HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG pps

PHẦN I: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
CHƯƠNG I: ĐƯỜNG THẲNG
I) CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
Bài1: Cho véctơ
m
= (1; 2)
n
= (-2; 3)
1) Tìm góc giữa các cặp véctơ sau:
m
và
n
; 3
m
+
n
và
m
- 2
n
2) Tìm a và b sao cho a
m
+ b
n
⊥
n

Bài2: Cho ba điểm A(0; 1) B(-1; -1) C(-1; 2)
1) Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
2) Tính chu vi và diện tích của ∆ABC.
3) Tìm toạ độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC.

II) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
Bài1: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
1) Đi qua điểm A(1; 1) có hệ số góc k = 2.
2) Đi qua điểm B(1; 2) và tạo với hướng dương của trục Ox 1 góc 30
0
.
3) Đi qua C(3; 4) và tạo với trục Ox một góc 45
0
.
Bài2: Viết phương trình các cạnh và đường trung trực của ∆ABC biết trung điểm của 3 cạnh AB, AC, BC
theo thứ tự là M(2; 3) N(4; -1) P(-3; 5).
Bài3: Cho ∆ABC với trực tâm H. Biết phương trình cạnh AB là: x + y - 9 = 0, các đường cao qua đỉnh A và
B lần lượt là (d
1
): x + 2y - 13 = 0 và (d
2
): 7x + 5y - 49 = 0.
1) Xác định toạ độ trực tâm H và phương trình CH.
2) Viết phương trình cạnh BC.
3) Tính diện tích của tam giác giới hạn bởi các đường thẳng AB, AC và Oy.
Bài4: Lập phương trình các cạnh của ∆ABC. Biết đỉnh C(3; 5) đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A
có phương trình là: (d
1
): 5x + 4y - 1 = 0 (d
2
): 8x + y - 7 = 0
Bài5: Phương trình hai cạnh của một tam giác là: 3x - y + 24 = 0 ; 3x + 4y - 96 = 0. Viết phương trình
cạnh thứ 3 của tam giác biết trực tâm H







3
32
0;
.
Bài6: Cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y - 12 = 0.
1) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của d lần lượt với Ox, Oy.
2) Tìm toạ độ hình chiếu H của gốc O trên đường thẳng d.
3) Viết phương trình đường thẳng d' đối xứng với d qua O.
Bài7: Cho ∆ABC với A(2 ; 2) B(-1; 6) C(-5; 3).
1) Viết phương trình các cạnh ∆ABC.
2) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của ∆ABC.
3) CMR: ∆ABC là tam giác vuông cân.
Bài8: Cho ∆ABC với A(1; -1) B(-2; 1) C(3; 5).
1) Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến BI của ∆ABC.
2) Lập phương trình đường thẳng qua A và ⊥ BI.
III) CHÙM ĐƯỜNG THẲNG:
Bài1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d
1
): x + 3y - 9 = 0 và (d
2
): 3x -
2y - 5 = 0 đồng thời đi qua điểm A(2; 4).
Bài2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d
1
): 3x + y - 0 = 0 và (d
2

): 3x
+ 2y - 5 = 0 và đồng thời song song với đường thẳng (d
3
): x - y + 4 =0
Bài3: Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d
1
): x+ y - 2 = 0 và (d
2
): 3x -
4y + 1 = 0 đồng thời chắn trên hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau.
Bài4: Cho ∆ABC có phương trình cạnh AB là: x + y - 9 = 0 đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là (d
1
): x +
2y - 13 = 0 và (d
2
): 7x + 5y - 49 = 0. Lập phương trình AC, BC và đường cao thứ ba.
IV) GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH:
Bài1: Viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm M(5; 1) và tạo thành một góc 45
0
với đường thẳng (d) có
phương trình: y = 2x + 1.
Bài2: Cho 2 đường thẳng (d
1
): x + 2y + 1 = 0 ; (d
2
): x + 3y + 3 = 0.
1) Tính khoảng cách từ giao điểm của (d
1
) và (d
2

