Chuyên đề hình học phẳng ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.82 MB, 83 trang )
Xem thêm tài li u hay t i : www.boxtailieu.net
Xem thêm các bài toán hay và bình lu n t i: www.blogtoanhoc.com
Bài giảng số 1: THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DẠNG
TỔNG QUÁT VÀ THAM SỐ
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
t
Tọa độ, véc tơ
a, b a, b a a, b b , k a, b ka, kb
a a
a, b a, b
b b
AB xB x A , yB y A , AB AB
x k .x B
y k.yB
M chia AB theo tỷ số k MA k .MB xM A
, yM A
1 k
1 k
u.
2
2
ta
ilie
xB xA yB y A
ox
G là trọng tâm tam giác ABC xG
k 1
x A xB
y yB
, yM A
2
2
x A xB xC
y yB yC
, yG A
3
3
w
w
2
Đặc biệt nếu M là trung điểm AB ta có: xM
.b
ne
v. v
a, b . a, b a.a b.b , a, b a b , cos v, v
v . v
2
Véc tơ pháp tuyến, véc tơ chỉ phương
+) Véc tơ n A; B khác 0 và có giá vuông góc với đường thẳng d được gọi là véc tơ pháp tuyến
w
của đường thẳng d .
+) Véc tơ u a; b khác 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là véc tơ
chỉ phương của đường thẳng d .
+) Nếu a 0 thì k
b
được gọi là hệ số góc của đường thẳng d .
a
Chú ý:
+) Các véc tơ pháp tuyến (véc tơ chỉ phương) của một đường thẳng thì cùng phương. Nếu n A; B là
véc tơ pháp tuyến của d thì k .n k . A; k .B cũng là véc tơ pháp tuyến của d .
www.boxtailieu.net
+) Véc tơ pháp tuyến và véc tơ chỉ phương của một đường thẳng thì vuông góc với nhau. Nếu
n A; B là véc tơ pháp tuyến thì u B; A là véc tơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 , có ud a; b hoặc nd A; B
x x0 at
+) Phương trình tham số d :
y y0 bt
+) Phương trình chính tắc d :
x x0 y y0
a
b
+) Phương trình tổng quát d : A x x0 B y y0 0
t
y yA
x xA
xB x A yB y A
ne
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A x A ; y A , B xB ; yB :
u.
Phương trình đoạn chắn: d đi qua 2 điểm A a; 0 , B 0; b a, b 0 :
ilie
Nhận xét:
x y
1
a b
Phương trình đường thẳng d1 song song với d có dạng d1 : Ax By C 0
ta
Phương trình đường thẳng d 2 vuông góc với d có dạng d 2 : Bx Ay C 0
ox
Phương trình đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm M x0 ; y0 là: y k x x0 y0
.b
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
d1
w
w
Cho 2 đường thẳng d1 : A1 x B1 y C1 0 và d 2 : A2 x B2 y C2 0 . Khi đó số giao điểm của
A x B1 y C1 0
và d 2 là số nghiệm của hệ phương trình: 1
I
A
x
B
y
C
0
2
2
2
w
Trong trường hợp d1 và d 2 cắt nhau thì nghiệm của I chính là tọa độ giao điểm.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Tìm tọa độ các điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Sử dụng quan hệ thuộc để rút bớt ẩn.
Sử dụng quan hệ thuộc, cũng như các quan hệ khác để thành lập phương trình.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A 6; 4 , B 4; 1 , C 2; 4
www.boxtailieu.net
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC và trung điểm M của BC .
b) Tìm tọa độ D sao cho M là trọng tâm ABD và điểm E sao cho D là trung điểm EM .
c) Tìm tọa độ điểm I sao cho tứ giác ABCI là hình bình hành.
Lời giải
a) Ta có: xM
xG
xB xC
y yC
5
1 , yM B
2
2
2
x A xB xC 4
y yB yC
1
, yG A
3
3
3
3
y D 3 yM y A yB
ne
x A xB xD
xD 3xM x A xB 3 6 4 5 ,
3
15
21
4 1
2
2
u.
b) Ta có: xM
ilie
Ta có:
xE xM
21 5
37
xE 2 xD xM 2 5 1 9 , y E 2 y D yM 2.
2
2 2
2
ta
xD
t
5
4 1
M 1; và G ;
2
3 3
ox
21
37
D 5; và E 9;
2
2
.b
c) Tứ giác ABCI là hình bình hành AB IC 10; 5 2 xI ; 4 yI
w
w
w
2 xI 10
xI 12
I 12;1
4 y I 5
yI 1
Ví dụ 2: Cho 2 điểm A 1; 2 và B 3;3 và đường thẳng d : x y 0 .
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d .
b) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua d .
c) Tìm giao điểm của BD và d .
Lời giải
a) Gọi A là hình chiếu của A trên d . Ta có: nd 1; 1 ud 1;1
Do AA d nên nAA ud 1;1 . Khi đó phương trình AA là: x 1 y 2 0 x y 3 0
Page 3
www.boxtailieu.net
x y 0
3
Do A AA d nên tọa độ A là nghiệm hệ phương trình:
x y
2
x y 3 0
3 3
Vậy A ; .
2 2
b) Do D AA nên D a;3 a , a 1
D đối xứng với A qua d d A, d d D, d
1 2
2
a 3 a
2
a 2 tm
2a 3 1
a 1 l
ne
t
Vậy D 2;1 .
c) Ta có: BD 5; 2 nBD 2;5 .
u.
