Đề thi vào lớp 10 chuyên năm học 2007 - 2008 TPHCM

Lê Trọng Châu – ST&GT
Đề thi vào lớp 10 chuyên năm học 2007 - 2008 TP Hồ Chí
Minh
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP.HCM
NĂM HỌC 2007-2008
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4 điểm)
a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:
x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
= x(y + z + t).
Ðẳng thức xảy ra khi nào?
b) Chứng minh với mọi số thực a, b khác không ta luôn có bất dẳng thức sau:
Câu 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình sau:
x
2
– xy = 6x – 5y – 8.
Câu 3: (4 điểm)
Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 24.
b) Tìm m dể phuong trình có nghiệm.
Câu 4: (2 điểm)
Cho . Tính S = x + y.
Câu 5: (2 điểm)

Cho a, b là các số nguyên dương sao cho cũng là số nguyên. Gọi d là uớc số
chung của a và b. Chứng minh .
Câu 6: (6 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đuờng tròn (O) (AB < AC). Các tiếp tuyến với
(O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Ðuờng thẳng MN cắt đuờng tròn
(O) tại M và P.
a) Cho biết , tính độ dài đoạn BC.
Lê Trọng Châu – ST&GT
b) Chứng minh .
c) Chứng minh BC, ON và AP đồng qui.
Hướng dẫn
Bài 1
a) Ta có: x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
= x(y + z + t). (1)
4x
2
+ 4y
2
+ 4z
2
+ 4t
2
= 4x(y + z + t) (x

2
– 4xy + 4y
2
) + (x
2
– 4xz + 4z
2
) + (x
2
– 4xt + 4t
2
) + x
2
= 0
(x – 2y)
2
+ (x – 2z)
2
+ (x – 2t)
2
+ x
2
= 0 ( 2)
Ta có (2) luôn đúng với mọi x, y, z và t. Vậy (1) đuợc chứng minh.
Ðẳng thức xảy ra x – 2y = x – 2z = x – 2t = x = 0
x = y = z = t = 0.
b) Ðặt . Ta có . (*)
* Nếu thì T – 1 > 0 và nên (*) đúng.
* Nếu thì T – 1 < 0 và T – 2 < 0 nên (*) đúng.
Vậy với mọi số thực a, b khác không ta luôn có .

Bài 2
Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình x
2
– xy = 6x – 5y – 8 (1)
Ta có: (1) x
2
– 6x + 8 = y(x – 5) (2)
(vì x = 5 không là nghiệm của (2))
.
Vì x, y nguyên nên x – 5 {– 1; 1; 3; – 3} hay x {4; 6; 8; 2 }
* Khi x = 2 thì y = 0 (thỏa)
* Khi x = 4 thì y = 0 (thỏa)
* Khi x = 6 thì y = 8 (thỏa)
* Khi x = 8 thì y = 8 (thỏa).
Vậy các nghiệm nguyên (x; y) của (1) là (2; 0), (4; 0), (6; 8) và (8; 8).
Bài 3:
Cho hệ phương trình (A)
a) Khi m = 24 thì (A) (B)
Ðặt u = x
2
+ 2x = (x + 1)
2
– 1 –1 và v = y
2
+ 2y = (y + 1)
2
– 1 – 1.
Ta duợc (B)
Vậy khi m = 24 thì (A) có các nghiệm (x; y) là: (1; 2), (1; –4); (–3; 2); (– 3; – 4), (2; 1), (2; – 3),
(– 4; 1) và (– 4; – 3).

b) Tìm m dể phương trình có nghiệm.
Ðặt u = x
2
+ 2x + 1= (x + 1)
2
= 0 và v = y
2
+ 2y +1 = (y + 1)
2
= 0.
Ta duợc (A) trở thành
u, v lần luợt là các nghiệm của phuong trình X
2
– 13X + m + 12 = 0 (C )
Do dó: (A) có nghiệm (C ) có 2 nghiệm X
1
, X
2
0.
. ??
Lê Trọng Châu – ST&GT
Câu 5: (2 điểm)
Ta có = là số nguyên dương
nguyên dương
mà mà
(ÐPCM)
Bài 6:
Hình vẽ:
– NB = NC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
– OB = OC = R

Do dó: ON là trung trực của BC. Gọi K là giao diểm của ON và BC thì K là trung diểm BC. Ta
có: tam giác OBN vuông tại B có BK là duờng cao
Kết hợp với giả thiết ta suy ra: BK
2
= 16 BK = 4 BC = 8.
b) Ta có tam giác NBP dồng dạng tam giác NMB (g– g)
Tuong tự tam giác NCP dồng dạng tam giác NMC( g– g)
mà NC = NB (3)
Từ (1), (2) và (3)
Lê Trọng Châu – ST&GT
Mặt khác AM // BC tứ giác AMCB là hình thang cân MC = AB và MB = AC (5)
Từ (4) và (5) (ÐPCM)
c) Gọi Q là giao điểm của AP và BC. Ta chứng minh BQ = QC.
Xét tam giác BQP dồng dạng với tam giác AQC (g– g)
Tương tự tam giác CQP đồng dạng với tam giác AQB (g – g)
Kết hợp (6), (7) và kết quả câu b) ta suy ra Q là trung diểm
BC Q trùng K. Vậy BC, ON và AP dồng qui tại K.