) đến gốc toạ độ.
2) Xác định góc giữa (d
1
) và (d
2
).
3) Viết phương trình đường phân giác của các góc hợp bởi (d
1
) và (d
2
).
Bài3: Cho ∆ABC, các cạnh có phương trình: x + 2y - 5 = 0; 2x + y + 5 = 0; 2x - y - 5 = 0.
1) Tính các góc của ∆ABC.
2) Tìm phương trình đường phân giác trong của các góc A và B.
3) Tìm toạ độ tâm, bán kính các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ∆ABC.
Bài4: Cho 2 điểm A(1; 3) và B(3; 1). Lập phương trình đường thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B tới
đường thẳng đó bằng 1.
Bài5: Cho P(1; 1) và 2 đường thẳng (d
1
): x + y = 0; (d
2
): x - y + 1 = 0. Gọi (d) là đường thẳng qua P cắt (d
1
),
(d
2
) lần lượt tại A, B. Viết phương trình của (d) biết 2PA = PB.
Bài6: Cho 2 đường thẳng (d
1
) và (d

2
) có phương trình (d
1
): 2x + y + 1 = 0; (d
2
): x + 2y - 7 = 0. Lập phương
trình đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ sao cho đường thẳng (d) tạo với (d
1
) và (d
2
) một tam giác cân có đỉnh
là giao điểm của (d
1
) và (d
2
). Tính diện tích tam giác cân đó.
V) ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC:
Bài1: Cho ∆ABC. A(4; 3) B(2; 7) C(-3; -8)
a) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
b) CMR: I, G, H thẳng hàng.
c) Tính diện tích ∆ABC.
Bài2: Tìm trên (d): x + y = 0 điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới các điểm A và B là nhỏ nhất với:
1) A(1; 1) B(-2; 4) 2) A(1; 1) B(3; -2)
Bài3: Cho ∆ABC có M(-2; 2) là trung điểm BC, cạnh AB, AC có phương trình: x - 2y - 2 = 0, 2x + 5y + 3 =
0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh ∆ABC.
Bài4: Trong mặt phẳng Oxy cho A(3; 1).
1) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B thuộc góc phần tư thứ nhất.
2) Viết phương trình 2 đường chéo và tâm của hình vuông.
3) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OBAC là hình vuông.
Bài5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I







0
2
1
;
,
phương trình đường thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh
A có hoành độ âm.
Bài6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy xét ∆ABC vuông tại A, phương trình đường
thẳng BC là:
033 =−− yx
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2.
Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC.
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG BẬC HAI
I) ĐƯỜNG TRÒN:
Bài1: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
1) Đi qua A(3; 4) và tâm là gốc toạ độ.
2) Đi qua A(3; 1) B(5; 5) và tâm I nằm trên trục tung.
3) Đi qua A(1; 2) B(2; 1) và tâm I nằm trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0
4) Đi qua A(-2; 4) B(6; -2) C(5; 5).
5) Tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): x - 2y - 2 = 0.
6) Đường kính AB với A(1; 1) B(3; 3).
Bài2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ và đi qua A(4; 2).
Bài3: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Biết AB: 2x - y + 4 = 0
BC: x + y - 1 = 0 AC: x + 4y + 2 = 0

Bài4: Lập phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d): 2x + y + 2 = 0 và vuông góc với hai tiếp
tuyến của đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
- 4 x = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
+ 2y = 0 tại giao điểm của (d) với (C
1
) (C
2
).
Bài5: 1) Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(1; -2) và các giao của đường thẳng (d): x - 7y + 10 = 0
với đường tròn (S): x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 20 = 0.
2) Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của hai đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2

- 2x + 4y - 4 = 0 và
(C
2
): x
2
+ y
2
+ 2x - 2y - 14 = 0 và đi qua M(0; 1)
3) Lập phương trình đường tròn qua giao điểm của hai đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
- 2x + 2y - 2 = 0 (C
2
):
x
2
+ y
2
- 6y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d: x + y + 1 = 0
II) TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN:
Bài1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x
2
+ y
2
- 2x - 6y - 6 = 0 biết:
1) Tiếp tuyến đi qua M(1; -1).
2) Tiếp tuyến đi qua M(4; -1)

Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x
2
+ y
2
- 2x - 2y + 1 = 0 biết:
1) Tiếp tuyến // (d): x + y = 0.
2) Tiếp tuyến ⊥ (d): x + y = 0
3) Tiếp tuyến tạo với (d): x + y = 0 một góc 60
0

Bài3: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:
1) (C
1
): x
2
+ y
2
- 1 = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
- 4x - 4y - 1 = 0
2) (C
1
): x
2
+ y
2

- 6x + 5 = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
- 12x - 6y + 44 = 0
Bài4: Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
= 4 và một điểm M(2; 4). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MT
1
, MT
2
với đường tròn,
trong đó T
1
, T
2
là tiếp điểm.
1) Viết phương trình đường thẳng T
1
T
2
.
2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với T
1
T
2

