SKKN: PP giải toán cực trị

Hớng dẫn học sinh các phơng phap giải
bài toán cực trị
A- Đặt vấn đề
1- Lí do chọn đề tài :
Trong chơng trình toán phổ thông các bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị
nhỏ nhất của một biểu thức ; đợc gọi chung là dạng toán '' cực trị '' chiếm tỷ lệ
không nhỏ ; chủ yếu tập trung ở các chuyên đề nâng cao ở toán 8 - toán 9 . Bài
toán này có rất nhiều dạng phong phú với nhiều cách giải hay và đợc coi là khó
đối với học sinh , Dạng toán '' Cực trị '' này lại xuất hiện rất nhiều ở các đề thi
học sinh giỏi , đề tuyển sinh vào các trờng THPT , trờng chuyên của tỉnh Chúng đòi hỏi học sinh phải có một kiến thức đầy đủ và chắc chắn về dạng toán
này , Biết phân dạng và nắm chắc các phơng pháp giải . Từ đó áp dụng linh hoạt
vào giải bài toán của mình . Thực tế học sinh thờng lúng túng và gặp khó khăn
rất nhiều với bài toán cực trị này . Vì thế với kinh nghiệm bản thân đã từng gặp
phải vấn đề này trong quá trình giảng dạy của mình, bản thân tôi cố gắng tìm
cách tháo gỡ điều này bằng cách tham khảo các tài liệu và rút ra kinh nghiệm
hớng dẫn, cung cấp cho HS các phơng pháp giải thật đa dạng về bài toán cực trị ,
Phân tích ra các sai lầm mà các em có thể gặp phải trong quá trình tìm tòi và
trình bày lời giải. Nhằm để các em nắm thật chắc mỗi phơng pháp giải, chú ý
tránh các sai lầm có thể xảy ra.
Từ đó hớng dẫn các em biết nhận dạng và vận dụng thật linh hoạt các phơng
pháp đã biết. Tìm ra phơng pháp giải phù hợp cho mỗi bái toán về ''Cực trị'' của
mình -đáp ứng với sự mong mỏi đợc khám phá; tự tin chiếm lĩnh tri thức; làm
phong phú hơn hành trang về kiến thức để các em mang theo khi học lên THPT .
2- Mục đích , nhiệm vụ của sáng kiến kinh nghiệm

:

Nhằm nâng cao chất lợng giáo dục theo hớng đổi mối phơng pháp giảng
dạy của giáo viên và đổi mới cách học của HS theo hớng chủ động sáng tạo, phát
huy đợc tính tích cực tối đa của học sinh. Rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung
và giải các phơng trình vô tỉ nói riêng một cách chủ động, linh hoạt hơn. Từ đó

xây dựng đợc lòng say mê, hứng khởi với việc học toán của học sinh. Qua đó
góp phần vào việc giáo dục một thế hệ trẻ năng động, sáng tạo, giàu kĩ năng
trong công việc đáp ứng với công cuộc xây dựng và bảo vệ đất nớc theo yêu cầu
mới của nớc nhà hiện nay .
Nhiệm vụ của sáng kiến: - Đa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực
trị, chỉ ra đợc sai lầm thờng mắc phải.


- Đề xuất một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải.
- Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả
năng phân tích, xem xét bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến
khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy đợc khả
năng t duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo đợc lòng say mê, sáng
tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị.
Với những lí do nh vậy tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài Hớng dẫn học sinh
các phơng phap giải bài toán cực trị. Với mong muốn đợc trình bày một vài
kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong đợc sự
đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu quả.
Trớc khi áp dụng kinh nghiệm vào việc giảng dạy của mình tôi đã cho HS làm
bài kiểm tra khảo sát với nội dung '' Cực trị '' có cả bài dể và bài khó đòi hỏi HS
phải biết sử dụng linh hoạt các phơng pháp giải .
Kết quả thu đợc thật đáng buồn: Với 30 bài kiểm tra (đã trừ những em quá
yếu kém ) chỉ có 10 em tạm đạt yêu cầu, không có điểm cao, số còn lại không
đạt - Lí do cha biết trình bày lời giải, cũng có thể cha tìm ra cách giải, cũng có
một số em đã tìm ra lời giải song lại mắc phải một số sai lầm đáng tiếc .
3/ Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu:
- Đối tợng nghiên cứu: Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh khá giải lớp 8,
9)
- Phơng pháp nghiên cứu: + Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập

