một số vấn đề về đại số boole và các phương pháp cực tiểu hóa hàm boole

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SƢ PHẠM TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Tên đề tài:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐẠI SỐ BOOLE VÀ
CÁC PHƢƠNG PHÁP CỰC TIỂU HÓA
HÀM BOOLE
Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

T.S Trƣơng Quốc Bảo

Trƣơng Hoàng Vinh
MSSV: 1090137
Lớp: SP Toán-Tin K35

Cần Thơ, tháng 5 năm 2013


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

LỜI CẢM ƠN

Thấm thoắt thì bốn năm đại học của chúng em cũng đã qua đi. Chúng em sẽ

rời xa giảng đƣờng đại học, thầy cô, và bạn bè, nơi đã khắc sâu vào mỗi chúng em
những kỉ niệm không bao giờ quên đƣợc.
Giờ đây, chúng em đã lớn khôn và nên ngƣời, đã hiểu đƣợc những điều mà
thầy cô mong đợi ở chúng em. Tuy cũng có những lúc chúng em làm thầy cô phiền
lòng khi đứng trên bục giảng, nhƣng tất cả giờ đây đã thuộc về ký ức. Nhƣng ký ức
đó để lại cho chúng em những bài học quý báu. Chúng em xin hứa sẽ cố gắng phấn
đấu thật nhiều để xứng đáng với những món quà vô giá, những công sức mà thầy cô
đã ban tặng cho chúng em trong suốt những năm học vừa qua.
Với những cảm xúc chân thành, em xin gửi lời chúc sức khỏe và thành đạt
đến quý thầy cô trƣờng Đại học Cần Thơ nói chung và bộ môn Toán - Khoa Sƣ
phạm nói riêng. Em xin gửi lời cảm ơn đến cha mẹ em đã có công nuôi dƣỡng em,
động viên em trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là thầy TS. Trƣơng Quốc Bảo đã
hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, bên cạnh đó em xin gửi lời cám
ơn đến cô Phạm Thị Vui đã cung cấp cho em những kiến thức nền tảng để em có
thể hoàn thành đề tài luận văn này. Ngoài ra em xin chân thành cám ơn cô CVHT
Nguyễn Thị Thảo Trúc đã dìu dắt chúng em, hƣớng dẫn chúng em trong suốt quá
trình học tập, thầy Đỗ Quang Huy, thầy PGS. TS. Nguyễn Phú Lộc đã động viên
tinh thần cho em vƣợt qua mọi khó khăn trong quá trình học tập, thầy Bùi Anh
Tuấn đã cho em những phƣơng pháp, những bài học về kinh nghiệm sống, cho em
hành trang vững vàng để đi tiếp, sau cùng em xin cám ơn thầy Lâm Quốc Anh
trƣởng bộ môn Toán - Khoa Sƣ Phạm - Trƣờng Đại học Cần Thơ đã tạo điều kiện
cho em bảo vệ luận văn này.

1


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

Dù đã cố gắng để hoàn thành đề tài của mình, nhƣng em chắc rằng luận văn
tốt nghiêp này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc những
ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn để đề tài này đƣợc hoàn thiện hơn.
Chân thành cám ơn!
Sinh viên thực hiện đề tài
Trƣơng Hoàng Vinh

2


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1. 1 - Tính chất 3 ..............................................................................................18
Bảng 1. 2 - Tính chất 3 ..............................................................................................19
Bảng 1. 3 - Tính chất 4 (Bảng 1) ...............................................................................21
Bảng 1. 4 - Tính chất 4 (Bảng 2) ...............................................................................22
Bảng 1. 5 - Tính chất 5 (Bảng 1) ...............................................................................24
Bảng 1. 6 - Tính chất 5 (Bảng 2) ...............................................................................25
Bảng 1. 7 - Tính chất 5 (Bảng 3) ...............................................................................26
Bảng 1. 8 - Bảng các giá trị của hàm Boole : F (x, y, z) = xy+ z ..............................29
Bảng 1. 9 – Bảng chân trị biểu diễn cho kết quả việc bỏ phiếu bầu .........................30
Bảng 2. 1 – Bảng chân trị cho mạch logic ................................................................33
Bảng 2. 2 - Tìm tổng x+y ..........................................................................................36
Bảng 2. 3 - Hàm Boole s và c theo biến x,y ..............................................................37
Bảng 2. 5 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh 2 biến .................................................42
Bảng 2. 6 - Bảng đồ Karnaugh 3 biến .......................................................................43

