Đề cương ôn vào 10 mới Đông Phương 2

TRNG THCS ễNG PHNG


K HOCH ễN TP
Thi vO LP 10 THPT
Nm hc 2011 - 2012

tổng hợp kiến thức
và cách giải các dạng bài tập toán 9

Năm hc 2010 - 2011
Phần I:
Đại số

1


CHUYấN 1: CN THC BC HAI
I/ KIN THC
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.
A có nghĩa khi A 0
2. Các công thức biến đổi căn thức.
A2 = A
a.
AB = A. B ( A 0; B 0)
b.
c.

A
=
B

d.

A2 B = A B

e.

A
B

( A 0; B > 0)

A B = A2 B

( A 0; B 0)

A B = A2 B
A 1
=
B B

f.

( B 0)

AB

( A < 0; B 0)
( AB 0; B 0)

i.

A
A B
=
B
B

k.

C
C ( A mB )
=
A B2
AB

m.

C
C( A m B )
=
A B2
A B

( B > 0)
( A 0; A B 2 )
( A 0; B 0; A B )

II/ BI TP
Dng 1/ iu kin xỏc nh .

Bi 1: Tỡm iu kin ca cỏc biu thc sau:
a, 2 x + 1 ;

b,

1
;
2 x

c,

3
x 1
2

;

a, 2 x + 1 có nghĩa khi 2x + 1 0 x

HD Giải:
b,

c,

x 0
1

có nghĩa khi
2 x
2 x 0

d, 2 x 2 + 3 ;

e,

5
x2 2

1
2

x 0

x 4

x 1 > 0

3
x + 1 > 0
2

(
x

1)(
x
+
1)
>
0

có
nghĩa
khi
x
1
>
0
x 1 < 0
x2 1

x + 1 < 0

x > 1

x < 1

d, 2 x 2 + 3 có nghĩa khi 2x2 + 3 0 . Điều này đúng với mọi x.
Vậy biểu thức này có nghĩa với mọi x
e,

5
x 2
2

có nghĩa khi - x2 2 > 0. Điều này vô lí với mọi x.

Vậy biểu thức này vô nghĩa với mọi x
2

Bài 2: (bài 1/9 OTT9)
Bµi 3 (BTVN): T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó c¸c biÓu thc sau cã nghÜa
a, 3x + 9
b, −5 x − 10
c, x 2 + 2 x + 3
d, x 2 − 4
g,

−5
−x − 7

4
x−3

h,

5
7− x

k, 2 x − 6 −

x −1
x+2

l,

e, − x 2 − 9
x−2
x+3

m,

Dạng 2: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức
Bài 1: Thực hiện c¸c phép tính sau:
2 − 3 0,4 )

A, ( 8 − 3 2 + 10 )(
C, (

b, ( 0,2 (−10) 2 .3 + 2 ( 3 − 5 ) 2

28 − 2 14 + 7 ). 7 + 7 8

d, ( 15 50 + 5 200 − 3 450 ) : 10

E, 2 ( 2 − 3) 2 + 2(−3) 2 − 5 (−1) 4
H, (

14 − 7
1− 2

+

15 − 5
1− 3

g, (

1

):

8−2

216
): 6
3

−

5 + 2 6 + 8 − 2 15

i,

7− 5

2 3− 6

7 + 2 10

Bài 2: Thực hiện phép tính:
1) 2 5 − 125 − 80 + 605 ;

2)

10 + 2 10
8
+
;

5 + 2 1− 5

2 8 − 12
5 + 27
−
;
18 − 48
30 + 162

5)

2− 3
2+ 3
+
;
2+ 3
2− 3

4)

7) 2 27 − 6

4 3
+
75 ;
3 5

10) 2 − 3 ( 5 + 2 ) ;

8)

(

3− 5. 3+ 5

11) 3 − 5 + 3 + 5 ;

15)
18)

2 + 6+4 2

+

6−4 2
2 − 6−4 2

4
1
6
+
+
; 19)
3 +1
3−2
3 −3

(

;

2 + 2+ 3

) (
3

2 +1 −

16
1
4
−3
−6
;
3
27
75

)

192 ;

12) 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 ;

1

16) (

6) 2

9) 8 3 − 2 25 12 + 4

10 + 2

13) ( 5 + 2 6 ) ( 49 − 20 6 ) 5 − 2 6 ; 14)
6+4 2

)

3) 15 − 216 + 33 − 12 6 ;

1

+

2 − 2− 3

;

2

5 + 2 −8 5
2 5 −4

)

2 −1

3

;

20)

17) 14 − 8 3 − 24 − 12 3 ;
3
1−

+

3 +1 1+

3
3 +1

.

