Tuyển tập hệ phương trình có giải chi tiết

Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

HỆ PHƢƠNG TRÌNH

a2 1
 xa  ya  za 3
a

Bài 1. Giải hệ phương trình: 
 x, y  

a2 1
 ax  ay  az 3
a

(Trích đề thi thử tuyển sinh quốc gia số 19 – 2015)
Giải

Xét các véc-tơ: u 





x  a; y  a; z  a , v  1;1;1

   u .v
2

  x  a  y  a  z  a   3  3a  x  y  z 
1
2
Tương tự  a  x  a  y  a  z   3  3a  x  y  z   2 
2
2
  x  a  y  a  z  a    a  x  a  y  a  z   18a
 u.v

2

2

2

Mà cộng hai phương trình của hệ ta có:



xa  ya  za

 
2

ax  ay  az



2

 18a

Tức là dấu đẳng thức phải xảy ra trong các bất đẳng thức (1) và (2), hay:

a2 1
 xa  ya  za 
1
a

xyz

2
a

a 1
a

x

a

y

a

z


a


1
Vậy hệ phương trình có nghiệm là x  y  z 
a







 2x  1  4x 2 y  1  y 2  1

Bài 2. Giải hệ phương trình 
 x x  y  xy  1  2xy  x  y  1

(Trích Trƣờng THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh lần 1 – 2015)
Giải

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 1


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế







 2x  1  4x 2 y  1  y 2  1


 x x  y  xy  1  2xy  x  y  1


1
 2

20152016

. Điều kiện x  y  xy  1  0 * .

Vì t  1  t 2  0 nên

1  2x 

1  4x 2  1  y 2  y  2x  y 

  2x  y 

 1  4x

2



4x 2  y 2

1  4x  1  y
2

2

0

 1  y 2  2x  y  0  2x  y  0  y  2x

Thay y  2x vào (2) ta được x 3x  2x 2  1  4x 2  3x  1

x x

3
1
3 1 
3 1

 2  2  x 2  4   2  . Đặt t   2
x
x
x x
x
x 


Khi x  0 ta được

x

t  2  t  4  t  7 . Từ đó kết hợp với x  0 ta được

3  37
3  37
;y  
thỏa mãn điều kiện (*)
14
7

Khi x  0 ta được  t  2  t  4  t  2 . Từ đó kết hợp với x  0 ta được

x

3  17
17  3
;y 
thỏa mãn điều kiện (*). Vậy hệ có 2 cặp nghiệm…
4
2

2
2

 x  4y  x  5   1  4y  x  2 2y
Bài 3. Giải hệ phương trình 
 x, y  
4y
x

4


x

2
x

1




(Trích Tƣờng THPT Chuyên Quốc học – Huế lần 1 – 2015)
Giải
2
2

 x  4y  x  5   1  4y  x  2 2y 1

 2

4y  x  4   x  2 x  1

x  1
Điều kiện 
. Với điều kiện đó
y  0

1  x 2  4xy  20y  1  4y2  x  2 2y
 2  4xy  16y  2 x  1  x . Thay vào (1) ta có
x 2  2 x  1   2y  1  2

2

 2y  1  1

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 2


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

Xét hàm số u  g  t   t 2  2 t  1 với t  1;   . Hàm số này luôn đồng biến.
Vì thế x 2  2 x  1   2y  1  2

 2y  1  1  x  2y  1  x  1  2y

2

Thay vào (2) ta được

2x 2  9x  8  2 x  1  2  x  2  
2





 x  1  2x  2 2  1
2
x 1  1  
 x  1   2x  2 2  1





2x 2  9  2 2 x  10  4 2  0

x  1  2x  2 2  1  

 2x  2 2  1  0









Phương trình bậc hai 2x 2  9  2 2 x  10  4 2  0 có Δ  2 2  1
hai nghiệm là x1 

52 2
; x 2  2 . Nghiệm x 2 bị loại vì
2

Hoàn toàn tương tự ta có

x  1   2x  2 2  1  x 

2

nên có

2x 2  2 2  1  0

52 2
2

 5 2 2 32 2 
 5 2 2 3 2 2 
;
;
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 
 và 

2
2
4 
4 



 1  y x  3y  3  x 2  y  1 3 . x



 

Bài 4. Giải hệ phương trình 
 x, y  
 x 2  y  2 3 x3  4  2  y  2

(Trích Trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định – 2015)
Giải
 1  y x  3y  3  x 2  y  1 3 . x


