Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Chuyên đề 7:
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY
TÌM TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM
Vấn đề 1:
TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
I. TỌA ĐỘ VECTƠ
y
a (a1;a2 ) a a1 i a2 j
B
Với i = (1; 0) véctơ đơn vị của trục Ox
a
j = (0; 1) véctơ đơn vị của trục Oy
A
j
II. TỌA ĐỘ MỘT ĐIỂM
OM (xM ; yM ) M(xM ; yM )
O
x
j
Cho A(xA; yA), B(xB; yB) ta có kết quả sau.
i) AB (x B x A ;y B y A )
ii) AB AB (x B x A )2 (y B y A )2
iii) M chia đoạn AB theo tỉ số k: MA kMB; k 1
x A kx B
x M 1 k
Khi đó tọa độ điểm M là:
y y A ky B
M
1 k
xA xB
x M
2
iv) M trung điểm AB tọa độ điểm M
y
y A y B
M
2
III. TÍNH CHẤT VECTƠ
Cho a (a1; a2 ), b (b1; b2 )
1. a b (a1 b1; a2 b2 )
2. ka k(a1;a2 ) (ka1;ka2 )
3. a.b a1b1 a2 b2
4. a a12 a22
a1 b1
5. a b
a2 b2
6. cos(a,b)
a.b
a.b
a1b1 a2 b2
a12 a22 b12 b22
196
/>
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
7. a cùng phương b a kb hay b ka a1b2 a2 b1 0
8. a b a.b 0 a1b1 a2 b2 0
B. ĐƯỜNG THẲNG
a 0 : a gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
khi giá của a cùng phương với đường thẳng
a
Nếu a là vectơ chỉ phương của thì
k a cũng là vectơ chỉ phương của (k 0)
n
a
n 0 : n gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng khi n
Nếu n là vectơ pháp tuyến của thì kn cũng là vectơ pháp tuyến của
(k 0)
Cách đổi giữa vectơ chỉ phương u và vectơ pháp tuyến n của đường thẳng
Có: n = (A; B) u = (B; A) hay u ( B; A)
Coù u (a1; a2 ) n (a2 ; a1 ) hay n ( a2 ; a1 )
I. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
: Ax By C 0; A2 B2 0
n (A ; B) ,
C
neân // Ox (C = 0 thì Ox)
B
C
Nếu B = 0 : x neân // Oy (C = 0 thì Oy)
A
Nếu A = 0 : y
Ox: y = 0, Oy: x = 0 .
II. CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0)
và có vectơ pháp tuyến n (A; B); (A2 + B2 > 0)
Phương trình tổng quát d: A(x x0) + B(y y0) = 0
2. Phương trình đường thẳng d đi qua M(x0; y0)
và có vectơ chỉ phương u (a1; a2 ) (a12 + a22 0)
x x0 a1t
Phương trình tham số d:
y y0 a2 t
t
197
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Phương trình chính tắc d:
x x0 y y0
a1
a2
Phương trình tổng quát d: a2(x x0) a1y (y y0) = 0
3. Phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(xA; yA), B(xB; yB)
x xA
y yA
Phương trình chính tắc d:
xB xA yB yA
4. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. Đường thẳng d cắt Ox, Oy lần lượt
x y
tại A(a; 0), B(0, b) có daïng d: 1 (a 0, b 0)
a b
Lưu ý: Cho d: Ax + By + C = 0
d' // d d': Ax + By + C' = 0 (C' C)
d' d d': Bx Ay + C' = 0 hay Bx + Ay + C' = 0
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0
d2: A2x + B2y + C2 = 0
A1 B1
C1 B1
A1 C1
, Dx
, Dy
Laäp D
A2 B2
C2 B2
A2 C2
i/ d1 caét d2 D 0
D 0
D 0
hoaë c
ii/ d1 // d2
Dx 0
Dy 0
iii/ d1 d2 D = Dx = Dy = 0
IV. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THAÚNG
Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0 n1 (A1;B1 )
d2: A2x + B2y + C2 = 0 n2 (A2 ;B2 )
cos
n1.n2
n1 . n2
A1A2 B1B2
A12 B12 A22 B22
Neáu d1, d2 là các đường thẳng không đứng.
d1 : y = k1x + b1; d2 : y = k2x + b2
tan(d1, d2)
k 2 k1
1 k1.k 2
V. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách giữa hai điểm A, B là: AB (xB xA )2 (yB yA )2
198
/>
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
2. Khoảng cách từ M(x0; y0) đến đường thẳng d: Ax + By + C = 0
d(M, d)
Ax0 Bx 0 C
A2 B2
Lưu ý: d(M, Ox) = yM
d(M, Oy) = xM
VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TẠO BỞI HAI
ĐƯỜNG THẲNG
d1
Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0, d2: A2x + B2y + C2 = 0
Khi đó phương trình hai đường phân giác là:
A x B1y C1
A x B2 y C2
t1 t 2 1
2
2
2
A1 B1
A22 B22
1
d2
2
Tìm phân giác góc nhọn hay góc tù.