Bảng 2. 7 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh 3 biến (Bảng 1) ..................................44
Bảng 2. 8 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh 3 biến (Bảng 2) .................................44
Bảng 2. 9 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh 3 biến (Bảng 3) ..................................44
Bảng 2. 10 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh 3 biến (Bảng 4) ................................45
Bảng 2. 11 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh 3 biến (Bảng 5) ................................45
Bảng 2. 12 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh 3 biến(Bảng 6) .................................45
Bảng 2. 13 - Bảng đồ Karnaugh 4 biến .....................................................................46
Bảng 2. 14 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh 4 biến (Bảng 1) ................................47
Bảng 2. 15 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh 4 biến (Bảng 2) ................................47
Bảng 2. 16 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu
(Bảng 1) .....................................................................................................................57
Bảng 2. 17 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu
(Bảng 2) .....................................................................................................................57
Bảng 2. 18 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu
(Bảng 3) .....................................................................................................................57
Bảng 2. 19 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu
(Bảng 4) .....................................................................................................................58
Bảng 2. 20 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu
(Bảng 5) .....................................................................................................................59
Bảng 2. 21 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu
(Bảng 6) .....................................................................................................................59
3


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

Bảng 2. 22 - Bảng chân trị mạch điều khiển 2 cầu dao.............................................60
Bảng. 2. 23 - Bảng chân trị mạch điều kiển 3 cầu dao..............................................61

4


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang
Hình 2. 1 – Cổng logic ..............................................................................................31
Hình 2. 2 – Cổng NOT ..............................................................................................31
Hình 2. 3 -Cổng AND ...............................................................................................32
Hình 2. 4 - Cổng OR .................................................................................................32
Hình 2. 5 – Mạch logic thực hiện hàm ....................................................................34
Hình 2. 6 – Mạch logic thực hiện hàm F (x, y, z) = . ................................................34
Hình 2. 7 – Cổng NAND...........................................................................................35
Hình 2. 8 – Cổng NOR ..............................................................................................35
Hình 2. 9 – Cổng XOR ..............................................................................................36
Hình 2. 10 – Mạch Cộng ...........................................................................................36
Hình 2. 11 – Mạch cộng bán phần ............................................................................37
Hình 2. 12 – Mạch cộng toàn phần ...........................................................................38
Hình 2. 13– Mạch cộng tổng hợp ..............................................................................39
Hình 2.14 – Mạch cộng 2 số 4 bits ...........................................................................39
Hình 2.15 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình
1)................................................................................................................................51
Hình 2. 16 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình
2)................................................................................................................................51
Hình 2. 17 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình
3)................................................................................................................................52

Hình 2. 18 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình
4)................................................................................................................................53
Hình 2. 19 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình
5)................................................................................................................................54
Hình 2. 20 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình
6)................................................................................................................................55
Hình 2. 21 – Mạch điều khiển 2 cầu dao .................................................................60
Hình 2. 22 - Mạch điều khiển 3 cầu dao ...................................................................62
Hình 3.1 - Hình giao diện ..........................................................................................63
Hình 3. 2 - Giao diện để nhập hàm (Hình 1).............................................................64
Hình 3. 3 - Giao diện để nhập hàm (Hình 2).............................................................65
Hình 3. 4 - Đọc hàm Boole (Hình 1) .........................................................................66
Hình 3. 5 - Đọc hàm Boole (Hình 2) .........................................................................66
5


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

Hình. 3. 6 - Lập bảng chân trị (Hình 1) .....................................................................67
Hình 3. 7 - Lập bảng chân trị (Hình 2) ......................................................................68
Hình 3. 8 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh (Hinh 1) ..............................................69
Hình 3. 9 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh (Hình 2) ..............................................69
Hình 3. 10 - Phƣơng pháp QUINE-MCCLUSKEY (Hình 1) ...................................70
Hình 3. 11 - Phƣơng pháp QUINE-MCCLUSKEY (Hình 2) ...................................71