Bài 3: Thực hiện phép tính: (Bài 3/10 sách ôn tập)
Bài 4: Rút gọn các biểu thức (Bài 4/10 sách ôn tập)
Bài 5: Thu gọn biểu thức:
4
8
15
−
+
3 + 5 1+ 5
5
2/ Cho A = 5 + 15 và B = 5 3/ 2 3 + 3 27 − 300
 14 - 7
15 - 5 

1
+
:
÷
4/ 
2 -1
3 -1 ÷

 7- 5

1/

15 hãy so sánh A + B và A.B.

3


5/

3
13
6
+
+
2+ 3 4− 3
3

Bài 6: a) Rút gọn biểu thức: A = 2 48 − 75 − (1 − 3) 2
25

2

b) Trục căn ở mẫu : A = 7 + 2 6 ; B =
4+2 3
c) A =

4 + 15
4 − 15

4 − 15

+

4 + 15

;

 a − a  a + 2 a 
1 +

B = 1 +


1
−
a
2
+
a





CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I/ Kiến thức cơ bản
1. Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)
-Đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0.
-Đồ thị là đường thẳng khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị.
+Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
+Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b.
-Đồ thị hàm số luôn tạo với trục hoành một góc α , mà tgα = a .
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA + b.
2. Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x)
yA = f(xA).
2
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 4).
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 4) nên: 4 = a.22
a=1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2; 2) và đường thẳng (d) có phương trình:
y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc vào đường thẳng (d)
3. Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ;
(d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ 0.
-Hai đường thẳng song song khi a1 = a2 và b1 ≠ b2.
-Hai đường thẳng trùng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2.

-Hai đường thẳng cắt nhau khi a1 ≠ a2.
+Nếu b1 = b2 thì chúng cắt nhau tại b1 trên trục tung.
+Nếu a1.a2 = -1 thì chúng vuông góc với nhau.
4. Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để
tìm tung độ giao điểm.
4


Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.
5. Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm cặp
số (x; y).
Bước 2: Thay (x; y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
6. Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0)
-Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0.
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
-Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:
+) Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ.
+) Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ.
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA2.
7. Vị trí của đường thẳng và parabol
-Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax2:
+) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am2).
-Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax2:
+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ.
m
+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x = ±
a

+) Nếu am < 0 thì không có giao điểm.
8. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
cx2 = ax + b (V)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax + b hoặc y = cx 2 để
tìm tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).
9. Tìm điều kiện để (d) và (P).
a) (d) và (P) cắt nhau
phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau

phương trình (V) có nghiệm kép.

c) (d) và (P) không giao nhau
phương trình (V) vô nghiệm .
10. Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết.
a. Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x0; y0)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a.
Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0; y0 vào công thức y = ax + b để tìm b.
b. Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1; y1) và B(x2; y2).
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình tìm a,b.
c. Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0; y0) và tiếp xúc với (P): y = cx2 (c

0).
5


+) Do ng thng i qua im A(x0; y0) nờn cú phng trỡnh :

y0 = ax0 + b
+) Do th hm s y = ax + b tip xỳc vi (P): y = cx 2 (c 0) nờn:
Pt: cx2 = ax + b cú nghim kộp
+) Gii h gm hai phng trỡnh trờn tỡm a, b.
11. Chng minh ng thng luụn i qua 1 im c nh (gi s tham s l m).
+) Gi s A(x0; y0) l im c nh m ng thng luụn i qua vi mi m, thay
x0;y0 vo phng trỡnh ng thng chuyn v phng trỡnh n m h s x 0; y0 nghim
ỳng vi mi m.
+) ng nht h s ca phng trỡnh trờn vi 0 gii h tỡm ra x0; y0.
II/ Bài tập về hàm số.
Bài 1. Cho parabol y = 2x2. (p)
a. Tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 3x 1.
b. Tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 6x -

9
.
2

c. Tìm giá trị của a, b sao cho đờng thẳng y = ax + b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;2).
d. Tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1; 2).
e. Biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2m + 1. ( bằng hai phơng pháp
đồ thị và đại số).
f. Cho đờng thẳng (d): y = mx - 2. Tìm m để
+ (p) không cắt (d).
+ (p)tiếp xúc với (d). Tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?
+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
+ (p) cắt (d).
Bài 2. Cho hàm số (p): y = x2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).
a. Viết phơng trình đờng thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b. Viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).

c. Viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
Bài 3. Cho (P): y = x2 và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là
y = 2x 5 (a)
y = 2x + m (b)
a. Chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P).
b. Tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:
+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau.
+ Tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.
+ Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. Tìm toạ độ
giao điểm của (a) và (d).
Bài 4. Cho hàm số y =