Khi đó phương trình BD là: 2 x 2 5 y 1 0 2 x 5 y 9 0
ta
ilie
x y 0
9
Gọi M BD d . Khi đó tọa độ M thỏa mãn:
x y
7
2 x 5 y 9 0
9 9
Vậy M ; .
7 7
ox
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ABC có C 1; 2 , đường trung tuyến kẻ từ A và
.b
đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5 x y 9 0 và x 3 y 5 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và
B.
w
w
w
Lời giải
Gọi M là trung điểm BC và H là chân đường cao hạ từ đỉnh B xuống AC .
nBH 1;3 uBH 3; 1 .
Do AC BH n AC uBH 3; 1
C 1; 2
Vì AC :
nên phương trình AC là:
nAC 3; 1
3 x 1 y 2 0 3 x y 1 0
Vì A AC AM nên tọa độ A là nghiệm của hệ:
5 x y 9 0
x 1
A 1; 4
3 x y 1 0
y 4
Page 4
www.boxtailieu.net
4 3b b 2
;
Vì B BH B 5 3b; b M
(Vì M là trung điểm của BC)
2
2
Mặt khác ta có: M AM 5.
4 3b b 2
9 0 20 15b b 2 18 0 b 0 B 5; 0
2
2
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có B 1;5 và đường cao AH : x 2 y 2 0 , đường phân giác trong
CI : x y 1 0 . Tìm tọa độ đỉnh A và C.
Lời giải
Vì BC qua B và vuông góc với AH nên đường thẳng
BC qua B 1;5 ,có VTPT n 2; 1
B'
A
ne
t
BC : 2 x 1 y 5 0 BC : 2 x y 3 0 .
ta
I
B(1,5)
C
H
.b
ox
thẳng BB’ qua B 1;5 ,
có VTPT : n1 1;1 BB ' : x y 6 0 .
K
ilie
x y 1
x 4
C 4; 5 .
2 x y 3 y 5
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua CI thì đường
u.
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
w
w
Gọi K là giao điểm của BB’ với CI thì tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình
w
7
x 2
x y 6
.
5
x y 1
y
2
Vì K là trung điểm của BB’ nên B ' 6;0 ,
Phương trình AC là B’C B ' C : x 2 y 6 0 .
x 2 y 2
Tọa độ A là nghiệm:
A 4; 1 .
x 2 y 6
Vậy : A 4; 1 , C 4; 5 .
Dạng 2: Phương trình đường thẳng:
Page 5
www.boxtailieu.net
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và 1 phương (phương vuông góc là véc tơ pháp
tuyến hoặc phương song song là véc tơ chỉ phương).
Tìm 2 điểm của đường thẳng đó. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm. Trường hợp này
có thể quy về trường hợp trên bằng cách: điểm đi qua là 1 trong 2 điểm và véc tơ chỉ phương là
véc tơ nối 2 điểm.
Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) d đi qua điểm A 1; 2 có véc tơ chỉ phương u 3; 1 .
ilie
u.
Lời giải
a) u 3; 1 n 1;3
x 1 2 y
.
2
3
ne
c) d đi qua điểm A 1; 4 và song song với đường thẳng :
t
b) d đi qua điểm A 3; 4 và vuông góc với đường thẳng : x 4 y 2000 0 .
ox
ta
A 1; 2
Vì d :
nên d có phương trình: x 1 3 y 2 0 x 3 y 5 0 .
n 1;3
b) Ta có: n 1; 4 u 4;1 . Vì d nd u 4;1
w
w
.b
A 3; 4
Ta có: d :
nên phương trình d là: 4 x 3 y 4 0 4 x y 8 0
nd 4;1
x 1 2 y
x 1 y 2
c) Ta có: :
nên u 2; 3 n 3; 2
2
3
2
3
w
A 1; 4
Vì d nd n 3; 2 . Từ đó ta có: d :
nên phương trình d là:
nd 3; 2
3 x 1 2 y 4 0 3 x 2 y 11 0 .
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; -1), B(2; 0), C(-1; 1). Viết phương trình đường
phân giác trong của góc A.
Lời giải
AB
1 1
Ta có AB (1; 1), AC (2; 2) . Đặt i (
;
), j
2 2
AB
AC
1 1
;
)
(
2 2
AC
Page 6
www.boxtailieu.net
Khi đó ta có véc tơ i j (0; 2) là véc tơ chỉ phương của đường phân giác trong góc A.
Vậy phương trình tham số của đường phân giác trong góc A có dạng
x 1
(t R )
y 1 t
Ví dụ 7: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I 6; 2 là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD . Điểm
M 1;5 thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x y 5 0 .
Viết phương trình đường thẳng AB .
t
Lời giải
ne
Do ABCD là hình chữ nhật nên I 6; 2 là trung điểm AC , BD và AC BD . Do đó, ICD cân tại I ,
ilie
Gọi N là điểm đối xứng với M qua I I là trung điểm
của hai đường AC , MN nên tứ giác AMCN là hình bình
u.
đường trung tuyến IE đồng thời là đường cao IE CD
w
w
xN 2 xI xM 2.6 1 11 ,
xM xN
2
.b
Do I là trung điểm của MN nên xI
ox
E : x y 5 0 E a;5 a
ta
hành AM CN mà AM CD nên C , N , D thẳng hàng.
