p, q) t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿
p

2

52 + 1997 = 52q + q 2
✾✳ ❚r♦♥❣ t➜t ❝↔ tù ❣✐→❝ ❧ç✐ ✈î✐ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝â ✤ë ❞➔✐ ✤➣ ❝❤♦ ✈➔ ❣â❝ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦
❝â ✤ë ❧î♥ ✤➣ ❝❤♦✱ ①→❝ ✤à♥❤ tù ❣✐→❝ ❝â ❝❤✉ ✈✐ ♥❤ä ♥❤➜t✳
✶✵✳ ❍➣② ①➨t ①❡♠ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ✤➙② ✤ó♥❣ ❤❛② s❛✐❄ ❱➻ s❛♦❄
m √

1
√
√ ☎
☎❱î✐ ♠å✐ m, n ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✤➲✉ ❝â✿
− 2 ≥
2
n
n ( 3 + 2)

❈♦♠♣✐❧❡❞ ❜② ❍➔ ❉✉② ❍÷♥❣ ✹
❍✐❣❤ ❙❝❤♦♦❧ ❢♦r ●✐❢t❡❞ ❙t✉❞❡♥ts
❍❛♥♦✐ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❊❞✉❝❛t✐♦♥
❍❛♥♦✐✱ ❱✐❡t♥❛♠✳
✹

❚➔✐ ❧✐➺✉ ♥➔② ✤÷ñ❝ t→❝ ❣✐↔ ❜✐➯♥ s♦↕♥ ❜➡♥❣ LATEX✷❡


ì ì P P



ồ

t tự t
a, b số 0 tọ a + b = 0 ự r


1 1
1

1
1
1
+
+ 2+
=

2
2
a
b
(a + b)
a b a+b



a2 + b 2 +

a2 b 2
ab

= a+b
2
(a + b)
a+b

ỷ ử t q tr t tr tự s x =

1 + 99 ã ã ã 92 + 0, 99 ã ã ã 92
n số 9

n số 9

4x3
> 3, x > 1
(x 1)(x + 1)3

số ợ t ổ ữủt q (4 + 15)7
ự r x +

ữỡ tr


2

x + 4yz + 2z = 0
x + 2xy + 2z 2 = 0


2zx + y 2 + y + 1 = 0

tự ABCD ở t ữớ trỏ (O) ữớ t BD t t ợ (O)
t A, C ỗ q t S I ừ AC BD ự r
AB.CD = AD.BC
IB
AB.CB
SB
=
=

SD
ID
AD.CD

t tự
0 < x, y, z, t < 1 tọ xyzt = (1 x)(1 y)(1 z)(1 t) ự r

x(1 t) + t(1 z) + z(1 y) + y(1 x) 1.
số ữỡ n s số Sn = 1.2.3...7 + n(n + 1)(n + 2)...(n + 7) õ t
t ữủ ữợ tờ ữỡ ừ số ữỡ
t ữỡ tr



x4 + x2 + 1 +

x(x2 x + 1)

(x2 + 1)3
x


✶✳✻✳ ◆❿▼ ❍➴❈✿ ✶✾✾✾ ✲ ✷✵✵✵

✶✺

✾✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝➙♥ ð B ✱ ❝↕♥❤ ❜➯♥ AB ❧î♥ ❤ì♥ ❝↕♥❤ ✤→② AC ✈➔ ❜✐➳t ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠
❣✐→❝ ABC ❜➡♥❣ 1✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ t❛ ❝â
√ t❤➸ ✤➦t t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❧åt ✈➔♦ ♠ët ♠✐➲♥ t❛♠

❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❦❤æ♥❣ ✈÷ñt q✉→ 3✳
✶✵✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ABCD ✈➔ ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✳
✶✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ M A + M B + M C + M D ≤ AB + AC + AD
✷✮ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ✈à tr➼ ❝â t❤➸ ❝â ❝õ❛ ✤✐➸♠ M s❛♦ ❝❤♦ M A.M C ≤ M B.M D✳

❈♦♠♣✐❧❡❞ ❜② ❍➔ ❉✉② ❍÷♥❣ ✺
❍✐❣❤ ❙❝❤♦♦❧ ❢♦r ●✐❢t❡❞ ❙t✉❞❡♥ts
❍❛♥♦✐ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❊❞✉❝❛t✐♦♥
❍❛♥♦✐✱ ❱✐❡t♥❛♠✳