1
x (P)
2

a. Vẽ đồ thị hàm số (P).
6


b. Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y = 2x + m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm
phân biệt A, B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B.
Bài 5. Cho hàm số y = 2x2 (P) và y = 3x + m (d)
a. Khi m = 1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d).
b. Tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
c. Tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m.
Bài 6. Cho hàm số y = -x2 (P) và đờng thẳng (d) đi qua N(-1; -2) có hệ số góc k.
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại
hai điểm A,B. tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung.
b. Gọi (x1; y1); (x2; y2) là toạ độ của các điểm A, B nói trên, tìm k cho tổng

S = x1+ y1+ x2+ y2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 7. Cho hàm số y = mx m + 1 (d).
a. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định. tìm điểm
cố định ấy.
b. Tìm m để (d) cắt (P): y = x2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB = 3 .
Mt s thi
MT S THI THAM KHO
Câu IV: (1,5đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P).
1. Tìm a, biết rằng (P) cắt ng thẳng (d) có phng trình y = -x -

3
tại điểm A có
2

hoành độ bằng 3. Vẽ đồ thị (P) ứng với a vừa tìm c.
2. Tìm toạ độ giao điểm thứ hai B (B khác A) của (P) và (d).
Bài 2: (2,25đ)
a) Cho hàm số y = ax + b. Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song song với
ng thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P): y =

1 2
x có hoàng độ bằng
2

-2.
b) Không cần giải, chứng tỏ rằng phng trình ( 3 + 1 )x2 - 2x nghiệm phân biệt và tính tổng các bình phng hai nghiệm đó.
Câu II: HCM
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y =

3 = 0 có hai

x2
và đuờng thẳng (d): y = x + 4 trên cùng một hệ
2

trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Bi 1: H Tnh
1. Trong h trc to Oxy, bit ng thng y = ax + 3 i qua im M(-2; 2). Tỡm h
s a
Bi 2: (3.0 im ) QUNG NAM
Cho hm s y = x2 v y = x + 2
a) V th ca cỏc hm s ny trờn cựng mt mt phng ta Oxy
b) Tỡm ta cỏc giao im A,B ca th hai hm s trờn bng phộp tớnh
c) Tớnh din tớch tam giỏc OAB
7


Bài 3. (1,5 điểm) QUNG NINH
Cho hàm số : y = (2m 1)x + m + 1 với m là tham số và m #

1
. Hãy xác định m trong
2

mỗi trng hơp sau :
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M (-1; 1)
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lợt tại A, B sao cho tam giác OAB cân.
3
2

HI PHềNG Tỡm m ng thng y = 3x 6 v ng thng y = x + m ct nhau ti
mt im trờn trc honh
Bi 3: (3,0 im) KIấN GIANG
a) Cho hm s y = -x2 v hm s y = x 2. V th hai hm s trờn cựng h trc
ta . Tỡm ta giao im ca hai ụ th trờn bng phng phỏp i s .
b) Cho parabol (P) : y =

x2
4

v ng thng (D) : y = mx -

3
m 1. Tỡm m (D)
2

tip xỳc vi (P) . Chng minh rng hai ng thng (D1) v (D2) tip xỳc vi (P) v
hai ng thng y vuụng gúc vi nhau .
Bi 2: (1,5 im) AN GIANG
1/ Cho hai ng thng d1 : y = (m+1) x + 5 ; d 2 : y = 2x + n. Vi giỏ tr no ca m,
n thỡ d1 trựng vi d 2 ?
x2
2/ Trờn cựng mt phng ta , cho hai th (P): y =
; d: y = 6 x . Tỡm ta
3

giao im ca (P) v d bng phộp toỏn .
Bi 2 (2 im) Cho Parabol (P): y= x2 v ng thng (d): y = mx - 2 (m l tham s m
0)

a/ V th (P) trờn mt phng to xOy.
b/ Khi m = 3, hóy tỡm to giao im (P) v (d) .
c/ Gi A(xA; yA), B(xA; yB) l hai giao im phõn bit ca (P) v ( d). Tỡm cỏc giỏ tr
ca m sao cho : yA + yB = 2(xA + xB ) -1 .
Bi 2 (1,5 im) QUNG TR
Cho hm s y = ax + b.
Tỡm a, b bit th ca hm s i qua im (2, -1) v ct trc honh ti im cú
honh bng

3
.
2

Bi 3 (2,5 im) THANH HểA
Trong mt phng ta Oxy cho parabol (P): y = x2 v im B(0;1)
8


1. Vit phng trỡnh ng thng (d) i qua im B(0;1) v cú h s k.
2. Chng minh rng ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti hai im phõn bit E v
F vi mi k.
Cõu 2 (1,5 im) QUNG TR
Trong mt phng to Oxy cho hm s y = -2x + 4 cú th l ng thng (d).
a) Tỡm to giao im ca ng thng (d) vi hai trc to
b) Tỡm trờn (d) im cú honh bng tung .
Cõu II : (2,0 ) Hi Dng
1
1
1) Cho hàm số y = f(x) = x 2 . Tính f(0); f ( 2 ) ; f ữ; f 2
2