.
III) ELÍP:
1) LẬP PHƯƠNG TRÌNH ELÍP
Bài1: Cho (E) có phương trình: 9x
2
+ 4y
2
= 36.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tìm tâm sai của (E) đó.
2) Cho M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho MA = MB.
Bài2: Lập phương trình chính tắc của (E) biết:
1) Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 6, trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 4.
2) Trục lớn thuộc Oy có độ dài bằng 6. Tiêu cự e = 4.
3) Độ dài trục lớn bằng 16, tâm sai e =
8
5
, hai tiêu điểm thuộc Ox.
4) Đi qua M
( )
233 ;
và N
( )
323;
. Tìm M ∈ (E) sao cho MF
2
= 2MF
1

2) TIẾP TUYẾN CỦA ELÍP, QUỸ TÍCH ĐIỂM
Bài1: Cho (E):

1
49
2
2
=+
y
x
. Viết phương trình các tiếp tuyến của (E) biết:
1) Đi qua A(3; 0)
2) Tiếp tuyến đi qua B(4; 2)
3) Tiếp tuyến song song (∆): x - y + 6 = 0
4) Tiếp tuyến vuông góc (∆): 2x - y + 2 = 0
5) Tiếp tuyến với (d): x + 2y = 0 một góc 45
0
.
Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của:
(E
1
):
1
45
2
2
=+
y
x
(E
2
):
1

54
2
2
=+
y
x

Bài3: Biết (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
nhận các đường thẳng (d
1
): x - 2y - 4 = 0 và (d
2
): 2x +
3
y - 5 = 0 làm tiếp
tuyến.
1) Xác định a
2
và b
2

, từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (E).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua A(2; 0).
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua B(0; 4).
Bài4: Cho (E):
1
1224
2
2
=+
y
x
. Viết phương trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp (E).
Bài5: Cho (E
1
):
1
36
2
2
=+
y
x
(E
2
):
1
4
2
2
=+

y
x
Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai Elíp.
Bài6: CMR: tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kỳ của một Elíp bằng bình phương
nửa độ dài trục nhỏ của Elíp.
Bài7: Cho hai điểm M, N trên một tiếp tuyến của Elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
, sao cho mỗi tiêu điểm F
1
, F
2
của
(E) nhìn đoạn MN dưới một góc vuông. Hãy xác định vị trí của M, N trên tiếp tuyến ấy.
Bài8: Cho Elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b

y
a
x
. Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
tới (E).
Bài9: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho Elíp (E) có phương trình:
1
916
2
2
=+
y
x
.
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp
xúc với (E). Xác định toạ độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài10: Trên mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip có phương trình: 4x
2
+ 3y
2
- 12 =
0. Tìm điểm trên elip sao cho tiếp tuyến của elip tại điểm đó cùng với các trục toạ độ tạo thành tam giác có
diện tích nhỏ nhất.
Bài11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho elip (E):
1
49
2
2
=+
y

x
và đường thẳng d
m
: mx - y - 1
= 0.
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng d
m
luôn cắt elíp (E) tại hai điểm phân biệt.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1;-3)
Bài12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho elip (E):
1
14
2
2
=+
y
x
, M(-2; 3), N(5; n). Viết
phương trình các đường thẳng d
1
, d
2
qua M và tiếp xúc với (E). Tìm n để trong số các tiếp tuyến của (E) đi qua
N và có một tiếp tuyến song song với d
1
hoặc d
2

Bài13: Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F
1

(
03;−
);
( )
03
2
;F
và một đường chuẩn có phương trình: x =
3
4
.
1) Viết phương trình chính tắc của (E).
2) M là điểm thuộc (E). Tính giá trị của biểu thức:
P =
MF.MFOMMFMF
21
22
2
2
1
3 −−+
3) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục hoành và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho
OA ⊥ OB.
Bài14: Cho Elíp (E):
1
14
2
2
=+
y