 


 x 2  y  2 3 x3  4  2  y  2


1
 2

 I

 x 2  y  0
 x 2  y

Điều kiện: 
 x  0, y  1  x  1, y  1
Nhận xét x  1, y  1 không là nghiệm của hệ. Xét y  1 thì pt (1) của hệ (I)
2

 x 
x
x
2
x 2  x  y  1  3  y  1   y  1 x  y  1  0  
3
0
 
y 1
y 1
 y 1

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 3


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

Đặt t 

20152016

x
, t  0 . Khi đó, pt (1) trở thành
y 1





t 4  t 2  t  3  0   t  1 t 3  t 2  2t  3  0  t  1
Với t  1 thì

x
 1  y  x  1 , thế vào pt (2) ta được
y 1

3
3
x 2  x  1  2 x 3  4  2  x  1  x 2  x  1  2  x 3  4   x  1  0





2


x

x

1
 x2  x 1  6 
0
 3 x 3  4 2   x  1 3 x 3  4   x  12 





2


6
x

x

1
 x 2  x  1 1 
0
2
2 
3 3

3 x3  4
  x  1 x  4   x  1 











 x2  x 1  0  x 

Với x 

1 5
 x  1
2

1 5
3 5
y
2
2

1 5 3  5 
;
Đối chiếu với điều kiện, hệ phương trình có nghiệm  x, y   

2 
 2





 y  x  y  1  x 3  3y x 2  xy  y  1  1

Bài 5. Giải hệ phương trình 
 y2  y  5x  5
(Trích Trƣờng THPT Trần Phú, Hải Phòng – 2015)

Giải





 y  x  y  1  x 3  3y x 2  xy  y  1  1


 y2  y  5x  5

1
 2

y  0
Điều kiện: 
(vì y  0 không thỏa hpt)
 x  y  1
Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 4


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

1 

  x  1
y  x  y 1



20152016



  x  1 x 2  x  1  3y  x  1 x  y  1



1
  x  1  x 2  x  3xy  3y 2  3y  1 
0
y  x  y  1 



1
  x  1  x 2   3y  1 x  3y 2  3y  1 
0
y  x  y  1 


 3

Xét A  x 2   3y  1 x  3y2  3y  1

Δ  3  y  1  0 x 
2

 A  0 x, y 

 3  x  1
Thay x  1 vào (2) ta có: y2  y  5  5

1  17
y 
2


1  17
y 
2


(loaïi)


1  17 
Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;

2







2x x 2 y  x  2y  3x  1

Bài 6. Giải hệ phương trình 
 x, y  
2xy
x

2y

2y
x

1

x

1






(Trích đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng lần 2 – 2015)
Giải
Điều kiện: x  2y  x  2y  0

Từ phương trình (2) ta có 2xy  x  2y   2xy  1   x  2y   0

  2xy  1 x  2y    2xy  1  0   2xy  1 x  2y  1  0

2xy  1

 x  2y  1 (loaïi)
Thay vào phương trình (1) ta có x2  2x x 

1
 3x  1
x

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 5


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

x  2y
Điều kiện 
x  1,x   1;0 
Khi đó **  x  2 x 

20152016

**


1
1
1

1
 3  x    2 x  3  0
x
x
x
x


1
1
Đặt t  x  ,  t  0   t 2  x 
x
x

t  1
Khi đó ta có phương trình t 2  2t  3  0  
 t  3 (loaïi)
Với t  1  x 

1
1 5
 1  x2  x  1  0  x 
x
2

Kết hợp với điều kiện ta được x 

1  5 1
1 5
thỏa mãn, suy ra y 


2x
2
4

 1  5 1  5   1  5 1  5 
;
;
Vậy, hệ có 2 nghiệm  x;y   
, 

 2
4   2
4 


 3x  2y  3 8  x  y  11
Bài 7. Giải hệ phương trình 

 8  x  y  2 4  2x  y  1
(Trích đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng lần 4 – 2015)
Giải

3x  2y  0

Điều kiện x  y  8
2x  y  4

Đặt

3x  2y  a; 8  x  y  b; 4  2x  y  c

 a;b;c  0

a  11  3b  11  3 1  2c 
a  3b  11



  b  1  2c
Ta có hệ tương đương  b  2c  1
 2
 2
2
2
2
2
 *
a  b  c  4

a  b  c  4

c  1
2
2
Khi đó *   8  6c   1  2c   c2  4  33c2  100c  67  0  
 c  67

33
Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 6


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế




a  2
x  2
 3x  2y  2
Với c  1  


y 1
b  3 
 8 x y 3 




46
a
0
67 

11
Với c 


 Mâu thuận điều kiện. Loại.
33 
145
b

11


20152016

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x;y    2;1

 x2  xy  2y2  y2  xy  2x2  2 x  y
 

Bài 8. Giải hệ phương trình 
 8y  6  x  1  2  y  2 y  4 x  2  3

(Trích Trƣờng THPT Nông Cống 1, lần 2 – 2015)
Giải
Điều kiện: x;y  2



2





2

x x
x
x 
x
PT 1      2  2     1  2   1 .
y
y y
y
y 
Đặt

x
 t;t  0 ta được phương trình
y

t 2  t  2  2t 2  t  1  2  t  1

 3

Bình phương hai vế của (3) giải ra ta được x  y .