Dấu n1.n2
Phân giác góc tù
Phân giác góc nhọn
n1.n2 0
t1 = t2
t1 = t2
n1.n2 0
t1 = t2
t1 = t2
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng : x – y – 4 = 0 vaø
d: 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng
ON cắt đường thẳng tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
Giải
M M(m; m – 4) vaø N d N(n; 2n – 2).
OM m; m 4 , ON n; 2n 2 .
O, M, N thẳng hàng OM cùng phương ON
M
d
N
O
4n
m(2n – 2) – n(m – 4) = 0 mn – 2m + 4n = 0 m
2n
2
2
OM.ON = 8 m2 m 4 n2 2n 2 64
2
4n 2 4n
2
4 n2 2n 2 64
2 n 2 n
2
n 2
n
2
2
16
16
1
n 2n 2 64
2 n
2 n
199
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
n 2 2n 2 2 2
2
n 2n 2 4
2 n 2 n
2
2
2
n2 2n 2 n2 2n 2 4 2 n
2
2
5n2 8n 4 4 2n
5n2 8n 4 4 2n 5n2 8n 4 4 2n 0
6
5n2 6n 5n2 10n 8 0 n = 0 hoaëc n .
5
6 2
Vậy N(0; –2) hoặc N ; .
5 5
Cách 2: Nhận thấy rằng O, M, N thẳng hàng, do đó ta có thể chuyển điều kiện
OM.ON = 8 sang hệ thức vectơ bằng cách: Vẽ hai đường thẳng d và trong mặt
phẳng (Oxy), ta có hai vectơ OM và ON cùng hướng, nên:
OM.ON = 8 OM . ON = 8 mn + (m – 4)(2n – 2) = 8
3mn – 2m – 8n = 0. Khi đó ta có hệ phương trình:
3 2m 4n 2m 8n 0
3mn 2m 8n 0
mn 2m 4n 0
mn 2m 4n 0
6
m 5n
n = 0 hoaëc n .
5
5n n 2 5n 4n 0
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(–4; 1), trọng tâm
G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
Giải
Gọi d là đường phân giác trong của goùc A d: x – y – 1 = 0,
và gọi B' đối xứng với B qua d B' AC.
B
BB' đi qua B(–4; 1) và vuông góc với d.
suy ra: BB': (x + 4) + (y – 1) = 0 x + y + 3 = 0.
d
Gọi I là giao điểm của BB' và d,
I
suy ra tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
G
x y 3 0
x 1
C
A
I(–1; –2).
M B’
x y 1 0
y 2
x 2xI x B 2
I là trung điểm cuûa BB' B'
B'(2; –5).
yB' 2yI y B 5
200
/>
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Gọi M là trung điểm của AC BG 2GM
3x x B 7
x G
xG x B 2 x M xG
M
2
2 M 7 ; 1 .
2
y 3yG y B 1
yG y B 2 y M yG
M
2
x2 y5
4x – y – 13 = 0.
7
1
5
2
2
A là giao điểm của d và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
AC đi qua hai điểm B' và M AC:
4x y 13 0
x 4
A(4; 3).
x y 1 0
y 3
xC 2xM xA 3
M là trung điểm của AC nên:
C(3; –1).
yC 2yM yA 1
Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 3 = 0.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; –4) và tạo với đường thẳng d
một góc bằng 45o.
Giải
Gọi : a( x - 2 ) + b( y + 4 ) = 0 với a2 + b2 0
ab
1
Ta có: cos 450
a b a2 b2
2
2
2
2. a b
a2 b2 2ab a2 b2 ab 0 a 0 b 0
Vậy 1: y + 4 = 0 và 2: x – 2 = 0
Caùch 2: d: x + y + 3 = 0 góc giữa Ox và d là 450
hợp với d một góc 450 cùng phương với Ox hoặc Oy
Mà qua A (2; –4) phương trình là x = 2 hoặc y = –4.
Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các
cạnh là AB: x + 3y – 7 = 0, BC: 4x + 5y – 7 = 0, CA: 3x + 2y – 7 = 0. Viết phương
trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Giải
x 1
x 3y 7
Toạ độ A là nghiệm hệ phương trình:
y 2
3x 2y 7
Đường cao AH qua A và có 1 vectơ pháp là n = (5; –4) AH: 5x 4y 3 0 .