2
Bi 1: (2im) BèNH THUN
Cho hai hm s y = x 1 v y = 2x + 5
1/ V trờn cựng mt mt phng to th ca hai hm s ó cho.
2/ Bng phộp tớnh hóy tỡm to giao im ca hai th trờn.
2. Bắc giang Hàm số y = 2009x + 2010 đòng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao
2. Bắc giang Cho hàm số y = x - 1. Tại x = 4 thì y có giá trị là bao nhiêu?
Bi 2:
Cho ba ng thẳng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 và (d3): nx - y = n - 1;
n là tham số.
a) Tìm tọa độ giao điểm N của hai ng thẳng (d1) và (d2).
b) Tìm n để ng thẳng (d3) đi qua N.

(

)

CHUYấN 3:
PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH - BT PHNG TRèNH
(Bc nht)
I.KIN THC C BN
1.Phng trỡnh bc nht mt n
-a v dng ax + b = 0 (a 0)
b
-Nghim duy nht l x =
a
2.Phng trỡnh cha n mu
-Tỡm KX ca phng trỡnh.
-Quy ng v kh mu.
-Gii phng trỡnh va tỡm c.

-So sỏnh giỏ tr va tỡm c vi KX ri kt lun.
3.Phng trỡnh tớch
giỏi phng trỡnh tớch ta ch cn gii cỏc phng trỡnh thnh phn ca nú. Chng
hn: Vi phng trỡnh A(x).B(x).C(x) = 0
A ( x ) = 0

B( x ) = 0
C x = 0
( )
9


4.Phng trỡnh cú cha h s ch (Gii v bin lun phng trỡnh)
Dng phng trỡnh ny sau khi bin i cng cú dng ax + b = 0. Song giỏ tr c th
ca a, b ta khụng bit nờn cn t iu kin xỏc nh s nghim ca phng trỡnh.
b
-Nu a 0 thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht x =
.
a
-Nu a = 0 v b = 0 thỡ phng trỡnh cú vụ s nghim.
-Nu a = 0 v b 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
5.Phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i
Cn chỳ ý khỏi nim giỏ tr tuyt i ca mt biu thc
A khi A 0
A =
A khi A < 0
6.H phng trỡnh bc nht
Cỏch gii ch yu da vo hai phng phỏp cng i s v th. Chỳ ý phng phỏp
t n ph trong mt s trng hp xut hin cỏc biu thc ging nhau c hai phng
trỡnh.

7.Bt phng trỡnh bc nht
Vi bt phng trỡnh bc nht thỡ vic bin i tng t nh vi phng trỡnh bc
nht. Tuy nhiờn cn chỳ ý khi nhõn v c hai v vi cựng mt s õm thỡ phi i chiu bt
phng trỡnh.
II. BI TP
Bi 1: : Giải các HPT sau:
1.1.
2 x y = 3
3 x + y = 7

a.
Giải:

a. Dùng PP thế:

Dùng PP cộng:

2 x + 3 y = 2
5 x + 2 y = 6

b.

2 x y = 3

3 x + y = 7

y = 2x 3
y = 2x 3 x = 2
x = 2

3x + 2 x 3 = 7
5 x = 10
y = 2.2 3 y = 1
x = 2
Vy HPT đã cho có nghiệm là:
y =1
2 x y = 3
5 x = 10
x = 2
x = 2




3 x + y = 7
3 x + y = 7
3.2 + y = 7
y =1
x = 2
Vy HPT đã cho có nghiệm là:
y =1

-

-

Để giải loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.

2 x + 3 y = 2
10 x + 15 y = 10
11 y = 22
y = 2
x = 2





5 x + 2 y = 6
10 x + 4 y = 12
5 x + 2 y = 6
5 x + 2.(2 = 6)
y = 2
x = 2
Vy HPT có nghiệm là y = 2


Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giải sau đây:

10


1.2.

2
x +1 +

2 +
x + 1

3
= 1
y
5
= 1
y

ĐK: x 1, y 0 .