6

GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

MỤC LỤC
Trang
A. PHẦN MỞ ĐẦU ...................................................................................................9
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .....................................................................................9
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .............................................................................9
3. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU ...........................................................................9
4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ....................................................................9
5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN .........................................................................9
B. PHẦN NỘI DUNG .............................................................................................12
Chƣơng 1 ..................................................................................................................12
ĐẠI SỐ BOOLE ......................................................................................................12
1. 1. ĐỊNH NGHĨA ..............................................................................................12
1. 2. KHÁI NIỆM .................................................................................................13
1. 3. TÍNH CHẤT .................................................................................................13
1. 3. 1. Nguyên lý đối ngẫu ................................................................................13
1. 3. 2. Một số định lý cơ bản .............................................................................13
a) Định lý 1 .............................................................................................................. 13
b) Định lý 2 .............................................................................................................. 14
c) Định lý 3 (Luật DeMorgan) ................................................................................. 15

1. 4. MỘT SỐ TÍNH CHẤT ................................................................................15
1. 4. 1. Tính chất 1 ..............................................................................................15
1. 4. 2. Tính chất 2 ..............................................................................................16
1. 4. 3. Tính chất 3 ..............................................................................................16
1. 4. 4. Tính chất 4 ..............................................................................................20
1. 4. 5. Tính chất 5 ..............................................................................................23

1. 5. HÀM BOOLE ..............................................................................................27
1. 5. 1. Định nghĩa ..............................................................................................27
1. 5. 2. Khái niệm ...............................................................................................27
1. 5. 3. Tính chất .................................................................................................27
a) Hệ quả 1 ............................................................................................................... 28

1. 5. 4. Một số ví dụ............................................................................................28
a) Ví dụ 1 ................................................................................................................. 28
b) Ví dụ 2: ................................................................................................................ 29

1. 6. BẢNG CHÂN TRỊ .......................................................................................30
1. 6. 1. Định nghĩa ..............................................................................................30
1. 6. 2. Ví dụ: ......................................................................................................30
Chƣơng 2 ..................................................................................................................31
MẠCH LOGIC ........................................................................................................31
7


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

2. 1. CỔNG LOGIC .............................................................................................31
2. 1. 1. Cổng logic NOT/AND/OR ....................................................................31
2. 1. 2. Cổng NOT ..............................................................................................31
2. 1. 3 Cổng AND...............................................................................................32
2. 1. 4. Cổng OR:................................................................................................32
2. 2. MẠCH LOGIC ............................................................................................33
2. 2. 1. Tổ hợp các cổng .....................................................................................33
2. 2. 2. Một số ví dụ............................................................................................33

a) Ví dụ 1: ................................................................................................................ 33
b) Ví dụ 2. ................................................................................................................ 34

2. 3. MẠCH CỘNG ..............................................................................................36
2. 4. CÁC PHƢƠNG PHÁP CỰC TIỂU HÓA HÀM BOOLE .......................40
2. 4. 1. Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh ...........................................................40
a) Cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp ........................................................................ 40
b) Bảng đồ Karnaugh 2 biến .................................................................................... 41
c) Bảng đồ Karnaugh 3 biến .................................................................................... 43
d) Bảng đồ Karnaugh 4 biến .................................................................................... 46

2. 4. 2. Phƣơng pháp Quine-McCluskey: ...........................................................48
a) Mở đầu ................................................................................................................. 48
b) Định nghĩa: .......................................................................................................... 48
c) Mệnh đề: ............................................................................................................. 48
e) Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn: .................... 49
i. Cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp ..................................................................... 49
ii. Thuật toán ........................................................................................................ 49
iii. Ví dụ: .............................................................................................................. 50
f) Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu: ................... 55
i. Cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp ..................................................................... 55
ii. Thuật toán ........................................................................................................ 56
iii. Ví dụ : ............................................................................................................. 56

2. 5. ỨNG DỤNG .................................................................................................59
2. 5. 1. Ví dụ 1 ....................................................................................................59
2. 5. 2. Ví dụ 2 ....................................................................................................60
Chƣơng 3 ..................................................................................................................63
CHƢƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG ...........................................................................63
3. 1. ĐỌC HÀM BOOLE.....................................................................................65

