Các mô hình xác suất và ứng dụng phần i

ĐẠI H Ọ C VINH
THI
VIÊN

519.207 ì
NG-T(l)/0
DT. 001
n

111

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NGUYỄN DUY TIÊN

CÁC M ộ HÌNH XÁC SUẤT
VÀ ỨNG DỤNG
PHẦN I - XÍCH MARKOV VÀ ÚNG DỤNG
•

OKI
Ha N ộ i

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI



ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI
N G U Y Ễ N DUY TIÊN

CÁC MÔ HÌNH XÁC SUẤT

VÀ ỨNG DỤNG
PHẦN I - XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC

Quốc GIA HÀ NỘI 2000


Chiu trách

nhiệm

xuất

Giám đốc
Tổng biên tập

Người nhận xét:

bản:
NGUYỄN VĂN THỎA
NGUYỄN THIỆN GIÁP

PGS.TS NGUYỄN VĂN HỮU
PGS.TS PHẠM V I Ế T PHÚ
TS NGUYỄN HỮU D ư

Biên tập và sửa bài:

PHẠM PHÚ TRIÊM

NGUYỄN LAN HƯƠNG

Trình

bay bìa:

NGỌC ANH

CÁC MÔ HÌNH X Á C S U Ấ T VÀ ỨNG DỤNG. PHẦN I - XÍCH MARKOV
VÀ ỨNG DỤNG
Mã SỐ:01.123.ĐH2000.313
In 1000 cuốn, tại Nhà in Đại học Quốc gia Hà Nội.
Số xuất bản: 91/313/CXB. Số trích ngang
In xong và nộp lưu chiểu Quý ỉ năm 2001.

27

KH/XB.


3

MỤC LỤC
Lài nói dầu

7

P h ầ n ì:

9

XÍCH M A R K O V VÀ Ứ N G D Ụ N G

C h ư ơ n g 1.
1.1

1.2

1.3

C á c đ i n h nghĩa v à ví du

T í n h Markov
1.1.1

Định nghĩa

l i

1.1.2

Ví (lu

12

Xích Markov rời rạc và thuần nhất

1.5

13

1.2.1

Ma trận xác suất chuyển

13

1.2.2

P h â n phổi ban đầu

16

M ộ t số mỏ hình xích Markov

18

1.3.1

M ỏ hình k i r m kô (Inventory Model)

18

1.3.2

Mo hình bình Elưcníast

21

1.3.3

Xích Markov tron,^ đi H u y ê n

22

1.3.-1 Mò hình phục vụ đám đòng (lý thuyết xốp hàng)
1.4

l i

Xích MiU"kov có hữu hạn trạng thái

.

.

.

.

24
25

1.4.1

Xích có hai tnuij; thái

25

1.4.2

Định lý orgoclic

28

í .4.3

Phim phối đừng

31

1.4.4

P h â n phối giới hạn và phân phối crgodic

32

1.4.5

Định lý

32

M ỏ lành phun chia thị trường

35

l.G M ỏ hình trò chơi hai đ ấ u thủ

39

1.7

Nguyên lý phàn xạ

42

1.7.1. Bài toán bầu cừ

42

1.7.2

Nguyên lý ph
n xạ

44


I

1.8

1.9

Phil!) t it'll b ư ớ c I h ú n h ấ t

15

1.8.1

T r ư ờ n g h ợ p (.lưu Í2,iãn

-15

1.8.2

P h á i ] lích b ư ớ c t h ứ n h ấ t l o n ^ q u á t

-18

X í c h M a r k o v chạy l i m t i ế p

52

1.9.1

DạiiỊỊ, ma t r ậ n x á c s u ấ t c l i u y ố n

52

1.9.2

Các- ví d ụ

52

1.9.3

C á c b à i t o á n Hòn quan

.

.

.

.

53

Bài t ậ p

50

C h ư ớ n g 2.

P h â n loai t r a n g t h á i x í c h

Markov

2.1

M ụ c (lích

GO

2.2

C á c t r ạ n g t h á i li™ t h ô n g v à sự p h ả n l ớ p

GO

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.2.1

Đ ị n h nghĩa

2.2.2

Định

GO
70

Ìiylũrt

C h u k ỳ c ù a t r ạ n g lliái

72

2.3.1

Đ ị n h nghĩa

72

2.3.2

Đ ị n h lý

.72

2.3.3

Họ quà

72

2.3.4

Đ ị n h nghĩa

7.'j

2.3.5

Định lý

71

T r ạ n j ị t h á i h ồ i quy v à t r a i l " t h á i k h ô n " ; h ồ i q u y

74

2.4.1

Đ ị n h nghĩa

75

2.4.2

Đ ị n h nghĩa

7G

T i ê u c h u ừ n hồi quy v à k h ù n g hòi quy

77

2.5.1

Đ ị n h lý

77

2.5.2

Đ ị n h lý

78

Đ ị n h lý g i ớ i h ạ n c ơ b ả n của xích M a r k o v

79

2.tí.Ì

Đ ị n h lý

79

2.6.2

B ổ đi-

79

2.6.3

Đ ị n h lý

81

Sư tòn tai

lim P Ỳ P và phân phối dừng
li—'OO

2.7.1

Đ ị n h lý

.

82

'

82


5
2.7.2

Định lý

84

2.7.3

Định lý

86

Xích Markov có hữu hạn trạng thái (tiếp theo)

2.8

87

2.8.1

Định lý

87

2.8.2

Định lý

88

2.9

D i động ngẫu nhiên
2.9.1

Di dộng ngẫu nhiên trên đường thằng

2.9.2

Di động ngẫu nhiên trên đường thằng
có một. trạng thái hấp t h ụ

2.9.3

92
95

Di động ngẫu nhiên trôn đường thằng
có hai trang thái phản hồi

96

2.9.6

D i động ngẫu nhiên đ ố i xứng trong mặt phang

97

2.9.7

Di động ngẫu nhiên tống quát

97

2.9.8

Mò hình quản lý tiên mặt

99

2.10

M ộ t số vấn đ i khác

102

2.10.1 P h à n tích bước t h ứ nhất, (tiếp theo)

102

2.10.2 Xí ch không t ố i giản

106

Bài t ậ p

109

Chương 3.

