nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

TR

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN-TIN HỌC
-------------------------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

NHÓM CON CHUẨN TẮC
VÀ ĐỒNG CẤU NHÓM

Giáo viên hướng dẫn
ThS. Nguyễn Hoàng Xinh

Cần Thơ, 2013

Sinh viên thực hiện
Trần Kim Cƣơng
MSSV: 1090076
Lớp: SP Toán-tin học K35


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi muốn gởi lời cám ơn sâu sắc đến Ths.Nguyễn Hoàng Xinh,

người Thầy đã truyền đạt những tri thức quý báu và tận tình hướng dẫn cho tôi
trong suốt quá trình làm luận văn. Đó cũng là sự khích lệ to lớn để tôi có thể hoàn
thành được luận văn này.
Tiếp đến, tôi chân thành cảm ơn tất cả các Thầy trong hội đồng bảo vệ luận văn
đã đọc bản thảo và cho những nhận xét bổ ích để luận văn của tôi được hoàn chỉnh
hơn. Bên cạnh đó, tôi xin cảm ơn quý Thầy, Cô trường Đại học Cần Thơ đã tận tình
giảng dạy cho chúng tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin gởi lời cám ơn sâu sắc đến cha mẹ và bạn bè đã luôn động
viên và giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt luân văn này.
Xin chân thành cám ơn !
Cần Thơ, ngày 25 tháng 04 năm 2013.
Sinh viên thực hiên đề tài
Trần Kim Cương

1
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN………………………………………………………………………1
MỤC LỤC…………………………………………………………………………..2
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU………………………………….3
PHẦN MỞ ĐẦU…………………………………………………………………..5

PHẦN NỘI DUNG………………………………………………………………...6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị………………………………………………7
Chương 2. Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm……………………….12
2.1 Nhóm con chuẩn tắc…………………………………………………12
2.2 Đồng cấu nhóm……………………………………………………...21
Chương 3. Bài tập………………………………………………………….41
PHẦN KẾT LUẬN………………………………………………………………..60
Tài liệu tham khảo………………………………………………………………….61

2
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU

Định nghĩa

Kí hiệu

Tập hơp các số tự nhiên
Tập hơp các số nguyên
Tập hơp các số hữu tỉ
Tập hơp các số thực
Tập hơp các số phức

H  X,H  X

H là tập hợp con của tập hợp X

A B

Hợp của hai tập hợp A và B

A B

Giao của hai tập hợp A và B



Tập hợp rỗng

A B

Tích Đề-các của hai tập hợp A và B

 hi iI

Họ phần tử chỉ số hóa bởi tập I

 Ai iI

Họ tập hợp chỉ số hóa bởi tập I

H

Tích Đề-các của họ tập hợp H i

iI

i

f : X Y

Tương ứng f từ X đến Y

H

Nhóm sinh bởi tập hợp H

x

Nhóm xyclic sinh bởi phần tử x

Sn

Nhóm các phép thế bậc n

P(X)

Tập hợp các bộ phận của tập hợp X

C(X)

Tâm của nhóm X

A B

Hai nhóm A và B đẳng cấu với nhau

Imf

Ảnh của đồng cấu f

Kerf

Hạt nhân của đồng cấu f

X

Nhóm thương của nhóm X trên nhóm con chuẩn tắc H

H

HX

H là nhóm con của X

3
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

H

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

H là nhóm con chuẩn tắc của X

X

|A|

Cấp của nhóm A

X 

X là tập hữu hạn

e (hoặc 1)

Phần tử đơn vị của nhóm

x 1

Phần tử nghịch đảo của x

X : H

Chỉ số của H trong X

Aut(X)