3.2. BẢNG CHÂN TRỊ ........................................................................................67
3. 3. BẢNG ĐỒ KARNAUGH ............................................................................68
3. 3. PHƢƠNG PHÁP QUINE-MCCLUSKEY ................................................70
C. PHẦN KẾT LUẬN .............................................................................................72
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................73

8


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong môn Toán rời rạc cho tin học, chúng ta đƣợc học phần đại số Boole,
do học phần này có rất nhiều chƣơng, mà thời lƣợng chƣơng trình thì có hạn, nên ta
không thể tìm hiểu một cách cụ thể và chuyên sâu đƣợc, trong khi những sinh viên
ngành Sƣ phạm Toán - Tin, Sƣ phạm Lý - Tin chỉ đƣợc tìm hiểu một cách đơn giản
về Đại số Boole mà chƣa phân tích sâu lý thuyết và các ứng dụng thực tế. Trong
quá trình nghiên cứu về học phần này tôi nhận nhận thấy đại số Boole đƣợc ứng
dụng rất nhiều trong đời sống nhƣ thiết kế một mạch điện tích hợp, mạch cầu dao
điện, công tắc, mạch điều khiển…Chính vì vậy tôi chọn đề tài này là để có điều
kiện tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết Đại số Boole và các ứng dụng của đại số Boole
trong đời sống.

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trọng tâm của đề tài này là đi vào nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết Đại số
Boole và “Một số phƣơng pháp để cực tiểu hóa hàm Boole”. Chúng ta đã biết, trong
đại số Boole vấn đề quan trọng là khi đƣa ra một hàm Boole là chúng ta phải đọc

đƣợc hàm Boole đó, dùng một số phƣơng pháp để cực tiểu hóa hàm Boole nhằm
tìm ra công thức chuẩn, tối ƣu đáp ứng đƣợc mục tiêu đề ra. Trong đề tài này, bên
cạnh cụ thể hóa lý thuyết về Đại số Boole, tôi còn ứng dụng phần mềm tin học để
giải quyết một số bài toán cực tiểu hóa hàm Boole một cách dễ dàng.

3. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU
Lý thuyết về Đại số Boole, hàm Boole, Cổng logic, Mạch loogic, một số
phƣơng pháp cực tiểu hóa hàm Boole và một vài ứng dụng của Đại số Boole trong
thực tế.

4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Đọc sách và tham khảo tài liệu.
- Phƣơng pháp diễn giải, phân tích.
- Kết hợp sự lập trình tin học.
- Phƣơng pháp đàm thoại trao đổi với giáo viên hƣớng dẫn.

5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

9


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
3. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU
4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
B. PHẦN NỘI DUNG
Chƣơng 1: ĐẠI SỐ BOOLE
1.1. ĐỊNH NGHĨA
1.2 KHÁI NIỆM
1.3. TÍNH CHẤT
1.4. MỘT SỐ VÍ DỤ
1.5. HÀM BOOLE
1.6. BẢNG CHÂN TRỊ
Chƣơng 2: MẠCH LOGIC
2.1. MẠCH LOGIC NOT/AND/OR
2.2. MẠCH LOGIC
2.3. MẠCH CỘNG
2.4. CÁC PHƢƠNG PHÁP CỰC TIỂU HÓA HÀM BOOLE
2.5. ỨNG DỤNG
Chƣơng 3: CHƢƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG
3.1. ĐỌC HÀM BOOLE
3. 2. BẢNG CHÂN TRỊ

10


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

3.3. BẢNG ĐỒ KARNAUGH 4 BIẾN
3.4. PHƢƠNG PHÁP QUINE-MCCLUSKEY
C. PHẦN KẾT LUẬN
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

11


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

B. PHẦN NỘI DUNG
Chƣơng 1
ĐẠI SỐ BOOLE
1. 1. ĐỊNH NGHĨA
Cho B là một tập hợp, trên đó ta trang bị hai phép toán hai ngôi là  và phép  ,
cùng với phép toán một ngôi, kí hiệu là ' . Hai phần tử khác nhau trong B là 0,1. Khi
đó bộ <B,  ,  , ' , 0, 1> đƣợc gọi là một đại số Boole nếu thỏa mãn các tiên đề sau:
 a,b,c  B:

- Tiên đề B1 (Tiên đề giao hoán)
1a. a  b = b  a
1b. a  b = b  a
- Tiên đề B2 (Tiên đề phân phối)
2a. a  (b  c) = (a  b)  (a  b)
2b. a  (b  c) = (a  b)  (a  c)
- Tiên đề B3 (Tiên đề đồng nhất)
3a. a   = a
3b. a  e = a
- Tiên đề B4 (Tiên đề bù)
4a. a  a ' = e
4b. a  a '  
Đại số Boole nói trên đƣợc kí hiệu là B nếu các phép toán 2 ngôi 

và  đƣợc xác định.

12


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

1. 2. KHÁI NIỆM
- Phần tử e đƣợc gọi là phần tử trung hòa của phép  (phần tử đơn vị)
- Phần tử  đƣợc gọi là phần tử trung hòa của phép  (phần tử không)
- a ' đƣợc gọi là phần bù của a
- Kết quả của phép toán  , đƣợc gọi là tổng
- Kết quả của phép toán  , đƣợc gọi là tích
- Đối ngẫu của một mệnh đề là mệnh đề nhận đƣợc bằng cách đổi chỗ hai phép
toán  và *, đổi chỗ 0 và 1, tƣơng ứng trong mệnh đề gốc
1. 3. TÍNH CHẤT
1. 3. 1. Nguyên lý đối ngẫu
Đối ngẫu của một định lý bất kỳ trong đại số Boole cũng là một định lý.
Chứng minh: Ta có đối ngẫu của tập các tiên đề trong B là giống nhƣ tập
hợp các tiên đề gốc. Theo đó nếu một mệnh đề bất kỳ là kết quả của những tiên đề
của đại số Boole, khi đó đối ngẫu của nó cũng là kết quả của các tiên đề đó, bởi vì
mệnh đề đối ngẫu có thể đƣợc chứng minh bằng cách sử dụng đối ngẫu của từng
bƣớc trong chứng minh của mệnh đề gốc.
1. 3. 2. Một số định lý cơ bản
a) Định lý 1
Cho a, b, c là các phần tử bất kỳ trong một đại số Boole B. Khi đó:
(i)

(5a) a  a=a;

(5b) a*a=a

(Tính chất lũy đẳng)

(ii)

(6a) a  1=a;

(6b) a*0=0

(Tính chất bị chặn)

(iii)

(7a) a  (a*b)=a;

(7b) a*(a  b)=a

(Tính chất hấp thu)

(iv)

(8a) (a  b)  c=a  (b  c)
(8b) (a*b)*c=a*(b*c)

(Tính chất kết hợp)

Chứng minh:

(5b): a=a*1=a*(a  a ' )=a*a  a*a ' =a*a  0=a*a
(5a): là đối ngẫu của (5b)

13


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

(6b):
a*0=(a*0)  0=(a*0)  (a*a ' )=a*(0  a ' )=a*(a '  0)=a*a ' =0
(6a): là đối ngẫu của (6b)
(7b): a*(a  b)=(a  0)*(a  b)=a  (0*b)=a  (b*0)=a  0=a
(7a): là đối ngẫu của (7b)
(8b): Cho M  (a * b) * c và N  a * (b * c)
Sử dụng tính chất hấp thu ta có:
a  M  a  ((a * b) * c)  (a  (a * b)) * (a  c)  a * (a  c)  a
a  N  a  (a * (b * c))  (a  a) * (a  (b * c))  a * (a  (b * c))  a

Từ đó ta có: a  M  a  N
a   M  a   ((a * b) * c)
 (a   (a * b)) * (a   c)
 ((a   a) * (a   b) * (a   c))
 (1 * (a   b)) * (a   c)
 a  * (b  c)

a  N  a  (a * (b * c))  (a  a) * (a  (b * c))  1* (a  (b * c))  a  (b * c)
 a  M  a  N
M  M  0  M  (a * a)  (M  a) * (M )  (a  M ) * (a  M )  (a  N ) * (a  N )  N