Thay x  y vào (2) ta được: 8x  6  x  1  2  x  2 x  4 x  2  3


 4x  4 




4x  4



2







 1  2  x  2  2  x  2



Xét hàm số f  t   t 3  t luôn đồng biến trên

 4 

4x  4  2  x  2

Giải (5) ta được x  2 hoặc x 



2


 1




4

nên

 5
34
.
9

 34 34 
Vậy hệ có 2 nghiệm  x;y   2;2  hoặc  x; y    ; 
 9 9 
3
2

2x  3  2 y  3y  2x y  y
Bài 9. Giải hệ phương trình 
2

x  y  3  y  0

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

 x, y  
Page 7


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

(Trích Trƣờng THPT Lƣơng Thế Vinh, Hà Nội lần 1 – 2015)
Giải
2x 3  3  2 y 2  3y  2x y  y 1

 2

 2
x  y  3  y  0
Điều kiện: y  0

1  2x3  2x

y  y  y  3  2 y  y  3  y 

   y

 x 4  2x 3  2x y  y  0  x 2







2

2



y3  y





2

 x4



 2x x 2  y  0

 x 2  2y  y x 2  y  0
y  x 2 :  2   x 2  3  2x 2  4x 4  x 2  3  0  x 2  1
  x; y   1;1 ,  1;1
y  2x  x 2

 2 



 3

3  2x  x 2



2

 x  0
 2x   4
  x  1 x 3  3x 2  3x  3  0
3
 x  4x  3  0





x  1
 3
2
 x  3x  3x  3  0
x  1  y  1.

x 3  3x 2  3x  3  0  x 2  x  3  3x  3  0

 4

Từ (3) suy ra 2x  x 2  0  0  x  2   4  vô nghiệm.
Vậy  x; y   1;1,  1;1 
3
3
2

 x  y  3y  3x  2  0
Bài 10. Giải hệ phương trình 
2
2
2

 x  1  x  3 2y  y  2  0
(Trích Trƣờng THPT Ngô Gia Tự, Bắc Ninh – 2015)
Giải

 x 3  y3  3y 2  3x  2  0

 2
2
2

 x  1  x  3 2y  y  2  0

1
2

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 8


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

1  x 2  0
1  x  1

Điều kiện: 
2
2y  y  0 0  y  2
Đặt t  x  1  t  0;2 . Ta có 1  t 3  3t 2  y3  3y2
Hàm số f  u   u 3  3u 2 nghịch biến trên đoạn  0;2 nên:

1  y  t  y  x  1
  2  x 2  2 1  x 2  2  0
Đặt v  1  x 2  v  0;1   2   v2  2v  1  2

v  1
 v2  2v  3  0  
 v  3 (loaïi)
Với v  1 ta có x  0  y  1 . Vậy hệ có nghiệm  x;y   0;1 
3
2
3


 x  6x  13x  y  y  10
Bài 11. Giải hệ phương trình 
3
2

 2x  y  5  3  x  y  x  3x  10y  6
(Trích Trƣờng THPT Lý Tự Trong, Khánh Hòa lần 1 – 2015)
Giải

 x 3  6x 2  13x  y3  y  10
1

3
2
 2x  y  5  3  x  y  x  3x  10y  6  2 

1   x  2 3   x  2   y3  y
Xét hàm số f  t   t 3  t, t 
 f  t  đồng biến trên

Thay (3) vào (2):

có f '  t   3t 2  1  0 t 

và 1  x  2  y  3

3x  3  5  2x  x 3  3x 2  10x  26  4  ;  1  x 

5

2

 5
+ Chứng minh g  x   3x  3  5  2x đồng biến trên đoạn  1; 
 2

 5
+ Chứng minh h  x   x3  3x 2  10x  26 nghịch biến trên đoạn  1; 
 2
g  2  h  2   2  x  2 là nghiệm duy nhất của pt (4)

Đáp số  x; y    2;0 
Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 9


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

2
2

 x  y  xy  1  4y
Bài 12. Giải hệ phương trình 
 x, y  
2
2

y
x

y

2x

7y

2




(Trích Trƣờng THPT Đông Thọ, Tuyên Quang lần 1 – 2015)
Giải

Nhận xét: hệ không có nghiệm dạng  x 0 ;0 
 x2  1
xy4

 x  y  xy  1  4y
 y
Với y  0 , ta có: 