của học sinh. Tham khảo các tài liệu sách giáo khoa , sách nâng cao và chuyên đề
8-9
+ Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dỡng học sinh giỏi toán
lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện.
+ Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng
dạy chuyên đề.
+ Trao đổi ý kiến , rút kinh nghiệm với đồng nghiệp hàng năm .


B- Giải quyết vấn đề
Với những lí do và ý tởng đã nêu tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài Hớng
dẫn học sinh các phơng phap giải bài toán cực trị. Với mong muốn đợc trình
bày một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất
mong đợc sự đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu quả.
Trớc khi áp dụng kinh nghiệm vào việc giảng dạy của mình tôi đã cho HS làm
bài kiểm tra khảo sát với nội dung '' Cực trị '' có cả bài dể và bài khó đòi hỏi HS
phải biết sử dụng linh hoạt các phơng pháp giải . Với nội dung nh sau :
Bài 1: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 4x2 + 10x + 9
b, Tìm giá trị lớn nhất của B = -x2 + 2x -7
x 2 +1
y
=
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
x 2 x +1
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của A = x 1 + y 2 biết x + y = 4
Kết quả thu đợc thật đáng buồn: Với 20 bài kiểm tra ( chủ yếu là học sinh khá
giỏi ) trong khối 9 chỉ có 10 em tạm đạt yêu cầu, không có điểm cao, số còn lại
không đạt - Lí do cha biết trình bày lời giải, cũng có thể cha tìm ra cách giải,
cũng có một số em đã tìm ra lời giải song lại mắc phải một số sai lầm đáng tiếc .
Cụ thể :

Số HS cha biết giải

4 em
20%

Số HS mới biết giải các
bài đơn giản thờng gặp
đạt mức TB
15 em
75%

Số HS nắm khá chắc các
pp giải và đạt kết quả khá
tốt
1em
5%

Nội dung sáng kiến:
Chơng I: Một số kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất. Những sai lầm thờng mắc phải khi giải toán cực trị.
Chơng II: Một số phơng pháp tìm cực trị

1/ Phơng pháp tam thức bậc hai
2/ Phơng pháp miền giá trị
3/ Phơng pháp bất đẳng thức.

Chơng I:

Kiến thức cơ bản

I - Định nghĩa:

1/ Định nghĩa 1:
Cho biểu thức f ( x, y,...) xác định trên miền D , ta nói M là giá trị lớn nhất
của f ( x, y,...) trên D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:
i) Với x, y... thuộc D thì f ( x, y,...) M với M là hằng số.
ii) Tồn tại x0 , y 0 ... thuộc D sao cho f ( x, y,...) = M
2/ Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f ( x, y,...) xác định trên miền D , ta nói m là giá trị nhỏ nhất
của f ( x, y,...) trên D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:
i) Với mọi x, y... thuộc D thì f ( x, y,...) m với m là hằng số.
ii) Tồn tại x0 , y 0 ... thuộc D sao cho f ( x, y,...) = m .
Chú ý: Để tranh sai lầm thờng mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần
nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản xạ sau:
+ Chứng tỏ f ( x, y,...) M hoặc f ( x, y,...) m ) với mọi x, y,... thuộc D
+ Chỉ ra sự tồn tại x0 , y 0 ... thuộc D để f ( x, y,...) đạt cực trị.
Chú y đến miền giá trị của biến.
Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A, MinA là giá trị nhỏ nhất của A
II - Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1/ Tính chất 1:

Giả sử A B khi đó ta có:

f ( x) max f ( x)
a/ Max
x A
xB

f ( x) min f ( x)
b/ Min
xB
x A

2/ Tính chất 2: Nếu f ( x, y ) 0 với mọi x thuộc D , ta có:
f ( x) = max f 2 ( x)
a/ Max
xD
xD