Quá trình Poisson

3.1 P h â n phối mũ

3.2

91

D i động ngẫu nhiên trôn đường thằng
có một trạng thái phản hồi

2.9.5

89

D i động ngẫu nhiên trôn đường thằng
có hai trạng thái hấp t h ụ

2.9.4

89

3.1.1

Định nghĩa

3.1.2

Các tính chất c
a p h à n phối mũ

P h â n phối Poisson
3.2.1

Định nghĩa

3.2.2

Các tính chất c
a p h â n phối Poisson

115
115
116
118
118
119

3.3

Quá Mình đ ế m

120

3.4

Quá trình Poisson

120

3.4.1

Các giả thiết quan trọng

120


6
3.4.2

Đ ị n h nghĩa

122

3.4.3

M ô h ì n h Poisson

122

3.5

C á c p h â n p h ổ i liên quan đ ế n q u á t r ì n h đ i ể m Poissoir
3.5.1 Đ ị n h nghĩa
3.5.2

.

.

.

.

124
125

T h ờ i gian đ ế n (hay t h ờ i gian chờ) v à
t h ờ i gian đ ế n t i l i n g gian

125

3.5.3

Đ ị n h lý

126

3.5.4

Q u á t r ì n h Poisson có p h â n l o ạ i

129

3.5.5

P h â n p h ố i đ ầ u v à q u á t r ì n h Poisson

133

3.5.6

M ộ t số ứ n g d ụ n g k h á c

139

3.6

Q u á t r ì n h đ i ể m Poisson t ố n g q u á t

144

3.6.1

Đ ị n h nghĩa

144

3.6.2

Đ ị n h lý

146

3.7

3.8

Q u á t r ì n h Poisson p h ứ c h ợ p

147

3.7.1

Đ ị n h nghĩa

147

3.7.2

C á c ví d ụ

147

3.7.3

K ỳ v ọ n g v à p h ư ơ n g sai của Z(t)

148

Q u á t r ì n h Poisson đ á n h d ấ u

150

3.8.1 Đ ị n h nghĩa

150

3.8.2

T r ư ờ n g hợp đ ơ n giản nhất

151

3.8.3

Q u á t r ì n h d i ê m Poisson k h ô n g t h u ầ n

nhất

t r ê n m ệ t phang
3.8.4

P h â n p h ố i của q u á t r ì n h Poisson đ á n h d ấ u

151
152

Bài tập

153

P h ụ lục

157

V à i nét, v ề lịch s ử

1G5

T à i liệu tham khảo

171


L Ờ I NÓI ĐÂU

Xác suất Thống kê là lĩnh vực toán ứng dung, nó (lòi hồi một cơ sờ toán
học sâu sắc. Ngày nay các mô hình xác suất đã thực sự dược ứng dụng rộng
rãi trong khoa học tự nhiên cũng như khoa học xã hội. Tuy nhiên, ờ Việt Nam
có rất ít những tài liệu về các mô hình xác suất và ứng (lụng của chúng. Đó
là lý do chính chúng tôi viết giáo trì nh nàv. Nhằm phục vụ các độc giớ trong
nhiều lĩnh vực khác nhau (toán học, vật lý, cơ học, sinh học, khoa học trái
đất. kinh tế, y học, nông nghiệp, v.v...) nên giáo trình (lược viết theo tinh
thần: chính xác về lý thuyết tới mức độ nhất, định, nhiều ví dụ ứng dụng cụ
thế thường gặp trong thực tế và tương đối dễ hiểu.
Giáo trình C á c m ô h ì n h xác suất và ứng dung do GS.TSKH. Nguyễn

Duy Tiến chủ biên bao gồm:
P h ầ n ì.
Phần l i .

X í c h M a r k o v v à ứng dung, GS.TSKH. Nguyễn Duy Tiến viết.
Q u á t r ì n h d ừ n g v à ứng dung, PGS.TSKH. Đặng Hùng Thắng

viết.
Phần U I . G i ớ i t í c h n g ẫ u nhiên, GS.TSKH. Nguyên Duy Tiến viết.
Các thành viên của Bộ môn Xác suất Thống kê, khoa Toán - Cơ - Tin học,
trường Đại học Khoa học T ự nhiên - Đại học Quốc gia Hà NỴÚ (ĐHKHTN DHQGIIN) d ã nhiều năm giớng dạy quá trình ngẫu nhiên và tích lũy được
nhiều kinh nghiệm để viết giáo trì nh này dưới dạng mô hình ứng dụng phục
vụ cho đông đớo bạn đọc. Tuy nhiên, đây không phới là tài liệu sơ cấp, vì
vậy để đạt được hiệu quớ cao bạn đọc cần phới có kiến thức toán của hai
năm đầu đ ạ i học và đặc biệt phới có kiến thức xác suất cổ điền (chằng hạn
như trong tài liệu của Đào Hữu Hồ [1], Đặng Hùng Thắng [2] hoặc Nguyễn
Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến [3]).
Chúng tôi hy vọng giáo trình này sẽ có ích cho nhiều bạn dọc, phục vụ tốt
cho ứng dụng, giớng dạy và nghiên cứu.
Chắc chắn giáo trình còn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý


8
và chi bào của bạn đọc.
Cuối cùng chúng tôi xin cám ơn Ban Giám hiệu trường ĐHKHTN-ĐHQGHN,
Khoa Toán - Ca - T i n học, Bộ môn Xác suất Thống kê Đi IKHTN - ĐHQGHN
và Nhà Xuất bản ĐHQGHN đã động viên, cổ vũ , giúp đỡ nhiệt tình chúng
tôi khi biên soạn giáo trình này.
Các t á c giả

y

Phần I
XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG

Đàu thế kỷ XX, A.A.Markov (14 / 6 / 1856 - 20 / 7 / 1922) - nhà Toán
học và Vật lý nối tiếng người Nga đã đưa ra một mô hình toán học để mô tả
chuyển động của các phân từ chất lỏng trong một bình kín. về sau mô hình
này được phát triển và sử dụng trong nhiề u lĩnh vực khác như cơ học, sinh
học. y học, kinh tế, v.v... và được mang tên là: Quá t rình Markov.
Trong nhệng năm gần đây, quá trình Markov đưac ứng dụng rất nhiề u
trong thương nghiệp, tin học, viễn thông, v.v... và là một mon hoe bắt buộc
đối với sinh viên của nhiề u trường đại học.
Xích Markov là trường hợp riêng của quá trình Markov (khi ta có thể đánh
số được các trạng thái). Để hiểu xích Markov, bạn đọc chỉ cần biết nhệng
khái niệm cơ bản nhất của xác suất (đặc biệt là xác suất có điề u kiện, công
thức xác suất đầy đủ), đại số tuyến tính và cách giải một số phương trình
sai phản đơn giản.
Phần Xích Markov v à ứng dụng có 3 chương.
Chương Ì trình bày các định nghĩa cơ bản và nêu một số mó hình ứng dụng
quan trọng. Trong chương này cần đọc kỹ các khái niệm và nắm vệng các kết
quả như: tính Markov, xác suất chuyển, phương trình Chapman-Kolmogorov,
phân phối dừng, định lý ergodic, phương pháp phân tích bước thứ nhất và
ba bài toán liên quan.
Chương 2 chứa nhiề u kết quả quan trọng, trình bày phân lớp trạng thái
cùa xích Markov thuần nhất. Bạn đọc càn hiểu rõ mục đích của chương 2,
nắm vệng các khái niệm trạng thái hồi quy, không hồi quy, phân phối dừng,
phân phối giới hạn và sự tồn tại. Di động ngẫu nhiên là mô hình quan trọng
hay gặp trong ứng dụng. Chương 2 còn có nhiề u ví dụ lý thú.