✶✳✻ ◆➠♠ ❤å❝✿ ✶✾✾✾ ✲ ✷✵✵✵
◆❣➔② t❤✐ t❤ù ♥❤➜t
✶✳ ✭❛✮ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ❜✐➸✉ t❤ù❝ s❛✉✿

1999
1
A=
1000
1+
1
1+

1999
... 1 +
2
1000
1+
... 1 +
2
1+

1999
1000
1000
1999

✭❜✮ ❈❤♦ a ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❜➡♥❣ 222 ❝❤ú sè 9✳ ❍➣② t➼♥❤ tê♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ❝õ❛ sè
n = a2 + 1✳
✷✳ ✭❛✮ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

x(x + 1) +

x(x + 2) =

x(x − 3)✳

✭❜✮ ❚➻♠ a ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t

x2 − (3a − 2)x + 2a2 − 5a − 3
=0
x2 + 5x − 14
✸✳ ❈❤♦ x, y, z > 0✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿

x6

2x
2y
2z
1
1

1
+ 6
+ 6
≤ 4+ 4+ 4
4
4
4
+y
y +z
z +x
x
y
z

✹✳ ❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë Oxy ❝❤♦ ❤❛✐ ✤✐➸♠ A(−3, 0) ✈➔ B(−1, 0)✳ ❳➨t ❤❛✐ ✤✐➸♠ M ✈➔ N
t❤❛② ✤ê✐ tr➯♥ trö❝ t✉♥❣ s❛♦ ❝❤♦ AM ✈➔ BN ❧✉æ♥ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ♥❤❛✉✳
✺

❚➔✐ ❧✐➺✉ ♥➔② ✤÷ñ❝ t→❝ ❣✐↔ ❜✐➯♥ s♦↕♥ ❜➡♥❣ LATEX✷❡


✶✻

❈❍×❒◆● ✶✳ ❚❘×❮◆● ❚❍P❚ ❈❍❯❨➊◆ ✣❍❙P ❍⑨ ◆❐■
✭❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ AN ✈➔ BM ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ♥❤❛✉ ✈➔ t➼❝❤ OM.ON ❦❤æ♥❣ ✤ê✐ ❦❤✐
M, N ❜✐➳♥ t❤✐➯♥✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ M N ❧✉æ♥ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❝è
✤à♥❤✳ ❚➻♠ tå❛ ✤ë ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❝è ✤à♥❤ ♥➔②✳
✭❜✮ ❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ AM N ✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M, N
s❛♦ ❝❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ AM N ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♥❤ä ♥❤➜t✳

◆❣➔② t❤✐ t❤ù ❤❛✐
✺✳ ✭❛✮ ●✐↔✐ ✈➔ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ t❤❡♦ a ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿

√
(x2 − 5x + 6) x2 − 5ax + 6a2 = 0
✭❜✮ ❱î✐ ❣✐→ trà ♥➔♦ ❝õ❛ a ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤


1 1


x
+
y
+
+ =4


x y

√
1
1


x2 + y 2 + 2 + 2 = 2 − a2 +
x
y

2−

a2 + 1
1
+
a2
a

❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ♥❣❤✐➺♠ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x > 0, y > 0✳ ❱î✐ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ a ✈ø❛
t➻♠ ✤÷ñ❝✱ ❤➣② t➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦✳
✻✳ ✭❛✮ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤❛✐ ➞♥ s❛✉✿

2x = 2y
2y = 2x
✭❜✮ ❈❤♦ P (x) ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ✸ ✈î✐ ❤➺ sè ❝õ❛ x3 ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥✳ ❇✐➳t r➡♥❣
P (1999) = 2000 ✈➔ P (200) = 2001✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ P (2001) − P (1998) ❧➔ ♠ët
❤ñ♣ sè✳
✼✳ ❈❤♦ x1 , x2 , x3 , x4 ❧➔ ✹ sè ❞÷ì♥❣ t❤❛② ✤ê✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x1 + x2 + x3 + x4 = 1✳ ❍➣②
t➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝✿

T =

x41 + x42 + x43 + x44
x31 + x32 + x33 + x34

✽✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ❝→❝ ❝↕♥❤ ❦❤æ♥❣ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ●å✐ G ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝❀
A1 , B1 , C1 t❤❡♦ t❤ù tü ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝õ❛ A, B, C q✉❛ G✳ ❇✐➳t AB = 2BC ✈➔ ❞✐➺♥
t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ A1 B1 C1 ❜➡♥❣ 72✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♠✐➲♥ ❧ö❝ ❣✐→❝ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC
✈➔ A1 B1 C1 ✳