3/ Tính chất 3:

Min f ( x) = min f 2 ( x)
xD

xD


a / Max f ( x) + g ( x)) Max f ( x) + Max f ( x)

(1)

b / Min f ( x) + g ( x)) Min f ( x) + Min f ( x)

(2)

xD

xD1

xD

xD1

xD2

xD2

Dấu bằng trong (1) xẩy ra khi có ít nhất một điểm x0 mà tại đó f (x) và g (x)
cùng đạt giá trị lớn nhất. Tơng tự nếu tồn tại x0 thuộc D mà tại đó f , g cùng đạt
giá trị nhỏ nhất thì (2) có dấu bằng.
4/ Tính chất 4:
Max f ( x) = min ( f ( x))
xD1

xD

5/ Tính chất 5:
f (x) m = min f ( x)
f ( x ) = Max{ M , m } .
Nếu đặt M = Max
,
thì Max
xD
xD
xD
xD

6/ Tính chất 6:

Giả sử D1 = { x D; f ( x) 0} và D2 = { x D; f ( x) 0} thì
Min f ( x) = Min{ max f ( x); min f ( x)}
xD

xD1

xD2

Khi dạy phần này, giáo viên nên hớng dẫn học sinh chứng minh các tính
chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh
đợc sai lầm khi vận dụng giải bài tập.
Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ
cũng phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số f (x) nhng xét trên hai TXĐ khác nhau thì
nói chung giá trị lớn nhất tơng ứng khác nhau. Để cho phù hợp với chơng trình
các lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trị
cực trị trên một tập hợp nào đó.
III - Những sai lầm thờng gặp khi giải toán cực trị:

1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A=

3
4x 4x + 5
2


Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn
nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có:

4 x 2 4 x + 5 = (2 x 1) 2 + 4 4, x
3
3
2
, x
4x 4x + 5 4
3
1
Max A = x =
4
2

Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khi khẳng định A có tử
số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất mà cha đa ra
nhận xét tử mẫu là các số dơng.
Ta đa ra một ví dụ:

1

Xét biểu thức B = x 2 4
Với lập luận phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu
1

nhỏ nhất do mẫu nhỏ nhất bằng 4 khi x = 0 , ta sẽ đi đến: max B = 4 không
1

1

phải là giá trị lớn nhất của B , chẳng hạn với x = 3 thì 5 4 .
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã

máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên
sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.
2
2
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4 x 4 x + 5 = (2 x 1) + 4 4 nên tử
và mẫu của A là các số dơng. Hoặc từ nhận xét trên suy ra A > 0 , do đó A lớn
1
nhất khi và chỉ khi A nhỏ nhất 4 x 2 4 x + 5 nhỏ nhất.
2
2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x + y biết x + y = 4

Lời giải sai:
2
2
Ta có: A = x + y 2 xy
2
2
Do đó A nhỏ nhất x + y = 2 xy

x= y=2

Khi đó MinA = 2 2 + 2 2 = 8
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm. Ta
mới chứng minh đợc f ( x, y ) g ( x, y ) , chứ cha chứng minh đợc f ( x, y ) m với m
là hằng số.
Ta đa ra một vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng x 2 4 x 4
2
2
sẽ suy ra: x 2 nhỏ nhất x = 4 x 4 ( x 2) = 0 x = 2 .