10
Q u á trình Poisson là dạng đặc biệt của quá trình Markov và đóng vai t r ò
vô cùng quan trọng trong ứng dụng. C h ư ơ n g 3 trình bày các kết quả quan
trọng nhất của q u á trình Poisson: quá trình đ ế m , qu á trình điểm, t h ờ i gian
đ ế n , thời gian đ ế n tru ng gian, qu á trình Poisson phức Ì lợp, quá t r ì n h Poisson
đ á n h dấu.

B ạ n sẽ tìm thấy ờ chương 3 rất nhiều

mó hình ứng dụng sinh

động.
Mỗi chương đ ề u có các bài tập giúp bạn đọc hiểu sáu thèm lý thu yết và
tập ứng dụng giải các bài toán thực t ế . Bài tập khó có đánh dấu *.
Phổn phụ lục giúp các bạn nhớ lại các k ế t quả t ổ n thiết về xác suất,
p h ư ơ n g trình sai p h â n (hay truy hồi).
Nội dung của giáo trình này được biên soạn theo các sách nổi tiếng [5],
[8], [10], [ l i ] .
Bản thảo của Phổn ì đ ã được Nguyễn Duy T i ế n , Vũ Tiến Việt và Phạm
Xuân Bình d ù n g làm tài liệu giảng dạy cho sinh viên nân) t h ứ ba Đ H K H T N ĐHQG Hà Nội và ĐHSP Quy Nhơn năm học 1998-1999. Tôi xin chân t h à n h
cám ơn PGS. TS Nguyễn Văn Hữu, TS Nguyễn V i ế t Phú, TS Nguyễn H ữ u
Dư , TS Nguyễn P h ú Triêm và Thạc sĩ Vũ T i ế n Việt đã đọc kỹ bàn thảo và
cho nhiều nhận xét quý báu đ ể cuốn sách này hoàn thiện hơn.

Hà Nội. 2000
T á c giả

li

Chương Ì

CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ v í DỤ

1.1

Tính Markov

1.1.1

Định

nghĩa

G i ả t h i ế t t a n g h i ê n c ứ u s ự t i ế n t r i ể n theo t h ờ i gian của m ộ t h ệ vật lý h o ặ c
s i n h t h á i n à o đ ó ( c ó t h ể l à p h â n t ử , h ạ t c ơ b ả n , n g ư ờ i hoặc m ộ t sinh v ậ t n à o
d ó , v.v...

).

Ký hiệu

x(t)

l à vị t r í của h ệ t ạ i t h ờ i đ i ề m

í.

T ậ p họp các

vị t r í c ó t h ể c ó của h ệ đ ư ợ c g ọ i l à k h ô n g gian t r ạ n g t h á i . G i à s ử t r ư ớ c t h ờ i
điểm

.s

hệ ờ t r ạ n g t h á i n à o đ ó , còn ờ t h ờ i đ i ể m

c ỉ n b i ế t Lại t h ờ i đ i ể m

í

t r o n g t ư ơ n g lai

(í > s)

s

hệ ờ t r ạ n g t h á i

hệ ở trạng thái

s u ấ t là bao n h i ê u ? N ế u x á c s u ấ t n à y chỉ p h ụ t h u ộ c v à o

s, í,?', j

j

ì.

Ta

với xác

thì điều này

c ó nghĩa là: s ư t i ế n t r i ể n c ủ a h ê t r o n g t ư ơ n g lai c h ỉ p h u

thuôc

vào

h i ê n t a i v à d ó c l á p v ớ i q u á k h ứ . ỈV) là t í n h M a r k o v . H ệ c ó t í n h c h ấ t n à y
đ ư ợ c g ọ i là q u á t r ì n h

Markov.

Chằng hạn, nếu gọi
t h ì c ó t h ể xem

x(t)

x(t)

là d â n số t ạ i t h ờ i đ i ế m

í

( t r o n g t ư ơ n g lai)

c h ì p h ụ t h u ộ c v à o d á n số h i ệ n l ạ i v à d ộ c l ậ p v ớ i q u á

k h ứ . N ó i chung, c á c h ệ (sinh t h á i , v ậ t lý hoặc c ơ học, v . v . . . ) k h ô n g c ó t r í n h ớ
( m e m o r y ) hoặc sức ỳ l à n h ữ n g h ệ có t í n h M a r k o v .
Ta ký hiệu E
thái cùa
thì

XỌ)

x(t).

t ậ p g ồ m c á c g i á t r ị của
Nếu

X(t)

x(t)

có t í n h M a r k o v v à

đ ư ợ c gọi là xích Markov.

và gọi
E

E là k h ô n g gian t r ạ n g

đ á n h số đ t r ợ c ( đ ế m đ ư ợ c )

T h ê m vào đ ó , nếu

c ó k h á i n i ệ m x í c h M a r k o v v ớ i t h ờ i gian r ờ i rạc, c ò n n ế u

í = 0,1,2,...
t e Ịo, oo)

ta

thì t a c ó

k h á i n i ệ m xích M a r k o v v ớ i t h ờ i gian liên t ụ c .
Vê; p h ư ơ n g d i ệ n t o á n học, t í n h Markov có t h ể đ ị n h nghĩa n h ư

thì

sau:


12
Ta nói rằng

Đ i n h nghĩa.

P{X{t

n

+

X(t)

có tính Markov

) = j \ X ( t ) = i ,...,X(t - )

l

0

0

n

= i -uX(l )

l

n

= p{xạ )=j\xạ )
n+ì

< í

n

Ta xem

in

là hiện t ạ i , í

n +

1

n + 1

< ... và i , ...,i -\,i,j
0

— P{X(t)

p(s,i,t,j)

— j\x(s)

í

chuyển sang t r ạ n g t h á i

i

,

à

q u á k h ứ . Vì

Đó là xác suất có đ i ề u

(S < í ) .