ồ
t tự t
ữỡ tr

x3 +

x3
3x2
2=0
+
(x 1)3 x 1

x, y, z số tỹ tũ ỵ tọ

x+y+z =0
1 x, y, z 1
ự r x2 + y 4 + z 6 2 tự õ t r ữủ ổ
tt số tố P õ P = nn + 1 tr õ n ởt số ữỡ
t r P õ ổ ỡ ỳ số
sỷ P ởt t tr t ừ ởt t ABC trữợ
r ữớ t BC, CA AB ữủt A , B C s P A , P B
P C t tự tỹ s s ợ AB, BC CA
ố ỳ ở ừ t A B C ợ tứ
P ừ t ABC ự r õ ởt P t
s t A B C t
ự r ợ ồ P tr t ABC t õ BP C B A C =

CP A C B A = AP B A C B (= ) tr ổ
ử tở tr ừ P
q t P tr t ABC s t A B C ổ
A ró ỹ q t

t tự
ự r

2+

ữỡ tr s


3 4... 2000 < 3

3 2
2

x (y + 3y + 3) = 3y
y 3 (z 2 + 3z + 3) = 3z 2

3 2
z (x + 3x + 3) = 3x2

tt ở số tỹ ợ ỡ 1 tọ s t ừ số t
tr số ở ợ 1 t số tự


❈❍×❒◆● ✶✳ ❚❘×❮◆● ❚❍P❚ ❈❍❯❨➊◆ ✣❍❙P ❍⑨ ◆❐■

✶✽
✽✳ ✭❛✮

✭❉➔♥❤ r✐➯♥❣ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ t❤✐ ❈❤✉②➯♥ ❚♦→♥✮

❚❛♠ ❣✐→❝ XY Z ❝â ❝→❝ ✤➾♥❤
X, Y, Z ❧➛♥ ❧÷ñt ♥➡♠ tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❣å✐ ❧➔ ♥ë✐
t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳
✐✳ ●å✐ Y ✈➔ Z ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ❝õ❛ Y ✈➔ Z tr➯♥ ❝↕♥❤ BC ✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
1
r➡♥❣ ♥➳✉ t❛♠ ❣✐→❝ XY Z ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈î✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❤➻ Y Z = BC ✳
2
✐✐✳ ❚r♦♥❣ sè ♥❤ú♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ XY Z ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ ✈➔ ✤ç♥❣
❞↕♥❣ ✈î✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✱ ❤➣② ①→❝ ✤à♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♥❤ä ♥❤➜t✳

✭❜✮

✭❉➔♥❤ r✐➯♥❣ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❈❤✉②➯♥ ❚✐♥✳✮

❈♦♠♣✐❧❡❞ ❜② ❍➔ ❉✉② ❍÷♥❣ ✻
❍✐❣❤ ❙❝❤♦♦❧ ❢♦r ●✐❢t❡❞ ❙t✉❞❡♥ts
❍❛♥♦✐ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❊❞✉❝❛t✐♦♥
❍❛♥♦✐✱ ❱✐❡t♥❛♠✳

✶✳✽ ◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✶ ✲ ✷✵✵✷
◆❣➔② t❤✐ t❤ù ♥❤➜t
✶✳ ❳➨t ✤❛ t❤ù❝

P (x) = (1 − x + x2 − x3 + ... + x1998 − x1999 + x2000 )(1 + x + x2 + ... + x1999 + x2000 )
❑❤❛✐ tr✐➸♥ ✈➔ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ❝â t❤➸ ✈✐➳t

P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a4000 x4000
❚➼♥❤ a2001 ❄
✷✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
√
√
√
√
3x2 − 7x + 3 − x2 − 2 = 3x2 − 5x − 1 − x2 − 3x + 4
✸✳ ❚➻♠ ❜❛ ❝❤ú sè ❤➔♥❣ ✤ì♥ ✈à✱ ❤➔♥❣ ❝❤ö❝✱ ❤➔♥❣ tr➠♠ ❝õ❛ sè A = 266