x
; Trục lớn AA' = 2a. Hai tiêu điểm là F và F'. D là một tiếp tuyến
chuyển động của elíp. D cắt các tiếp tuyến của elíp tại A và A' ở M và M'.
1) Chứng minh: AM.A'M' không đổi.
2) Chứng minh tích các khoảng cách từ F và F' tới D không đổi.
3) Tìm quỹ tích giao điểm N của A'M và AM'.
4) Chứng minh rằng khi D chuyển động đường tròn đường kính MM' luôn đi qua các tiêu điểm F và F'.
IV) HYPEBOL:
1) LẬP PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOL
Bài1: Cho Hypebol (H): 25x
2
- 20y
2
= 100.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Tìm tung độ của điểm thuộc Hypebolcó hoành độ x =
8
và tính khoảng cách từ điểm đó đến hai
tiêu điểm.
3) Tìm các giá trị của b để đường thẳng (d): y = x + b có điểm chung với Hypebol trên.
Bài2: Cho Hypebol (H): 18x
2
- 9y
2
= -144.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Lập phương trình đường tròn (C) đường kính F
1
F
2

và tìm giao điểm của (C) và (H).
3) Viết phương trình chính tắc của Elíp (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình
chữ nhật cơ sở của (H).
Bài3: Lập phương trình chính tắc của Hypebol biết:
1) Trục thực thuộc Ox có độ dài bằng 8, trục ảo thuộc Oy có độ dài bằng 6.
2) Độ dài trục thực bằng 6, tâm sai e =
3
4
.
3) Cá các tiêu điểm trên Ox, độ dài tiêu cự là 12 và một đường tiệm cận có phương trình: x + 2y = 0.
4) Có các tiêu điểm trên Oy, độ dài trục thực bằng 8 và hai đường tiệm cận vuông góc với nhau
2) TIẾP TUYẾN CỦA HYPEBOL, QUỸ TÍCH ĐIỂM
Bài1: Cho (H):
1
49
2
2
=−
y
x
. Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) biết:
1) Tiết tuyến đi qua điểm A(3; 0).
2) Tiếp tuyến đi qua B(2; 2).
3) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): x - y + 6 = 0.
4) Tiếp tuyến vuông góc (∆): 2x - y + 2 = 0
Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến của Hypebol (H):
1
169
2
2

=−
y
x
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d):
x + 2y = 0 một góc 45
0
.
Bài3: Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai Hypebol:
(H
1
):
1
45
2
2
=−
y
x
(H
2
)
1
54
2
2
=−
y
x

Bài4: Biết rằng Hypebol (H):

1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
nhận các đường thẳng (d
1
): x - 2y - 4 = 0 và (d
2
): 2x +
3
y - 5
= 0 là tiếp tuyến.
1) Xác định a
2
và b
2
, từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (H).
2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) đi qua A(2; 0).
3) Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) đi qua B(0; 4)
Bài5: Cho Hepebol (H):
1
2
2
2

2
=−
b
y
a
x
.
1) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) nào đó nằm trên (H) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Tính
toạ độ của A và B.
2) CMR: M
0
là trung điểm của AB.
3) CMR: diện tích ∆OAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M
0
.
V) PARABOL:
Bài1: Cho (P): y
2
= 8x. Viết phương trình các tiếp tuyến của (P), biết tiếp tuyến ấy.
1) Vuông góc với đường thẳng (∆
1
): x - 2y + 6 = 0.
2) Song song với đường thẳng (∆
2

): x - y + 3 = 0.
3) Đi qua điểm M(2; 2).
Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của:
1) Parabol (P
1
): y = x
2
+ 2x + 2 và (P
2
): y = -x
2
+ 4x - 5
2) Parabol (P
1
): y
2
= 2px và (P
2
): x
2
= 2qy
3) Elíp (E):
1
49
2
2
=+
y
x
và Parabol (P): y

2
= 2x
4) Elíp (E):
1
94
2
2
=+
y
x
và Parabol (P): y
2
= 8x
5) Hypebol (H):
1
94
2
2
=−
y
x
và Parabol (P): y
2
= 8x
Bài3: Cho Parabol (P): y = x
2
- 2x + 2 và đường thẳng (d) là đường thẳng cùng phương với đường thẳng (d
1
):
y = x sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt.