201
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường
thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 4 = 0. Tìm
tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của
tam giác đã cho
Giải
Phương trình đường cao AH: 1(x – 6) – 1(y – 6) = 0 x – y = 0
Gọi K là giao điểm của IJ và AH (với IJ: x + y – 4 = 0)
suy ra K là nghiệm của hệ x y 0 K (2; 2)
xy4
K laø trung điểm của AH x
y
H
H
2xK xA 4 6 2 H (–2; –2)
2yK yA 4 6 2
Phương trình BC: 1(x + 2) + 1(y + 2) = 0 x + y + 4 = 0
Goïi B (b; –b – 4) BC
Do H là trung điểm của BC C (–4 – b; b); E (1; –3)
Ta coù: CE (5 b; b 3) vuông góc với BA (6 b;b 10)
Neân (5 + b)(6 – b) + (b – 3)(b + 10) = 0
2b2 + 12b = 0 b = 0 hay b = –6
Vaäy B(0; –4); C(–4; 0) hay B(–6; 2); C(2; –6) .
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(4; 1),
phân giác trong góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường
thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Giải
Ta có phân giác trong góc A là (d): x + y – 5 = 0
y
song song với đường phân giác d’ của góc phần tư
thứ II, nên góc M1 bằng góc A1 bằng 450.
Suy ra AC // Ox phương trình AC:
y=1
Ta có A = AC d nên A(4; 1)
1
C
AC = 8
Mà diện tích ABC = 24
O
–4
1
nên AC.AB = 24 AB = 6
2
Mặt khác, AB vuông góc với trục hoành nên B (4; 7).
Vậy phương trình của BC laø: 3x – 4y + 16 = 0
202
/>
B
1
A
x
1 M
d
d’
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và là đường thẳng đi qua O.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên . Viết phương trình đường thẳng ,
biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
Giải
Cách 1: Gọi H(x0 ; y0) là hình chiếu của A trên
Ta có: AH (x0 ; y0 2), OH (x0 ; y0 )
Từ giả thiết ta có
x20 y0 (y0 2) 0
x20 y20 2y0 0
AH.OH 0
2
2
2
AH d(H,Ox)
x0 4y 0 4 0
x0 (y0 2) y0
y 0
x20
y20 2y 0 4 0
y 0 1 5
2
2
y 0
x 0 4y 0 4
x 0 4y 0 4 0
x20
1 5
8 4 5
1 5
8 4 5 0 (loaï i)
x 4 5 8
0
H 4 5 8; 1 5 .
y
1
5
0
Phương trình : ( 5 1)x
4 5 8 y 0
Caùch 2:
Oy H A: không thỏa AH = d(H, Ox)
Ox H O: không thỏa AH = d(H, Ox)
Phương trình : y = kx (k 0)
AH
1
y x 2 là phương trình đường AH
AH
qua
A
k
Tọa độ H = AH thỏa hệ
2k
y kx
x 2
2k
k 1
2k 2
H
;
1
2
k 2 1 k 2 1
y k x 2
y 2k
k2 1
2
2
2
2k 2
2k 2k
AH d(H;Ox) 2
2 2
k4 k2 1 0
2
k 1 k 1
k 1
203
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
2 1 5
k
22 5
22 5
2
. Vaäy : y
x.
k
2
2 1 5
2
0 (loạ i)
k
2
Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là
giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và
trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – 5 = 0. Viết phương trình
đường thẳng AB.
Giải
Gọi N đối xứng với M qua I, suy ra N(11; 1)
và N thuộc đường thẳng CD
A
M
E E (x; 5 – x); IE = (x – 6; 3 – x)
Vaø NE = (x – 11; 6 – x)
D
B
I
C
EN
E là trung điểm CD IE EN hay IE.EN 0
(x – 6)(x – 11) + (3 – x)(6 – x) = 0 x = 6 hoaëc x = 7
x = 6 IE = (0; 3); phương trình AB: y – 5 = 0.
x = 7 IE = (1; 4); phương trình AB: x – 4y + 19 = 0.
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh
A
(1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – 4 = 0. Xác định tọa độ các
điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Giải
Gọi H là hình chiếu của A trên , suy ra H là trung điểm BC
2S
9
AH d A,BC
; BC ABC 4 2
AH
2
2
BC
97
AB AC AH2
4
2
97
2
2
x 1 y 4
Tọa độ B và C là nghiệm của hệ:
2
x y 4 0
5
11 3
3
Giải hệ ta được: x; y ; ; x; y ;
2
2 2
2
5
5 11 3
11 3 3
3
Vaäy B ; , C ; hoaë c B ; , C ;
2 2 2 2
2 2 2 2
204
/>
A
B
H
C
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm
của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình
là 7x – 2y – 3 = 0 vaø 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC
Giải
7x
2y
3
0
Tọa độ A thỏa mãn hệ:
A 1; 2
6x y 4 0
B đối xứng với A qua M, suy ra B = (3; 2)
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng: 6x – y – 4 = 0
Phương trình BC: x + 6y + 9 = 0
Tọa độ trung điểm N của đoạn thẳng BC thỏa mãn hệ:
7x 2y 3 0
3
N 0; AC 2MN 4; 3 ;
x
6y
9
0
2
Phương trình đường thẳng AC: 3x – 4y + 5 = 0
Bài 11: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường
trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x + y – 9 = 0
và x + 3y – 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B .
