Nhom abel huu han sinh

TRƯỜNG DHSP HUẾ
KHOA TOÁN

 

NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH

+ =
Sinh viên:

?
HỒ NGỌC HƯNG
TRẦN QUANG


Định nghĩa 4.1:
 

Cho G là một nhóm Abel ( phép toán ký hiệu + ). Khi đó:

i) Phần tử được gọi là phần tử tuần hoàn nếu hữu hạn.
ii)Bộ phận tất cả các phần tử tuần hoàn của nhóm G lập thành
một nhóm con của G, được gọi là nhóm con xoắn của G.


iii) Nhóm G được gọi là tuần hoàn nếu G trùng với nhóm con xoắn
của nó.

 

Nhóm Abel G đgl nhóm Abel tự do nếu G là tổng trực tiếp của

các nhóm xyclic có cấp vô hạn. Cơ sở X của G là tập con của G
gồm các phần tử có cấp vô hạn sao cho G =


Lưu ý 4.2:

i)
 

Nếu , thì chia hết mn. Và rõ ràng mọi nhóm Abel tuần hoàn hữu hạn
sinh đều hữu hạn.

ii) Với số p nguyên tố, ta ký hiệu G(p) là bộ phận các phần tử
Khi đó:

)
)

G(p) là nhóm con tuần hoàn của G.
G(p) là một p-nhóm nếu G(p) hữu hạn.

sao cho với .


Định lý 4.3:

Cho G là một nhóm Abel hữu hạn. Khi đó, G là tích trực tiếp của
các nhóm con G(p) của nó theo tất cả số nguyên tố p.

 

Tức là:
G = G() G() … G() với:

.
 nguyên tố đôi một khác nhau.


Chứng minh:
 

Nếu với n khác lũy thừa của p.
Khi đó n = m.m’ (m, m’ là các số
(m,m’)=1 ).
Ký hiệu . Ta c/m
G = mG m’G
=

nguyên lớn hơn 1 và


 

Bằng chứng minh quy nạp ta có được đẳng thức cần chứng minh:

G = G() G() … G()


Định lý 4.4:

 

Cho G là nhóm Abel bất kỳ, F là nhóm Abel tự do có cơ sở X và f: X
G là một ánh xạ.
Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu F G sao cho X)


Chứng minh:
 

Lấy u u = .x

Xét


Mệnh đề 4.5:

 

Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G và G/H là nhóm Abel
tự do thì tồn tại K

Chứng minh:
 

Gọi X là cơ sở của G/H.
Xét ánh xạ : G/H G
với ker =H.
Khi đó chứng minh:

G = im H


Định nghĩa 4.6

Cho G là một nhóm. Khi đó:
G được gọi là nhóm không xoắn nếu đơn vị là phần tử
duy nhất trong G có cấp hữu hạn.


Định lý 4.7

Cho G là nhóm Abel hữu hạn sinh không xoắn. Khi đó G
là nhóm Abel tự do.


Chứng minh:
 

G=<x1…xn>. Đặt H={g G|mZ sao cho mg <xn>}.
Khi đó, H là nhóm aben tự do.
C.m G/H là nhóm con không xoắn, được sinh bởi tập ít hơn n
phần tử , do đó G/H Aben tự do


 

Khi đó, tồn tại KG=H K
Xây dựng đẳng cấu sao cho

K G/H
Khi đó G aben tự do


Định lý 4.8:

 

Nếu G là nhóm Abel hữu hạn sinh thì G = H F với H là nhóm các
phần tử có cấp hữu hạn, F là nhóm Abel tự do.


Chứng minh:
 

G/H = <> <> … <>
F = <> <><>
Ta chứng minh:
G=HF


Định lý 4.9:
 

Giả sử G là nhóm Abel hữu hạn sinh, Gt là nhóm con xoắn gồm tất
cả phần tử có cấp hữu hạn trong G. Khi đó:

i)
ii)
iii)

Gt là nhóm hữu hạn.
G/Gt là nhóm abel tự do.
Tồn tại một nhóm Abel tự do

Gf G sao cho G = Gt Gf


Chứng minh:
 

i) Ta chứng minh bằng quy nạp:
Gtii)
={x1,…xminh
H K
> vớixoắn
G/G
không
k} >=<
t
H=< {x1…xk-1} >, K=< {xk} >.
iii) Áp dụng định lí 4.8
Khi đó G= H K.Suy ra |G|=|H|+|K|-|H K|
Từ đó tính được số phần tử G


MỞ RỘNG
MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC

(i) Mọi nhóm hữu hạn đều hữu hạn sinh

(ii) Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh xoắn là nhóm hữu hạn.


MỞ RỘNG
MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC

(iii) Nhóm Abel G có cấp vô hạn, có phần tử cấp vô hạn và các phần tử này
đều thuộc một nhóm con hữu hạn sinh của G thì G là nhóm hữu hạn sinh.


MỞ RỘNG
MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC

(iv) Mọi nhóm G khác {e} là nhóm luỹ linh lớp k (k>1) và G\Z(G) hữu hạn
thì G là nhóm hữu hạn sinh.


MỞ RỘNG
MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC

(v) Nhóm Abel hữu hạn sinh thỏa mọi phần tử sinh có cấp là lũy thừa của
một số nguyên tố cho trước là lũy linh.

(vi) Nhóm hữu hạn sinh có một phần tử sinh có cấp vô hạn là nhóm vô hạn.


T

H

E

E

XIN CÁM ƠN

N

D