1) Viết phương trình của (d) khi hai tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc với nhau.
2) Viết phương trình của (d) khi độ dài AB = 4.
I) MỞ ĐẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
Bài1: Cho ba véctơ
r
a
= (1; -2; 3),
b
r
= (-4; 1; 7)
c
r
= (3; 0; 5). Tính tọa độ của véctơ
u
r
= 4
r
a
- 5
b
r
+ 3
c
r

Bài2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(5; 0; -2) B(7; 1; 0) C’(2; 0; 9). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của
hình hộp
Bài3: Chứng minh rằng ∆ABC có A(2; 1; 4) B(3; 6; 7) C(9; 5; -1) là tam giác nhọn
Bài4: Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oyz) cách đều ba điểm A(0; 1; 1) B(-1; 0; 2) C(2; 3; 0)
Bài5: Cho các điểm A(2; 9; 0) B(10; 7; 4), C(0; 9; -1). Tính diện tích ∆ABC, suy ra độ dài đường cao hạ từ B

của tam giác
Bài6: (phương pháp tọa độ hóa). Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD, BB’. Chứng minh rằng MN ⊥ A’C
Bài7: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho A(1; 2; 2) , B(-1; 2; -1), C(1; 6; -1) D(-1; 6; 2).
1) Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện.
2) Tính thể tích tứ diện ABCD.
3) Tính diện tích ∆BCD và đường cao của tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A.
BTVN:
Câu 1: Cho ba véctơ
r
a
= (2; -5; 3)
b
r
= (0; 2; -1)
c
r
= (1; 7; 2). Tính tọa độ của các véctơ sau:
a)
u
r
= 4
r
a
-
1
3
b
r
+ 3

c
r
b)
v
r
= 5
r
a
- 2
b
r
+ 7
c
r
c)
w
ur
= 12
r
a
+ 19
b
r
- 3
c
r

Câu 2: Hãy biểu diễn
r
a

theo các véctơ
u
r
,
v
r
,
w
ur
.
a)
r
a
= (3; 7; -7),
u
r
= (2; 1; 0),
v
r
= (1; -1; 2)
w
ur
= (2; 2; -1)
b)
r
a
= (8; 9; -1),
u
r
= (1; 0; 1),

v
r
= (0; -1; 1)
w
ur
= (1; 1; 0)
Câu 3: Cho
r
a
= (1; -3; 4)
a) Tìm y và z để
b
r
= (2; y; z) cùng phương với
r
a

b) Tìm tọa độ của véctơ
c
r
biết rằng
r
a
và
c
r
ngược hướng và
c 2 a=
r r
Câu 4: Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng

a) A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1) b) A(1; 1; 1), B(-4; 3; 1), C(-9; 5; 1)
Câu 5: Chứng minh rằng 4 điểm A(3; -1; 2) B(1; 2; -1) C(1; 2; -1) D(3; -5; 3) là bốn đỉnh của một hình thang
Câu 6: Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB, trọng tâm G của ∆ABC, trọng tâm J của tứ diện ABCD khi biết
tọa độ các đỉnh A, B, C, D
a) A(1; 2; -3), B(0; 3; 7), C(12; 5; 0), D(9; -6; 7)
b) A(0; 13; 21), B(11; -23; 17), C(1; 0; 19), D(-2; 5; 5)
Câu 7:Cho A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3)
a) Xác định D sao cho ABCD là hình bình hành
b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo
Câu 8: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có A(3; -1; 6) B(-1; 7; -2) D’(5; 1; 6). Xác định tọa độ
a) Tâm của hình hộp b) Đỉnh C’
Câu 9:Tìm
u
r
biết rằng
a)
u
r
thỏa mãn đồng thời 3 phương trình:
r
a
.
u
r
= -5;
u
r
.
b
r

= -11;
u
r
.
c
r
= 20 biết
r
a
= (2; -1; 3),
b
r
= (1; -3; 2),
c
r
= (3; 2; -4)
b)
u
r
vuông góc với cả hai véctơ
r
a
= (2; 3; -1)
b
r
= (1; -2; 3) và thỏa mãn:
u
r
.
c

r
= -6 với
c
r
= (2; -1;
1)
Câu 10: a) Tìm điểm E trên trục Oy cách đều hai điểm A(3; 1; 0), B(-2; 4; 1)
b) Tìm điểm F trên trục Ox cách đều hai điểm M(1; -2; 1) N(11; 0; -7)
Câu 11: Tìm điểm M cách đều ba điểm A, B, C. Nếu biết
a) M ∈ (Oxz) và A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1)
b) M ∈ (Oxy) và A(-3; 2; 4), B(0; 0; 7), C(-5; 3; 3)
Câu 12: Tính góc tạo thành bởi các cặp cạnh đối của tứ diện ABCD biết: A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-
2; 1; -1)
Câu 13: Chứng minh rằng ∆ABC có A(4; 1; 4) B(0; 7; -4), C(3; 1; -2) là tam giác tù
Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh
A’D’, D’C’, CC', A’A. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ
giác MNPQ theo a
Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB’ CD, A’D’ lần lượt lấy các
điểm M, N, P sao cho B’M = CN = D’P = x (0 < x < 1). Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng
(MNP)
Câu 16: Cho ∆ABC biết A(1; 0; 2) B(-2; 1; 1) C(1; -3; -2). Gọi D là điểm chia đoạn AB theo tỷ số -2 và E là
điểm chia đoạn BC theo tỷ số 2.
a) Tìm tọa độ các điểm D, E
b) Tìm coossin của góc giữa hai véctơ
AD
uuur
và
AE
uuur