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng.
2
x +1 +


2 +
x + 1

3
2
= 1
1
3
y =1
y =1


y =2

y



x +1 =
x =

2
2

2
2
5
5
2
5
+ =1
= 4




= 1
+ = 1 x +1 1
y =1
y =1
x +1
x + 1 y
y

3

x =
2
Vy HPT có nghiệm là
y = 1
+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ.
ĐK: x 1, y 0 .
1
1
= b . HPT đã cho trở thành:
=a ;
Đặt
y
x +1
1
3

x + 1 = 2
2a + 3b = 1 2a + 5b = 1 2a + 5.1 = 1 a = 2
x =





2 (TMĐK)

2a + 5b = 1
2b = 2

b = 1
b = 1
1 =1
y = 1
y
3

x =
2
HPT có nghiệm là
y = 1

Lu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
Bi 2: Gii cỏc h phng trỡnh sau (bng phng phỏp th)
x y = 3
a)
3 x 4 y = 2

7 x 3 y = 5
3 x + y = 3
4 x + 3 y = 6
b)
a)
b)
4 x + y = 2
2 x y = 7
2 x + y = 4
x + 3y = 1
Bi 3: Gii h phng trỡnh (m 2 + 1) x + 6 y = 2m trong mi trng hp sau

a) m = -1

b) m = 0

c) m = 1

Bi 4:
2 x + by = 4

a) Xỏc nh cỏc h s a v b, bit h phng trỡnh bx ay = 5 cú nghim l (1; -2)

b) Cng hi nh vy nu h phng trỡnh cú nghim l

(

2 1; 2

)

Bi 5: Gii cỏc h phng trỡnh sau:

11


2 x + y = 4

a/ 3x y = 1

x y = 1

x + 2 y = 5

3 x y 5 = 0

0, 2 x 3 y = 2

; b/ 3x + 2 y = 3 ; c/ 3x y = 1 ; d/ x + y 3 = 0 ; e/ x 15 y = 10 ;





y
2 x + 3 y = 6

x = 3 2 y
3 x y = 2
x = 5

f/ 2 x + 4 y = 2007 ; g/ 3 y + 9 x = 6 ; h/ 2
; i/ 5 x + 5 y = 5 ;


2 x y = 6
3
2

2 x + y = 5

k/ 3 x + 3 y = 15
2
4
2

Bài 7: (Giải các hệ phơng trình sau
2
1
x + y x y = 2

a)
5 4 =3
x + y x y

b)

3 x 4 y = 8

2 x + y = 2

3 x 2 4 y 2 = 3
c)
2 x 2 + y 2 = 1

(đk x;y 2 )

3 x 3 y = 3 2 3
( x + 1) + 2( y 2) = 5

( x + 5)( y 2) = ( x + 2)( y 1)
;
;
.

3( x + 1) ( y 2) = 1
( x 4)( y + 7) = ( x 3)( y + 4)
2 x + 3 y = 6 + 2
( x 1)( y 2) + ( x + 1)( y 3) = 4
3( x + y ) + 5( x y ) = 12
;
;

( x 3)( y + 1) ( x 3)( y 5) = 1
5( x + y ) + 2( x y ) = 11
1 1 4
x + y = 5

;

1 1 = 1
x y 5

2
1
x+ y x y = 2


5 4 =3
x + y x y

;

5
5
1
2 x 3 y + 3x + y = 8

;

3 5 =3
2 x 3 y 3 x + y
8

7
5

x y + 2 x + y 1 = 4,5


3
2

+
=4
x y + 2 x + y 1

CHUYấN 4:
Phơng trình bậc hai + hệ thức vi-ét
I. KIN THC C BN

1.Cỏc dng v cỏch gii
Dng 1: c = 0 khi ú
x = 0
2
( 1) ax + bx = 0 x ( ax+b ) = 0
b
x=
a

Dng 2: b = 0 khi ú
c
( 1) ax 2 + c = 0 x 2 =
a
c
c
0 thỡ x =
-Nu
.
a
a
c
< 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
-Nu
a
Dng 3: Tng quỏt
CễNG THC NGHIM TNG QUT

CễNG THC NGHIM THU GN

= b 4ac

' = b'2 ac

2

12


∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
∆ ' > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
−b + ∆
−b − ∆
−b'+ ∆ '
−b'− ∆ '
x1 =
; x2 =
x1 =
; x2 =
2a
2a
a
a
:
phương
trình
có
nghiệm
kép
:
phương

trình
có
nghiệm
kép
∆=0
∆' = 0
−b
−b'
x1 = x 2 =
x1 = x 2 =
2a
a
∆ < 0 : phương trình vô nghiệm
∆ ' < 0 : phương trình vô nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn
dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5.
3.Hệ thức Viet và ứng dụng
-Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
b

S
=
x
+
x
=
−
1
2


a

P = x x = c
1 2

a
u + v = S 2
-Nếu có hai số u và v sao cho 
( S ≥ 4P ) thì u, v là hai nghiệm của
uv
=
P

2
phương trình x – Sx + P = 0.
c
-Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = .
a
c
-Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = − .
a
2
4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)
-(1) có 2 nghiệm ∆ ≥ 0 ; có 2 nghiệm phân biệt ∆ > 0 .
∆ ≥ 0
-(1) có 2 nghiệm cùng dấu 
.
P > 0

∆ ≥ 0

-(1) có 2 nghiệm dương P > 0
S > 0

∆ ≥ 0

-(1) có 2 nghiệm âm P > 0
S < 0

-(1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.