Dẫn đến: Minx 2 = 4 x = 2


Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x 2 = 0 x = 0
Cách giải đúng:
Ta có:

( x + y ) 2 = 4 2 x 2 + 2 xy + y 2 = 16

(1)

Ta lại có:

( x y ) 2 0 x 2 2 xy + y 2 0

(2)

2
2
2
2
Từ (1) , (2) : 2( x + y ) 16 x + y 8

MinA = 8 x = y = 2

Vậy

2/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x + x

Lời giải sai:
2

1 1
1
1

A = x+ x = x+ x + = x +
4 4
2
4

1
Vậy MinA = 4
1
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh f ( x) 4 , cha chỉ ra trờng hợp
1
1
xẩy ra dấu đẳng thức f ( x) 4 . Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x = 2 ,

vô lý.
Lời giải đúng:
Để tồn tại x phải có x 0
Do đó A = x + x 0
Min A = 0 x = 0
VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:
A = xyz ( x + y )( y + x )( z + x )

Với x, y, z 0 và x + y + z = 1
2

Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab (a + b)

4( x + y ) z ( x + y + z ) 2 = 1
4( x + z ) x ( y + z + x ) 2 = 1
4( x + x) y ( z + x + y ) 2 = 1

Nhân từng vế (do hai vế đều không âm)
64 xyz ( x + y )( y + x) z + x ) 1


MaxA =

1
64

Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ cha chỉ ra đợc trờng hợp xẩy ra dấu
1

đẳng thức. Điều kiện để A = 64 là:
x + y = z
y + z = x


z + x = y
x + y + z = 1


x, y , z 0

x = y = z = 0

x + y + z = 1
x, y, z 0


mâu thuẩn

Cách giải đúng:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
1 = x + y + z 3.3 xyz

(1)

2 = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x) 3.3 ( x + y )( y + z )( z + x)

(2)

Nhân từng vế (1) với (2) do 2 vế đều không âm)
3

2
2 9. A A
9
3
1
2
MaxA = x = y = z =
3

9
3

Chơng II:

một số phơng pháp tìm cực trị
I/ Phơng pháp tam thức bậc hai
I.1 - Nội dung:

Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc
hai về dạng bình phơng một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do.
I.2 - Các ví dụ:

Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai


1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2 8 x + 1
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 2 x 2 4 x + 1
3/ Tìm giá trị nếu có của C = 3x 2 4 x + 1
4/ Cho tam thức bậc hai P = ax 2 + bx = c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0 ;Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
HD giải:
Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai.
2
2
1/ A = x 8 x + 1 = ( x 4) 15 15 min A = 15 x = 4
2
2
2/ B = 2 x 4 x + 1 = 2( x 1) 1 1 min B = 1 x = 1
2

2
7 7

3/ C = 3x 4 x + 1 = 3 x +
3
3 3

2

max C =

7
2
x=
3
3

2

c
b b 2 4ac
2 b

P
=
ax
+
bx
+

c
=
a
x
+
x
+
=
a
x





4/
a
a
2a
4c


2
b 4ac
b
x=
+ Nếu a > 0 : min P =
4a
2a
2

b 4ac
b
x=
+ Nếu a < 0 : max P =
4a
2a
2

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:
2
2
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ( x + x + 1)
2
HD: MinA Min( x + x + 1)
2k
Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: B = [ f ( x)] (k N )

VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x( x 3)( x 4)( x 7) +12
HD: Dùng phơng pháp đổi biến. Ta có C = (x2 -7x ) ( x2 -7x +12) +12
Đặt x2 -7x = y => C = y (y +12) +12 = y2 +12y +36 -24 = (y +6)2 -24
-24
Vậy min C = -24<=> y =-6 <=> x = 1 hoặc x= 6


Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng
số, có mẫu là tam thức bậc hai.
3

VD: Tìm giá trị lớn nhất của M = 4 x 2 4 x + 5
HD: Vì tử và mẩu thức đều dơng , mà tử không đổi nên M lớn nhất khi

1

mẩu bé nhất . 4x2 - 4x + 5 = ( 2x -1)2 +4 4 <=> x = 2
3

1

Vậy M lớn nhất = 4 <=> x = 2
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình
phơng nhị thức:
x2 + x +1
P
=
VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của
( x + 1) 2
1
1
HD: P = 1 x + 1 + ( x + 1) 2
2

1
1
3 3
, có P = y 2 y + 1 = y +
x +1
2
4 4

3
1

MinP = y = x = 1
4
2

Đặt y =

Cách 2: Viết N dới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm:
2

4x 2 4x + 4 3 x 1
3

P=
= +
2
4 2( x + 1
4
4( x + 1)
3
MinP = x = 1
4

Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa
các biến:
VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = 3 xy x 2 y 2