Do IE CD nên IE EN IE.EN 0 .
w
y N 2 yI yM 2.2 5 1 N 11; 1
Vì IE.NE 0 a 6;5 a 2 . a 11;5 a 1 0
a 6 . a 11 3 a . 6 a 0
a 6
a 2 17a 66 a 2 9a 18 0 2a 2 26a 84 0 a 2 13a 42 0
a 7
+) Với a 6 : IE a 6;3 a 0; 3 3 0;1
IE CD
AB IE nAB uIE 0;1
AB CD
M 1;5
Ta được AB :
nên phương trình của AB là: 0. x 1 y 5 0 y 5 0
nAB 0;1
Page 7
www.boxtailieu.net
+) Với a 7 : IE 1; 4 nAB IE 1; 4
M 1;5
Từ đó ta được AB :
nên phương trình của AB là:
n
1;
4
AB
x 1 4 y 5 0 x 4 y 19 0 .
Ví dụ 8: Cho hình thoi ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt nằm trên hai đường d1 : x 2 y 5 0 ;
d 2 : x 2 y 1 0 . Biết rằng M 3;3 thuộc AD và điểm N 1;4 thuộc BC. Viết phương trình các
đường thẳng AD và BC.
Lời giải
ne
t
Gọi n a; b là vtpt của BC
BC : a x 1 b y 4 0 với a b 0 .
2
2
u.
d1:x-2y+5=0
S ABCD AB.d AB, CD BD.d AD, BC
B
2a b
a 2 b2
d2: x-2y+1=0
N(-1,4)
C
w
w
.b
1 4
ox
4
D
ta
d AB, CD d AD, BC
d F , d 2 d M , BC
F(-5,0)
M(-3,3)
ilie
Có F 5;0 AB .
A
w
b 2a
.
11b 2 20ab 4a 2 0 b 2a 11b 2a 0
11b 2a
Với : b 2a , chọn a 1 b 2 BC : x 2 y 7 0 .
Vì AD qua M 3;3 và song song với BC nên: AD : x 2 y 3 0 .
Với : 11b 2a , chọn a 11 b 2 BC :11x 2 y 19 0 .
Vì AD qua M 3;3 và song song với BC nên: AD :11x 2 y 39 0 .
Page 8
www.boxtailieu.net
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B 3; 4 và C 2; 0
a) Viết phương trình đường trung tuyến AM .
ĐS: AM : y 2
b) Viết phương trình đường cao BK .
ĐS: BK : x 2 y 3 0
c) Viết phương trình đường trung trực của AB .
d AB : 2 x y 5 0
ĐS: d AC : 2 x 4 y 1 0
d BC :10 x 8 y 21 0
t
Bài 2: Cho tam giác ABC có A 0;1 , B 2;3 và C 2; 0
a) Tìm tọa độ trực tâm H của ABC .
9 15
ĐS: I ;
2 2
u.
b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC .
ne
ĐS: H 9; 11
ta
ilie
c) Viết phương trình đường thẳng qua I , H và chứng minh rằng IH đi qua trọng tâm G của ABC .
4
ĐS: IH : 37 x 27 y 36 0 , G 0;
3
ox
Bài 3: Cho tam giác ABC có A 4;1 , B 1;7 , C 1; 0 . Viết phương trình tổng quát của:
.b
a) Đường cao AH .
c) Trung tuyến AM .
d) Trung trực của AB .
w
w
b) Đường thẳng BC .
ĐS: AH : 2 x 7 y 15 0
ĐS: BC : 7 x 2 y 7 0
ĐS: AM : 5 x 8 y 28 0
ĐS: d AB : 6 x 12 y 33 0
w
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB : x 3 0 , BC : 4 x 7 y 23 0 , AC : 3 x 7 y 5 0 .
A 3; 2 , B 3;5 , C 4;1
a) Tìm tọa độ 3 đỉnh A, B, C và diện tích ABC .
ĐS:
b) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua BC .
197 556
ĐS: A
;
65 65
c) Tìm tọa độ trực tâm H và trọng tâm G của ABC .
9 2 4
ĐS: H ;1 , G ;
7 3 3
S ABC
49
2
Page 9
www.boxtailieu.net
Bài 5: Cho 2 điểm A 5; 2 , B 3; 4 . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C 1;1 và cách đều
d : 3x y 4 0
ĐS:
d : y 1
2 điểm A, B .
Bài 6: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d thỏa mãn điều kiện:
a) Đi qua điểm A 1; 2 và có hệ số góc bằng 3 .
ĐS: 3 x y 5 0
b) Qua điểm B 5; 2 và vuông góc với đường thẳng 2 x 5 y 4 0 . ĐS: 5 x 2 y 21 0
2 3x
.
4
ĐS: 4 x 3 y 0
t
c) Qua gốc O và vuông góc với đường thẳng y
ne
d) Qua điểm I 4;5 và hợp với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân.
e) Qua điểm A 3;5 và cách điểm H 1; 2 xa nhất.
x y 9 0
ĐS:
x y 1 0
u.
ĐS: 2 x 3 y 21 0
ilie
Bài 7: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh BC : 2 x y 4 0 , đường cao BH : x y 2 0 ,
ox
ta
đường cao CK : x 3 y 5 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác.