13


a) x1 + x 2 = ;

b) x12 + x 2 2 = m;

c)

1
1
+
=n
x1 x 2

d) x12 + x 2 2 h; e) x13 + x 23 = t; ...
Trong nhng trng hp ny cn s dng h thc Viet v phng phỏp gii h

phng trỡnh.
II. các dạng bài tập
Bài tập 1:
Giải các phơng trình bậc hai sau
TT Các phơng trình cần giải theo
TT Các phơng trình cần giải theo '
2
1.
6 x - 25x - 25 = 0
1. x2 - 4x + 2 = 0
2.
6x2 - 5x + 1 = 0
2. 9x2 - 6x + 1 = 0
3.
7x2 - 13x + 2 = 0
3. -3x2 + 2x + 8 = 0
4.
3x2 + 5x + 60 = 0
4. x2 - 6x + 5 = 0
5.
2x2 + 5x + 1 = 0
5. 3x2 - 6x + 5 = 0
6.
5x2 - x + 2 = 0
6. 3x2 - 12x + 1 = 0
7.
X2 - 3x -7 = 0
7. 5x2 - 6x - 1 = 0
8.
X2 - 3 x - 10 = 0

8. 3x2 + 14x + 8 = 0
9.
4x2 - 5x - 9 = 0
9. -7x2 + 6x = - 6
10. 2x2 - x - 21 = 0
10. x2 - 12x + 32 = 0
11. 6x2 + 13x - 5 = 0
11. x2 - 6x + 8 = 0
12. 56x2 + 9x - 2 = 0
12. 9x2 - 38x - 35 = 0
13. 10x2 + 17x + 3 = 0
13. x2 - 2 3 x + 2 = 0
14. 7x2 + 5x - 3 = 0
14. 4 2 x2 - 6x - 2 = 0
15. X2 + 17x + 3 = 0
15. 2x2 - 2 2 x + 1 = 0
Bài tập 2:
Biến đổi các phơng trình sau thành phơng trình bậc hai rồi giải
a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15
b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3
d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2
e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11
f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)
k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
Bài tập 3: Cho phơng trình:

x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0
14


a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = 2; m = - 2; m = 5;
m = -5;
m = 3;
m = 7;
m=-4
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng
x = 3;
x = -3;
x = 2;
x = 5;
x = 6;
x = -1
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = -2;
m = 3;
m = 7;
m = - 4;
m = 2; m = -7;
m=-8
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng
x = 1;
x = - 4;
x = -2;

x = 6;
x = -7;
x = -3
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 5: Cho phơng trình:
x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = -2;
m = 3;
m = 7;
m = - 4;
m = 2; m = -7;
m=-8
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng
x = 1;
x = - 4;
x = -2;
x = 6;
x = -7;
x = -3
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 6: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = -1và m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 4
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = x2
Bài tập 7: Cho phơng trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2
Bài tập 8: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + (m + 7) = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = - 2x2
Bài tập 9: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 4
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 3x2
Bài tập 10: Biết rằng phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + m2 + 5m - 2 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm
x = 1. Tìm nghiệm còn lại

15


Bài tập 11: Biết rằng phơng trình : x2 - 2(3m + 1)x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Với m là tham
số ) có một nghiệm
x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 12: Biết rằng phơng trình : x2 - (6m + 1)x - 3m2 + 7 m - 2 = 0 ( Với m là tham
số ) có một nghiệm
x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 13: Biết rằng phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + m2 - 3m + 3 = 0 ( Với m là tham số)
có một nghiệm
x = -1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 14: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 5

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài tập 15: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Giải phơng trình với m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Bài tập 16: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0
a) Giải phơng trình với m = - 2
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22
Bài tập 17: Cho phơng trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m
Bài tập 18: Cho phơng trình: x2 - (2a - 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x12 + x22
Bài tập 19: Cho phơng trình: x2 - (2m - 6)x + m - 13 = 0
16

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1. x2 - x12 - x22
Bài tập 20: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2
Bài tập 21: Cho phơng trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 4
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài tập 22: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình
mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện x12 + x 22 = 1
Bài tập 23: Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0.
1

1

Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x + x =
1
2

x1 + x2
5

Bài tập 24: Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài tập 25: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0

(1)

Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2.
Bài tập 26: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm
nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài tập 27:

17


a) Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm
nghiệm chung đó?
x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0