Biết x, y là nghiệm của phơng trình: 5 x + 2 y = 10
Giải:

Ta có: 5 x + 2 y = 10 y =

10 5 x
2

1
(59 x 2 + 160 x 100)
4
59
160
= x2 +
25
4
59
2
59
80
6400
=
x +
25
4
59
3481

A=


2

59
80 1600
= x +
25
4
59
59
2

125 59
80
125
A=
x
59
4
59
59
80

x
=
125

59
Vậy max A = 59 95
y =

59
I.3 - Một số bài tập tự giải:

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:
2
a/ A = 4 x 20 x + 35

2
b/ B = 2 x + 3x + 1

2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a/ A = ( x 1)( x 2( x 3)( x 5)

2
2
b/ B = x 2 x + y + 4 y + 5

P = 2 x 2 + 5 y 2 với ã3 y = 7
Q = a 3 + b 3 + ab với a + b = 1

IV: Lu ý :Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phơng pháp tam thức bậc

hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ năng giải
toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài
toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai.
II/ Phơng pháp miền giá trị của hàm số:
II.1 - Nội dung phơng pháp:

Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) với
x D. Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ ph -

ơng trình (ẩn x ) sau có nghiệm:

f ( x) = y 0

(1)

xD

(2)


Tuỳ dạng của hệ (1) , (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp.
Trong nhiều trờng hợp, điều kiện ấy sẽ đa về dạng a y 0 b (3) .
Vì y 0 là một giá trị bất kỳ của f (x) nền từ (3) ta thu đợc: Min f ( x) = a và
Max f ( x) = b trong đó x D.

Nh vậy thực chât của phơng pháp này là đa về phơng trình bậc hai và sử
dụng điều kiện 0.
II.2 - Các ví dụ:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
A=

x2 x +1
x2 + x +1

Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phơng trình ẩn x ã sau đây có nghiệm:
x2 x +1
(1)
x2 + x +1
Do x 2 + x + 1 0 nên (1) ax 2 + ax + a = x 2 x + 1

a=

)(a 1) x 2 + (a + 1) x + (a 1) = 0(2)

+ TH1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
+ TH2: Nếu a 0 thì để (2) có nghiệm, cần và đủ là 0 , tức là:
(a + 1) 2 4( a 1) 2 0
(a + 1 + 2a 2)(4 + 1 2a + 2) 0
(3a 1)(a 3) 0

1

1
a 3 (a 1) .
3

Với a = 3 hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là:
x=
1

(a + 1) (a + 1)
=
2(a 1) 2(1 a )

Với a = 3 thì x = 1, với a = 3 thì x = 1
Gộp cả hai trờng hợp 1 và 2 ta có:
MinA =

1
x =1

3


MaxA = 3 x = 1

Cách khác:
A=

3x 2 + 3 x + 3 2 x 2 4 x 2
2( x + 1) 2
=
3

3
x2 + x +1
x2 + x +1

max A = 3 x = 1

A=

3x 2 3x + 3
x2 + x +1
2( x 2 2 x + 1) 1
2( x 1) 2
1
=
+
=
+

2
2
2
2
3x + 3 x + 3 3( x + x + 1) 3( x + x + 1) 3 3( x + x + 1) 3

MinA =

1
x =1
3

Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dới dạng khác, đó là:
1

x2 x +1

1/ Chứng minh: 3 x 2 + x + 1 3
2/ Tìm điều kiện để phơng trình sau có nghiệm (vô nghiệm):
x2 x +1
m =0
x2 + x +1
2
2
2
3/ Cho phơng trình: ( 3m + 2m + 1) x (2m + 10m + 3) x 1 = 0 có 2 nghiệm

x1 , x 2 . Tìm giá trị lớn nhất của tổng x1 + x 2 .
II.3 - Bài tập tự giải:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
a/ y =

x2 + x +1
x2 +1

b/ y =

x2 x + 1
x2 1

II.4 - Lu ý:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những

biểu thức có thể đa về hàm số bằng phơng pháp miền giá trị thờng đợc đa về phơng trình và tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm. Phơng pháp này có u điểm
là tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm, thông qua
việc này giúp cho học sinh rèn kỹ năng giải phơng trình.
III/ Phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc
III.1/ Nôi dung phơng pháp:

Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x) M , x D
M = Maxf ( x)
x 0 D : f ( x0 = M


f ( x) M , x D
m = Min f ( x)
x0 D : f ( x 0 = m

Nh vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên miền
D nào đó, ta tiến hành theo hai bớc:

+ Chứng minh một bất đẳng thức
+ Tìm x0 D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm đợc trở thành
đẳng thức.
Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản nh Côsi, Trêbsep, Bunhia côpxki thì
các điểm nh vậy thờng đợc tìm thấy nhờ phần 2 trong cách phát hiện ra dấu đẳng
thức ấy, cần có một nhận xét thích hợp.
2/ Các bất đẳng thức thờng dùng:
2k
1/ a 2 0. Tổng quát a 0, k nguyên dơng

Xẩy ra dấu đẳng thức a = 0
2k
2/ a 2 0. Tổng quát (a) 0, k nguyên dơng

Xẩy ra dấu đẳng thức a = 0
3/ a 0. Xẩy ra dấu đẳng thức a = 0
4/ a a a Xẩy ra dấu đẳng thức a = 0
5/ a + b a + b Xẩy ra dấu đẳng thức ab 0 (a, b cùng dấu)
a b a + b Xẩy ra dấu đẳng thức ab 0 (a, b cùng dấu)
a + b + c a + b + c Xẩy ra dấu đẳng thức ab 0; bc 0; ac 0 ;
1

1

6/ a b; ab 0 a b . Xẩy ra dấu đẳng thức a = b
a

b

7/ b + a 2 với a, b cùng dấu. Xẩy ra dấu đẳng thức a = b
8/ Bất đẳng thức Côsi:
+ Đối với 2 số dơng a, b bất kỳ.
a+b
ab (hoặc a 2 + b 2 2ab) . Xẩy ra dấu đẳng thức a = b
2

+ Đối với a1 0; i = 1,..., n :
a1 + a 2 + ... + a n n
a1 .a 2 ...a 2
n


9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki:
Nếu (a1 , a 2 ,...a n ) và (b1 , b2 ,...bn ) là những số tuỳ ý, ta có:
2

2

2

2

2

2

(a1 + a 2 +,... + a n ) . (b1 + b2 +,... + bn ) (a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ) 2

ai a j
Dấu bằng xẩy ra b = b (với quy ớc rằng nếu ai = 0 thì bi = 0 ).
i
j

10/ Bất đẳng thức Trêbsép.
+ Nếu

a1 a 2 ... a n
b1 b2 ... bn thì
n(a1b1 + a 2 b2 ...a n bn ) (a1 + a 2 ... + a n ).(b1 + b2 ... + bn ).

Dấu bằng xẩy ra ai = a j hoặc bi = b j ; ai , b j tuỳ ý
+ Nếu

a1 a 2 ... a n
b1 b2 ... bn thì

n(a1b1 + a 2 b2 ...a n bn ) (a1 + a 2 ... + a n ).(b1 + b2 ... + bn ).

Dấu bằng xẩy ra ai = a j hoặc bi = b j ; ai , b j tuỳ ý.
III.2 - Các ví dụ:

VD1: Cho x,y là hai số thực thoã mãn : ( x + y ) 2 +7(x +y ) + y2 +10 = 0
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P = x + y +1
7

7

7

HD giải: Từ giả thiết Suy ra ( x+ y )2 + 2(x+y ). 2 + ( 2 )2 -( 2 )2 + 10 = -y2 0
7

9

7

9

(x+ y + 2 )2 - 4 0 <=> (x+ y + 2 )2 4
3

7

3

- 2 x + y + 2 2 => -4 P = x +y +1 -1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -4 và giá trị lớn nhất của P là -1
VD2: Cho biểu thức xy + yz + zx = 1
4
4
4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z