Nhóm các tự đẳng cấu của X
Nhóm các tự đằng cấu trong của X

Inn(X)
GL  n,



Tập các ma trận thực không suy biến cấp n

SL  n,



Tập các ma trận thực có định thức bằng 1

1X , id X

Ánh xạ đồng nhất của tập X

4
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình học, em đã được học môn “Đại Số Đại Cương”. Nhưng do
thời gian trên lớp có hạn nên ở học phần này chúng em chỉ nghiên cứu ở mức độ đại
cương. Đối với em, “Đại Số Đại Cương” là môn học rất hay và tạo cho em nhiều
hứng thú khi học, điều này gợi cho em muốn học hỏi để hiểu biết nhiều hơn, đặc
biệt là về nhóm.
Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Nhóm
con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm” với mong muốn tìm hiểu rõ hơn về nhóm.
2. Mục đích nghiên cứu
Thực hiện đề tài “ Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm” , em hướng đến
mục đích là rèn luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một số vấn đề toán
học còn khá mới mẻ đối với bản thân mình.
Đây cũng là dịp để em có thể nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số mà đặc biệt
là về nhóm – một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong toán học nói
chung. Việc nghiên cứu này giúp em bổ sung thêm kiến thức bản thân để chuẩn bị
cho những nghiên cứu sau này.
3. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp sử dụng trong quá trình nghiên cứu : tổng hợp, phân tích, khái
quát hóa.
Tổng hợp kiến thức từ các nguồn khác nhau, từ đó phân tích chọn lọc những nội
dung liên quan.
4. Nội dung luận văn
Chương I. Kiến thức chuẩn bị.
Chương II. Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm.
Chương III. Bài tập.

5
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

PHẦN
NỘI DUNG

6
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Định nghĩa
- Cho X là tập khác rỗng. Khi đó ánh xạ  : X 2  X được gọi là phép toán hai
ngôi trong X.
1.2 Định nghĩa
Phép toán hai ngôi trong X được gọi là vị nhóm nếu thỏa :
i. a, b, c  X : a bc    ab  c .
ii. e là phần tử đơn vị và ea  ae  a .

1.3 Định nghĩa
Cho các ánh xạ f : X  Y , g : Y  Z . Khi đó ánh xạ h : X  Z biến x thành
g  f  x   được gọi là hợp thành (hay tích ) của f và g, kí hiệu bởi g f hoặc đơn

giản là gf . Như vậy :  g f  x   g  f  x  , x  X
1.4 Định nghĩa
Nhóm là một tập hợp X khác rỗng cùng với phép toán nhân trên X thỏa các điều
kiện sau :
i. Với x, y, z  X , ta có  xy  z  x  yz  .
ii. Tồn tại phần tử e  X sao cho ex  xe  x .
iii.Mọi phần tử x  X tồn tại x 1 sao cho xx1  x1 x  e .
1.5 Định nghĩa
Phép toán trên nhóm X có tính chất giao hoán thì nhóm X được gọi là nhóm
giao hoán hoặc nhóm Abel.
Nếu nhóm X có hữu hạn phần tử thì X được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại thì
X được gọi là nhóm vô hạn.
1.6 Định nghĩa

7
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Cho X là nhóm, n 

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm



. Khi đó lũy thừa n của phần tử x  X được xác định như

sau :
i. xn  xxx.....x (n phần tử x ).
ii. x0  e .
iii. x  n   x 1  .
n

1.7 Mệnh đề.
Cho X là nhóm và mọi phần tử x, y, z  X . Khi đó với m, n là các số nguyên,
ta luôn có :
i.

 xy 

1

 y 1 x 1 .

ii. xm xn  xmn và  x m   x mn .
n

iii.Nếu X là nhóm giao hoán thì  xy   x n y n .
n

iv. Luật giản ước : xy  xz  yx  zx   y  z
1.8 Định nghĩa
Cho X là một nhóm và H là tập con khác rỗng ổn định đối với phép toán trên X.

Khi đó H được gọi là nhóm con của X nếu H cùng với phép toán cảm sinh trên H
lập thành một nhóm, kí hiệu H  X .
1.9 Định lí
Cho H là tập con khác rỗng của nhóm X. Khi đó các phát biểu sau là tương
đương :
i. H là nhóm con của X.
ii. Với x, y  X ta có xy  H và x1  H .
iii.Với x, y  X ta có xy 1  H .
1.10 Hệ quả.
Cho X là nhóm. Khi đó :
i. Nếu H  K , K  X thì H  X .
ii. Nếu H,K là nhóm con của X và H  K  H  K .
1.11 Mệnh đề.

8
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

Giao của một họ tùy ý, khác rỗng các nhóm con của X là nhóm con của X.
1.12 Định nghĩa
Cho S là tập con của nhóm X. Khi đó S chứa trong ít nhất một nhóm con của X,
chẳng hạn S  X . Theo Mệnh đề 1.11 thì tập H giao của tất cả các nhóm con của X
chứa S là một nhóm con của X. Nhóm H này được gọi là nhóm con sinh bởi tập S,
kí hiệu S .

1.13 Định lí
Giả sử S là tập con của X, khi đó :
i. Nếu S   thì S  e .
ii. Nếu S   thì S  x1n , x2n ,..., xnn | xi  S , ni 
1

2

3

.

1.14 Hệ quả
Giả sử X là nhóm, khi đó :
i. Nếu H  X thì H  H .
ii. Nếu S  x  X thì S  x  x k | k 

.