2001

✳

✹✳ ❈❤♦ a, b ❧➔ ❤❛✐ sè ❞÷ì♥❣✳ ❇✐➳t r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

x3 − x2 + 3ax − b = 0
❝â ❜❛ ♥❣❤✐➺♠ ✭❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ♣❤➙♥ ❜✐➺t✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣
✻

❚➔✐ ❧✐➺✉ ♥➔② ✤÷ñ❝ t→❝ ❣✐↔ ❜✐➯♥ s♦↕♥ ❜➡♥❣ LATEX✷❡

a3
+ 27b ≥ 28✳
b3

ồ A , B , C ữủt tr ừ BC, CA, AB ổ ự
A, B, C ừ ữớ trỏ t t ABC BC, CA, AB t
t C A , A B ; A B , B C B C , C A ữủt M, N ; P, Q
R, S ự r
rỹ t H ừ t A B C trũ ợ t I ừ ữớ trỏ ở t t
ABC
ữớ M Q, N R P S ừ ử M N P QRS ỗ q t I
t M N, P Q, RS õ ở t ABC
ởt t

t tự
ợ ộ số k ữỡ t



Sk = ( 2 + 1)k + ( 2 1)k

ự r Sm+n + Smn = Sm .Sn ợ ồ m, n ữỡ tọ
m > n
n ởt số ữỡ ự r tờ Tn = 15 + 25 + ... + n5 t
tờ ừ n số tỹ t An = 1 + 2 + 3 + ... + n
tt số ữỡ p > 1 s ữỡ tr s õ t

x3 + px2 + p 1 +
ữỡ tr

1
x+1=0

p1


3
3
2

x + y + x (y + z) = xyz + 14
y 3 + z 3 + y 2 (z + x) = xyz 21

3
z + x3 + z 2 (x + y) = xyz + 7

t ABC A x, y, z ữủt M A , M B , M C tứ ởt
M tr t ừ t ữớ t BC, CA, AB q
t ỳ M tr õ BAC s x2 = yz

ữ
r t tts
rst t
t



ữủ t s LATEX


ì ì P P

ồ

t tự t
ự tự





3
1+
2

+
3
1+
1
2

1+

=1
3
1
2

ữỡ tr

x3 x2 x =

ữỡ tr s

3
2

1

1
3




x + y = 4z 1
y + z = 4x 1



z + x = 4y 1

tt số õ ỳ số abcde s
3

abcde = ab

ữớ trỏ (O) ở t tr t ABC t ú ợ BC, CA, AB t
tự tỹ t D, E, F ữớ t ổ õ ợ OC O t CA, CB ữủt
t ởt P ở tr ọ DE ổ ự t t t
P ừ (O) t CA, CB M, N ự r
õ M ON = ổ ờ t õ ừ t ABC

t IM O, OM N, JON ỗ ợ ứ õ s r

IM.JN = OI 2 = OJ 2 ()
M N t tự tỹ tr t CE CD
tọ () t M N t ú ợ ữớ trỏ (O)

t tự
ự r số x0 =
tr

2+

2+



3

63 2+

x4 16x2 + 32 = 0



3 ởt ừ ữỡ


✶✳✶✵✳ ◆❿▼ ❍➴❈ ✷✵✵✸ ✲ ✷✵✵✹

✷✶

✼✳ ❈❤♦ x > 0, y > 0 t❤ä❛ ♠➣♥✿x + y ≥ 6✳ ❍➣② t➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ s❛✉

P = 3x + 2y +

6 8
+
x y

✽✳ ❈❤♦ sè ♥❣✉②➯♥ tè p > 3✳ ❇✐➳t r➡♥❣✱ ❝â sè tü ♥❤✐➯♥ n s❛♦ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❝→❝❤ ✈✐➳t t❤➟♣ ♣❤➙♥
❝õ❛ sè pn ❝â ✤ó♥❣ 20 ❝❤ú sè✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ tr♦♥❣ 20 ❝❤ú sè ♥➔② ❝â ➼t ♥❤➜t ✸ ❝❤ú sè
❣✐è♥❣ ♥❤❛✉✳
✾✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M, N ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❝↕♥❤ CA, CB ✳
✭❛✮ ▲➜② ■ ❜➜t ❦➻ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ M N ✭I = M, I = N ✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ tr♦♥❣ ❜❛
t❛♠ ❣✐→❝ IBC, ICA, IAB ❝â ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ♠➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ tê♥❣ ❝→❝ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛
❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❝á♥ ❧↕✐✳
✭❜✮ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ I ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t✐❛ N M ✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿
CA AB
BC
=
+
IA
IB
IC
✶✵✳ ❈❤♦ sè tü ♥❤✐➯♥ n > 1 ✈➔ n + 2 sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ a1 , a2 , ..., an+2 t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿

1 ≤ a1 < a2 < ... < an+2 ≤ 3n
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ ❤❛✐ sè ai , aj ✭1 ≤ j < i ≤ n + 2✮ s❛♦ ❝❤♦✿

n < ai − aj < 2n

❈♦♠♣✐❧❡❞ ❜② ❍➔ ❉✉② ❍÷♥❣ ✽
❍✐❣❤ ❙❝❤♦♦❧ ❢♦r ●✐❢t❡❞ ❙t✉❞❡♥ts
❍❛♥♦✐ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❊❞✉❝❛t✐♦♥
❍❛♥♦✐✱ ❱✐❡t♥❛♠✳

✶✳✶✵ ◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✸ ✲ ✷✵✵✹
◆❣➔② t❤✐ t❤ù ♥❤➜t
✶✳

✭✶✤✐➸♠✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ s❛✉ ❝â ❣✐→ trà ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ①✿
A=

✽

√

3

x+

4

√
6
3. 7 + 4 3 − x
√
√
√

9 − 4 5. 2 + 5 + x
2−

√

❚➔✐ ❧✐➺✉ ♥➔② ✤÷ñ❝ t→❝ ❣✐↔ ❜✐➯♥ s♦↕♥ ❜➡♥❣ LATEX✷❡


❈❍×❒◆● ✶✳ ❚❘×❮◆● ❚❍P❚ ❈❍❯❨➊◆ ✣❍❙P ❍⑨ ◆❐■

✷✷
✷✳

✭✷ ✤✐➸♠✮ ❱î✐ ♠é✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ♥✱ ✤➦t P

n

= 1.2.3...n✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿

✭❛✮ 1 + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 + ... + n.Pn = Pn+1
2
3
n−1
1
+
+
+ ... +
<1
✭❜✮
P2 P3 P4

Pn

✸✳

✭✷ ✤✐➸♠✮ ❚➻♠ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ♥ s❛♦ ❝❤♦ ❤❛✐ sè x = 2n + 2003, y = 3n + 2005 ✤➲✉

✹✳

✭✷ ✤✐➸♠✮ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ➞♥ x✿

❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ❝❤➼♥❤ ♣❤÷ì♥❣✳

(2x2 − 4x + a + 5)(x2 − 2x + a)(|x − 1| − a − 1) = 0
✭❛✮ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈î✐ a = −1
✭❜✮ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ t❤❛♠ sè a ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❝â ✤ó♥❣ ❜❛ ♥❣❤✐➺♠
♣❤➙♥ ❜✐➺t✳

✺✳

✭✸ ✤✐➸♠✮

◗✉❛ ♠ët ✤✐➸♠ ▼ tò② þ ✤➣ ❝❤♦ tr➯♥ ✤→② ❧î♥ ❆❇ ❝õ❛ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ABCD t❛ ❦➫
❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ AC ✈➔ BD✳ ❈→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣
♥➔② ❝➢t ❤❛✐ ❝↕♥❤ BC ✈➔ AD ❧➛♥ ❧÷ñt t↕✐ E ✈➔ F ✳ ✣♦↕♥ EF ❝➢t AC ✈➔ BD t↕✐ I ✈➔ J
t÷ì♥❣ ù♥❣✳
✭❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ H ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤♦↕♥ IJ t❤➻ H ❝ô♥❣ ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛
✤♦↕♥ EF ✳
✭❜✮ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ AB = 2CD✱ ❤➣② ❝❤➾ r❛ ✈à tr➼ ❝õ❛ ♠ët ✤✐➸♠ M tr➯♥ AB s❛♦ ❝❤♦
EJ = IJ = IF ✳

◆❣➔② t❤✐ t❤ù ❤❛✐
✻✳

✭✷ ✤✐➸♠✮ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ s❛✉✿
(20032 .2013 + 31.2004 − 1)(2003.2008 + 4)
P =
2004.2005.2006.2007.2008