Giải


áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối với ( x, y, z ) và ( y, z , x)
1 = ( xy + yz + zx) 2 ( x 2 + y 2 + z 2 )( y 2 + z 2 + x 2 ) 1 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2

(1)

2
2
2
Mặt khác, đối với (1, 1, 1) và x , y , z ), ta có:

(1.x 2 + 1. y 2 + 1.z 2 ) 2 (12 + 12 + 12 ) 2 .( y 4 + z 4 + x 4 )

(2)
1

4
4
4
Từ (1) và (2) suy ra: 1 3( y + z + x ) = 3P P 3

Vậy

x y z
y = x = x
1

MinP =
3
1 = 1 = 1
y 2 x 2 z 2

x=y=z

VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:

a/ A = x 1 + y 2 biết x + y = 4
b/ B =

x 1
+
x

y2
y

Giải:
a/ Điều kiện: x 1; y 2
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng:

a+b
ab
2

ở đây lại muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức:
a + b 2(a 2 + b 2 )
A = x 1 + y 2 2( x 1 + y 2) = 2
x 1 = y 2
MaxA = 2
x + y = 4

x = 1,5

y = 2,5

2
Cách khác: Xét A rồi dùng bất đẳng thức Côsi

b/ Điều kiện: x 1; y 2
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội một tích:
Ta xem các biểu thức: x 1, y 2 là các tích:
x 1 = 1.( x 1)
y2 =

2.( y 2)
2

ab

a+b
2


Theo bất đẳng thức Côsi:

1.( x 1) 1 + x 1 1
x 1
=

=
x
x
2x

2
y2
=
y

MaxB =

2( y 2)
y 2

1
2 2+ 2
+
=
2
4
4



2+ y2
2y 2

.=

2
2 2

x 1 = 1

x 2 = 2

=

2
4

x = 2

y = 4

VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + x 3
Giải:
Ta có: A = x 2 + x 3 x 2 + 3 x = 1
MinA = 1 ( x 2)(3 x) 0 x 3

Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi x 3 = 3 x để áp dụng bất
đẳng thức giá trị tuyệt đối.
Cách khác: Xét khoảng giá trị của x.
VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x 1 + x 2 + ... + x 2000
Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: a + b a + b đối
với 1000 cặp giá trị tuyệt đối.
Ta có: y = ( x 1 + x 2000 ) + ( x 2 + x 1999 ) + ... + ( x 999 + x 1000 )

[

y1 = ( x 1 + x 2000 ) 1999 min y1 = 1999 x 1 ; 2000

]

[

y 2 = ( x 2 + x 1999 ) 1997 min y 2 = 1997 x 2 ; 2000

[

Y1000 = ( x 999 + x 1000 ) 1 min Y1000 = 1 x 999, 1000

]

]

2
Vậy Min y = 1 + 3 + 5 + ... + 1999 = 1000 = 1000000

Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau:
1/ Tìm miền giá trị của hàm số:


y = x 1 + x 2 + ... + + x 2004

2/ Chứng minh bất đẳng thức:
y = x 1 + x 2 + ... + x 2004 10 6

3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = x 1 + x 2 + ... + x 2002

III.4 - Bài tập tự giải:
2
3

1/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = (1 x) (1 x) với x 1

1 x 1 x 1+ x 1+ x 1+ x

HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với 5 số không âm: 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3
2
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3x + 2 9 x
2
HD: áp dụng bất đẳng thức Bunhia với (1;1); (3x; 2 9 x )

3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 51 4 x 1
4/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N = x + x 1
5/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a/ A = x 2 2 x + 1 + x 2 6 x + 9

b/ B = x + 9 6 x + x + 1 2 x

III.4 - Lu ý :Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đối với mỗi bài đòi hỏi tính

linh hoạt cao, mỗi bài có một nét riêng biệt, không có quy tắc chung để vận
dụng. Vì vậy cần cho học sinh làm quen với nhiều loại bài tập này./.