1.15 Định nghĩa
Nhóm con H của nhóm X được gọi là nhóm con xyclic nếu tồn tại phần tử
x  X sao cho x  H .

Nhóm X được gọi là nhóm xyclic nếu tồn tại x  X sao cho x  X . Lúc
này phần tử x được gọi là phần tử sinh của X.
1.16 Định nghĩa
Cho X là nhóm, A   ,A  X, khi đó :
C  A  x  X | xa  ax, a  A được gọi là tâm giao hoán của tập A.

Đặc biệt :

+ Nếu A={a} ta kí hiệu là Ca và được gọi là tâm giao hoán của a.
+ Nếu A=X thì CX được gọi là tâm giao hoán của X và thường được kí hiệu là
Z(X).
1.17 Định nghĩa

9
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Cho X là nhóm, H

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

X . Trong tập X

H

 Hx | x  X  ta viết phép toán nhân

như sau : xH . yH  xyH , x, y  X .
Tập X H cùng với phép toán trên lập thành một nhóm với phần tử đơn vị là eH,
phần tử nghịch đảo của xH là x 1H . Nhóm X H gọi là nhóm thương.
1.18 Định nghĩa
Cho X là nhóm, ta gọi xyx1 y 1 là một hoán tử của X, với x, y  X . Nhóm con
sinh bởi tập tất cả các hoán tử của X được kí hiệu là [X,X] và được gọi là nhóm con
các hoán tử. Vậy  X , X    x, y  | x, y  X .

1.19 Định nghĩa
Cho X là nhóm hữu hạn thì số phần tử của X được gọi là cấp của X, kí hiệu |X| .
1.20 Định nghĩa
Cho X là nhóm và x  X .Cấp của nhóm x được gọi là cấp của phần tử x ,kí
hiệu x hoặc o  x  .
Nếu x   thì x được gọi là có cấp hữu hạn, ngược lại thì x được gọi là có cấp
vô hạn.
1.21 Định nghĩa
Số các lớp ghép trái của X theo nhóm con H được gọi là chỉ số của H trong X,
và kí hiệu bởi [ X:H ].
1.22 Định nghĩa
Cho X là một nhóm. Khi đó :
- Đồng cấu f : X  X được gọi là tự đồng cấu. Tập hợp các tự đồng cấu của
nhóm X được kí hiệu là End X.
- Tự đồng cấu được gọi là tự đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu) nếu nó là đơn cấu (
toàn cấu, đẳng cấu). Đặc biệt các tự đẳng cấu của nhóm X được kí hiệu là Aut X.
1.23 Định nghĩa
Cho X là tập khác rỗng. Tập hợp tất cả các song ánh từ X vào X lập thành một
nhóm với phép toán hợp nối các ánh xạ. Khi đó S  X  được gọi là nhóm tất cả các

10
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

phép thế của X, hay nhóm đối xứng của X. Khi tập hợp X có hữu hạn phần tử ta kí
hiệu nhóm đối xứng của tập X  1, 2,....., n là Sn , gọi là nhóm đối xứng của n phần
tử.
Nhóm thay phiên An là tập hợp các phép thế chẵn.
1.24 Định nghĩa
Cho X là nhóm, khi đó X được gọi là nhóm đơn nếu X chỉ có hai nhóm con là

e và X.
1.25 Định lí Lagrange
Giả sử X là nhóm hữu hạn, A là nhóm con của X. Khi đó H là ước của X và

X : H 

X
H

.

11
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

Chương 2

NHÓM CON CHUẨN TẮC VÀ
ĐỒNG CẤU NHÓM

2.1 NHÓM CON CHUẨN TẮC

2.1.1 Lớp ghép
Cho H là nhóm con của X. Trong nhóm X ta định nghĩa một quan hệ

như sau

:
x

y  x1 y  H ; x, y  X là một quan hệ tương đương.

Xét lớp tương đương chứa x , x  xH  xh | h  H  .
Khi đó xH được gọi là lớp ghép trái của x đối với nhóm con H và khi đó tập
X

H

  xH | x  X  được gọi là tập các lớp ghép trái.

Tương tự ta định nghĩa quan hệ
x

trong X như sau :

y  xy 1  H ; x, y  X .

Ta cũng xây dựng khái niêm lớp ghép phải của phần tử x  X đối với nhóm
con H :
Hx  hx | h  H  .