ĐS:
AB : 3 x y 6 0
AC : x y 3 0
.b
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB : 2 x y 1 0 , AD qua điểm M 3;1 và tâm
w
w
1
I 1; . Viết phương trình các cạnh AD, BC , CD .
2
AD : x 2 y 5 0
ĐS: BC : x 2 y 5 0
CD : 2 x y 6 0
w
1
Bài 9: Cho tam giác ABC có trung điểm M của AB có tọa độ ;0 , đường cao CH với H 1;1 ,
2
đường cao BK với K 1;3 và biết B có hoành độ dương.
a) Viết phương trình cạnh AB .
ĐS: AB : 2 x y 1 0
b) Tìm tọa độ A, B, C .
ĐS: A 2;3 , B 1; 3 , C 3;3
Bài 10: Chuyển d về dạng tổng quát biết d có phương trình tham số:
x 2
a)
y 3 t
ĐS: x 2 0
x 2 t
b)
y 5 3t
ĐS: 3 x y 11 0
Page 10
www.boxtailieu.net
x 4 2t
c)
y 5t 1
ĐS: 5 x 2 y 22 0
1
7 1
Bài 11: Trong các điểm A1 2;1 , A2 1; 2 , A3 1;3 , A4 1; 1 , A5 ; 2 , A6 ; , A7 3;1 , điểm
2
3 3
x 2 t
nào nằm trên đường thẳng d :
.
y 1 2t
ĐS: A1 , A3 , A6 d
Bài 12: Lập phương trình tổng quát, tham số của đường thẳng đi qua A vuông góc với d biết:
PTTQ : 5 x 2 y 9 0
a) A 3; 3 , d : 2 x 5 y 1 0 .
x 3 2t
PTTS :
y 3 5t
ne
t
ĐS:
PTTQ : y 2
b) A 4; 2 , d Oy .
x 4 t
PTTS :
y 2
ilie
u.
ĐS:
ox
.b
x 3 y 1
d) A 2; 5 , d :
.
2
1
PTTQ : x 2 y 11 0
ĐS:
ta
x 1 t
c) A 1; 6 , d :
y 2 2t
w
w
Bài 13: Cho các điểm A 2;1 , B 3;5 , C 1; 2
w
a) Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
x 1 2t
PTTS :
y 6 t
PTTQ : 2 x y 1 0
ĐS:
x 2 t
PTTS :
y 5 2t
ĐS: AB khác phương AC
hA : 4 x 3 y 11 0
b) Lập phương trình các đường cao của ABC .
ĐS: hB : 3x y 4 0
hC : x 4 y 7 0
c) Lập phương trình các cạnh của ABC .
AB : 4 x y 7 0
ĐS: AC : x 3 y 5 0
BC : 3x 4 y 11 0
k A : 5 x 2 y 12 0
d) Lập phương trình các đường trung tuyến của ABC .
ĐS: k B : 7 x 5 y 4 0
kC : 2 x 7 y 16 0
Page 11
www.boxtailieu.net
d AB : 2 x 8 y 29 0
e) Lập phương trình các đường trung trực của ABC .
ĐS: d BC : 8 x 6 y 29 0
d AC : 3 x y 0
Bài 14: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A và song song với d biết:
a) A 1;3 , d : x y 1 0 .
ĐS: x y 2 0
b) A 2;5 , d Ox .
ĐS: y 5
x 1 t
c) A 1;1 , d :
.
y
2
2
t
ĐS: 2 x y 1 0
x2 y3
.
2
5
t
ĐS: 5 x 2 y 25 0
ne
d) A 3; 5 , d :
u.
Bài 15: Cho tam giác ABC với B 1; 2 và C 4; 2 , diện tích tam giác bằng 10 .
ilie
a) Viết phương trình đường thẳng BC và tính độ dài đường cao AH .
ta
b) Tìm tọa độ điểm A biết A thuộc trục tung.
ĐS: BC : 4 x 3 y 10 0, AH 4
10
ĐS: A 0;10 , A 0;
3
ox
Bài 16: Cho hình vuông ABCD có AB : 3 x 2 y 1 0 , CD : 3 x 2 y 5 0 , và tâm I thuộc đường
.b
thẳng d : x y 1 0 .
a) Tìm tọa độ I .
w
w
b) Viết phương trình đường thẳng AD, BC .
ĐS: I 0;1
ĐS: 2 x 3 y 0; 2 x 3 y 6 0
w
Bài 17: Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC có A 2; 3 , B 3; 2 , diện tích tam giác bằng
3
và trọng
2
tâm G thuộc đường thẳng d : 3 x y 8 0 . Tìm tọa độ đỉnh C . ĐS: C 1; 1 , C 2; 10
Bài 18: Lập phương trình tổng quát, tham số của đường thẳng d biết:
a) Đi qua điểm M 1; 2 và có véc tơ pháp tuyến n 3;2 .
b) Đi qua điểm M 3;1 và có véc tơ pháp tuyến u 4; 1 .
PTTQ : 3 x 2 y 7 0
ĐS:
x 1 2t
PTTS :
y 2 3t
PTTQ : x 4 y 1 0
ĐS:
x 3 4t
PTTS :
y 1 t
Page 12
www.boxtailieu.net
PTTQ : 5 x 3 y 7 0
c) Đi qua 2 điểm A 1; 4 , B 2;1 .