Giải
Giả sử AM: 5x + y – 9 = 0, BH: x + 3y – 5 = 0
AC: 3(x + 1) – 1(y + 2) = 0 3x – y + 1 = 0
A = AC AM A(1; 4)
B BH B (5 – 3m; m)
4 3m m 2
;
M là trung điểm BC M
2
2
M AM 5.
4 3m m 2
9 0 m = 0. Vaäy B(5; 0)
2
2
Bài 12: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng 1: x – 2y – 3 = 0
và 2: x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng
1
cách từ điểm M đến đường thẳng 2 bằng
.
2
Giải
M 1 M(2m + 3; m)
2m 3 m 1
1
1
5
d M, 2
3m 4 1 m = 1 hay m =
3
2
2
2
205
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
1 5
Vaäy M(1; 1) hay M ;
3 3
Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác
ABC, biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm
H(–1; –1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và
đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0.
Giải
Kí hiệu: d1: x – y + 2 = 0; d2: 4x + 3y – 1 = 0
Gọi H'(a; b) đối xứng H(1; 1) qua d1. Khi đó H' AC.
a1 = (1; 1) là VTCP của d1, HH = (a + 1; b + 1) vuoâng góc với a1 và trung
a 1 b 1
;
điểm I
của HH' thuộc d1.
2
2
1(a 1) 1(b 1) 0
Do đó tọa độ H' là nghiệm của hệ a 1 b 1
H'(3; 1)
20
2
2
Đường thẳng AC qua H' vuông góc d2 nên có vectơ pháp tuyến là
n (3; 4) và pt AC: 3(x + 3) – 4(y – 1) = 0 3x – 4y + 13 = 0
3x 4y 13 0
Tọa độ A là nghiệm của hệ:
A(5; 7)
x y 2 0
Đường thẳng CH đi qua H(1; 1) có VTPT
1
HA (3; 4) nên có pt:
2
3(x + 1) + 4(y + 1) = 0 3x + 4y + 7 = 0
3x 4y 7 0
10 3
Toïa độ của C là nghiệm của hệ:
C ;
3 4
3x 4y 13 0
Baøi 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng:
d1 : x + y – 2 = 0 ,
d2 : x + y – 8 = 0
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC
vuông cân tại A.
Giải
Vì B d1, C d2 neân B(b; 2 b), C(c; 8 c). Từ giả thiết ta có heä:
bc 4b c 2 0
(b 1)(c 4) 2
AB.AC 0
2
2
2
2
AB AC
b 2b c 8c 18
(b 1) (c 4) 3
206
/>
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
xy 2
Đặt x = b 1, y = c 4 ta có hệ 2
2
x y 3
Giải hệ trên ta được x = 2, y = 1 hoặc x = 2, y = 1
Suy ra: B(1; 3), C(3; 5) hoặc B(3; 1), C(5; 3).
Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng:
d1: x + y + 3 = 0;
d2: x y 4 = 0; d3: x 2y = 0.
Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
Giải
Vì M d3 nên M(2y; y)
2y y 3 3y 3
2y y 4
y4
Ta coù: d(M,d1 )
; d(M,d 2 )
2
2
12 12
12 (1)2
d(M; d1 ) 2d(M,d 2 )
3y 3
2
Với y = 11 được điểm M1(22; 11).
Với y = 1 được điểm M2(2; 1).
2
y4
2
y = 11 ; y = 1.
Bài 16: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
d1: x y = 0 vaø d2: 2x + y 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d 1, đỉnh C thuộc
d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Giải
Vì A d1 A(t; t).
Lại do A và C đối xứng nhau qua BD và B, D Ox nên C(t; t).
Mà C d2 neân 2t t 1 = 0 t = 1. Vaäy A(1; 1), C(1; 1).
IB IA 1
Trung điểm của AC là I(1; 0). Vì I là tâm của hình vuông nên:
ID IA 1
b 1 1 b 0, b 2
B Ox
B(b; 0)
D Ox
D(d; 0)
d 1 1 d 0, d 2
Suy ra, B(0; 0) và D(2; 0) hoặc B(2; 0) và D(0; 0).
Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A(1; 1), B(0; 0), C(1; 1), D(2; 0), hoaëc A(1; 1),
B(2; 0), C(1; 1), D(0; 0).
207
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Bài 17:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; 3). Tìm điểm
C thuộc đường thẳng x 2y – 1 = 0 sao cho khoaûng cách từ C đến đường thẳng
AB bằng 6.
Giải
x 1 y 1
A(1; 1); B(4; 3) pt AB:
4x + 3y 7 0
3
4
C AB C(2t + 1; t)
8t 4 3t 7
6
5
t = 3
11t 3 30
11t 3 30
t = 27
11t 3 30
11
Ta coù d(C, AB) = 6
43 27
Vaäy C(7; 3) hay C ;
11 11
Bài 18:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; 0),
B(4; 0), C(0; m) với m 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m.
Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
m
m
G 1; ; GA 2;
;
3
3
Giaûi
m
GB 3;
3
Tam giác GAB vuông tại G GA.GB 0 6
m2
0 m= 3 6.
9
Bài 19:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxy. Cho tam giác ABC
2
có AB = AC, ABC = 900. Biết M(1; 1) là trung điểm cạnh BC và G ; 0 là
3
trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Giải
G là trọng taâm ABC AG 3GM
2
2 2
x A 0
xA 2 1
3
A(0; 2)
3 3
y A 2
y 2 1 0 2
A
Phương trình BC qua M(1; 1) AM = (1; 3) laø: x 3y 4 = 0
208
/>
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Phương trình đường tròn (C) tâm M, bán kính R = AM = 10 là
x 12 y 12
= 10
Tọa độ B, C thỏa
x 3y 4 0
2
2
x 1 y 1 10
x 3y 4
x = 4
x = 2
V
2
2
y = 0
y = 2
3y 3 y 1 10
Vaäy B(4; 0); C(2; 2) hay B(2; 2); C(4; 0)
Bài 20:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy. Xét tam giác ABC
vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là
3x y 3 0 , các đỉnh A và B
thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC.
Giải
Gọi A(a; 0), BC: y =
3x
B (1; 0), xC = xA = a, yC =
AB = a 1, AC =
2
3
3 (a 1)
3 a 1
BC = (a 1) + 3(a 1)2 = 4(a 1)2, BC = 2 a 1
S = pr
2
3 (a 1)2 = 2 (3 +
a 1 = 0 (loaïi) hoaëc
3 ) a 1
3 a 1 = 2 (3 +
3)
a 32 3
a 1 = 2 ( 3 + 1)
a 1 2 3
A(3 + 2 3 ; 0); B(1; 0); C(3 + 2 3 ; 6 + 2 3 )
hay A(1 2 3 ; 0); B(1; 0); C (1 2 3 ; 6 2 3 )
74 3 6 + 2 3
1 4 3 6 2 3
;
;
G
hay G
.
3
3
3
3
Bài 21:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy cho hình chữ nhật
1
ABCD có tâm I ; 0 , phương trình đường thẳng AB là x 2y + 2 = 0 và
2
AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
Giải
A AB: x 2y + 2 = 0 A(2a 2; a) với a < 1
I là trung điểm AC C(3 2a; a)
209
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
BC qua C vaø BC AB pt BC: 2x + y + 5a 6 = 0
AB BC = B B(2 2a; 2 a)
a 0
Ta coù AB = 2AD (1 a)2 = 1
a 2 (loạ i)
Vậy A(2; 0); B(2; 2); C(3; 0); D(1; 2).
Bài 22: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B
thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d:
x – 2y + 3 = 0.
Giải
Gọi A(a; 0) Ox, B(0; b) Oy
a b
Ta có: AB a; b và trung điểm AB là I ;
2 2
A
I
Từ d: x – 2y + 3 = 0 a 2;1
AB a
A, B đối xứng qua d:
I d
2a b 0
a 2
.
a
b
b 4
2 2 2 3 0
Vaäy A(2; 0), B(0; 4)
ĐƯỜNG TRÒN
Vấn đề 2:
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R.
1. Phương trình chính tắc: (C): (x a)2 + (y b)2 = R2
2. Phương trình tổng quaùt: (C): x2 + y2 2ax 2by + c = 0
Trong đó c = a2 + b2 R2 R a2 b2 c
Cho đường cong (C): x2 + y2 2ax 2by + c = 0
Điều kiện để (C) là đường tròn là: a2 + b2 c > 0
II. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Cho (C): x2 + y2 2ax 2by + c = 0, có tâm I(a; b), bán kính R
d: Ax + By + C = 0
Xét vị trí tương đối giữa (C) và d.
B
Phương phaùp 1:
210
/>
d
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
i) d(I, d) > R d không cắt (C)
ii) d(I, d) = R d tiếp xúc (C)
iii) d(I, d) < R d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Phương pháp 2:
x2 y2 2ax 2by c 0
Xeùt hệ phương trình tạo bởi d và (C):
Ax By C 0
(I) vô nghiệm d không cắt (C)
(I) có nghiệm kép d tiếp xúc (C)
(I) có hai nghiệm phân biệt d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
III. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d: Ax + By + C = 0
là tiếp tuyến của đường tròn d(I, d) = R
1. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(x0; y0) có dạng:
x x0
y y0
: x.x0 y.y0 2a
2b
C0
2
2
hay : (x a)(x0 a) (y b)(y0 b) R2
R
I
d
2. Phương trình tiếp tuyến của (C) qua M(x0; y0)
Gọi d là đường thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k
d: y = k(x x0) + y0 : kx y + y0 kx0 = 0
d tiếp xúc (C) d(I, d) = R
Giải (*) tìm được 2 nghiệm k bài toán đã xong, nếu chỉ có 1 nghiệm K ta xét
thêm đường thẳng: d1:x = xM (kiểm tra điều kiện tiếp xúc)
3. Phương trình tiếp tuyến của (C) song song (hoặc vuông góc) với đường thẳng
: Ax + By + C = 0
d //
Goï i d
d
d: Ax + By + C=0 (C C)
d: Bx Ay + C=0 (hay Bx Ay C 0)