2.1.2 Định nghĩa nhóm con chuẩn tắc
Cho X là một nhóm và H
X hay là ước chuẩn của X nếu

X . Khi đó H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của
x

X ta có H x = x H. Kí hiệu H  X.

2.1.3 Định lí

12
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

Cho X là một nhóm ,H
( tức là x h x -1

H, h

X. Khi đó H  X khi và chỉ khi x H x -1  H,

x

X

H ).
Chứng minh

(  ) Giả sử H  X .Khi đó H x = x H, x  X .
Gọi h là phần tử tùy ý của H nên x h  x H=H x .
-1
-1
-1
 h’ H : x h=h’ x  x h x =h’ x x =h’  H  x H x  H.

(  )Giả sử x H x -1  H  x H x -1 x  H x  x H  H x .
Mặt khác x -1H x  H  x x -1Hx  x H  H x  x H.
 H x = x H hay H  X.

2.1.4 Các tính chất
Cho X là nhóm, A  X, B  X Khi đó :
i.

 A  B  B. Đặc biệt : nếu A  B thì A  B.

ii. A  ( A  B ) .
iii. Giả sử A X . Khi đó nếu x, y  X : xy  A thì yx  A .
iv. Giao của một họ tùy ý khác rỗng các nhóm con chuẩn tắc của nhóm X là
một nhóm con chuẩn tắc của X

Chứng minh
i. Dể thấy  A  B   B . Lấy a  A  B và b  B .
Ta có A  X  bab-1  A,và B  X  bab-1  B. Từ đó bab-1  A  B .
Vậy  A  B   B.
ii. Dể thấy A   A  B  . Ta có A  X nên A  (A  B).
iii. Giả sử A nhóm con chuẩn tắc của X và x, y  X : xy  A . Vì A  X nên

 xy 

1

 A do đó tồn tại phần tử a  A : y 1 x 1   xy   a  e  yy 1 x 1 x  yax nên
1

e   yay 1  yx do đó ya 1 y 1  yx . Mà ta có A

X nên yx  ya 1 y 1  A .

iv. Gọi H i iI I   là một họ các nhóm con của X và H =  H i .
iI

Đương nhiên H  X nên ta chỉ cần chứng minh x  X có x H x -1  H.

13
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

Thật vậy, với h  H  h  Hi , i  I Do Hi  X nên x  X ta có : xhx -1  Hi
.Vì I là tùy ý nên xhx -1   H i  H .Vậy H  X.
iI

 Nhận xét : Tính chất chuẩn tắc không có tính bắc cầu. Nghĩa là tồn tại ba
nhóm con A,B,C của nhóm X sao cho A chuẩn tắc trong B, B chuẩn tắc trong C
nhưng không suy ra được A không chuẩn tắc trong C. Chẳng hạn :
Xét tập hợp X   m, n,   | m, n  ,   1
Ta định nghĩa phép nhân trên X như sau :

 k1; k2 ;1 l1; l2 ;     k1  l1; k2  l2 ;  
 k1; k2 ; 1 l1; l2 ;     k1  l2 ; k2  l1;  
Khi đó X là một nhóm với phần tử đơn vị là (0,0,1) và

 m; n;1

1

  m; n;1 ;  m; n; 1   m; n; 1
1

Xét nhóm con A của X sinh bởi hai phần tử (1;0;1) và (0;1;1). Vì hai phần tử
giao hoán được với nhau nên mỗi phần tử A có dạng :
a  1;0;1

m

 0;1;1

n

  m;0;1 0; n;1   m; n;1

Với m, n  . Giả sử x   k , l ,    X ta có :
  1, xax1   k , l ,1 m, n,1 k , l ,1  a  A

  1, xax1   k , l , 1 m, n,1 k , l , 1   m, n,1  A

Do đó A là một nhóm con chuẩn tắc của X.
Nhóm con B  1,0,1 chuẩn tắc trong A vì mọi phần tử của B giao hoán với
mọi phần tử của A.
Tuy nhiên B không phải là nhóm con chuẩn tắc của X. Thật vậy ta có :
B   m,0,1 | m 


14

SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

Với m   , ta có : 1,1, 1 m, 0,11,1, 1   0, m,1  B.

1

2.1.5 Các ví dụ .
i. Với X là nhóm, ta có các nhóm con {e} và X là nhóm con chuẩn tắc của X.
ii. Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc.
Thật vậy, cho X là nhóm abel, H là nhóm con của X. h  H , x  X ta có :
xhx1  hxx1  h  H  H

X.

iii. Nhóm con xyclic {(1), (123),(132)} có là chuẩn tắc trong S4 không ?
Nhóm con xyclic A  1 , 123 , 132  không là nhóm con chuẩn tắc trong S4.
Vì :
14  A  14  , 1234  , 1324 

.