(8a): suy ra từ (8b) đối ngẫu.
b) Định lý 2
Cho a là một phần tử bất kỳ trong đại số Boole B. Khi đó ta có:
(a) Tính duy nhất của phần tử bù: Nếu a  x  1 và a * x  0 thì x  a 
(b) Tính chất phần bù kép: (a)  a
(c) 0  1; 1  0
Chứng minh
(a):

a  a  0  a  (a * x)  (a * a)*(a * x)  1*(a * x)  a  x
x  x  0  x  (a * a)  ( x  a)*( x  a)  1*( x  a)  x  a
 x  x  a  a  x  a

(b) Ta có: a  a  1; a * a  0 và theo tính chất giao hoán ta suy ra
a  a  1; a * a  0

Suy ra a là phần bù của a suy ra a  (a)

14


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

(c) Ta có: 0 1  1; 0*1  0 suy ra 1 là phần tử bù của 0 suy ra 1  0 Đối ngẫu
suy ra 0  1
c) Định lý 3 (Luật DeMorgan)
(a) (a  b)  a * b

(b) (a * b)  a  b
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh: (a  b)  (a * b)  1 và (a  b)*(a * b)  0
Ta có:
(a  b)  (a * b)  (b  a)  (a * b)
 b  a  (a * b)
 b  (a  a)*(a  b)
 b  1*(a  b)
 b  (a  b)
 (b  b)  a  1  a  1

Ta lại có:
(a  b) *( a * b)  (( a  b) * a) * b
 [(a*a )  (b*b)]* b  (0  (b * a)) * b
 a *(b*b)=a *0=0
 (a  b)  a * b

1. 4. MỘT SỐ TÍNH CHẤT
1. 4. 1. Tính chất 1
Ngoài các phép toán  ,  , ' , Tập B = {0,1} với ba phép toán hội   , tuyển

  ,

và phép phủ định

 

cũng đƣợc gọi là đại số Boole nếu x, y, z  B ta

luôn có các tính chất sau:

15


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

1) x  0  x
2) x  1  x
3) x  x  1
4) x  x  0
5)  x  y   z  x   y  z 
6)  x  y   z  x   y  z 
7) x  y  y  x
8) x  y  y  x
9) x   y  z    x  y    x  z 
10) x   y  z    x  y    x  z 

 Nhƣ vậy các phép toán   ,    ,

  tƣơng ứng với các phép toán  ,

 , '.

Vậy đại số logic là một đại số Boole.
Ta thƣờng bỏ đi kí hiệu  và thay bởi dấu trống và kí hiệu  đƣợc thay
bởi dấu +. Khi đó tiên đề 2a. và 2b. có thể viết lại nhƣ sau:
2a. a + bc = (a + b) (a + c)
2b. a (b + c) = ab + ac

Quy ƣớc nếu không có dấu ngoặc đơn thì phép toán lấy bù ' ƣu tiên hơn 
và  ƣu tiên hơn  .
1. 4. 2. Tính chất 2
a  b  c = a  (b  c)  (a  b)  c
a  b '  a  (b ')  (a  b)'

1. 4. 3. Tính chất 3
Cho B = { 0,1 } với hai phép toán  ,  trên B đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
1  1 = 1, 1  0 = 1, 0  1 = 1, 0  0 = 0
1  1 = 1, 1  0 = 0, 0  1 = 0, 0  0 = 0
16


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

Và phần bù đƣợc định nghĩa nhƣ sau: 1'  0;0'  1 .
Phần tử 0 =  , 1 = e.
Khi đó B là một đại số B.
 Để kiểm tra ví dụ trên có phải là đại số Boole hay không ta xét
xem tập B cùng với hai phép toán 2 ngôi và một phép toán một
ngôi có thỏa 4 tiên đề B1, B2, B3, B4 không?
- B1 (Tiên đề giao hoán)
Ta có : 0  1 = 1 (a)
1  0 = 1 (b)
0  1 = 0 (c)
1  0 = 0 (d)
Từ (a), (b)  0  1 = 1  0 (thỏa 1a. )
Từ (c), (d)  0  1 = 1  0 (thỏa 1b. )