2
2
x2  1
2
 y  x  y   2x  7y  2


x

y

2
7



y

2

Đặt y 

2

x2  1
, v  x  y ta có hệ:
y



 v  3, u  1
u  v  4
u  4  v
 2

 2



 v  5, u  9
 v  2u  7
v  2v  15  0


Với v  3,u  1 ta có hệ


x 2  1  y 
x 2  1  y 
x 2  x  2  0  x  1, y  2









 x  2, y  5
x  y  3
y  3  x
y  3  x
Vậy hệ có hai nghiệm là: 1;2  và  2;5





 x 2  1  9y
x 2  1  9y
x 2  9x  46  0


Với v  5,u  9 ta có hệ: 



 x  y  5
 y  5  x
 y  5  x
Hệ này vô nghiệm.


Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:  x; y   1;2  ,  2;5

 x 3  y3  3y2  x  4y  2  0
Bài 13. Giải hệ phương trình 
 x, y  
3
 x  x  3  2 x  2  y
(Trích Trƣờng THPT Nguyễn Huệ, Đăk Lăk lần 1 – 2015)
Giải
3
3
2

 x  y  3y  x  4y  2  0

 3

x  x  3  2 x  2  y

1
 2

Điều kiện: x  2

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 10


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

1  x3  x  2  y3  3y2  4y  x3  x  2   y  13   y  1  2
Xét hàm số f  t   t 3  t  2 trên  2;  
Ta có: f '  t   3t 2  1  0, t  2;   . Suy ra hàm số f  t  đồng biến trên

 2;  
Do đó: x  y  1
Thay y  x  1 vào phương trình (2) ta được: x3  3  2 x  2  1
 x3  8  2











x  2  2   x  2  x 2  2x  4 



  x  2  x 2  2x  4 



2



x2 2





 x20 x 2 y3
2
 x 2  2x  4 
 0  x 2  2x  4 

x22

Ta có VT  x 2  2x  4   x  1  3  3; VP 

2
x22

2

2

x22

x22

x22


  x  2   x 2  2x  4 

x22


2  x  2










0
x22 

2



 *
 1, x  2;  

Do đó phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x; y    2;3








 x 2  1  x y  y2  1  1


Bài 14. Giải hệ phương trình: 
2
 x 2  1  y 2  1  8 y  x  4  17



(Trích đề thi thử thầy Nguyễn Tất Thu, lần 3 – 2015)
Giải

Điều kiện: y  1 . Ta có:









x 2  1  x y  y2  1  1

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 11


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

 x 2  1  x  y  y2  1

1

 y  x  x 2  1  y2  1
 y  x 
2



x 2  1  y2  1



2

 xy 

x

 xy  0
 xy  0
 2 2
 2
2
2
2
 y  x  1
 x y  x  1 y  1





x 2  y2  2

Từ (1) ta có y  x 

x 2  1  y2  1

x 2  1  y2  1 

Suy ra
Do đó



1

 y  x 2



2





 1 y2  1

 2
1

x 2  1  y2  1

1
. Từ đây ta có 0  y  x  1
yx

 8 y  x  4  17 . Đặt t  y  x, t   0;1 , ta có phương trình:

1

 8 t  4  17
 3
t2
Dễ thấy với 0  t  1 thì VT  3  17   3 vô nghiệm, nên hệ đã cho vô nghiệm.

Nhận xét: Trong PT 2 của hệ, nếu thay đổi
thành

1
t2

y  x  4 bởi

y  x  3 thì (3) trở

 8 t  3  17 và có nghiệm, hệ có nghiệm. Lời giải tiếp như sau: Xét

hàm số f  t  

1
t

2

 8 t  3, t   0;1 có f '  t  



2 2t 3  t  3
t

3

t 3

.

Ta có f '  t   0  2t  t  3  0  t  1
3

Suy ra f  t   f 1  17 t   0;1 . Do đó PT (3) có nghiệm duy nhất t  1

 y  x  1
x  0

Vậy  2
2
 y  x  1  y  1
2

2

 x  y  3  y  3x  7
Bài 15. Giải hệ phương trình: 
2
2

 y  1  2y  1  x  x  xy  3y
(Trích Trƣờng THPT Đông Sơn 1, Thanh Hóa lần 1 – 2015)
Giải