 A 14   14  , 1423 , 1432 

Vậy

14 A  A 14 .

iv. Nhóm con

1 , 13 ,  24 , 1234 , 1432 , 12 34 , 13  24 , 14  23 có là

chuẩn tắc trong S4 không ?

1 , 13 ,  24 , 1234 , 1432 , 12 34 , 13  24 , 14  23

Nhóm con H =

không là nhóm con chuẩn tắc của S4 vì H 12   12  H .
2.1.6 Định lí
Cho X là một nhóm H

X và K  X . Khi đó KH là nhóm con nhỏ nhất của X

chứa K và H và KH=HK.
Chứng minh
Gọi k1h1 , k2 h2  KH có  k2 h2   h21k21 . Nên ta có :
1













k1h1  k2 h2   k1 h1h21 k21  k1k21k2 h1h21 k21 . Do K  X nên k1k21  K .
1

Do

H

X nên

h1h21  H và

k2 h1h21 k21  H

nên k1h1  k2 h2   KH . Vậy
1

KH  X .

15
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

 k  K , k  ke  KH
, ta có K , H  KH  K  H  KH .
h  H , h  eh  KH

Do e  K , e  H nên 

Ta có k , h  K  H , kh  KH , nên kh  K  H . Vậy KH  K  H .
Như vậy ta còn phải chứng minh KH=HK. Thật vậy :
Với kh  KH ta có kh  khk 1k  HK vì khk 1  H  KH  HK . Ngược lại với
hk  HK ta có hk  kk 1hk  KH vì k 1hk  H  HK  KH . Vậy KH=HK.

2.1.7 Mệnh đề
Nếu A X, B X và A  B  e thì ab=ba, a  A, b  B .
Chứng minh
Lấy a  A, b  B , ta có :
+ A  X  bab-1  A.
+ B  X  a b-1 a-1  B.
-1 -1
-1 -1
 (bab )a =b(a b a )  A  B  e  ab  ba.

2.1.8 Mệnh đề
Cho X là nhóm. Khi đó Z(X) là nhóm con chuẩn tắc của X.
Chứng minh
+ Trước tiên ta cần chứng minh Z  X   X .
ax  xa
, x  X .
bx  xb

Z(X)   ,với a,b  Z(X)  
Khi đó :

(ab-1) x = (ab-1) x (bb-1) = (ab-1)( x b)b-1 = (ab-1)( b x )b-1
= (a x )b-1= ( x a)b-1 = x (ab-1)  ab-1  Z(X) hay Z(X)  X.
+ Chứng minh tính chuẩn tắc.
Với x  X, a  Z(X) ta có :

x -1(a x )= x -1( x a) = a  Z(X) hay x -1a x  Z(X).

Vậy Z(X)  X.
2.1.9 Định lí
Cho X là nhóm và A,B là nhóm con chuẩn tắc của X.

16
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

Khi đó AB  ab | a  A, b  B là nhóm con chuẩn tắc của X và AB=BA.
Chứng minh
+ Chứng minh AB là nhóm con chuẩn tắc của X.
 Chứng minh AB  X .
Ta có : AB   vì e  ee  AB .
Và a  A , a  ae  AB .
b  B , b  eb  AB .

Giả sử a1b1  AB , a2b2  AB . Xét :

 a1b1  a2b2   a1 b1a2  b2  a1  a2b ' b2  AB, b '  B
(vì B  X nên a2B=Ba2).
(ab)-1 =b-1a-1 = a-1 b’
Vậy AB

,

(vì B  X ).

, b’

b

X.

 Chứng minh tính chuẩn tắc .
x

X, x( AB)  ( xA) B  ( Ax) B  ( AB) x

Vậy AB  X.
+ Chứng minh AB=BA.
a  A , b  B ta có :b1=aba-1

Với ab
ba

,b2=a-1ba

, ab= ab(a-1a)=( aba-1)a=b1a

BA, ba =aa-1 (ba)= a(a-1 ba)=ab2

(vì B  X).

A  AB ⊂ BA.

AB  BA ⊂ AB.

Vậy AB=BA.
2.1.10 Định lí
Cho H1,H2,…..,Hn là các nhóm con chuẩn tắc của X. Khi đó H1H2…..Hn là
nhóm con chuẩn tắc của X.
Chứng minh
+ Bằng phương pháp qui nạp và Định lí 2.1.9 ta có H1H2…..Hn

X.