d tiếp xúc (C) d(I, d) = R
4. Phương trình tiếp của (C) biết trước hệ số góc k .
Tiếp tuyến có hệ số góc k có dạng
: y = kx + b : kx y + b = 0
tiếp xúc (C) d(I, ) = R
IV. PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM M(x0; y0) ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN (C)
PM /(C) x20 y20 2ax0 2by0 c
211
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
i) PM /(C) 0 : M nằm ngoài đường tròn
ii) PM /(C) 0 : M nằm trong đường tròn
iii) PM /(C) 0 : M nằm trên đường tròn.
V. TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
Cho (C1): x2 + y2 2a1x 2b1y +c1 = 0, (C2): x2 + y2 2a2x 2b2y +c2 = 0
Phương trình trục đẳng phương: : 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)y (c1 c2) = 0
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + 2 = 0 và đường troøn
(C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc . Qua M kẻ các
tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M,
biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) và bán kính: R =
4 1 0 5 = IA .
Hai tam giác IAM và IBM bằng nhau neân
1
1
SIAM = SMAIB = 5 IA.MA = 5
2
2
1
5 MA = 5 MA = 2 5 .
2
I
B
A
M M( m; –m – 2 )
M
MI2 = IA2 + MA2 = 5 + 20 = 25 (m – 2)2 + (–m – 3)2 = 25
m2 + m – 6 = 0 m = 2 hoặc m = –3
Vậy: M (2; –4) hoặc M (–3; 1) .
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B ; 1 . Đường tròn
2
nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm
D, E, F. Cho D(3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ
đỉnh A, biết A có tung độ dương.
Giải
Vì yB = yD = 1 nên BD có phương trình y – 1 = 0.
Ta lại có phương trình EF là y – 3 = 0 nên BD // EF.
Suy ra: Tam giác ABC cân tại A.
212
/>
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Vì tam giác ABC cân tại A nên AD EF,
mặt khác AD đi qua D(3; 1) nên AD có phương trình x – 3 = 0.
F EF: y – 3 = 0 nên F(x; 3)
Ta có: BF = BD
2
A
2
F
2
1
3
2 1 1
B
2
x – x – 2 = 0 x = –1 hoaëc x = 2.
D
+) Với x = –1 thì F(–1; 3), suy ra BF có phương trình 4x + 3y – 5 = 0.
1
x 3 1
2
E
2
C
7
A là giao điểm của AD và BF nên A 3; loại vì yA < 0.
3
+) Với x = 2 thì F(2; 3), suy ra BF có phương trình 4x –3y + 1 = 0.
13
A là giao điểm của AD và BF nên A 3; nhận vì yA > 0.
3
13
Vaäy A 3; .
3
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm A(1; 0) và đường tròn (C):
2
x + y2 – 2x + 4y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng cắt (C) tại điểm M và
N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; –2) và bán kính R =
10 .
Tam giác AMN vuông cân tại A nên AI
Suy ra: có véctơ pháp tuyến là AI = (0; –2).
A
Do đó phương trình có dạng: y = m.
I
Ta có: +) MN = 2.d(A, ) = 2 m .
M
+) d(I, ) = m 2 .
+) IM = R =
(C
)
N
10 .
2
MN
+) IM d I,
10 = (m + 2)2 + m2
2
2
2
2m2 + 4m – 6 = 0 m = 1 hoặc m = –3.
Vậy phương trình là : y = 1 hoaëc y = –3.
213
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Cách 2:
Phương trình có dạng: y = m, do đó hoành độ điểm M và N là nghiệm của
phương trình: x2 + m2 – 2x + 4m – 5 = 0 x2– 2x + m2 + 4m – 5 = 0 (*).
Phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2 ' = –m2 – 4m + 6 > 0.
(1)
Khi đó: M(x1; m) và N(x2; m) AM x1 1; m vaø AN x2 1; m .
Ta coù: AM AN AM.AN 0 x1 1 . x2 1 m2 0
x1.x2 – (x1 + x2) + m2 + 1 = 0 (**).
Mặt khác x1, x2 là nghiệm của (*) nên x1.x2 = m2 + 4m – 5 và x1 + x2 = 2
Do đó: (**) (m2 + 4m – 5) – 2 + m2 + 1 = 0 2m2 + 4m – 6 = 0
m = 1 hoặc m = –3. (Thỏa (1))
Vậy, phương trình là: y = 1 hoặc y = –3.
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:
d2 :
3x y 0 vaø
3x y 0 . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B
và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác
ABC có diện tích bằng
3
và điểm A có hoành độ dương.