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 12


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế
 x 2  y  3  y 2  3x  7


2
2

 y  1  2y  1  x  x  xy  3y

 2 






1
. Điều kiện:
 2



20152016

y  1, x  0, y2  3x



y  1  x  y 2  2y  1  x 2  y 2  xy  y  0
y 1  x

  y  1  x 2  y  y  x  1  0
2

y 1  x



1
  y  x  1 
 2y  1  x   0
 y 1  x





1
 2y  1  x  0, y  1, x  0 )
y 1  x

 y  x  1 (Do

x2  x  1  x2  x  1  7  3

Thế y vào (1) ta được

 3

Xét f  x   x 2  x  1  x 2  x  1
f ' x  

2x  1
2 x  x 1

Xét g  t  

2

t
t 3
2



2x  1
2 x  x 1
2

, g ' t  



3

t

2

3



3

2x  1

 2x  1
 0, t 

2

3



2x  1

 2x  12  3

. Suy ra g  t  đồng biến trên

Do 2x  1  2x  1 nên g  2x  1  g  2x  1 . Suy ra
f '  x   g  2x  1  g  2x  1  0, x 

Do đó f  x  đồng biến trên

, nên  3  f  x   f  2   x  2  y  3

Vậy hệ đã cho có nghiệm  x;y   2;3 





1

2
3xy 1  9y  1  x  1  x
Bài 16. Giải hệ phương trình: 
 x 3 9y 2  1  4 x 2  1 x  10

(Trích Trƣờng THPT Lê Hồng Phong, lần 1 – 2015)
Giải

1

2
1
3xy 1  9y  1  x  1  x
. Điều kiện: x  0 .

 x 3 9y 2  1  4 x 2  1 x  10
 2








 





 



Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 13

Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

Nhận xét: nếu x  0 thì không thỏa mãn hệ phương trình
Xét x  0 : PT 1  3y  3y 9y 2  1 
 3y  3y

 3y   1 
2

x 1  x
x
1
x



2

 1 

 1
x  x

1

 3

Từ (1) và x  0 ta có y  0 . Xét hàm số f  t   t  t t 2  1, t  0 . Ta có:
f ' t   1  t 2  1 

t2
t2 1

 0 . Suy ra f  t  luôn đồng biến trên  0; 

1
 1 
PT  3  f  3y   f 
  3y 
x
 x





Thế vào pt (2) ta được: x3  x 2  4 x 2  1 . x  10 .





Đặt g  x   x3  x 2  4 x 2  1 . x  10, x  0 . Ta có g '  x   0 với x  0
 g  x  là hàm đồng biến trên khoảng  0; 

Ta có g 1  0 . Vậy pt g  x   0 có nghiệm duy nhất x  1
Với x  1  y 

1
3

 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: 1; 
 3





 x 4  4y3  x 4  1 y  4y 2  1

Bài 17. Giải hệ phương trình: 
 x, y  
8y3  4 x 2  1  x 2  6y  2
(Trích Trƣờng THPT Quang Xƣơng 1, Thanh Hóa lần 1 – 2015)
Giải





 x 4  4y3  x 4  1 y  4y 2  1


3

2
2

8y  4 x  1  x  6y  2

1
 2
 y  1

1  x 4  y  1  4y2  y  1  y  1   x 4  4y2  1  y  1  0  

4
2
 x  4y  1

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 14


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

TH1: y  1 thay vào (2) ta có: 4 x 2  1  x 2  4  x  0;x  2 2

1  x  1

TH2: x 4  4y2  1   1

1
 2  y  2

 2   8y3  6y  2  4

 3

x2  1  x2  0

Xét hàm số: f  x   4 x 2  1  x 2 , x   1;1, Min f  x   f  0   4
x 1;1
 1 1
1
Xét hàm số: g  y   8y3  6y  2, y    ;  , Min g  y   g    4
 2 2  y 1 ; 1 
2
 2 2 

 1 1
f  x   g  y   0 x   1;1 , y   ;  .
 2 2
1
 x; y    0; 
 2

Do

đó

Dấu



“=”

xảy



ra

khi



 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là  0;  ,  0; 1 , 2 2; 1 , 2 2; 1
 2


2
y2
 y2  2 x  2
 y 1 

x
Bài 18. Giải hệ phương trình: 
x  x  1  y  y2  y

y

x
(Trích Sở Giáo dục và Đào tạo TPHCM – 2015)
Giải




2
y2
y

1

 y2  2 x  2


x

x  x  1  y  y2  y

y
x







1

 2

. Điều kiện x  2, y  0

 2   x  y2   xy  x  1  0  x  y2
1  



2

y 1 





(do xy  x  1  0 )

2

y2  2  1  y  1  y2  2  1

 y  y2  2  y  2
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x  4, y  2

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 15

Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

 x 2  3y  9
Bài 19. Giải hệ phương trình:  4
2
 y  4  2x  3 y  48y  48x  155  0
(Trích Trƣờng THPT Nhƣ Thanh – 2015)
Giải
 x 2  9  3y