5

í, đ ế n t h ờ i đ i ể m

ở trạng thái

Vì t h ế ta gọi p(s,i,t,j)

j.

l

xịt).

= i},

k i ệ n đ ể hệ (hay q u á trình) t ạ i t h ờ i đ i ể m

€ E.

n

là t ư ơ n g lai, (to, í

t h ế b i ể u t h ứ c t r ê n chính là t í n h Markov của

Đặt

= i}

1>

= i},

n

với bất kỳ to < h < • • • < t

nêu:

là x á c s u ấ t c h u y ể n

c ủ a h ê (hay q u á t r ì n h ) .
N ế u x á c suất chuyển chi phụ thuộc vào
p(s,i,t,j)

=p(s

(í — s), tức là

+ h,i,t

+

h,j)

t h ì t a nói h ệ (hay q u á trình) là thuần nhất theo thời gian. T r o n g g i á o t r ì n h
n à y , khi k h ô n g n ó i gì t h ê m t h ì t a chỉ x é t x í c h M a r k o v t h u ầ n n h ấ t .
1.1.2

Ví

Ví d ù i .

dụ
Cho

£0)£i)

rời rạc, độc lập, Ek
được

là dãy biến ngẫu nhiên ( đ ạ i lượng ngẫu nhiên)

•••)&!)•••

là t ậ p hợp các giá tr
của

Ẹk: Ek

hữu hạn hay

đếm

(k = 0, Ì , n , . . . ) .

oo

Đặt

E = ^J Eki rõ ràng
fe=o
K h i đ ó , ta t h ấ y
P{€n+1

=
với

to € Eo,

=

Mo

P{£n+\
ii

e

=

E

*(>,•••, £ n - l

= j } = P{£n+l

E ...,
u

i

n

-i

N h ư t h ế ( £ ; TI = 0, Ì, 2,...)
n

V í d ụ 2.

Cho

là tập hop không quá ("lem d ư ợ c .

7

£

=

*n-l,£n

= Mn

=

i}

=

= ỉ ) = p(n,

i e En,

j e En+Ì

ỉ, Tì -ị ì . j )
•

là xích Markov.

£0)f7i, •••) ?n, •••

là dãy biến ngần

nhiên ( đ ạ i lượng ngẫu

nhiên) r ờ i rạc, độc lập, nhận các giá tr
là những số nguyên.


13
Đặt

x

Ẹo + TÌĨ +*?2 +

=

n

P{X i

••• +Vn

= j\to =

n+

=

P { X

+í?n+l

=

P{7?n+1 =

=

P{Vn+\

n

Ì -

= j

Xi

lo,

Mo

=

(n

*|£o

=

iu

=
=

=

l,2,

...)•

. . . , ! „ - !

k , V \

= h

» 0 , »71 = i \ -

Ta

=

có

=

i} =

ỉ

- * n - l }

i n - l ,

- i o , - , V n

=

io,

i -

•••iVn

=

i-n-l}

- Ì )

và
P{X

= j\x

n+ỉ

= P{X

+

n

=

P{Vn+l

=

p{r)n+l

V ậ y (X ;n

Ĩ)

n

+

1 =

=
j|£o

= j - iịẸo

+VI

+Vĩ

+
+

••• + Vn-I

••• + Vn-l

+ Vu
+

Vn

=

=

i}

i}

= j - i }

— Ì, 2,...) là xích Markov.

n

C h ú ý.

=i}

n

Nói chung các xích Markov ở ví d ụ Ì và 2 t r ê n đ â y k h ô n g t h u ầ n

nhất.
N ế u trong ví

d ụ

Ì cho

£o>

£i > •••> f n >

lập v à cùng p h â n phối xác suất thì

••• là dãy biến ngẫu nhiên r ờ i rạc, độc

( £ ; n = 0, Ì , 2,...) là xích Markov t h u ầ n
n

nhất v à ngược l ạ i .
Còn trong ví d ụ 2, nếu cho

7 / 1 , r ) 2 , r i n , . . . là d ã y b i ế n ngẫu nhiên r ờ i

rạc;, độc lập và cùng p h â n phối xác suất thì (X ;n

=1,2,...)

n

là xích Markov

thuần nhặt. T h ậ t vậy, bằng lập luận như trên ta có

P{X

n

+

= p{m

h

= j\x

n

=

i}

=

+ rfy + ... + rj

h+l

-P{í?n+1 +

í?n+2 +

••• +

= j - i } = P{X +i
h

In+h

= j\Xi

=

- i} =

j

= i}

với m
i n = 1,2,... ; h — Ì, 2,... ; i, j € E c N . .

1.2
1.2.1

Xích Markov rời rác và thuần nhất
M a t r ậ n x á c suất c h u y ể n

G i ả s ư ( x ) ; n = 0, Ì , 2,... là xích Markov r ờ i rạc và t h u ầ n nhất. Nói m ộ t
n

cách chính xác là: giả sư (ũ, A, p)

là không gian xác suất, x

n

:ĨÌ-*E

là

biến ( đ ạ i lượng) ngẫu nhiên nhận giá trị trong t ậ p đ ế m đ ư ợ c E. E là k h ô n g


14
g i a n t r ạ n g t h á i , c á c p h ầ n t ử của n ó đ ư ợ c ký h i ệ u là

/../. Ả'.... (có chì sổ hoặc

k h ô n g ) . K h i đ ó , t í n h M a r k o v v à t í n h t h u ầ n n h ấ t cua
D

=• t {X -ịi

Pn

n

=

P ( x

k h ô n g p h ụ thuộc v à o

n

+

-

j \ x

n

-

j \ x

0

1

-

c ó nghĩa là:

[Ă„)

i)

= ỉ'o,

^».-1

v

^ '>.

• > . ~- ' )

n.

p

(Pij)

đ ư ợ c gọi là m a t r â n x á c s u ấ t c h u y ể n sau

Pij

là xác suất có d i ề u k i ệ n đ ể hệ t ạ i t h ờ i đ i ể m

i c h u y ể n sang t r ạ n g t h á i

j

tại thời điểm

n +• Ì

lì

Ì

bước.

(hiện tại) ờ trạng

thái

(tưưng- l a i ) .