(1)

x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0

(2)

b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình (1) là nghiệm của phơng trình (2)
và ngợc lại.
Bài tập 28: Gọi x1, x2 là các nghiệm của pt: x2 - (2m - 1)x + m 2 = 0
Tìm m để x12 + x22 có giá trị nhỏ nhất
Bài tập 29: Gọi x1; x2 là nghiệm của phơng trình:

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
Bài tập 30: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình.
x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0. Tìm m để

x12 + x 22 có giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 31: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài tập 32: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho
2 nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn 10x1x2 + x12 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị
đó.
MT S THI CA CC TNH
Câu III (1,0đ): HN
Cho phng trình (ẩn x): x2 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0
1/ Giải phng trình đã cho khi m = 1.
2/ Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có nghiệm phân biệt x 1, x2 thoả mãn hệ thức x12
+ x22 = 10.
Bi 3: (2,0 im) AN GIANG
Cho phng trỡnh x2 + 2 (m + 3) + m2 + 3 = 0
1/ Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp? Hóy tớnh nghim kộp ú.
2/ Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1 , x2 tha x1 x2 = 2 ?
Bi 4: (1,5 im) AN GIANG Gii cỏc phng trỡnh sau :
18


1/

1
3

+
=2
x2 6 x

2/ x4 + 3x2 4 = 0

2. THI BèNH Gii phng trỡnh: x +

4
= 3.
x+2

Câu II: (2,0đ) Giải bất phng trình và các phng trình sau:
2
x +1 = x - 5
3
2 x2 3x 2
=3
4.
2x + 1

1. 6 - 3x - 9

2.

3. 36x4 - 97x2 + 36 = 0

Bài 1: (2,25đ)
Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy giải các phng trình sau:
a) 5x2 + 13x 6 = 0

b) 4x4 - 7x2 - 2 = 0

3 x 4 y = 17
5 x + 2 y = 11

c)

Câu I: HCM Giải các phơng trình và hệ phng trình sau:
a) 8x2 - 2x - 1 = 0
c) x 4 - 2x2 - 3 = 0
d) 3x2 - 2 6 x + 2 = 0
Bài 2 nam định (1,5 điểm) Cho phơng trình: x2 + (3 - m)x + 2(m - 5) = 0 (1), với m là tham
số.
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có nghiệm x1 = 2.
2) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm x2 = 1 + 2 2
CâuII: (2,5đ). Nghệ An Cho phơng trình bậc hai, với tham số m: 2x2 (m+3)x + m = 0
(1).
1. Giải phơng trình (1) khi m = 2.
2. Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1
+ x2 =

5
x1x2.
2

3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
= x1 x2
Bi 2 ( 2 im) HI PHềNG
Cho phng trỡnh x2 + mx + n = 0 ( 1)

1.Gii phng trỡnh (1) khi m =3 v n = 2
x1 x 2 = 3
3
3
x1 x 2 = 9

2.Xỏc nh m ,n bit phng trỡnh (1) cú hai nghim x1.x2 tho món

Bi 3 (1,5 im THI BèNH)Cho phng trỡnh: x 2 - 2(m + 1) x + m 2 + 2 = 0 (n x)
1) Gii phng trỡnh ó cho vi m =1.
2) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x1, x2 tho món h
thc: x12 + x22 = 10 .
Bi 2. (2,0 im) THI BèNH

19



( m − 1) x + y = 2
Cho hệ phương trình: 
(m là tham số)

mx + y = m + 1
1. Giải hệ phương trình khi m = 2 ;
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x ; y ) thoả
mãn: 2 x + y ≤ 3 .

Câu 5( 2,5 điểm). VĨNH PHÚC

mx + 2 y = 1

( m là tham số có giá trị thực) (1)
2 x − 4 y = 3

Cho hệ phương trình 

a, Giải hệ (1) với m = 1
b, Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất
Bài 1 (1,5 điểm) THANH HÓA
Cho phương trình: x2 – 4x + n = 0 (1) với n là tham số.
1.Giải phương trình (1) khi n = 3.
2. Tìm n để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 2 (1,5 điểm) THANH HÓA
x + 2 y = 5
2 x + y = 7

Giải hệ phương trình: 

mx − y = 1

Bài 2. ĐÀ NẲNG ( 2 điểm ) Cho hệ phương trình:  x y
 2 − 3 = 334
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm.
Câu 3 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho phương trình x2 – 4x – m2 + 6m – 5 = 0 với m là tham
số
a) Giải phương trình với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm
c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x 1 ; x2 , hãy tìm giá trị bé nhất của biểu thức
P = x13 + x23
Bài 4 (2 điểm).