3-Kết quả thực nghiệm s phạm:
Qua mấy năm trực tiếp giảng dạy tôi đã thấy rõ đợc thực trạng khả năng giải
toán ''Cực trị ''của học sinh là còn rất yếu, do cảm giác khó cho nên các em đâm
ra rất ngại khi bắt gặp các phơng trình dạng này, gây ra sự hứng thú trong học
tập không cao. Song thực tế dạng toán này lại có rất nhiều ở các đề thi học sinh
giỏi, đề thi vào các trờng THPT ( đặc biệt là vào các trờng chuyên THPT ).Tôi đã
mạnh dạn áp dụng kinh nghiệm này vào trong việc giảng dạy của mình; và đã
thu đợc một số thành công nhất định. Do đợc hớng dẫn kĩ càng và cho học sinh

rèn luyện nhiều thông qua hệ thống bài tập đợc chọn lọc nên các em đã giải đợc
rất nhiều bài toán về cực trị với nhiều dạng khác nhau. Từ việc rất ngại và sợ gặp


phải dạng toán này , bây giờ các em rất tự tin và hứng thú với loại toán này . Từ
đó cũng góp phần xây dựng cho học sinh lòng yêu thích ; sự hứng khởi trong học
tập và chủ động linh hoạt hơn việc chinh phục các kiến thức mới của mình .
Sau khi áp dụng kinh nghiệm này vào thực tế giảng dạy và rút kinh nghiệm
dần qua từng năm. Tôi đã lại cho HS của mình làm bài khảo sát với nội dung về
bài toán cực trị .
kết quả thu đợc từ 20 em đợc chọn nh sau :

*Trớc khi áp dụng kinh nghiệm :
Số HS cha biết giải

Số HS mới biết giải các
bài đơn giản thờng gặp
đạt mức TB

Số HS nắm khá chắc
các pp giải và đạt kết
quả khá tốt

4 em

15 em

1em

20%

75%

5%

*Sau khi áp dụng kinh nghiệm :
Số HS cha biết giải

Số HS mới biết giải các
PT đơn giản thờng gặp
đạt mức TB

Số HS nắm khá chắc
các pp giải và đạt kết
quả khá tốt

0 em

10 em

10em

0%

50%

50 %

C- Kết Luận và kiến nghị :
Qua thực tế giảng dạy, từ việc nắm rõ thực trạng HS của mình về kĩ năng

giải toán '' cực trị ''còn nhiều tồn tại. Bản thân tôi đã mạnh dạn rút ra kinh
nghiệm:'' Hớng dẫn học sinh nắm chắc và vận dụng linh hoạt các phơng pháp
giải bài toán cực trị ; từ việc áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy bản thân tôi
nhận thấy nó đã mang lại hiệu quả rất tốt cho bản thân giáo viên và học sinh của
mình. Các em đã có kĩ năng khá tốt về chuyên đề này. Đặc biệt đã khắc phục đợc tình trạng các em ái ngại và ''sợ ''bài toán cực trị , giờ đây các em đã rất tự tin,
yêu thích và say mê, sáng tạo, chủ động tìm tòi các phơng pháp giải và giải khá
thành thạo , biết vận dụng linh hoạt hơn các phơng pháp giải bài toán cực trị nói
riêng và giải toán nói chung . Tổ chuyên môn đã thống nhất đa ra áp dụng giảng
dạy với đối tợng học sinh lớp 8, 9 và nhận thấy rất hiệu quả .
Với kinh nghiệm và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế, chắc chắn rằng
bài viết còn nhiều thiếu sót. Các phơng pháp giải và hệ thống bài tập minh hoạ
tôi đã trình bày trên đây chắc rằng cha đầy đủ và hay. Bản thân tôi rất mong
nhận đợc sự bổ sung chỉnh lí của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để bài


viết đạt hiệu quả tốt hơn. Nhằm đáp ứng với yêu cầu đổi mới và nâng cao hiệu
quả giáo dục trong giai đoạn mới hiện nay .
Tháng 4 năm 2009