2
Giải
A d1 nên A (a; a 3 ) (a > 0)
Đường thẳng AC qua A và vuông góc với d1 có phương trình là:
1 x a 3 y a 3 0 x 3y 4a 0
Neân AC d2 = C(2a; 2a 3 )
Đường thẳng AB qua A và vuông góc
với d2 có phương trình là:
1 x a 3 y a 3 0 x 3y 2a 0
a a 3
AB d2 = B ;
2
2
3
SABC
BA.BC 3
2
2
a
a 3
a a 3
2
2
2
2
2
a
a 3
2a
= 3
2a 3
2
2
214
/>
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
a 3 .3a = 3 a
1
1
2
A
; 1 ; C
; 2
3
3
3
3
1
Tâ m I
; là trung điểm AC và bán kính R = IA = 1
2
2 3
2
2
1
3
Suy ra phương trình đường tròn (T): x
y 1
2
2 3
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 7), trực tâm là
H(3; 1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(2; 0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có
hoành độ dương.
Giải
Cách 1: Nối dài AH cắt đường tròn (C) tâm I tại điểm H'
A
BC đi qua trung điểm HH'.
Phương trình AH: x = 3
Đường tròn (C) có phương trình:
H
(x 2)2 y2 74
H' là giao điểm của AH và đường tròn (C)
H' (3; 7)
B
I
M
Đường thẳng BC có phương trình : y = 3 cắt
đường tròn (C) tại điểm C có hoành độ là nghiệm
C
H'
phương trình: ( x 2) 3 74
2
2
x 65 2 (laáy hoành độ dương); y = 3.
Vậy C ( 65 2 ; 3)
Cách 2: Gọi (C) là đường tròn tâm I(2; 0),
A
bán kính R = IA 74
Phương trình đường tròn (C): (x 2)2 y2 74
Gọi AA1 là đường kính
BHCA1 là hình bình hành
HA1 qua M trung điểm BC
Ta có IM là đường trung bình của A1AH
x 2
1
Nên : IM AH M
M(2; 3)
2
y M 3
I
H
B
C
M
H'
A1
Phương trình BC qua M và vuông góc AH: y 3 = 0
215
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
(x 2)2 y2 74
x 2 65
Toaï độ C thoả hệ phương trình: y 3 0
.
y 3
x 0
Vaäy C ( 65 2 ; 3)
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0
và đường thẳng : x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của
đường tròn (C). Tìm m để cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích
tam giác IAB lớn nhất.
Giải
(C) có tâm I (2; 2), bán kính R =
2
1
1
IA.IB.sin AIB R2 1
2
2
S lớn nhất khi và chỉ khi IA IB
2 2m 2m 3
R
1
Khi đó, khoảng cách từ I đến : d(I, ) =
1
2
1 m2
8
(1 – 4m)2 = 1 + m2 m = 0 hoặc m =
15
Diện tích tam giác IAB: S =
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
4
và
5
hai đường thẳng 1: x – y = 0, 2 = x – 7y = 0. Xác định tọa độ tâm K và tính bán
kính của đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng 1, 2
và tâm K thuộc đường tròn (C).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2)2 + y2 =
Giải
4
Gọi K(a; b); K (C) (a – 2)2 + b2 =
5
a b a 7b
(C1) tiếp xúc 1, 2
2
5 2
(1);
(2).
2
2
5 a 2 5b 4
(1) vaø (2), cho ta:
5 a b a 7b
2
2
5 a 2 5b 4
I hoaëc
5
a
b
a
7b
2
2
5 a 2 5b 4
II
5
a
b
7b
a
216
/>
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
25a2 20a 16 0
vô nghiệm;
b 2a
I
a 2b
8 4
(II)
a; b ;
2
5 5
25b 40b 16 0
Bán kính (C1): R
ab
2
2 2
2 2
8 4
. Vậy: K ; và R
5
5
5
5
Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + y2 = 1. Gọi
I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO 30o
Giải
Gọi điểm M(a; b). Do M(a; b) thuộc (C) nên (a – 1)2 + b2 = 1;
O (C) IO = IM = 1 Tam giác IMO có OIM 120o
Nên OM2 = IO2 + IM2 – 2IO.IM.cos1200 a2 + b2 = 3
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
3
a 12 b2 1 a 2
. Vaäy M =
2
2
b 3
a b 3
2
3
3
;
2
2
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(–2; –2)
và C(4; –2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N
Giải
Ta có M(1; 0), N(1; 2), AC (4; 4). Giả sử H (x, y). Ta có:
4(x 2) 4(y 2) 0
x 1
BH AC
H(1; 1)
H AC
4x 4(y 2) 0
y 1
Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
(1)
Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có hệ điều kiện:
1
a
2a
c
1
2
2a
4b
c
5
1
b
2a 2b c 2
2
c
2
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 x + y 2 = 0
217
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x– 1)2 + (y + 2)2 = 9 và
đường thẳng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ
đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho
tam giác PAB đều .