HPT   4
 y  8y 2 x  16  9  3y    12 y 2  4x  11  0

 



 x 2  9  3y


2
2
2
 y  4x  12 y  4x  11  0












1
 2

t  1
Đặt t  y2  4x , pt (2) trở thành t 2  12t  11  0  
 t  11

 y2 1
  x
 x  9  3y

Với t  1 ta được hệ 
 4 4
2
y2
1
 y  4x  1 
9

3y


 x2  x 

4
4
2



  y  7  2x
 y2 1
 2
  x
 x  6x  12  0  VN 
4 4



2
2
 3  y    x  1 
  y  2x  5
 


  x 2  6x  6  0
2 
2

 

 x  3  3  x  3  3
;
Giả ra ta được nghiệm là 
 y  2 3  1  y  2 3  1


*

2x 2  18  6y  y 2  4x  11

Với t  11 ta được hệ 
2
2
2
 y  4x  11
2x  4x  2  y  6y  9

 y  4x  11

2
2
2  x  1   y  3
2

 y 2  4x  11

   2  x  1  y  3

  2  x  1  3  y

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 16


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế



20152016



1

 x  3 2  6  2 3
2
Giải ra ta được nghiệm  x; y  là: 
;
y  3  6  2














1
1
1



x  3 2  6  2 3 x  3 2  6  2 3 x  3 2  6  2 3
2
2
2
;
;
**

y   3  6  2
y  6  2  3
y  3  2  6




Vậy hệ có 6 nghiệm  x; y  theo (*) và (**)
Bài 20. iải hệ phương trình sau:
x  y 2  x  2y2  2



2 x  2  4y  8 y xy  2y  34  15x


(Trích TT dạy thêm văn hóa Lê Hồng Phong, lần 1 – 2015)
Giải





x  y 2  x  2y2  2
1


2 x  2  4y  8 y xy  2y  34  15x  2 

Điều kiện: 2  x  2 và y  0





1   2  x  
Với

 2x  y
2  x.y  2y 2  0  
 2  x  2y

2  x  y :  2  2





x  2  4 2  x  8 4  x 2  34  15x

 3

Đặt t  x  2  4 2  x  t 2  34  15x  8 4  x 2
t  0
Do đó  3  2t  t 2  
t  2

 x2 4 2x 0
4 2  x  x  2


 x  2  4 2  x  2
 4 2  x  2  x  2
30

16  2  x   x  2
17x  30
x




17

16  2  x   4  16 2  x  x  2
16 2  x  17  x  2 
 x  2

Khi x 

30
2 17
y
và khi x  2  y  0
17
17

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 17


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

Với 2  x  2y  0 mà y  0  y  0 và x  2 . Th lại ta có x  2, y  0 là
nghiệm.

 30 2 17 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là  2;0  ,  ;


 17 17 
 x 4  2x  y 4  y

Bài 21. iải hệ phương trình 
 x, y  
2
2 3
3
 x  y
(Trích Sở Giáo dục và Đào tạo V nh Phúc lần 2 – 2015)
Giải





Đặt x  y  a, x  y  b . Đ cho tiện ta đặt 3  c3
Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có  ab   c3  ab  c .
3

Từ x 





ab
ab 2
ab

, y
a  b2 và
, suy ra x 4  y4 
2
2
2

a  b a  3b a  c3b


.
2
2
2
Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
2x  y   a  b  









ab 2
a  c3b
a  b2 
 c a 2  b2  a  c3b
2

2





c a 2  b 2  a  c3b
Ta có hệ: 
, suy ra:
ab  c

1

 2 c2 
a
c4
4
3
3
4
3
3

c  a  2   a   ca  c  a  ac   ca  1 a  c  0 
c


a
a 


a

c




Nếu a  c, b  1 thì x 



3
c 1 3 3 1
3 1

, y
2
2
2

3
3
11
2
11
1
1
 1 c
 1 c
 3 , y    c2  

3
Nếu a  , b  c2 thì x    c2  
2 c
2c
2 c
2c
c
3
3



 3 3 1 3 3 1   2
1 
;
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x; y   
 ,  3 ;  3 
2   3
3
 2
Bài 22. iải hệ phương trình:
Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 18


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

 x x  6y  4  3y 3y  4  8  2 x  y  x  y 2  4 1  xy  2




 



 

2

 3x  xy  22  1  y  x  2y  3
(Trích Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn B nh Khiêm, Quảng Nam – 2015)
Giải
 x x  6y  4  3y 3y  4  8  2 x  y 





 

2

 3x  xy  22  1  y  x  2y  3

Ta có: 1 

 x  3y  22  4   x  3y  2   y  x 2  4   y  x 

Xét hàm f  t   t 2  4  t, t 
Ta có f '  t  

 x  y 2  4 1  xy   2 1
2

t
t2  4

.

t2  4  t

1 

t2  4

Suy ra f  t  đồng biến trên

 0, t 

.