- B2 (Tiên đề phân phối)

17


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

Ta có:
a

B

c

bc

ab

ac

a  b  c

 a  b   a  c 

1

1

1

1 1  1

11  1

11  1

11  1

1 1  1

1

1

0

1 0  0

11  1

1 0  1

1 0  1

1 1  1

1

0

1

0 1  0

1 0  1

11  1

1 0  1

1 1  1

1

0

0

00  0

1 0  1

1 0  1

1 0  1

1 1  1

0

1

1

1 1  1

0 1  1

0 1  1

0 1  1

1 1  1

0

1

0

1 0  0

0 1  1

00  0

00  0

1 0  0

0

0

1

0 1  0

00  0

0 1  1

00  0

0 1  0

0

0

0

00  0

00  0

00  0

00  0

00  0

Bảng 1. 1 - Tính chất 3
 a, b, c  B : a  (b  c)   a  b    a  c  (thỏa 2a. )

18


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

Tƣơng tự:
a

B

c

bc

a b

a c

a  b  c

 a  b   a  c 

1

1

1

11  1

1 1  1

1 1  1

1 1  1

11  1

1

1

0

1 0  1

1 1  1

1 0  0

1 1  1

1 0  1

1

0

1

0 1  1

1 0  0

1 1  1

1 1  1

0 1  1

1

0

0

00  0

1 0  0

1 0  0

1 0  0

00  0

0

1

1

11  1

0 1  0

0 1  0

0 1  0

00  0

0

1

0

1 0  1

0 1  0

00  0

0 1  0

00  0

0

0

1

0 1  1

00  0

0 1  0

0 1  0

00  0

0

0

0

00  0

00  0

00  0

00  0

00  0

Bảng 1. 2 - Tính chất 3
 a, b, c  B : a  (b c)   a  b    a  c  (thỏa 2b. )

- B3 (Tiên đề đồng nhất)
0   = 0  0 = 0 (thỏa 3a. )
1   = 1  0 = 1 (Thỏa 3a. )
0  e = 0  1 = 0 (thỏa 3b. )
1  e = 1  1 = 1 (Thỏa 3b. )
- B4 (Tiên đề bù)
19


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

0  0 '  0  1  1  e (Thỏa 4a. )
1  1'  1  0  1  e (Thỏa 4a. )

0  0 '  0 1  0   (Thỏa 4b. )
1 1'  1  0  0   (Thỏa 4b. )

Vậy: tập B = {0,1}cùng với hai phép toán hai ngôi, và một phép
toán một ngôi thỏa các tiên đề B1, B2, B3, B4.  B là đại số Boole.
1. 4. 4. Tính chất 4
Cho tập B = {m,n}, với phép toán  ,  trên B đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
m  n  n; n  m  n; m  m  m; n  n  n
n  m  m; m  n  m; n  n  n; m  m  m

Giả sử phần bù đƣợc định nghĩa : m '  n; n '  m
Phần tử m =  ; n = e
 Để kiểm tra B có phải là đại số Boole không? ta kiểm tra B
cùng với hai phép toán hai ngôi, và một phép toán một ngôi có
thỏa 4 tiên đề B1, B2, B3, B4 không?
Ta kiểm tra 4 tiên đề :
- B1 (Tiên đề giao hoán)
m  n  n(1)
n  m  n(2)

Từ (1), (2)  m  n  n  m (Thỏa 1a. )
m  n  m(3)
n  m  m(4)

Từ (3), (4)  m  n  n  m (Thỏa 1b. )

20


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

- B2 (Tiên đề phân phối)
ab

ac

a  b  c

 a  b   a  c 

m M m mm  m

mm  m

m  m=m

mm  m

mm  m

mn  m

mm  m

mn  n

mm  m

mn  m

mn  n

mm  m

mm  m

nm  m

mn  n

mn  n

mn  n

nn  n

a

B

c

m M n

bc

m N

m nm  m

m N

n

nn  n

n

M m mm  m

nm  n

nm  n

nm  n

nn  n

n

M n

mn  m

nm  n

nn  n

nm  n

nn  n

n

N

m nm  m

nn  n

nm  n

nm  n

nn  n

n

N

n

nn  n

nn  n

nn  n

nn  n

nn  n

Bảng 1. 3 - Tính chất 4 (Bảng 1)
 a, b, c  B : a  (b  c)   a  b    a  c  (thỏa 2a. )