ĐS:
1
d) d là trung trực của AB với A ;1 và B 2; 1 .
2
ĐS:
x 1 3t
PTTS :
y 4 5t
PTTQ : 12 x 16 y 15 0
5
x 4t
PTTS :
4
y 3t
PTTQ : 2 x 3 y 23 0
2
e) Đi qua điểm M 7;3 và có hệ số góc k .
3
x 7 3t
PTTS :
y 3 2t
t
ĐS:
ne
Bài 19: Chuyển d về dạng tham số biết d có phương trình tổng quát:
x 3t
ĐS: PTTS :
y 2t
ilie
u.
a) 2 x 3 y 0
ox
ta
b) 2 x 3 0
c) 3 x 4 y 5 0
3
x
ĐS: PTTS :
2
y t
x 1 4t
ĐS: PTTS :
y 2 3t
.b
Bài 20: Cho ABC có A 1; 2 , B 4; 3 , C 2;3 .
w
w
a) Lập phương trình đường trung trực của AB .
ĐS: x y 2 0
b) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M 3; 7 và vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của
ĐS: 2 x y 1 0
w
ABC .
Bài 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC có C 1; 2 , đường trung tuyến kẻ từ A và đường
cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5 x y 9 0 và x 3 y 5 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và B .
ĐS: A 1; 4 , B 5;0
Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho ABC có M 2; 0 là trung điểm của cạnh AB . Đường
trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7 x 2 y 3 0 và 6 x y 4 0 . Viết
ĐS: AC : 3 x 4 y 5 0
phương trình đường thẳng AC .
Page 13
www.boxtailieu.net
Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I 6; 2 là giao điểm của
hai đường chéo AC và BD . Điểm M 1;5 thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc
đường thẳng : x y 5 0 . Viết phương trình đường thẳng AB .
ĐS: AB : y 5 0; x 4 y 19 0
Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x y 0 và d 2 : 2 x y 1 0 .
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d 2 và các đỉnh B ,
A 1;1 , B 0; 0 , C 1; 1 , D 2; 0
ĐS:
A 1;1 , B 2;0 , C 1; 1 , D 0; 0
ne
t
D thuộc trục hoành.
u.
900 . Biết M 1; 1 là trung điểm
Bài 25: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ABC có AB AC , BAC
ilie
2
cạnh BC và G ;0 là trọng tâm ABC . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C . ĐS: A 0; 2 , B 4; 0 , C 2; 2
3
ta
Bài 26: Cho tam giác ABC có A(0; – 2), phương trình đường cao BH : x – 2y + 1 = 0, trung tuyến
w
w
.b
11 4
;
) , C(– 1; 0); AC : 2x + y + 2 = 0, K(t, 2t + 2), B(2t; 4t + 6), BC : x – 2y + 1 = 0
3
3
w
Đáp số: B(
ox
CK : 2x – y + 2 = 0. Tìm toạ độ hai đỉnh B và C.
Page 14
www.boxtailieu.net
Bài giảng số 2: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 được thay bằng góc giữa 2 véc tơ chỉ phương hoặc 2 véc tơ
pháp tuyến: cos cos u1 , u2 cos n1 , n2 , ở đó
d1 , d 2 .
t
ne
k1 k2
1 k1k2
, ở đó k1 , k 2 tương ứng là hệ số góc của 2 đường thẳng.
ilie
ta có thể tính bằng công thức: tan
u.
Chú ý: Trường hợp 2 đường thẳng không song song với Oy và chúng không vuông góc với nhau thì
Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 đến đường thẳng d : Ax By C 0
ta
Ax0 By0 C
A2 B 2
ox
Ta có: d M , d
.b
Chú ý: Ta thường sử dụng phương trình tổng quát khi phải tính góc, khoảng cách. Còn ta dùng
phương trình tham số khi có mối quan hệ thuộc.
w
w
Phương trình đường phân giác của 2 đường thẳng d1 : Ax By C 0 và d 2 : Ax By C 0
Ax By C
Ax B y C
A2 B2
w
A2 B 2
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Dạng bài toán sử dụng công thức khoảng cách
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A 6; 4 , B 4; 1 , C 2; 4 . Tìm tọa độ điểm F BC sao cho
d F , AB 2d F , AC .
Lời giải
Page 15
www.boxtailieu.net
nAC 2; 1
AC 4; 8 4 1; 2 . Vì AC :
nên phương trình AC là:
A 6; 4
2 x 6 y 4 0 2 x y 8 0
nAB 1; 2
AB 10; 5 5 2;1 . Vì AB :
nên phương trình AB là:
A 6; 4
x 6 2 y 4 0 x 2 y 2 0
ne
t
uBC 2; 1
x 2 2t
BC 6; 3 3 2; 1 . Vì BC :
nên phương trình tham số BC là:
y 4 t
C 2; 4
F BC F 2 2a; 4 a
12 2
2
2 2 2 a 4 a 8
u.
2 2 a 2 4 a 2
2.
2 2 1
ilie
Ta có: d F , AB 2d F , AC
2
ox
ta
a 2
2a 6 5 a
3a 6
4a 12 2 5a
a 6
2a 6 5a
7a 6
7
w
w
6
2 22
Với a : F ;
7
7
7
.b
Với a 2 : F 6; 6
Ví dụ 2: Cho 2 đường thẳng d1 : 2 x 3 y 1 0 , d 2 : 4 x 6 y 3 0 .
w
a) Chứng minh d1 d 2 .
b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đó.