Giải
(C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 3.
Ta có: PAB đều nên IP = 2IA = 2R = 6 P thuộc đường tròn (C') tâm I, bán
kính R' = 6. Trên d có duy nhất một điểm P thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi
d tiếp xúc với (C') tại P d(I; d) = 6 m = 19 hay m = 41.
Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
(C) : x2 + y2 2x 6y + 6 = 0 và điểm M(3; 1).
Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C).
Viết phương trình đường thẳng T1T2.
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = 2. MI = 2 5 > R nên M nằm ngoài
(C). Nếu T(xo; yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì:
T (C)
T (C)
MT IT
MT.IT 0
MT (xo 3; yo 1),IT (xo 1; yo 3). Do đó ta có:
x2o yo2 2xo 6yo 6 0
(xo 3)(xo 1) (yo 1)(yo 3) 0
2
2
xo yo 2xo 6yo 6 0
2xo yo 3 0
2
2
xo yo 2xo 4yo 0
(1)
Vậy, tọa độ các tiếp điểm T1 và T2 của các tiếp tuyến kẻ từ điểm M đến (C) đều
thỏa mãn đẳng thức (1). Do đó phương trình đường thẳng T1T2 là:
2x + y 3 = 0.
Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn:
(C): x2 + y2 2x 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm
M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn
(C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
218
/>
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; 1), bán kính R = 1. Vì M d nên M(x; x + 3).
Yêu cầu của bài toán tương đương với:
MI R 2R (x 1)2 (x 2)2 9 x 1, x 2
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: M1(1; 4), M2(2; 1)
Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 0) và B(6; 4).
Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng
cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
Giải
Gọi tâm của (C) là I(a; b) và bán kính của (C) là R.
(C) tiếp xúc với Ox tại A a = 2 và |b| = R
IB = 5 (6 2)2 + (4 b)2 = 25 b2 8b + 7 = 0 b = 1, b = 7
Với a = 2, b = 1 ta có đường tròn: (C1): (x 2)2 + (y 1)2 = 1
Với a = 2, b = 7 ta có đường tròn: (C2): (x 2)2 + (y 7)2 = 49.
Baøi 14:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy cho 2 điểm A(0; 2) và
B( 3 ; 1). Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của OAB
Giải
Gọi H(x, y) là trực tâm AOB
AH OB AH coù VTPT OB 3, 1
Phương trình AH:
3 x 0 y 2 0 hay 3x y 2 0
BH.OA BH coù vtpt OA 0; 2
Phương trình BH: 0 x 3 2 y 1 0 hay y + 1 = 0 H
3; 1
Gọi I (x0; y0) là tâm đường tròn ngoại tiếp AOB, ta coù: IA2 IO2 IB2
x2 y2 x2 y 2 2
0
0
0
0
y 0 1
I 3;1
2
2
x20 y20 x0 3 y0 1
x0 3
Baøi 15:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxy. Cho đường tròn
(C): (x 1)2 + (y 2)2 = 4 và đường thẳng d: x y 1 = 0.
Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường
thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C').
219
/>
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Giải
(C1) có tâm I(1; 2), R = 2
Gọi I' là điểm đối xứng của I qua (d)
Gọi () là đường thẳng qua I vaø d : x + y 3 = 0
() (d) = H(2; 1)
x 1
2
2 x = 3 với I' (x; y) I' (3; 0)
Vì H là trung điểm của II' nên:
1 y 2 y = 0
2
Vậy đường tròn (C) có tâm I'(3; 0) R = R' = 2
Vậy (C'): (x 3)2 + y2 = 4
* Tìm tọa độ giao điểm của (C), (C').
x 12 y 2 2 4
Giải hệ
2
2
x 3 y 4
2
x 3 y2 4
x y 1 0
x = 1
x = 3
x y 1
2
2y 4y 0
y = 0
y = 2
Vậy giao điểm của (C), (C') là A(1; 0) B(3; 2).
Bài 16:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, cho hai đường tròn
(C1): x2 + y2 10x = 0, C2: x2 + y2 + 4x 2y 20 = 0.
1/ Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm
nằm trên đường thẳng x + 6y 6 = 0.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1) và (C2).
Giải
1/ Đường tròn (C) qua giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2) (C), (C1), (C2)
thuộc chùm đường tròn.
(C): m(x2 + y2 – 10x) + n(x2 + y2 – 2y – 20) = 0; (Với m2 + n2 0).
(m + n)x2 + (m + n)y2 + (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0
4n 10m
2n
20n
x2 + y2 +
x
y
0
mn
mn
mn
n
2n 5m
;
Tâm I
m
n
m
n
Vì I d: x + 6y – 6 = 0
5m 2n
6n
6 0 m 2n
mn
mn
Ta chọn n = 1 m = 2. Vậy (C): x2 + y2 – 24x + 2y + 20 = 0.
220
/>