N ế u đ ặ t c á c b i ế n cậ
A = ( X

n

+

Ì

= j), B = ( X

= í),

n

t h ì t í n h M a r k o v c ó nghĩa l à
T ừ đ ó suy

c

=

= (Xo

= iu

x _ị

--- z _ j )

n

n

P(i4|BC).

ra

_^

P(B)P(C\B)P(A\B)

P(n)
=

P(C\B)P(A\B)

t ứ c l à q u á k h ứ v à t ư ơ n g l a i l à đ ộ c l ậ p v ớ i nhau k h i cho t r ù m : h i ệ n t ạ i .
C h ú ý r ằ n g t ừ c ô n g t h ứ c x á c s u ấ t d ầ y đ ủ suy ra ma t r ậ n

p := ( p j ) c ó
t

t í n h chất
0 < Pij < Ì

, Vi,j

e E

;

Ỵ

j

V

t

1.

ĩ

Jew
M a t r ậ n c ó t í n h c h ấ t n h ư t h ế đ ư ợ c g ọ i là m a
n

X á c suất c h u y ề n sau
pị?

= P ( X

n

+

m

trận ngẫu

b ư ớ c đ ư ợ c đ ị n h n g h ì n l i leo cung t h ứ c :
-=j\x

= i) = P(X

m

-= j .Vu

n

Đ â y là xắc. s u ấ t đ ể h ệ t ạ i t h ờ i đ i ể m b a n đ ầ u ờ t r ạ n g t h á i
c h u y ể n sang t r ạ n g t h á i

j . Rõ ràng

PỸÌ
ú

1

n

(0)

nhiên.

_ í
I

u

=

ế

Piju

nêu

T

*=

a

quy
3

ị Ỷ 3

ư (

'

í c

ị).
/, sau

n

bước


15
và đặt
p ( " ) = (pị^)
• Đ ó là m a t r â n x á c s u ấ t c h u y ể n s a u Tì b ư ớ c .
T ừ c ô n g t h ứ c x á c s u ấ t đ ầ y đ ủ v à t ừ t í n h M a r k o v t a c ó V n = 0, Ì , 2...

(ri+Ị)

_

„

in)

/

T \

0

fc€E

l}

pír =Ẽtów
Ta gọi

(2.1)

l à p h ư ơ n g t r ì n h n g ư ơ c , (2.2)

Tống quát hơn

V n , m = 0, Ì , 2 , . . .

(2.3) đ ư ợ c g ọ i là p h ư ơ n g t r ì n h
Giải

thích.

trạng thái

(-2.2)

là p h ư ơ n g t r ì n h

ta có

Chapman-Kolmogorov.

Đ ể c h ứ n g m i n h (2.1) t a l ậ p l u ậ n n h ư sau:

i, sau

n + Ì

b ư ớ c c h u y ể n sang t r ạ n g t h á i

hệ x u ấ t p h á t t ừ trạng thái

thuần.

ì, sau

Ì

Hệ xuất phát

từ

là k ế t q u ả c ủ a việc

j

b ư ớ c c h u y ể n sang t r ạ n g t h á i

Ả;

nào

đó; thế rồi hệ xuất phát từ trạng thái k, sau 71 b ư ớ c tiếp theo chuyển sang
trạng thái

j . Vì v ậ y , t ừ c ô n g t h ứ c x á c suất. đ ầ y đ ủ v à t í n h M a r k o v t a suy

(2.1). T h ậ t v ậ y , theo c ô n g t h ứ c x á c s u ấ t đ ầ y đ ủ t a có
p^"

= P ( X
=

r

H

, = j \ X o = i )

P ( X

n

+

ì

= j\x

i.X;

ữ

= k).P(Xi

= k\x

0

-

i)

fce£
=

J ^ P(X i

= j \ x

n+

x

= Jfc).P(Xi = fc|Xo = / ) (do t í n h M a r k o v )

k£E

= ^

PikP^kỹ

Điều này chứng minh

(do t í n h t h u ầ n

nhất).

(2.1).

C á c c ô n g t h ứ c (2.2) v à (2.3) đ ư ợ c c h ứ n g m i n h t ư ơ n g t ự .
C á c p h ư ơ n g t r ì n h t r ê n có d ạ n g ma t r ậ n n h ư
p(n+l)

_

pp(«)

p(n+l)

_

p(n)p

p(n+m)

_

p(n)p(m)

sau:

ra


16

T ừ đ ó suy

ra
p(n)

_

pn

P h â n p h ố i h ữ u h ạ n c h i ề u của q u á t r ì n h M a r k o v đ ư ợ c t í n h theo c ô n g t h ứ c
sau:
P(X

= to)

0

= lữ,

P(XQ

1.2.2

Xi

= ii,...,

P h â n phối ban

Đ i n h nghĩa.

Phân

phối

=Pi ,
0

x

= in-ì,

X -]_
N

n

= i) = p

-p

l0

l o l ]

• •

•Pi _ in

1

đầu
của hệ tại thời

điểm

TI duợc

cho bời công

thức

sau:
n)

pị
Đặt

n(")

= P ( X

= ( p ^

T a quy ư ớ c v i ế t

n

, j € E)

n

n( )

= j ) ; 71 = 0 , 1 , 2 , . . . ; j 6
và gọi

= (J>Ỹ\

n

l ĩ = n(°)

j € E)
(n)

(n+i)

=

n

n

(n+l)

=

n

_

phối

ban đầu

là vector h à n g . D ễ ( l à n g t h ấ y

của

hệ

rằng:

npH,

=

n

Ỵị(n+m)

là phân

E.

(

n

) p ,

(l)p(n)

fj(n)p(m)

T h ậ t vậy, theo c ô n g t h ứ c x á c s u ấ t đ ầ y đ ủ t a c ó
pị

n

+

m

)

= P ( X

n

+

m

= ỵ; P(x

n

= j)

= i).p(x

n+m

= j\x

n

= i)

ieE

P h â n p h ố i b a n đ ầ u đươc

gọi là d ừ n g nếu

(

n "'

không phụ thuộc v à o

n)

n , t ứ c là n = ,lỴ . h a ^ n = inp.
N h ư vậy, m ô h ì n h c ủ a m ộ t
b ộ ba

(X

(x )
n

n

)

x í c h M a r k o v r ờ i r ạ c v à t h u ầ n n h ấ t là

n, P ) , t r o n g đ ó :

là d ã y các đ ạ i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n r ờ i rạc,


17
n

là p h â n phối b a n

đầu,

p

là m a t r ậ n x á c s u ấ t

chuyển.

N h ữ n g v ấ n đ ề chính đ ố i v ớ i xích Markov
•

T ì m đ i ề u kiên đ ể tồn tai

7T =

là:

lim

7

dóc láp với

n-too

P h â n phối d ừ n g có t ồ n t ạ i không?

ỉ.