Lời giải
a) Ta có nd1 2; 3 , nd2 4;6 nd2 2nd1 nd2 nd1
Trên d1 lấy A 2;1 , và ta thấy A d 2 d1 d 2 .
Do đó d1 d 2 .
b) Do d1 d 2 nên d d1 , d 2 d A, d 2 d d1 , d 2
4.2 6.1 3
2
4 6
2
5 13
.
26
Page 16
www.boxtailieu.net
Ví dụ 3: Lập phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d 2 biết d1 : 2 x 3 y 1 0
và d 2 : 3 x 2 y 2 0 .
Lời giải
Phương trình các đường phân giác của 2 đường thẳng d1 và d 2 :
2x 3 y 1
22 32
3x 2 y 2
32 22
2 x 3 y 1 3x 2 y 2
x y 3 0
2 x 3 y 1 3x 2 y 2
5 x 5 y 1 0
Ví dụ 4: (ĐH Khối B-2009). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có toạ độ A(-1; 4)
ne
t
và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C biết diện tích tam
Lời giải
u.
giác ABC là 18.
S ABC
w
w
.b
ox
ta
ilie
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng , khi đó tọa độ của điểm H(t; t – 4).
Véc tơ AH (t 1; t 8)
Véc tơ chỉ phương của là u (1;1) , vì AH vuông góc với nên ta có
7
AH .u 0 t 1 t 8 0 t .
2
9 9
9
. Theo công thức tính diện tích tam giác ABC ta có
Suy ra AH ( ; ) . Vậy AH
2 2
2
2S
1
AH .BC BC ABC 4 2.
2
AH
w
7 1
BC
Đường tròn tâm H ( ; ) , bán kính R
2 2 có dạng
2 2
2
2
2
7
1
x y 8.
2
2
Khi đó tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình sau
x y 4 0
2
2
7
1
x
y
8.
2
2
Page 17
www.boxtailieu.net
11 3
3 5
; ), C ( ; ) hoặc ngược lại.
2 2
2 2
Dạng 2: Dạng bài toán sử dụng công thức góc giữa hai đường thẳng
Giải hệ phương trình suy ra B (
Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của 2 đường thẳng 1 :
x 1 y 3
,
2
3
x 2 t
và tạo với đường thẳng 3 : 3x 4 y 10 0 một góc 45 .
y
3
3
t
2 :
Lời giải
Ta có: M 1 2 nên tọa độ M là nghiệm của hệ:
ox
ta
ilie
u.
ne
t
x 2 t
x 1
2 t 1 3 3t 3
M 1; 6
t 3 2t t 1
y 3 3t
2
3
y
6
x 1 y 3
3
2
Ta có: n3 3; 4 . Gọi nd A; B .
n
3 A 4B
d .n 3
1
Vì
d , 3 450 cos 450
2
nd . n3
A2 B 2 . 32 42
.b
5. A2 B 2 2. 3 A 4 B 25. A2 B 2 2 9 A2 24 AB 16 B 2
w
w
A 7B
7 A 48 AB 7 B 0
A 1 B
7
2
2
w
+) Với A 7 B : Chọn B 1 A 7 . Phương trình d là: 7 x 1 y 6 0 7 x y 13 0
1
+) Với A B : Chọn B 7 A 1 . Phương trình d là: x 1 7 y 6 0 x 7 y 41 0
7
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường
chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Lời giải
Gọi véc tơ pháp tuyến của AC là n AC (a; b) , vì góc (AB, AC) = (AB, BD) nên suy ra
Page 18
www.boxtailieu.net
n AB nBD
nAC nAB
a 2b
15
5 50
nAB nBD
a2 b2 5
nAC nBD
2
a
a
7a 2 8ab b 2 0 7 8 1 0
b
b
a
b 1 a 1, b 1
a 1 a 1; b 7 ( L)
b
7
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AC qua M(2; 1) có véc tơ pháp tuyến (1; -1) có dạng
ilie
x 2 y 1 0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
A(1; 0)
x y 1 0
u.
x 2 y 1 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
B (7; 3)
x 7 y 14 0
ne
t
x y 1 0
ox
ta
x y 1 0
5 3
Tọa độ giao điểm I của AC, BD là nghiệm của hệ
I( ; )
2 2
x 7 y 14 0
w
w
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
.b
Do I là trung điểm của AC, BD nên suy ra tọa độ C (4; 3) và D (2; 0).
w
x 2 2t
và điểm M 3;1 .
Bài 1: Cho đường thẳng :
y 1 2t
a) Tìm trên điểm A sao cho AM 13 .
ĐS: M 0; 1 , M 1; 2
b) Tìm trên điểm B sao cho MB là ngắn nhất.
ĐS: MBmin
50
1 3
B ;
2
2 2
Bài 2: Cho điểm A 1;1 và điểm B 2; 2 . Viết phương trình đường thẳng d qua A và cách B một
khoảng bằng
d : 2 x y 3 0
ĐS:
d : x 2 y 1 0
5.