✼✳

✭✷ ✤✐➸♠✮ ❈❤♦ ❜❛ sè x , x , x
1

2

3

❦❤→❝ 0✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿


x1 + x2 + x3 = a
x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 0


x1 x2 x3 = b

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ab < 0✳

✽✳

✭✷ ✤✐➸♠✮ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿
(ax2 + bx + c)(cx2 + bx + a) = 0
√
tr♦♥❣ ✤â a, b, c ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ♥❣✉②➯♥ ✤➣ ❝❤♦ ✭a, c = 0✮✱ ❜✐➳t r➡♥❣ x = ( 2 + 1)2 ❧➔ ♠ët
♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔②✳







a, b, c số ữỡ ổ ởt tr ợ t ừ
tự s

P =

(b x)(b y)
(c x)(c y)
(a x)(a y)
+
+
a(a b)(a c) b(b c)(b a) c(c a)(c b)

tr õ x, y số ữỡ t ờ ổ õ tờ


A ởt ố tr ữớ trỏ (C) t O 1 sỷ M

õ ổ ừ ởt t ổ ABM ợ AB ởt

ừ ữớ trỏ (C)

ự r OM 2
õ ró ỹ õ ổ ừ t
ổ ABM õ
AB ởt ừ ữớ trỏ (C) OM = 2

ồ
t tự t
ữỡ tr

x2 xy + y 2 = 19
x4 + x2 y 2 + y 4 = 931

ự r ữỡ tr s ổ

(x + 2) x + 1 = 2x + 1

ự r
3


3+2 2+

3


32 2

8

> 36

ởt số tỹ n ồ õ t t T tỗ t số tỹ p q tọ
0 < p < q < n tờ p + (p + 1) + (p + 2) + ... + q t n
ự r số n = 185
52004

ọ số n = 16

2004

õ t t T

õ t t T ổ

t ABC

õ ABC = 400 P tr t s P AC =
100 , P CA = 200 , P AB = 300 sỷ Q ố ự ừ P q ữớ tr trỹ ừ
AB
CP Q t
õ CP B


❈❍×❒◆● ✶✳ ❚❘×❮◆● ❚❍P❚ ❈❍❯❨➊◆ ✣❍❙P ❍⑨ ◆❐■

✷✹

◆❣➔② t❤✐ t❤ù ❤❛✐

❈➙✉ ✻✳ ❈❤♦ x, y, z ❧➔ ❜❛ sè ❞÷ì♥❣ t❤❛② ✤ê✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x + y + z = 3✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä
♥❤➜t ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝

1
1
1
P =√ +√ +√
y
x
z

❈➙✉ ✼✳ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜ë ❜❛ sè ❞÷ì♥❣ (x, y, z) t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

2004

= y6 + z6
2x
2y 2004 = z 6 + x6

 2004
2z
= x6 + y 6

❈➙✉ ✽✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
√
√
√
√
3(x − 1)(x − 3)
4(x − 1)(x − 2)

2(x − 2)(x − 3)
√
√
√
√ + √
√
√ = 3x − 1
+ √
(1 − 2)(1 − 3)
( 2 − 1)( 2 − 3) ( 3 − 1)( 3 − 2)

❈➙✉ ✾✳ ▼é✐ ❜ë ❜❛ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ (x, y, z) t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
x2 + y 2 + z 2 = 3xyz
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔②✳
✭❛✮ ❍➣② ❝❤➾ r❛ ❜è♥ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦✳
✭❜✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❝â ✈æ sè ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳

❈➙✉ ✶✵✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ (O)✳ ▼ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (∆) t❤❛② ✤ê✐

♥❤÷♥❣ ❧✉æ♥ ✤✐ q✉❛ A✱ ❝➢t ❤❛✐ t✐➳♣ t✉②➳♥ t↕✐ B ✈➔ C ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ (O) t÷ì♥❣ ù♥❣ t↕✐ M ✈➔
N ✳ ●✐↔ sû (∆) ❝➢t ❧↕✐ ✤÷í♥❣ trá♥ (O) t↕✐ E ✭E = A✮❀ M C ❝➢t BN t↕✐ F ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿
✭❛✮ ❚❛♠ ❣✐→❝ ACN ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈î✐ t❛♠ ❣✐→❝ M BA✱ t❛♠ ❣✐→❝ M BC ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈î✐ t❛♠ ❣✐→❝
BCN ✳
✭❜✮ ❚ù ❣✐→❝ BM EF ❧➔ tù ❣✐→❝ ♥ë✐ t✐➳♣✳
✭❝✮ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ EF ❧✉æ♥ ✤✐ q✉❛ ♠ët ✤✐➸♠ ❝è ✤à♥❤ ❦❤✐ (∆) t❤❛② ✤ê✐ ♥❤÷♥❣ ❧✉æ♥ ✤✐ q✉❛ A✳

