Kiến thức bổ trợ môn toán

SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG TOÁN 11
GIỮA KÌ II NĂM HỌC 2010 - 2011
Thời gian làm bài: 75 phút

TRƯỜNG THPT GIAO THỦY B

Câu 1 (3 điểm): Tìm các giới hạn sau:
2x 2 . ( x + 1)
b) lim
x →−∞
x3 + 1

x + 4 −3
a) lim 2
x →5
x − 25

 x2 + x − 2

Câu 2 (2 điểm): Cho hàm số y= f (x) =  x − 1
x 2 + x + a


( x 2 + 2x − x)
c) xlim
→−∞

khi

x >1

khi

x ≤1

a) Với a=-3, hãy xét tính liên tục của hàm số tại xo=1.
b) Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
Câu 3 (4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là
hình vuông tâm O cạnh a, SO =

a 6
.
2

a) Chứng minh SO ⊥ ( ABCD ) .
b) Gọi H là trực tâm ∆SBC . Chứng minh OH ⊥ SB .
c) Tính góc giữa SO và ( SBC ) .
d) Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, cắt SB tại M. Tính tỉ số

Câu 4 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình:
x − sin

π
1
π
x − cos
x=0
2011
2

2011

 −π π 
có ít nhất một nghiệm thuộc  ; ÷.
 2 2

--------------------------------------------------Hết------------------------------------------------------

SM
.
SB


ĐÁP ÁN ĐỀ THI TOÁN GIỮA KÌ II NĂM HỌC 2010 – 2011
Câu Đáp án
1 a.

x + 4 −3
= =xlim
→5
x 2 − 25

lim
x →5

= lim
x →5

= lim
x →5

=
1b.

1c.

(x

) ( x + 4 + 3)
( x − 25) ( x + 4 + 3)
x + 4 −3
2

x −5

2

− 25 )

(

x +4 +3

1

( x + 5) (

x +4 +3

)

0.25

)

2x . ( x + 1)
2x + 2x
= lim
3
x →−∞
x →−∞
x +1
x3 + 1
2
2+
x
= lim
x →−∞
1
1+ 3
x
=2
2

3

0.25
0.25

2

lim

lim ( x 2 + 2x − x) = lim ( x 1 +
x →−∞

= lim (− x 1 +
x →−∞

lim x = −∞,

x →−∞

0,5

2
− x)
x

2
2
− x) = lim x( − 1 + − 1)
x
→−∞
x
x
lim ( − 1 +

x →−∞

2
− 1) = −2
x

x →1

0.25

x →1

⇒ hàm số không liên tục tại xo=1.
* Khẳng định hàm số liên tục với mọi x ≠ 1
lim f (x) = lim+ ( x + 2 ) = 3

* Tại x=1

0.25

0.25

* lim− f (x) = lim− ( x 2 + x − 3 ) = −1
2b

0.25

0.25

* lim+ f (x) = lim+ ( x + 2 ) = 3
x →1

0.25
0.25

0.25

⇒ kết quả bằng +∞
* TXĐ D=R, xo∈ D
x →1

0,25
0.25

1
60

x →−∞

2a

(

Biểu điểm

x →1+

x →1

x →1−

x →1

0.25
0.25
0.25

lim f (x) = lim− ( x 2 + x + a ) = 2 + a

f ( 1) = a + 2

0.25

Hàm số liên tục tại x=1 khi và chỉ khi a=1
0.25


3a.

3b.

* Kết luận a=1
Ta có SA=SB=SC=SD
⇒ các tam giác SAC, SBD cân

0.5

⇒ SO ⊥ AC và BD và 2 điều kiện

0.25
0.25

⇒ SO ⊥ (ABCD).
* AC ⊥ SO, BD ⇒ AC⊥ (SBD)

0.25
0.25

⇒ AC⊥ SB
Mà SB⊥CH
⇒ SB⊥(CHO)

0.25

⇒ SB⊥ OH
3c.

0.25

BC⊥ SH và SO ⇒ BC ⊥ (SOH)
⇒ BC ⊥ OH

0.25

Mà OH ⊥ SB ⇒ OH ⊥ (SBC)

0.25

⇒ hình chiếu của SO lên (SBC) là SH và góc giữa SO và (SBC) là góc
OSH =ϕ.

0.25

Gọi K là trung điểm BC ⇒ OK = a/2 ⇒ tan ϕ=

3d.

1
1
⇒ ϕ = arctan
.
6
6

0.25

Kẻ AI qua A vuông góc với SC, cắt SC tại I.
0.25

Trong (SBC) kẻ IM ⊥ SC cắt SB tại M.
Chứng minh được tam giác SAC đều (Sử dụng Pitago, các cạnh đều =
a 2 ) , do đó SB=SC= a 2
⇒ AI là trung tuyến ⇒ I là trung điểm của SC ⇒ SI =
Trong tam giác SBC có cosS =

SB2 + SC 2 − BC 2 3
=
2SB.SC
4

Tam giác vuông SIM có cosS =

SI 3
2a 2
= ⇒ SM =
SM 4
3

SM 2
=
SB 3
Đặt f(x)=VT
⇒

4

a 2
2

0.25

0.25

0.25

0.25


 3
* f(x) liên tục trên 0; 
 2

0.25

−1
< 0,
2
3
 π 3 1 1
 π 3
f( ) = 1 − sin 
. ÷+ − cos 
. ÷> 0
2
 2011 2  2 2
 2011 2 
3
⇒ f ( 0 ) .f( ) < 0
2
f ( 0) =

0.25

 3
⇒ phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc  0; ÷
 2
 3   −π π 
Mà  0; ÷ ⊂  ; ÷
 2  2 2

0.25

⇒ đpcm.

S

I

D

H

M

C
K

O
A

B