+ Chứng minh tính chuẩn tắc.
Gọi h1h2….hn  H1H2…..Hn và

x

X ta có :

xh1h2 .......hn x1  xh1x1.xh2 x1........xhn x1  h . Do H i

X nên xhi x 1  hi'  H .

17
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh

Luận văn tốt nghiệp

Vậy h

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

H1H2…..Hn  H1H2…..Hn X.

2.1.11 Định lí
Cho X là nhóm, H nhóm con chuẩn tắc của X. Khi đó :
i. [X,X] là nhóm con chuẩn tắc của X.
ii. Nhóm X H là nhóm aben khi và chỉ khi  X , X   H .
Chứng minh
i. Ta có :



xyx 1 y 1 là một hoán tử của X, khi đó xyx 1 y 1

x, y  X , thì



1

 yxy 1x1 nên

[X,X] chính là tất cả các tích của một số hữu hạn các hoán tử trong X.
Như vậy a  [X,X]  a  x1 y1x11 y11.x2 y2 x21 y21..........xn yn xn1 yn1 .
Gọi h  X, ta có : hah1  hx1 y1x11 y11h1 hx2 y2 x21 y21h1 .................hxn yn xn1 yn1h1  .

Mặt khác ta có











hx1 y1x11 y11h1  hx1h1 x11x1 hy1x11 y11h1  hx1h1x11.x1 hy1 x11 y11h1









 hx1h1x11 x1 hy1 x11 hy1   X , X  .
1

Tương tự : hx2 y2 x21 y21h1  X , X 
…………………………..

hxn yn xn1 yn1h1  X , X 
 hah1  X , X . Vậy [X,X]  X.

ii. Ta có X H là nhóm aben khi và chỉ khi với mọi x, y  X , xH . yH  yH .xH .
Tức là xyx1 y 1  H . Vì vậy  X , X   H .
2.1.12 Định nghĩa nhóm con đặc trưng
Cho H là nhóm con của X. Nhóm con H được gọi là nhóm con đặc trưng của X
nếu với f  AutX ,ta có f  H   H .
2.1.13 Mệnh đề
Cho X là nhóm và H  X . Khi đó nếu H là nhóm con đặc trưng của X thì H là
nhóm con chuẩn tắc của X.
Chứng minh

18
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

Giả sử H đặc trưng trong X và a  X .Ta có :
a : X  X
x

axa 1

Là tự đẳng cấu trong của X, do đó a  Aut  X  . Mà H đặc trưng trong X nên
a  H   H  aHa 1  H . Vậy H

X .

2.1.14 Định nghĩa nhóm con đặc biệt
Nhóm con H của nhóm X được gọi là đặc biệt nếu với mỗi cặp phần tử x, y  X
mà x  H thì tồn tại phần tử h  H : y 1 xy  h1xh .
2.1.15 Mệnh đề
Cho X là nhóm và H  X . Khi đó nếu H là nhóm con đặc biệt của X thì H là
nhóm con chuẩn tắc của X.
Chứng minh
Giả sử H đặc biệt trong X. Khi đó với h  H , x  X và đặt a  xhx 1 ta cần
chứng minh a  H . Bây giờ, ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử a  H . Do H
đặc biệt nên tồn tại b  H : h  x1ax  b1ab . Do đó a  bhb1  H ( mâu thuẫn với
điều giả sử là a  H ). Vậy H chuẩn tắc trong X.
2.1.16 Mệnh đề
Cho X là nhóm, khi đó nếu nhóm con H sinh bởi bình phương của các phần tử
thuộc X thì H là nhóm con chuẩn tắc của X.
Chứng minh
Cho X là nhóm, H  X và H  x 2 : x  X . Nếu lấy phần tử h tùy ý của H thì
h  a1a2 ....ak  X , trong đó các ai là bình phương hoặc nghịch đảo của bình phương.