Câu 17: Cho A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). Tính độ dài phân giác ngoài góc A của ∆ABC
Câu 18: Tính:
a b;
 
 
r r
,
( )
a 3b b;
 
+
 
r r r
trong các trường hợp sau:
a)
r
a
= (6; -2; 3),
b
r
= (5; 0; -3)
Câu 19
Câu 20
Câu 21
Câu 22
II) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
Bài1: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 1; 1) và
1) // Ox và Oy 2) // Ox và Oz 3) // Oy và Oz
Bài2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 1) B(2; 1; 1) và // Ox
Bài3: Cho (P): 3x + 2y + z - 6 = 0 Hãy chỉ ra một cặp VTCP của (P)

Bài4: Viết phương trình mặt phẳng qua AB và // CD
A(5; 1; 3) B(1; 6; 2) C(5; 0; 4) D(4; 0; 6)
Bài5: Cho A(-1; 2; 3) (P): x - 2 = 0 (Q): y - z -1 = 0
Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và ⊥ (P); (Q)
III) ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:
Bài1: Tính khoảng cách từ M(1; 1; 2) đến đường thẳng (d):
1
3
32
2
−
+
=
−
=
− z
y
x

Bài2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) biết:
a) (d):



=+++
=−++
05
010632
zyx
zyx

(P): y + 4z + 17 = 0
b) (d):





+=
+=
+=
tz
ty
tx
1
39
412
(P): y + 4z + 17 = 0
c) (d):



=−
=−++
01
03
y
zyx
(P): x + y - 2 = 0
Bài3: Lập phương trình đường thẳng d qua A(1; 2; 3) và ⊥ với (d
1

):



=−+
=−+
032
022
zx
yx

(d
2
):



=+−−
=++−
0642
0104
zyx
zyx

Bài4: Cho (d):



=+++
=++−

0732
0143
zyx
zyx
(P): x + y + z + 1 = 0
Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A(1; 1; 1) song song (P) và ⊥ (d).
Bài5: Cho A(-2; 4; 3) và mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0. Hạ AH ⊥ (P). Viết phương trình tham số của
đường thẳng AH và tìm tọa độ của H
Bài6: Tính góc hợp bởi các đường thẳng d
1
:
x 9t
y 5t
z 3 t
=


=


= − +

và d
2
:
2x 3y 3z 9 0
x 2y z 3 0
− − − =



− + + =

Bài7: Cho d:
x 1 y 1 z 3
1 2 2
+ − −
= =
−
và (P): 2x - 2y + z - 3 = 0. Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Tính
góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
Bài8: Chứng minh rằng hai đường thẳng d
1
:
x y 2z 0
x y z 1 0
+ + =


− + + =

và d
2
:
x 2 2t
y t
z 2 t
= − +


= −



= +

chéo nhau
Bài9: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song và viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường
thẳng đó. d
1
:
x 5 2t
y 1 t
z 5 t
= +


= −


= −

và d
2
:
x 3 2t
y 3 t
z 1 t
'
'
'
= +



= − −


= −

Bài10: Viết phương trình cho A(1; 2; 1) và đường thẳng d:
x y 1 z 3
3 4 1
− +
= =
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d.
2. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d
Bài11: Cho đường thẳng d:
x 1 2t
y 2 t
z 3t
= +


= −


=

và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0
1. Tìm tọa độ điểm K đối xứng với điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng d
2. Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P)

bằng 1
Bài12: Cho A(4; 1; 4), B(3; 3; 1) C(1; 5; 5) và D(1; 1; 1). Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng
(ABC) và suy ra tọa độ điểm K đối xứng với D qua (ABC)
Bài13: Viết phương trình đường thẳng qua A(1; 5; 0) và cắt cả hai đường thẳng
(d
1
):



=−+
=−−
01
012
yx
zx
(d
2
):



=−−
=−+
02
023
zy
yx

Bài14: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1) và vuông góc với (d