❈♦♠♣✐❧❡❞ ❜② ❍➔ ❉✉② ❍÷♥❣ ✾
❍✐❣❤ ❙❝❤♦♦❧ ❢♦r ●✐❢t❡❞ ❙t✉❞❡♥ts
❍❛♥♦✐ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❊❞✉❝❛t✐♦♥
❍❛♥♦✐✱ ❱✐❡t♥❛♠✳

✾

❚➔✐ ❧✐➺✉ ♥➔② ✤÷ñ❝ t→❝ ❣✐↔ ❜✐➯♥ s♦↕♥ ❜➡♥❣ LATEX✷❡


✶✳✶✷✳ ◆❿▼ ❍➴❈ ✷✵✵✺✲✷✵✵✻

✷✺

✶✳✶✷ ◆➠♠ ❤å❝ ✷✵✵✺✲✷✵✵✻

◆❣➔② t❤✐ t❤ù ♥❤➜t

✶✳ ❈❤♦ x, y ❧➔ ❝→❝ sè t❤❛② ✤ê✐ t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x > 0 > y ✈➔ x + y = 1✳
✭❛✮ ❘ót ❣å♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝

A=

y−x
y2
2x2 y
x2
:
−
+
xy
(x − y)2 (x2 − y 2 )2 y 2 − x2

✭❜✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ A < 4✳
✷✳ ❈❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ 4x2 − 4(m + 5)x + 2m2 + 4m + 34 = 0✱ tr♦♥❣ ✤â m ❧➔ t❤❛♠ sè t❤ü❝✳

✭❛✮ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦❤✐ m = 1✳
✭❜✮ ❍➣② ①→❝ ✤à♥❤ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ m ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳
✸✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉



x + y + z = 6
xy + yz − zx = 7

 2
x + y 2 + z 2 = 14

✹✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ∆ABC ❝➙♥ ð B ❝â ∠ABC = 400 ✳ ●å✐ O ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣
AC ✱ ❝á♥ K ❧➔ ❝❤➙♥ ✤÷í♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ❝õ❛ O ❤↕ ①✉æ♥❣ ❝↕♥❤ AB ✳ ❑➼ ❤✐➺✉ ω ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥
t➙♠ O ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ ❧➔ OK ✳
✭❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ω t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ BC ✳
✭❜✮ ●✐↔ sû r➡♥❣ E ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ t❤❛② ✤ê✐ tr➯♥ ❝↕♥❤ AB s❛♦ ❝❤♦ ∠AOE = α ✈î✐ ✭200 <
α < 900 ✮✱ ✈➔ F ❧➔ ✤✐➸♠ tr➯♥ ❝↕♥❤ BC s❛♦ ❝❤♦ EF t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ω ✳ ❑❤✐ ✤â
✐✳ ❍➣② t➼♥❤ t❤❡♦ α ❝→❝ ❣â❝ ❝õ❛ tù ❣✐→❝ AEF C ✳
✐✐✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ∆AEO ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈î✐ t❛♠ ❣✐→❝ ∆COF ✳
✐✐✐✳ ❚➻♠ α ✤➸ AE + CF ❧➔ ❜➨ ♥❤➜t✳
✺✳ ❈❤♦ x, y, z ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ t❤♦↔ ♠➣♥

4x2 + 2y 2 + 2z 2 − 4xy − 4xz + 2yz − 6y − 10z + 34 = 0
❍➣② t➼♥❤ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ S = (x − 4)2005 + (y − 4)2005 + (z − 4)2005 ✳

◆❣➔② t❤✐ t❤ù ❤❛✐
✻✳ ❈❤♦

P (x) =

3
x−
2

3

1
+ x+
2

3

+(x + 1)3 + (x + 2)3

t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ❝â t❤➸ ✈✐➳t P (x) ❞÷î✐ ❞↕♥❣ P (x) = ax3 + bx2 + cx + d✳ ❍➣② ①→❝
✤à♥❤ tê♥❣ a + b + c + d✳