Vì nghịch đảo của bình phương cũng là một bình phương nên ta có thể giả sử mọi
ai đều là các bình phương. Nếu x  X thì
xhx1  x  a1a2 ....ak  x 1   xa1 x 1  xa2 x 1  .....  xak x 1   b1b2 .....bk

Trong đó bi  xai x 1 . Khi đó các bi đều là một bình phương. Thật vậy, vì ai  ri 2
với ri nào đó của X nên : bi  xai x 1   xri x 1  xri x 1    xri x 1  .
2

19
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

Do đó xhx1  H , có nghĩa là H chuẩn tắc trong X.
2.1.17 Định nghĩa
Cho X là nhóm và a  X . Khi đó
fa : X  X
x
axa 1

Là tự đẳng cấu trong của X. Tập tât cả các tự đẳng cấu trong của X là Inn  X  .
2.1.18 Mệnh đề
Cho X là nhóm, khi đó Inn(X) nhóm con chuẩn tắc của Aut(X).
Chứng minh
Với   Aut  X  , a  X ta có :

 f    x     f   x    a  x  a
1

a

1

1

1

a

 

1

    a  x a 1    a  x   a   f  a   x 

Với x  X ,  f a 1  f  a   Inn  X  . Do đó Inn(X) nhóm con chuẩn tắc của
Aut(X).
2.1.19 Mệnh đề
Nhóm thay phiên bậc n ( nhóm An ) là nhóm con chuẩn tắc của nhóm đối xứng
bậc n ( nhóm Sn ).
Chứng minh
Ta có f , g  Sn : sign  g 1 fg   sign g 1.sign f .sign g  sign f
Bởi vậy nếu f  An thì g 1 fg  An , g  Sn . Do đó An là nhóm con chuẩn tắc của
Sn.

20
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

2.2 ĐỒNG CẤU NHÓM

2.2.1 Định nghĩa
Cho  X , , Y , là các nhóm.
Y là ánh xạ.

f:X

Ta nói rằng f là đồng cấu nhóm nếu x1x2  X , ta có f x1  x2   f x1   f x2  .
Để đơn giản ta thường kí hiệu phép toán là phép nhân. Khi đó
f x1x2   f x1  f x2  . Nhưng khi đó ta phải hiểu x1 x2 là hợp thành của x1, x2 trong X,

còn f x1  f x2  là hợp thành của f x1 , f x2  trong Y.
2.2.2 Mệnh đề
Y là đồng cấu nhóm .

Cho X,Y,Z là các nhóm, và f : X

i. f (e) = e và f x1   f x 1 , x  X .
ii. f x1n x2n ........xmn   f x1 n f x2 n ............. f xm n , ni  Z .
1

1

m

2

2

m

Chứng minh
i. Ta có f(e)e = f(e) = f(ee) = f(e)f(e)  f(e) = e.
Ta có f x1  f x   f x1x   f e  e
Mặt khác f x  f x1   f xx 1   f e  e
Vậy f x 1  là nghịch đảo của f x  nên f x1   f x 1 .
ii. Bằng phuơng pháp quy nạp ta có :
f t1t2 ..............tm   f t1  f t2 ........... f tm 

Nên với n Z+ ta có f xn   f x n và f x0   f e  e  f x 0 .
Với n

ta có

 



f xn  f x1

Vậy f xn   f x n ,



n

   f x  

1  n

 f x  .
n

Z.

Do đó f x1n x2n ........xmn   f x1 n f x2 n ............. f xm n , ni  Z , xi  X .
1

2

m

1

2

m

2.2.3 Các loại đồng cấu nhóm.
Cho f : X

Y là đồng cấu nhóm. Ta nói rằng :

21
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh

Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

i. f là đơn cấu nếu f là đơn ánh.
ii. f là toàn cấu nếu f là toàn ánh.
iii. f là đẳng cấu nếu f là song ánh.
 Nhận xét :
- f là đẳng cấu khi và chỉ khi f vừa là đơn cấu, f vừa là toàn cấu. Khi đó ta nói
X đẳng cấu với Y. Kí hiệu :

X Y

- Nếu các ánh xạ f : X  Y và g : Y  Z là đồng cấu nhóm thì ánh xạ tích
gf : X  Z cũng là đồng cấu nhóm. Đặc biệt tích của hai đơn cấu nhóm (toàn cấu

nhóm, đẳng cấu nhóm) là một đơn cấu nhóm (toàn cấu nhóm, đẳng cấu nhóm).
Thật vậy :
x, y  X ,  gf  xy   g  f  xy    g  f  x  f  y    g  f  x   .g  f  y     gf  x  .  gf  y 

Nên hợp thành gf là một đồng cấu nhóm.
- Nếu f : X  Y là đẳng cấu nhóm thì ánh xạ ngược f 1 : Y  X cũng là đẳng
cấu nhóm.
Ta có f 1 là một song ánh nên chỉ cần chứng minh f 1 là đồng cấu.
Giả sử y, y' Y , f 1  y   x, f 1  y'  x' , ta có f xx'  f x  f x'  yy '
 f 1  yy '  xx'  f 1  y . f 1  y' . Nên f 1 là đồng cấu.