21


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

Tƣơng tự:
a

B

c

bc

m M m mm  m
m M n

mn  n

m N

m nm  m

m N

n

nn  n

a b

a c

a  b  c

 a  b   a  c 

mm  m

mm  m

mm  m

mm  m

mm  m

mn  n

mm  m

mn  m

mn  n

mm  m

mm  m

nm  m

mn  n

mn  n

mn  n

nn  n

n

M m mm  m

nm  n

nm  n

nm  n

nn  n

n

M n

mn  m

nm  n

nn  n

nm  n

nn  n

n

N

m nm  m

nn  n

nm  n

nm  n

nn  n

n

N

n

nn  n

nn  n

nn  n

nn  n

nn  n

Bảng 1. 4 - Tính chất 4 (Bảng 2)
 a, b, c  B : a  (b  c)   a  b    a  c  (thỏa 2b. )

- B3 (Tiên đề đồng nhất)
m    m  n  n (Thỏa 3a. )
n   n  m  n

me  mn  m

ne  nn  n

(Thỏa 3a. )
(Thỏa 3b. )

(Thỏa 3b. )

- B4 (Tiên đề bù)
m m'  m n  n  e

(Thỏa 4a. )

22


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

n n'  n m  n  e

(Thỏa 4a. )

mm'  mn  m 

(Thỏa 4b. )

nn'  nm  m 

(Thỏa 4b. )

 Vậy: tập B = {m,n} cùng với hai phép toán hai ngôi, và một phép toán
một ngôi thỏa các tiên đề B1, B2, B3, B4.  B là đại số Boole.
1. 4. 5. Tính chất 5
Xét tập S là tập hợp tất cả các tập hợp con của một tập hợp không rỗng V
(gọi là tập hợp vũ trụ), với các phép toán quen thuộc trên S (phép giao, phép hợp
của hai tập hợp, phép bù của một tập hợp vào V). Cho A, B là hai tập hợp con bất
kỳ của V. Khi đó:
 Giao của A và B (Kí hiệu A  B ) là tập con của V gồm

những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
x  A
x  B

Mô tả bằng toán học: x   A  B   

 Hợp của A và B (Kí hiệu A  B ) là tập hợp con của V gồm
những phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A,B
x  A
x  B

Mô tả bằng toán học: x   A  B   

 Bù của A (Kí hiệu A ' ) là tập hợp con của V gồm những
phần tử không thuộc A.
 x V
x  A

Mô tả bằng toán học: x  A '  

 S cùng với các phép toán trên lập thành một đại số tập hợp. Và các phép
toán trên có tính giao hoán, kết hợp và tính phân phối.

23


GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo

SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh

a. A  B  B  A
b. A  B  B  A
c.  A  B   C  A   B  C 
d. A  B   C  A   B  C 
e.  A  B   C   A  C    B  C 
f . A  B   C   A  C    B  C 

 Tập hợp vũ trụ V và tập rỗng  có các tính chất sau:
V  A  A V  A
  A  A   A

 Đối với tập hợp bù A ' của A ta có:
A  A '  A ' A  
A  A '  A ' A  V

 Xét x là phần tử tùy ý của V và A là một tập hợp con bất kì của V
 Nếu x  A ta gán cho A kí hiệu là 1
 Nếu x  A ta gán cho A kí hiệu là 0
 Nếu A, B là tập con của V ta có 4 khả năng xảy ra đối với x.
A

B

1

1

x  A đồng thời x  B

1

0

x  A nhƣng x  B

0

1

x  A nhƣng x  B

0

0

x  A đồng thời x  B

Bảng 1. 5 - Tính chất 5 (Bảng 1)
 Với kí hiệu nhƣ vậy, định nghĩa về các phép giao, hợp của hai tập hợp, và
phép bù của một tập hợp V nhƣ sau:

24