1
) và (d
2
)
(d
1
):
z
y
x
=
+
=
−
1
2
8
1
(d
2
):



=+
=+−+
01
02
x
zyx

Bài15: Viết phương trình đường thẳng qua M(0; 1; 1) và vuông góc với d
1
và cắt đường thẳng d
2
d
1
:
zy
x
=+=
−
2
3
1
d
2
:



=+
=+−+
01
02
x
zyx

Bài16: Viết phương trình đường thẳng d ⊥ (P): x + y + z - 2 = 0 và cắt cả hai đường thẳng: (d
1

):





=
−=
+=
tz
ty
tx
2
1
2
(t ∈ R) (d
2
):



=−
=−+
03
022
y
zx

Bài17: Cho (d
1

):





−=
−=
+=
tz
ty
tx
5
1
25
(d
2
):





−=
−−=
+=
1
1
1
1

3
23
tz
ty
tx
(t,
1
t
∈ R)
CMR: (d
1
) // (d
2
). Viết phương trình mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
). Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
)
Bài18: Cho hai đường thẳng (d
1
):



=−+−
=++

01
012
zyx
yx
(d
2
):



=+−
=+−+
012
033
yx
zyx
1) CMR: (d
1
) cắt (d
2
). Xác định toạ độ giao điểm I của chúng.
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (d
1
) và (d
2
)
Bài19: Cho hai đường thẳng (d
1
):






−=
−−=
+−=
tz
ty
tx
2
23
31
(t ∈ R) (d
2
):



=−+
=−−
01225
0823
zx
yx
Viết phương trình đường vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).

Bài20: Cho hai đường thẳng (d
1
):



=+−
=++
0104
0238
zy
zx
(d
2
):



=++
=−−
022
032
zy
zx
1) CMR: (d
1
) chéo (d
2
)
2) Tính khoảng cách giữa (d

1
) và (d
2
)
3) Viết pt mặt phẳng (P) chứa (d
1
), mặt phẳng (Q) chứa (d
2
) sao cho (P) // (Q)
4) Viết phương trình đường thẳng (d) // Oz và cắt (d
1
) và (d
2
).
Bài21: Cho (d):



=+−−
=−+−
01523
05
zyx
zyx
(P): -2x - 3y + z - 4 = 0
Hãy viết phương trình hình chiếu ⊥ của (d) lên (P)
Bài22: Cho O(0; 0; 0) A(6; 3; 0) B(-2; 9; 1) S(0; 5; 8)
1) CM: SB ⊥ OA.
2) CMR: hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (OAB) ⊥ OA. Gọi K là giao điểm của hình
chiếu đó với OA. Hãy xác định toạ độ điểm K.

3) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SO, AB. Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho PQ
và KM cắt nhau.
Bài23: Tìm hình chiếu vuông góc của A(-2; 4; 3) lên mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0
Bài24: Cho A(1; 2; 1) B(2; 1; 3) (P): x - 3y + 2z - 6 = 0
1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và ⊥ (P).
2) Viết phương trình chính tắc của giao tuyến giữa (P) và (Q). Tìm toạ độ điểm K đối xứng với A qua
(P).
Bài25: Cho A(a; 0; 0) B(0; b; 0) C(0; 0; c) (a, b, c > 0)
Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình
hộp đó.
1) Tính khoảng cách Từ C đến (ABD)
2) Tính toạ độ hình chiếu ⊥ của C xuống (ABD). Tìm điều kiện đối với a, b, c để hình chiếu đó nằm
trên mặt phẳng xOy.
Bài26: Cho (d):



=−−−
=−−−
017322
0322
zyx
zyx
(P): x - 2y + z - 3 = 0
1) Tìm điểm đối xứng của A(3; -1; 2) qua d.
2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P).
Bài27: Cho A(-1; 3; 2) ; B(4; 0; -3) ; C(5; -1; 4) ; D(0; 6; 1)
1) Viết phương trình tham số của BC. Hạ AH ⊥ BC. Tìm toạ độ điểm H.
2) Viết phương trình tổng quát của (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài28: Cho A(2; 3; -1) (d):

1
3
42
−
==
z
y
x
Lập phương trình đường thẳng qua A ⊥ (d) cắt (d).
Bài29: Cho A(-1; 3; -2) ; B(-9; 4; 9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.
Tìm điểm M ∈ (P) sao cho: AM + BM đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài30: Cho A(1; 1; 0) ; B(3; -1; 4) ; (d):
2
2
1
1
1
1 +
=
−
−
=
+ z
y
x
Tìm điểm M ∈ (d) sao cho: MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
V) MẶT CẦU:
Bài1: Cho tứ diện ABCD với A(3; 2; 6) ; B(3; -1; 0) ; C(0; -7; 3) ; D(-2; 1; -1).
1) CMR: tứ diện ABCD có các cặp đối vuông góc với nhau.
2) Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC).