Vậy f 1 là một đẳng cấu.
2.2.4 Các ví dụ
a. Giả sử X, Y là các nhóm tùy ý và xét ánh xạ

f  x   e, x  X

f : X  Y được xác định là

( e là phần tử đơn vị của Y ). Khi đó dể dàng kiểm tra được f là

đồng cấu nhóm và nó được gọi là đồng cấu tầm thường.
b. Giả sử H  X khi đó ánh xạ
i:H  X
h
h

Là đơn cấu nhóm. Đơn cấu i này gọi là đơn cấu chính tắc. Đặc biệt, khi H=X thì
đơn cấu chính tắc i : X  X là đẳng cấu nhóm. Đây chính là đẳng cấu đồng nhất,

22
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

thường kí hiệu idX hoặc 1X .
c. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X, xét ánh xạ :
:X X H
x

xH

Với x, y  X ,   xy   xyH  xH . yH    x    y  .
Khi đó ánh xạ  là một toàn cấu nhóm. Nó được gọi là toàn cấu chính tắc.
d. Cho  : X  X ' là một đồng nhóm và H là nhóm con của X. Khi đó
H : H  X ' là một đồng cấu, vì với

, ta có :
a, b  H

H  ab     ab   H  a H  b  .

e. Ánh xạ x

cos2 x  i sin 2 x là một đồng cấu từ nhóm cộng các số thực

vào nhóm nhân các số phức khác không
f. Ánh xạ x




.

e x là một đẳng cấu từ nhóm cộng các số thực

lên nhóm nhân

các số thực dương.
h. Ánh xạ x

ln x là một đẳng cấu từ nhóm nhân các số thực dương

nhóm cộng các số thực
x, y 





lên

. Thật vậy, ánh xạ này là đồng cấu vì

,ln  xy   ln x  ln y

Và hơn nữa đồng cấu này còn gọi là song ánh nên là đẳng cấu.
g. Cho (X, .) là một nhóm và a  X . Ánh xạ f a : X  X định bởi f a  x   axa 1
là một tự đẳng cấu của X. Thật vậy, f a là một đồng cấu vì
x, y  X , f a  xy   a  xy  a 1   axa 1  aya 1   f a  x  f a  y 

Mặt khác, ta có f a là một đơn ánh vì với mọi x, y  X ,
f a  x   f a  y   axa 1  aya 1  x  y .

Và f a là một toàn ánh vì với mọi y  X , xét phần tử x  a 1 ya khi đó
f a  x   axa 1  a  a 1 ya  a 1   aa 1  y  aa 1   y .

Vậy f a là một song ánh.
Ta còn gọi f a là một tự đẳng cấu trong của nhóm X.

23
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh


Luận văn tốt nghiệp

Nhóm con chuẩn tắc và đồng cấu nhóm

2.2.5 Ảnh và tạo ảnh của đồng cấu nhóm.
Cho f : X  Y là đồng cấu nhóm. Khi đó :
Im f   f x  : x  X   Y gọi là ảnh của đồng cấu f.
Kerf  x  X : f x   e  X gọi là hạt nhân của đồng cấu f.

2.2.6 Các tính chất của ảnh và tạo ảnh.
a. Tính chất 1
Cho f : X  Y là đồng cấu nhóm. Ta có :
A  X
 f  A  Y
  1
Do đó Im f  Y và Kerf  X .

B Y
 f B   X

Chứng minh
+ f  A  Y
 f  A   .
 Gọi y1, y2  f  A  a1, a2  A : y1  f a1 , y2  f a2 

và A  X  a1a21  A.Nên y1 y21  f a1  f a2 1  f a1a21  f  A  f  A  Y .
+ f 1  B   X .
 f 1  B   ,  e  f 1  B   .
 Gọi x1, x2  f -1 B  f x1  B, f x2  B . Do B  Y nên





f x1  f x2   B  f x1x21  B  x1x21  f 1 B  .
1

Vậy f 1 B   X .

 Hệ quả
f : X  Y là đồng cấu nhóm.

A  X

B Y

 A'  A
 f  A'  f  A
và 

 B'  B
 f  B '  f  B 

Chứng minh
Ta có f  A'  Y , f  A  Y mà f  A'  f  A  f  A'  f  A .

Tương tự f 1 B'  X , f 1 B  X mà f 1 B'  f 1 B  f 1 B'  f 1 B .
b. Tính chất 2
24
SVTH: Trần Kim Cương

GVHD : ThS.Nguyễn Hoàng Xinh