Ta có 1  f  x  3y  2   f  y  x   x  3y  2  y  x  y  1  x
Thế y  1  x vào  2  ta được:
kiện x  0 , ta có:

 3 






x 2  2x  22  5 
x 2  2x  3
x  2x  22  5
2





x 2  2x  22  x  x 2  2x  1  3 . Với điều



x  1  x 2  2x  3

x 1
x 1

  x  1 x  3

 1



1
  x  1 
  x  3 1 
   0  x  1

2
 x  1
x

2x

22

5

 

Vì với x  0 thì



1
  x  3  1 
  0 (phải giải th ch)

x 1
x 2  2x  22  5 

1

x  1  y  0 . Vậy hệ có nghiệm  x; y   1;0  .
 x  3 xy  x  y 2  y  5y  4

Bài 23. iải hệ phương trình: 
2

 4y  x  2  y  1  x  1
(Trích Trƣờng THPT Bạch Đ ng, Hải Phòng – 2015)
Giải
Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 19


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

 x  3 xy  x  y 2  y  5y  4


 4y 2  x  2  y  1  x  1

20152016

1
 2

 xy  x  y 2  y  0

Điều kiện: 4y 2  x  2  0

y  1  0


Ta có: 1  x  y  3

 x  y  y  1  4  y  1  0

Đặt u  x  y, v  y  1

 u  0, v  0 

u  v
Khi đó (1) trở thành: u 2  3uv  4v 2  0  
 u  4v (vn)

Với u  v ta có x  2y  1 , thay vào (2) ta được:
 4y 2  2y  3   2y  1 


2  y  2
4y 2  2y  3  2y  1





4y2  2y  3  y  1  2y



y 1 1  0
y2

y 1 1

0



2
1
0
  y  2 

 4y 2  2y  3  2y  1
y 1 1 



 y  2 (vì

2
4y  2y  3  2y  1
2



1
 0, y  1 )
y 1 1

Với y  2 thì x  5 . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ là  5;2  .

2 x  y  6  1  y
Bài 24. iải hệ phương trình: 
2

9 1  x  xy 9  y  0
(Trích Trƣờng THPT Qu nh Lƣu 3, Nghệ n lần 1 – 2015)
Giải

2 x  y  6  1  y


2

9 1  x  xy 9  y  0

1
2

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 20


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

x  y  6  0
Điều kiện: 
 x  1
Nếu y  0 , đ hệ có nghiệm thì 1  y  0 .
VT 1  2 x  y  6  2 5 

  VT 1  VP 1 hệ vô nghiệm.
VP 1  1  y  1



Nếu y  0 , từ (2) suy ra x  0
2

 3 
 3 
2
9 1  x  xy 9  y  0  
 9
   y  9   y 
 x
 x
2

Xét hàm số f  t   t 9  t 2 , t  0; f '  t  

9  2t 2
9  t2

 3

 0 t  0

3
9
 3 
 y  x  2
  f  y  
x
y
 x

 3  f 

Thế vào pt (1) ta có phương trình 2
Hàm số g  y   2

9
y2

9
x2

 y  6 1 y

 4 .

 y  6 đồng biến trên  ;0  , hàm số h  y   1  y nghịch

biến trên  ;0  và phương trình có nghiệm y  3 nên phương trình (4) có
nghiệm duy nhất y  3 .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1; 3 .
1  y  x 2  2y 2  x  2y  3xy

Bài 25. iải hệ phương trình: 
 x, y  
2
2

y

1

x

2y

2y

x

(Trích Trƣờng THPT Chuyên Hƣng ên – 2015)
Giải

1  y  x 2  2y 2  x  2y  3xy


 y  1  x 2  2y 2  2y  x

1
 2

Điều kiện: y  1
Xét 1 : 1  y  x 2  2y2  x  2y  3xy
Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 21


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

Đặt

x 2  2y2  t

20152016

 t  0

Phương trình (1) trở thành: t 2  1  y  t  x 2  2y2  x  2y  3xy  0





Δ  1  y   4 x 2  2y 2  x  2y  3xy   2x  3y  1
2

2

2
 2
 t   x  y  1  x  2y   x  y  1


 x 2  2y 2  x  2y
 t  x  2y


Với

x 2  2y2  x  y  1 , thay vào (2) ta có:

1

y  
3
y  1  3y  1  
 y  0  x 2   x  1 (vô nghiệm)
9y2  5y  0


Với


1  5
x 
 y  1  2x


4

x 2  2y2  x  2y ta có hệ: 
2
2
 x  2y  x  2y
y  1  5

2

 1  5 1  5 
;
Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   

4
2 

3

2y  y  2x 1  x  3 1  x
Bài 26. iải hệ phương trình 
 x, y  
2
2
2

 9  4y  2x  6y  7
(Trích Trƣờng THPT Trần Phú, Thanh Hóa – 2015)
Giải

2y3  y  2x 1  x  3 1  x


2
2
2

 9  4y  2x  6y  7

1
 2

 3 3
Điều kiện: x  1; y    ;  . Ta có:
 2 2

1  2y3  y  2 1  x  2x 1  x  1  x
 2y3  y  2 1  x  1  x  1  x

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 22


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế
Xét hàm số f  t   2t 3  t , ta có f '  t   6t 2  1  0, t 

20152016

 f  t  đồng biến trên

.
Vậy 1  f  y   f



Thế vào (2) ta được:


y  0
1 x  y  1 x   2

y  1  x



4x  5  2x 2  6x  1

 2 4x  5  4x 2  12x  2 





4x  5  1

2

  2x  2 

2

1

x

2
 4x  5  2x  3  vn 


 
 x 1 2
x 1 2
 4x  5  1  2x

  x  1  2


y  4 2
Với x  1  2  
. Vậy hệ có hai nghiệm.
 y   4 2
 x 2  xy  2y2  3y  1  y  1  x
Bài 27. iải hệ phương trình 
3 6  y  3 2x  3y  7  2x  7
(Trích Trƣờng THPT Chuyên V nh Phúc, lần 4 – 2015)
Giải
2
2


 x  xy  2y  3y  1  y  1  x


3 6  y  3 2x  3y  7  2x  7

1
2

x  0

Điều kiện: 1  y  6
 *
2x  3y  7  0

Từ 1  y  1  x   y  1  x 2  y  y  x  1  0
2





1

  y  x  1
 2y  x  1  0  y  x  1  0  x  y  1  3 
 y 1  x




0, x 0,6 y 1



Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 23


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế
Thế (3) vào (2) ta được phương trình 3 6  y  3 5y  9  2y  5
kiện

9
 y  6.
5



20152016

 4 ,

điều



iải (4)  8  y   3 6  y  3 y  1  5y  9  0


y 2  7y  10

8  y   3

6y

 3.

y 2  7y  10
y  1  5y  9

0







1
3
0
 y 2  7y  10 

 8  y  3 6  y y  1  5y  9 


9



0,   y 6
5







 4

y

2

x 1

 y 2  7y  10  0  
 4

 y  5  x  4

 tm * 
 tm * 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y   1;2  ,  x; y    4;5
2 x 2  5  2 2y  x 2

Bài 28. iải hệ phương trình: 

2

 x  3 xy  x  y  y  5y  4
(Trích Sở Giáo dục và Đào tạo Lào Cai – 2015)
Giải

2 x 2  5  2 2y  x 2


 x  3 xy  x  y 2  y  5y  4

1
 2

Điều kiện: xy  x  y2  y  0 và y  0 .
Với điều kiện trên:

 2    x  2y  1  3





xy  x  y 2  y  y  1  0



3  y  1
0
  x  2y  1 1 

2

xy  x  y  y  y  1 

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 24


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

 x  2y  1  0 (vì với x, y thỏa mãn xy  x  y2  y  0 và y  0 thì
1

3  y  1
xy  x  y2  y  y  1

0)

Thế 2y  x  1 vào (1) ta có:

2 x2  5  2 x 1  x2  2

x2  4
x 5 3
2

2

x2
x 1 1

  x  2  x  2 

 2  x  2

2
  x  2 

  x  2   0
x 1 1
 x 2  5  3

Ta thấy x  1 thì:

2  x  2

 3



2
2
2
  x  2 
  x  2  1 
  0 , nên



2
x 1 1
x 1 1
x2  5  3
x

5

3


(3) có nghiệm duy nhất x  2 . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
 x; y    2;  .
 2




2
1
2




2


x  y  2x  y  y  x  2x  y 
Bài 29. iải hệ phương trình  x  y


2  y  4  2x  y  3   x  6  x  y  1  3  y  2 
(Trích Trƣờng THPT Minh Ch u, Hƣng ên lần 2 – 2015)
Giải





2
1
2



1

2
 x y
x  y  2x  y  y  x  2x  y 



2  y  4  2x  y  3   x  6  x  y  1  3  y  2   2 





x  0
x  0


Điều kiện:  y  0
2x  y  0  y  0

2 1
2
 
(vô l )
x x
2x 2
Tương tự x  0 không thỏa mãn, vậy x, y  0 .

Nếu y  0 thì 1 

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 25