Bài 3: Cho đường thẳng : x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A 1;1 và hợp với
một góc:
Page 19
www.boxtailieu.net
a) 900
ĐS: x y 0
b) 450
x 1
ĐS:
y 1
x
ĐS:
x
x
ĐS:
x
c) 600
d) 300
3 2 y 1
3 2 y 3
3 2 y 3
3 2 y 1 3 0
30
3 0
3 0
ne
t
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A 1;1 và B 4; 3 . Tìm điểm C thuộc đường thẳng
x 2 y 1 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6 .
ilie
u.
43 27
ĐS: C 7;3 , C ;
11 11
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng:
M trên d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng 2
ta
d3 : x 2 y 0 . Tìm tọa độ điểm
d1 : x y 3 0 , d 2 : x y 4 0 ,
ox
lần khoảng cách từ M đến d 2 .
ĐS: M 22; 11 , M 2;1
Bài 6: Tìm góc giữa các cặp đường thẳng sau:
ĐS: 320 28
x 1 y 3
.
2
1
ĐS: 630 26
w
w
.b
a) d1 : 5 x 3 y 4 0 , d 2 : x 2 y 2 0 .
b) d1 : 3x 4 y 14 0 , d 2 :
ĐS: 37 052
d) d1 : x y m 1 0 , d 2 : x y 2m 1 0 .
ĐS: 900
w
x 1 3t
c) d1 :
, d2 : 3x 2 y 2 0 .
y 2t
Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) M 3; 2 , d : 3 x 4 y 1 0 .
ĐS: d M , d
2
5
b) M 2; 5 , d : y 2 x 3 .
ĐS: d M , d
12 5
5
c) M 4; 1 , d Ox .
ĐS: d M , d 1
Page 20
www.boxtailieu.net
d) M 3; 2 , d : 2 x 3 .
ĐS: d M , d
9
2
x 2 2t
e) M 5; 2 , d :
.
y 5t
ĐS: d M , d
7 5
5
ĐS: d M , d
6 5
5
f) M 3; 2 , d :
x 3 y 4
.
1
2
Bài 8: Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với một góc biết:
d : x 3 y 5 0
ĐS:
d : 3x y 5 0
x 1 3t
b) M 2; 0 , :
, 450 .
y 1 t
d : x 2 y 2 0
ĐS:
d : 2 x y 4 0
u.
ne
t
a) M 1; 2 , : x 2 y 3 0 , 450 .
ilie
Bài 9: Lập phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d 2 biết:
x 1 y 1
.
3
5
.b
c) d1 : 3 x 4 y 5 0 , d 2 Ox .
ox
b) d1 : 5 x 3 y 4 0 , d 2 :
ta
x 1 5t
a) d1 : 4 x 3 y 4 0 , d 2 :
.
y 3 12t
8 x 14 y 67 0
ĐS:
112 x 64 y 37 0
y 1 0
ĐS:
5 x 1 0
3 x 9 y 5 0
ĐS:
3 x y 5 0
w
w
Bài 10: Lập phương trình đường thẳng d1 đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng biết:
w
a) d : x 2 y 1 0 , : 2 x y 3 0 .
b) d : 2 x 3 y 5 0 , : 5 x y 4 0 .
c) d : 5 x y 6 0 , :
x 1 y 3
.
2
3
x 1 2t
d) d : 2 x y 3 0 , :
.
y 3 t
ĐS: d1 d
ĐS: d1 : 9 x 46 y 37 0
ĐS: d1 : 37 x 55 y 24 0
ĐS: d1 : 2 x 11 y 71 0
Bài 11: Lập phương trình các cạnh của ABC biết A 0;3 , phương trình 2 đường phân giác trong xuất
phát từ B và C lần lượt là d B : x y 0 , dC : x 2 y 8 0 .
AB : 2 x y 3 0
ĐS: AC : 22 x 19 y 57 0
BC : 34 x 5 y 39 0
Page 21
www.boxtailieu.net
Bài 12: Lập phương trình các cạnh của ABC biết A 4;3 , B 9; 2 và phương trình đường phân giác
AB : x 13 y 35 0
AB : x 13 y 35 0
ĐS: AC : x 3 y 5 0 hoặc AC : 3 x y 15 0
BC : y 2 0
BC : x 3 y 3 0
trong xuất phát từ C là d : x y 3 0 .
Bài 13: Lập phương trình các cạnh của ABC biết phương trình cạnh BC : x 4 y 8 0 và phương trình
2 đường phân giác trong xuất phát từ B và C lần lượt là d B : y 0 , dC : 5 x 3 y 6 0 .
AB : x 4 y 8 0
ĐS:
AC : 94 1921 x 4 26 1921 y 2 0
ne
t
Bài 14: Lập phương trình các cạnh của ABC biết C 3; 3 , phương trình đường cao và đường phân
giác trong xuất phát từ A lần lượt là: d1 : x 2 , d 2 : 3 x 8 y 14 0 .
ilie
u.
AC : 4 x y 9 0
ĐS: BC : y 3
204 8787
204 8787
y
20
62
62
Bài 15: Tìm tọa độ trực tâm H của ABC và xác định tọa độ điểm K đối xứng với H qua BC biết
ox
ta
AB : x
A 0;3 , B 3;0 , C 1; 1 .
3 3 99 141
ĐS: H ; , K ;
5 5 85 85
w
w
a) I 3;1 , d : 2 x y 3 0 .
.b
Bài 16: Lập phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm I biết:
b) I 1;1 , d : 3 x 2 y 1 0 .