"

C ó duy n h ấ t không?

và cách tìm

nó .
C á c m ò h ì n h đ ư ợ c t r ì n h b à y t r o n g m ụ c 1.3 t i ế p theo sẽ l à m s á n g t ỏ t h ê m ý
n g h ĩ a t h ự c t i ễ n của n h ữ n g v ấ n đ ề n à y .
Nhận

xét.

Xích Markov h o à n t o à n đ ư ợ c x á c đ ằ n h m ộ t cách duy n h ấ t b ờ i

b ộ ba ( X , n , P ) ,
n

đúng

n h ư n g n ế u thay

p

2

bời

p( )

t h ì t í n h duy n h ấ t k h ô n g c ò n

nữa.

Chằne; h ạ n , v ớ i
p(2)

Ì

0

0

Ì

thì
Ì

0

0

Ì

hoác

B â y g i à cho

0

Ì

Ì

0

trước

ta chứng t ỏ rằng đ i ề u kiện cần và đ ủ đ ể xác đằnh
nhất)

p

là

<* +

T h ậ t vậy, g i ả s ử

(không nhất thiết

/?>!.

rằng
m

p

/

=

a

ì—a
( 0 < a,b

Vi - 6

< Ì

b

ta có

«
1-0

i-M
0

J

p(2)

-

•'

(2)_

TO

ro2

"

2

a

+ (Ì - a)(l

ỉ
- b)

(o + 6 ) ( l - 6 )

01307
'''

~Ja
6

2

i 0 K

0

' J.

+ b)(l
+

i V , ỉ

-

J

:

:'' .;. A
a)

(l-a)(l-6).

duy


18

Khi đó, nếu p

đ ã x á c đ ị n h t h ì suy r a

a + ạ = a

2

2

+ ( Ì - a ) ( l - 6) + ò + ( Ì - «)(1 - b)
2

= (a+ b — ì ) + ì > ì

Ngược l ạ i , n ế u a + p > Ì , ta xét h ệ p h ư ơ n g trình

ị a + (1 - a ) ( l -b)
2

U

= Q

(a + b)(l - à)

=

(a + 6 ) ( l - & )

=l-/í

2

+ ( Ì - a)(l - 6)

Ì

-

a

= /i.

T ừ phương trình t h ứ nhất và phương trình t h ứ t ư ta được

(a + 6 - 1 )

2

= a + /3-l,

suy r a
a + b = ì ± y/a + 0 - l .
Khi

Ì < a + p < 2, t ừ p h ư ơ n g t r ì n h t h ứ hai v à p h ư ơ n g t r ì n h t h ứ b a t a

đươc
(Ì -

Q ) / ( 1 ± ựa + p - ĩ )

Ì - b= (Ì -

P)/(ĩ±y/ZTW=ĩ),

Ì -

a =

hay l à

Ị o = (a ± v « + / ? - ! ) / ( ! ± y/a + fl- ì)
\ b

Khi

= (p±

y/a + p - l ) / ( ĩ ± ựa + f i - ĩ ) .

a + /ỡ = 2 t h ì a = p = Ì

v à đ â y là t r ư ờ n g h ợ p t ầ m t h ư ờ n g n h ư t a

đ ã xét ở trên.

1.3

Mót số mô hình xích Markov

1.3.1 M ô hĩnh kiểm kê (Inventory Model)
G i ả t h i ế t phải d ự t r ữ trong kho m ộ t loại h à n g nào đ ó đ ể đ á p ứ n g nhu c ầ u
liên t ụ c c ỳ a k h á c h h à n g . H à n g đ ư ợ c n h ậ p k h o t ạ i c u ố i c á c chu k ỳ n = 0, Ì , 2 , . . .


19
G i ả s ử t ổ n g số l ư ợ n g h à n g c ầ n p h ả i đ á p ứ n g n h u c ầ u t r o n g chu k ỳ n l à
b i ế n n g ẫ u n h i ê n £ n c ó p h â n p h ố i đ ộ c l ậ p v ớ i chu k ỳ t h ờ i gian: V n = 0, Ì , 2 , . . .
thì
oo

P{Cn =

fc}=afc(fc

= 0,l,2 ...y
i

a

;

>0,

f c

£ a
fc=o
f

c

= 1.

(3.1)

M ứ c h à n g d ự t r ữ đ ư ợ c k i ể m k ê t ẩ i c u ố i m ỗ i chu k ỳ . C á c h n h ậ p h à n g c ă n
c ứ v à o hai chỉ số t i ê u c h u ẩ n s v à S(s

< S)

l ư ợ n g h à n g d ự t r ữ n h ỏ h ơ n hay b ằ n g

Ký hiệu

t h ì ngay t ứ c k h ắ c p h ả i n h ậ p h à n g

5; N ế u h à n g d ự t r ữ h i ệ n có l ớ n h ơ n

đ ể c ó số h à n g d ự t r ữ b ằ n g
cần nhập hàng.

s

N ế u ờ c u ố i m ỗ i chu k ỳ

n h ư sau:

x

n

s thì không

l à l ư ợ n g h à n g h i ệ n c ó t ẩ i c u ố i chu k ỳ

n

và

t r ư ớ c k h i n h ậ p h à n g . C á c t r ẩ n g t h á i của q u á t r ì n h ( X ) l à c á c số l ư ợ n g h à n g
n

d ự t r ữ : s, s — Ì , Ì ,

0, — Ì , —2,... t r o n g d ó g i á t r ị â m là n h u c ầ u k h ô n g đ ư ợ c

t h o a m ã n m à sẽ đ ư ợ c đ á p ứ n g ngay sau k h i n h ậ p h à n g .
Theo cách k i ể m kê h à n g h ó a đ ã nêu ớ t r ê n , các mức h à n g d ự t r ữ t ẩ i hai
chu k ỳ liên t i ế p c ó m ố i liên h ệ

{
trong đ ó

£

n

Xn
5' -

sau:
-

Ẹn+Ì

£n+i

nếu

s < yY„ <

nêu

x

<

n

s

s

l à t ổ n g l ư ợ n g h à n g y ê u c ầ u c ủ a k h á c h t ẩ i chu k ỳ t h ứ ru

N ế u t a g i ả s ử r ằ n g d ã y c á c n h u c ầ u liên t i ế p :

£ i , s 2 i •••

là d ã y các b i ế n

n g ẫ u n h i ê n đ ộ c l ậ p c ó c ù n g p h â n p h ố i x á c s u ấ t (3.1) t h ì d ã y c á c g i á t r ị d ự
trữ:

Xo, Xi,

x%,...

lập t h à n h xích Markov v ớ i x á c suất chuyển

{

P(Ẹn+i

=

P(Ẹn+i

=

nếu

L

a
s -

j)

Ì

nêu

s < i <

s,

i < s .