QUẢNG TRỊ

Cho phương trình bậc hai ẩn số x:
x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1)
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m.
b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).
Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2.
Câu 3 (1,5 điểm). QUẢNG TRỊ

Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m-1)x + 2m – 3 = 0. (1)
20


a) Chng minh rng phng trỡnh (1) cú nghim vi mi giỏ tr ca m.
b) Tỡm m phng trỡnh (1) cú hai nghim trỏi du.
2) Hải d ơng Cho phơng trình (ẩn x): x 2 2(m + 1)x + m 2 1 = 0 . Tìm giá trị
của m để
phơng trình có hai nghiệm x1 ,x 2 thỏa mãn x12 + x 22 = x1x 2 + 8 .
Câu IV: HCM Cho phơng trình x2 - (5m - 1)x + 6m2 - 2m = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình. Tìm m để x12 + x22 =1.
Bi 3 (1.0 im ) QUNG NAM
Cho phng trỡnh
x2 2mx + m 2 m + 3 cú hai nghim x1 ; x 2 (vi m l tham
s ) . Tỡm m biu thc x12 + x22 t giỏ tr nh nht.
Câu 5: (1,5 điểm) Bắc Ninh
Cho phơng trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a/ Giải phơng trình (1) với m = 3.

b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
1 1 3
+ =
x1 x2 2

Câu III: (1,0 điểm) Bắc giang
Lập phơng trình bậc hai nhận hai số 3 và 4 là nghiệm?
Bài 3: (1,5 điểm) BìNH DƯƠNG
Cho phơng trình x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (với x là ẩn số, m là tham số )
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Đặt A = x1.x2 2(x1 + x2) với x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình trên.
Chứng minh : A = m2 + 8m + 7
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng .
Bài 3 (1,5 điểm): quảng bình
Cho phơng trình: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), với n là tham số.
a) Tìm n để phơng trình (1) có một nghiệm x = 3.
b) Chứng minh rằng, với mọi n - 1 thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt.
Phần II:
hình học
A. Kiến thức cần nhớ.
A

1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
b2 = ab' c2 = ac'

b
c

B

h
c'

b'
C

H
a

21


h2 = b'c'
ah = bc
a2 = b2 + c2
1
1
1
= 2+ 2
2
h
b
c

2. Tỉ số lợng giác của góc nhọn.
0 < sin < 1 0 < coss < 1
tg =

sin

cos

tg.cotg = 1

cos
sin
1
1 + tg 2 =
cos 2
cot g =

sin2 + cos2 = 1
1 + cot g 2 =

3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

1
sin 2

B

b = asinB = acosC
b = ctgB = ccotgC

a
c

c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B
A

b
C
4. Đờng tròn.
- Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng
ta vẽ đợc một
và chỉ một đờng tròn.
- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng tròn có một tâm đối xứng; có vô số trục đối
xứng.
- Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây.
Trong một đờng tròn
+ Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây
ấy.
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:

Trong một đờng tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

22


- Liên hệ giữa cung và dây:
Trong một đờng tròn hay trong hai đờng tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Vị trí tơng đối

Số điểm chung

Hệ thức liên hệ
giữa d và R

2

d
1

d=R

0

d>R

- Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau

- Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau

- Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau

- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Vị trí tơng đối

Số điểm

chung

Hệ thức liên hệ giữa d
và R

- Hai đờng tròn cắt nhau
2
- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
+ Tiếp xúc ngoài

R - r < OO' < R + r

OO' = R + r
23


1
+ Tiếp xúc trong

OO' = R - r

- Hai đờng tròn không giao nhau
+ (O) và (O') ở ngoài nhau

OO' > R + r

+ (O) đựng (O')

0

OO' < R - r

+ (O) và (O') đồng tâm

OO' = 0

5. Tiếp tuyến của đờng tròn
- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua

tiếp điểm.

- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
+ Đờng thẳng và đờng tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính
+ Đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm
A

đó.
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau
MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:

O

M

+ MA = MB
+ MO là phân giác của góc AMB

B

+ OM là phân giác của góc AOB
- Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn: là đờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng tròn
đó:
Tiếp tuyến chung ngoài

Tiếp tuyến chung trong

d

d

d'

O
O'

O
O'

d'

6. Góc với đờng tròn
24


Loại góc

Hình vẽ

Công thức tính số đo

A

B

1. Góc ở tâm

ãAOB = sd ằAB

O

A

B

ãAMB = 1 sd ằAB
2

O

2. Góc nội tiếp

M

x

3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung.

A

B

1
ã
xBA
= sd ằAB
2

O

B
A

4. Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn

ãAMB = 1 ( sd ằAB + sdCD
ằ )
2

M
O
C

D
M

D

C

5. Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn

ãAMB = 1 ( sd ằAB sdCD
ằ )
2

O
A
B

Chú ý: Trong một đờng tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90 0 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng
chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì
chắn nửa đờng tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng
nhau.
7. Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d
25