ĐS: 2 x y 13 0
w
ĐS: 3 x 2 y 3 0
x 2 t
c) I 1;3 , d :
.
y 1 2t
ĐS: 2 x y 15 0
x 3 t
d) I 0; 2 , d :
.
y 5 4t
ĐS: 4 x y 11 0
Bài 17: Cho tam giác ABC có AB : 2 x y 3 0 , AC : 2 x y 7 0 , BC : x y 0 .
a) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC .
ĐS: 6; 0
b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với AB qua BC .
ĐS: x 2 y 3 0
Bài 18: Cho hình vuông ABCD có tâm I 2; 3 , phương trình AB : 3 x 4 y 4 0 .
Page 22
www.boxtailieu.net
a) Tính cạnh hình vuông.
ĐS: AB BC CD AD 4
CD : 3 x 4 y 16 0
ĐS: AD : 4 x 3 y 7 0
BC : 4 x 3 y 27 0
b) Viết phương trình các cạnh CD, AD, BC .
Bài 19: Cho đường thẳng d : x 2 y 4 0 và 2 điểm A 1; 4 , B 6; 4 .
a) Chứng minh A, B nằm cùng phía đối với d . Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua d .
ĐS: A 1; 0
M 2 2 4; 2 4
ĐS:
M 2 2 4; 2 4
ne
t
b) Tìm điểm M d sao cho d M , AB 2 .
Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung
ilie
u.
sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x 2 y 3 0 .
ĐS: A 2; 0 , B 0; 4
ĐS: H 3;1, I
ox
tâm đường tròn ngoại tiếp OAB .
ta
Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A 0; 2 và B 3;1 . Tìm tọa độ trực tâm và
3;1
.b
Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , hãy xác định tọa độ đỉnh C của ABC biết rằng hình chiếu
vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H 1; 1 , đường phân giác trong của góc A có
w
w
phương trình x y 2 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 x 3 y 1 0 .
w
10 3
ĐS: C ;
3 4
Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A 2; 2 và các đường thẳng d1 : x y 2 0 ,
d 2 : x y 8 0 . Tìm tọa độ các điểm
B và C lần lượt thuộc d1 và d 2 sao cho ABC vuông cân
B 1;3 , C 3;5
ĐS:
B 3; 1 , C 5;3
tại A .
Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A 1;1 và B 4; 3 . Tìm điểm C thuộc đường
thẳng x 2 y 1 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6 .
Page 23
www.boxtailieu.net
43 27
ĐS: C1 7;3 , C2 ;
11 11
1
Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ;0 , phương trình
2
đường thẳng AB là x 2 y 2 0 và AB 2 AD . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C , D biết rằng đỉnh A có
ĐS: A 2; 0 , B 2; 2 , C 3; 0 , D 1; 2
hoành độ âm.
Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:d1 : x y 3 0, d2 : x y 4 0,
t
d3 : x 2y 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳngd1
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. (ĐH - Khối A 2006)
ne
Bài 27: Cho đường thẳng d : 2x + 3y + 1 = 0 và điểm M (1; 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua
u.
điểm M và tạo với d một góc 45 o .
Đs: x – 5y + 4 = 0 và 5x + y – 6 = 0
Bài 28: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là
ilie
giao điểm của đường thẳng d1 : x y 3 0 và d2 : x y 6 0 . Trung điểm của một cạnh là giao
ta
điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Đs: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
.b
Đáp số: C1(– 2; – 10), C2(1; – 1)
w
w
3
. Tìm toạ độ C.
2
w
và S ABC
ox
Bài 29: Cho tam giác ABC có A(3; – 2); B(2; – 3); trọng tâm G nằm trên (∆) : 3x – y – 8 = 0
Page 24
www.boxtailieu.net
Bài giảng số 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Phương trình
Phương trình chính tắc của đường tròn tâm I a; b , bán kính R :
2
x a y b
2
R2
Phương trình tổng quát của đường tròn:
t
x 2 y 2 2 Ax 2 By C 0
Phương trình tham số của đường tròn tâm I a; b , bán kính R :
u.
ne
Ở đó tâm I A; B , bán kính R A2 B 2 C .
ilie
x a R cos t
t
y b R sin t
Phương tích
ta
Định nghĩa: Cho đường tròn C : x 2 y 2 2 Ax 2 By C 0 . Khi đó PM / C MA.MB không
ox
phụ thuộc vào phương của cát tuyến MAB của đường tròn mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm M .
Trục đẳng phương: Cho 2 đường tròn C1 và C2 , khi đó:
w
w
.b
Cụ thể nếu điểm M x0 ; y0 thì PM / C x0 2 y0 2 2 Ax0 2 By0 C 0 .
tròn.
là một đường thẳng và đó gọi là trục đẳng phương của 2 đường
w
Tập d M | PM / C1 PM / C2
Nếu C1 : x 2 y 2 2 A1 x 2 B1 y C1 0 và C2 : x 2 y 2 2 A2 x 2 B2 y C2 0 thì phương trình
trục đẳng phương là: 2 A1 A2 x 2 B1 B2 y C1 C2 0 .
Chú ý: Khi 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm A, B thì AB chính là trục đẳng phương của 2
đường tròn. Nếu 2 đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm A thì trục đẳng phương của 2 đường tròn
chính là đường tiếp tuyến chung của 2 đường tròn tại điểm A .
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn
Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
Page 25
www.boxtailieu.net