Để m i n h họa, ta x é t m ô h ì n h k i ể m kê p h ụ t ù n g thay t h ế , t r o n g đ ó y ê u c ầ u
có t h ể là

0, Ì

hoặc

2

đ ơ n vị p h ụ t ù n g c ầ n t h a y t r o n g m ộ t chu k ỳ b ấ t k ỳ ,

v ớ i p h â n p h ố i x á c s u ấ t t h u ộ c l o ẩ i (3.1) n h ư
P{U

và giả sử

= 0} -

0,5;

P{ị

n

= 1} = 0,4;

sau:

P{Ẹ

n

s = 0, s = 2. C á c g i á t r ị c ó t h ể c ủ a

= 2 } = 0, Ì

X

n

là

V71 = 0 , 1 , 2 , . . .

2,1,0, - 1 .


20

Si

3

2

1

5cr đồ quá trình

kiểm

Các xác suất chuyển đ ư ợ c tính n h ư
Ta xét

Pio = P { X

n

i = Q\x

+

-

n

p h ụ t ù n g v à t r ạ n g t h á i t i ế p theo
suất

0,4),

vậy

Bây giờ, nếu

X

n

Pio =
= 0

t r ạ n g t h á i t i ế p theo
do đ ó

Tiếp

Poo
tục

= r

thế

như

thích.

n

sau:

ì}.

Khi
= 0

1

+

hóa

x

----- Ì

n

là do

Ẹụị.ị

thì k h ô n g cần
---- Ì

nhập

(xảy ra v ớ i xác

0,4.
t h ì p h ả i n h ậ p p h ụ t ù n g ngay cho dạt. t ớ i

x .y\

—0

n

l à do

^

n

+

i

—2

(xảy

5 = 2

ra v ớ i x á c s u ấ t

và

0,1),

0,1.

E = {—Ì, 0, Ì , 2 }

Giải

X

kê hằng

ta

có

xích

Markov

với

không

gian

trạng

thái

là

v à ma t r ậ n xác suất chuyển là

Ngoài

Pio

/0,0

0,1

0,4

0,5\

0,0

0,1

0,4

0,5

0,1

0,4

0,5

0,0

\0,0

0,1

0,4

0,5/

và

Poo

đ ã t í n h ở t r ê n , ta có t h ể d ễ d à n g t í n h

21
đưorc
=

p_

P{Xn+l

=

- l | *

= P{X

n + 1

= 0|X

p_„ = P{X

n + 1

=

p_

1 0

= P{X

1 2

n

+

ì

p _ ! = P{X
2

=

P22 -

=

= 2\x

n

•- 2} = Ọ, Ì ,
= 0,4 ,

= -1} =

P{£„+1

- 0} = 0,5 ,

=

l|*n

=

/>{*n+l =

2 \ X

P{Xn+l

,

= 2} = P { 0 } = 0,0 ,

n

l

0,0

-- 1 }

n

+

n + 1

=

P{Ẹn+ĩ

= 2} = P { £

n

P{0}

= -1} =

= ữ\x

P20 = P { X
P21

-1}

= -1} = P{£

n

= -ì\x

n+l

=

n

2} =

P { £

= 2} = p { £

n

n + 1

n

+

1

n + 1

= 2} = 0, Ì ,
=

1} =: 0,4

,

= 0} = 0, 5 ,

v.v...

Đạt

n

pị ^ = P{x

n

— j}, ta thường quan t â m đ ế n các đ ạ i lượng sau:
71

lim y^p' ^
n,—>oo ^ — '

và

lim

J

y^j/4 ' •
n

n—>oo ^—

j<0

J

J

j>0

Y nghĩa của các đ ạ i lượng này là:
•

Đai l ư ơ n g t h ứ nhất bằng

lim P{X

n

< 0), đó là xác suất không đ ậ p

n —»00

"

'

•

ứng được nhu cầu của khách hàng t ạ i chu kỳ n trong t ư ơ n g lai xa.
•

Đại lượng t h ứ hai bằng số lượng hàng d ư thừa trung bình t ạ i chụ. kỳ

V. trong t ư ơ n g lai xa.
Điều này chỉ rõ t ầ m quan trọng cùa nhírng k ế t quộ vê
1.3.2

lim

= 7Tj.

M ô h ì n h b ì n h Ehrenfest

G i ộ t h i ế t có 2 container chứa 2a quộ cầu (có t h ể xem mỗi quộ cầu là một
phàm t ử ) . G i ộ sử container

A

chứa k quộ và container B

chứa (2a — k)

quộ. M ộ t quộ được chọn ngẫu nhiên t ừ tổng số 2a quộ và cho vào container
kia (xem như p h â n t ử khuếch t á n ngẫu nhiên qua m à n g mồng). R õ ràng các
quộ cầu luân chuyển giữa hai container theo quy luật chung: chuyển t ừ bình
có nhiều quộ h ơ n sang bình có ít quộ hơn.
G i ộ sử Y

n

là số quộ cầu trong A t ạ i giai đ o ạ n t h ứ 71 và đ ặ t x

n

Khi dó, { x }
n

là xích Markov có các trạng thái là
—a, -a + Ì , — 1 , 0 , Ì, ...,.a

— Y — a.
n


22
vái x á c suất chuyển
,

a

ì

—

la
P

i

j

= ị

+

thích.

----

nếu

j —i — Ì !

í

i

Ì

,

0

Ta thấy

Pij = P { X

n

i

--= j | Ằ ' „ := /•} -

ì

V +1

—

n

j — ị = Ì

j

trong c á c t r ư ờ n g hơ]) c òn l ạ i

l
Giải

nếu

Ki — j ~ i -~ Ì Ì
=

nghĩa l à A đ ư ợ c t h è m

j — ì = —Ì

J

/ {V'n+l - « f jịv,

nghĩa l à A m ấ t Ì

Ì

Ì

q u ả c ầ u t ừ B có a - ì q u ả c ầ u ,

q u ả c ầ u t r o n g s ố li Ì / q u à c ầ u c ủ a n ó .