3) Thiếp lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài2: Cho mặt phẳng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0
1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2) Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S).
3) Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P).
Bài3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D': A ≡ O ; B(1; 0; 0) ; D(0; 1; 0) ; A'(0; 0; 1). Gọi M là trung điểm
của AB và N là tâm hình vuông ADD'A'.
1) Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua các điểm C, D', M, N.
2) Tính bán kính đường tròn giao của (S) với mặt cầu đi qua các điểm A' , B, C, D.
3) Tính diện tích thiết diện của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cắt bới mặt phẳng (CMN).
Bài4: Cho (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z - 67 = 0
(d):



=+−
=−+−
032
0823
yx
zyx
(Q): 5x + 2y + 2z - 7 = 0
1) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S).
2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (Q).

VI) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN:
Bài1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD).
2) M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. CMR: MN // (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến
(SBD).
Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Biết rằng số đo góc nhị
diện (B, SC, D) bằng 150
0
.
1) Tính SA.
2) Tính số đo của các góc phẳng nhị diện: (S, BC, A) ; (S, BD, A) và (SAB, SCD).
3) Tính khoảng cách giữa SC và BD.
4) Tính khoảng cách giữa AC và SD.
Bài3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA = a, AD = 2a; SA ⊥ (ABCD).
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) và khoảng cách từ trung điểm I của cạnh SC đến
mặt phẳng (SBD).
2) Gọi M là trung điểm của CD, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM).
Bài4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và IS =
2
3a
. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Tính độ dài đoạn
vuông góc chung của:
1) NP và AC 2) MN và AP
Bài5: Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =
3
3a
, SO =
3

6a
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
1) CMR: ∆ASC vuông.
2) CMR: (B, SA, D) là nhị diện vuông.
3) Tính số đo góc phẳng nhị diện (S, BC, A).
Bài6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a, SA
= a
2
và vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng:
1) (SBC) và (ABC) 2) (SBC) và (SAB) 3) (SBC) và (SCD)
Bài7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với DC = 2a, AB = AD = a, SD
= a và vuông góc với đáy.
1) CMR: ∆SBC vuông và tính diện tích của tam giác đó.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a,
SA = a
6
và vuông góc với đáy.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
3) Tính khoảng cách từ A, D đến mặt phẳng (SBC).
4) Tính khoảng cách từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SCD).
5) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng α song song với mặt phẳng (SAB)
và cách (SAB) một khoảng bằng
4
3a
.
Bài9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M,
N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SBC).
3) Tính khoảng cách giữa AM và SC.
4) Tính khoảng cách giữa SM và BC.
Bài10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cận tại B với AB = a, SA = a
2
và vuông góc
với đáy. Gọi M là trung điểm AB. tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Bài11: Cho ∆ABC có đường cao AH = a
3
, đáy BC = 3a, BC chứa trong mặt phẳng (P). Gọi O là hình
chiếu của A lên mặt phẳng (P). Khi ∆OBC vuông tại O, tính góc giữa mặt phẳng (P) và (ABC).
Bài12: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là các hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là
trung điểm các cạnh BC, A'C', B'C'. Tính khoảng cách giữa:
1) A'B và B'C 2) A'B và B'C' 3) DE và AB' 4) DE và A'F
Bài13: Cho hình lăng trụ đều ABCD.A'B'C'D' cạnh đáy bằng a. Góc giữa AC' và đáy bằng 60
0
. Tính thể tích
và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
Bài14: Trong mặt phẳng α cho ∆ABC vuông tại A có BC = 2a, góc ACB = 60
0
. Dựng hai đoạn BB' = a, CC'
= 2a cùng vuông góc với α và cùng một phía đối với α. Tính khoảng cách từ:
1) A đến mặt phẳng (A'BC). 2) A' đến mặt phẳng (ABC').
3) B' đến mặt phẳng (ABC'). 4) C' đến mặt phẳng (ABB').
5) Trung điểm của B'C đến mặt phẳng (ACC').
6) Trung điểm của BC đến mặt phẳng (AB'C').