Đ i ề u c h ú n g t a c ầ n b i ế t t r o n g m ỏ h ì n h n à y l à p h â n p h ố i can b ằ n g c ủ a các.
quả cầu trong m ỗ i bình.
1.3.3

X í c h M a r k o v trong di

truyền

S . W r i g h t ( t r ư ớ c đ ó là G a l t o n ) đ ã đ ư a r a m ô h ì n h (li h u y ê n sau đ ể n g h i ê n
c ọ u s ự t h ă n g g i á n g ( f l u c t u a t i o n ) c ủ a t ầ n số gene do á n h h ư ờ n g của đ ộ t b i ế n
v à chọn lọc.
T a b ắ t đ ầ u b ằ n g m ô h ì n h d ơ n t ử ( h a p l o i d model) của s ụ t á i t ạ o n g ẫ u
n h i ê n , k h i k h ô n g x é t đ ế n n h ữ n g t á c n h â n đ ô t b i ế n va l i n e n h ư ớ n g chon loe-,
( m u t a t i o n pressures a n d selective forces). G i ả s ử t a X('1 c ữ loài cố đ ị n h g ồ m
2N

gene k ế t h ợ p t ừ c á c c á t h ể l o ạ i

a v à loại

A. S ự h ì n h t h à n h t h ế h ệ sau

đ ư ợ c x á c đ ị n h b ở i 2N p h é p t h ử n h ị t h ọ c đ ộ c l ậ p n h ư nhau: N ế u loài b ố m ẹ

c

°

j a-gene v à

(2AT — j ) A-gene

t h ì m ỗ i p h é p t h ử có k ế t q u à là a

hay

A

với xác suất t ư ơ n g ọng l à

=

vkt

;= 1

* ầ » -ề •
C á c c h ọ n lọc đ ư ợ c l ặ p l ạ i v à đ ư ợ c t i ế n h à n h c ó thay thế.
c ó xích M a r k o v

{ X

n

} trong đ ó X

loài k h ô n g đ ố i g ồ m 2N

n

Hằng cách n à y t a

l à số rt-gene ờ t h ố h ệ t h ọ li t r o n g c à

c á t h ể . K h ô n g gian t r ạ n g thái

E

{0,1,2,

...,2N}


23
g ồ m 2N + Ì g i á t r ị . M a t r ậ n x á c s u ấ t c h u y ể n

p = (ỹjk)

t í n h theo p h â n p h ố i

nhị thức là
p

= P { X

jk

n

+

l

= k\x

n

= j} = C ỵ

C h ú ý rằng các trạng thái
nghĩa k h i

x

n

=

0

(hoặc 2N)

X

n

N

= 0

thì

p

k
j

q

f -

k

(j,k

(hoặc 2N)

x k

= 0

n+

= 0 , 1 , ...,2N).

(3.2)

là h ấ p t h ụ h o à n t o à n theo

(hoặc 2N,

t ư ơ n g ứng) vói m ọ i

k > 0.
M ộ t t r o n g n h ữ n g v ấ n đ ề t h ú vị l à x á c đ ị n h x á c s u ấ t

(nghĩa V N ) v ớ i đ i ề u k i ệ n Xo = i, t ứ c l à n ó sẽ t r ỉ t h à n h m ộ t q u ầ n

fixation
thể

đ ể loài sẽ đ ạ t t ớ i

t h u ầ n c h ủ n g g ồ m chỉ c ó

a-gene hoặc

A-gene.

Việc xác định tốc đ ộ đ ạ t

t ớ i f i x a t i o n c ũ n g l à đ i ề u đ á n g q u a n t â m . T a sẽ n g h i ê n c ứ u n h ữ n g v ấ n đ ề n h ư
t h ế trong p h â n tích t ổ n g q u á t về x á c suất h ấ p t h ụ .
M ộ t m ô h ì n h đ ầ y đ ủ h ơ n p h ả i t í n h đ ế n n h ữ n g m u t a t i o n pressures ( t á c

n h â n d ộ t b i ế n ) . T a g i ả s ử r ằ n g t r ư ớ c k h i h ì n h t h à n h t h ế h ệ m ớ i , m ỗ i gene c ó
x á c s u ấ t đ ộ t b i ế n , t ứ c l à x á c s u ấ t c h u y ể n t h à n h gene của l o ạ i kia. Đ ặ c b i ệ t ,
ta g i ả s ử r ằ n g đ ố i v ớ i m ỗ i gene h i ệ n t ư ợ n g đ ộ t b i ế n
suất

Xi

và hiện tượng đ ộ t biến

A —> a

x ả y ra v ớ i x á c

a —> A

x ả y ra v ớ i x á c suất

Xi-

M ộ t l ầ n n ữ a t a l ạ i g i ả s ử r ằ n g s ự h ì n h t h à n h c ủ a t h ế h ệ sau đ ư ợ c x á c đ ị n h
bỉi

IN

m ẹ có

p h é p t h ừ n h ị t h ứ c . C á c g i á t r ị liên q u a n của

Pj

và

Ọj k h i l o à i cha

j a-gene l ú c n à y c ó d ạ n g
Pi = 5 ^ ( 1 - s a ) + ( 1 - ^ * 2

và

1


^ - ả ^

1

(

3

3

)

- ^ -

L ậ p l u ậ n n h ư sau: c á c t á c n h â n đ ộ t b i ế n h o ạ t đ ộ n g đ ầ u t i ê n , sau đ ó m ộ t gene
m ớ i đ ư ợ c c h ọ n b ằ n g c á c h c h ọ n lọc n g ẫ u n h i ê n t ừ loài. B â y g i ỉ x á c s u ấ t c ủ a
c h ọ n lọc m ộ t

số

a-gene sau k h i t á c n h â n đ ộ t b i ế n h o ạ t đ ộ n g c h í n h l à

1/2N

lần

a-gene h i ệ n c ó . V ì v ậ y x á c s u ấ t t r u n g b ì n h ( l ấ y t r u n g b ì n h đ ố i v ớ i n h ữ n g

đ ộ t b i ế n có t h ể ) là

1/2N

l ầ n số t r u n g b ì n h c ủ a

số t r u n g b ì n h n à y rõ r à n g là

j ( l — Xi) + (2N

o-gene sau đ ộ t b i ế n . N h ư n g
T ừ đó dẫn đ ế n công

— j)x2-

t h ứ c (3.3).
X á c s u ấ t c h u y ể n của x í c h M a r k o v t ư ơ n g ứ n g đ ư ợ c t í n h b ỉ i c ô n g t h ứ c (3.2)
ở t r ê n v ớ i c á c Pj, Ọj đ ư ợ c t í n h b ỉ i c ô n g ữ i ứ c ( 3 . 3 ) v ừ a v i ế t .
Nếu

Xi,£2

>

Thay vào đó, khi

0

thì

fixation

n —* oo

sẽ k h ô n g x ả y ra ở bất c ứ t r ạ n g t h á i n à o .

h à m p h â n p h ố i của

x

n

sẽ t i ế n đ ế n

phân