Khắc phục sai lầm khi giải bài toán dao động tắt dần

Khắc phục sai lầm khi giải toán Dao động tắt dần

2014

ne
t

I. Tìm hiểu dao động tắt dần
1. Hiện tượng
Một vật thực hiện quá trình dao động điều hoà là một quá trình lý tưởng, thực tế bất cứ một vật dao
động cơ học nào khi xảy ra trong môi trường cũng chịu tác dụng của lực cản mà kết quả làm cho vật
dao động với biên độ giảm dần. Dao động như vậy gọi là dao động tắt dần.
Xét một hệ dao động chịu tác dụng của lực cản của môi trường. Lực cản của môi trường ngược chiều
với chuyển động và tỉ lệ với vận tốc
F=−r.v
Trong đó r là hệ số tỉ lệ gọi là hệ số cản của môi trường.
2. Sai lầm trong giải toán dao động tắt dần
- Sai lầm 1: Coi dao động tắt dần sau mỗi chu kì chậm và coi trong mỗi chu kì đều dao động điều hòa.
- Sai lầm 2: Ngộ nhận VTCB sau mỗi chu kì đều là O (VTCB ban đầu).
- Sai lầm 3: Ngộ nhận “ theo đề ma sát nhỏ, dao động tắt dần chậm” nên coi: A0  A1  2. A0 và
A  A0  A1 (cái này vô lí không).
- Sai lầm 4: thường coi sai lầm 3 là đúng chứ không nghĩ rằng biên độ dao động tắt dần giảm theo cấp
2 mg
số cộng với công sai A 
(Vd cho con lắc lò xo).
k

ilie

u.

- Sai lầm 5: khi tìm vị trí dừng lại và quãng đường thường áp dụng định luật bảo toàn năng lượng toàn
phần trong cả quá trình chứ không ở chu kì thứ i nào cả.
3. Phương trình dao động tắt dần
Ta hãy thiết lập phương trình dao động tắt dần của con lắc lò xo. Trong trường hợp này, hợp lực tác
dụng lên quả cầu : F+Fc=−kx−rv
Phương trình cơ bản của chuyển động trong trường hợp này là: ma=−kx−rv
r
k
x ' x  0 =0
m
m

ta

m.x’’=−kx −r.x’ ⇔ x ''

hay:

(1)

w
w

w
.b

ox

Đặt : β=r/2m. Gọi là hệ số tắt dần
Phương trình (1) trở thành: x '' 2 x '  2 x  0 (2)

(2) gọi là phương trình vi phân của dao động tắt dần. Theo toán học giải tích, khi ω0>β, nghiệm
phương trình này có dạng : x  A0 .e  t cos(t   )
Đây là biểu thức độ dời của dao động tắt dần. Hằng số ω gọi là tần số của dao động tắt dần :
  02   2
2
2
Chu kỳ T của dao động tắt dần là : T 


02   2
4. Khảo sát dao động tắt dần
Đặt: A  A0 .e  t
Gọi là biên độ dao động tắt dần. Biên độ này giảm theo quy
luật hàm số mũ.
Để đặc trưng cho mức độ tắt dần của dao động, người ta đưa
ra một đại lượng gọi là giảm lượng lôga :
Giảm lượng lôga có trị số bằng lôga tụe nhiên của tỷ số giữa
hai giá trị liên tiếp của hai biên độ dao động cách nhau một
khoảng thời gian bằng một chu kỳ T
Ta có biểu thức :   ln

At
A .e  t
 ln 0   (t T )  ln e  T   T
A(t T )
A0 .e

Biên độ dao động giảm dần là do năng lượng của hệ trong
quá trình dao động giảm dần do phải thắng công các lực cản.

1

Sưu tầm, biên soạn: Nguyễn Duy Bắc

THPT Yên Dũng số 2

www.boxtailieu.net


Khắc phục sai lầm khi giải toán Dao động tắt dần

2014

w
w

w
.b

ox

ta

ilie

u.

ne
t

II. Vận dụng 1: Dao động tắt dần do ma sát khô ( thầy Nguyễn Bá Linh – Trần Hưng Đạo – HN)

2

Sưu tầm, biên soạn: Nguyễn Duy Bắc

THPT Yên Dũng số 2

www.boxtailieu.net


w
w

w
.b

ox

ta

ilie

u.

ne
t

Khắc phục sai lầm khi giải toán Dao động tắt dần

3

Sưu tầm, biên soạn: Nguyễn Duy Bắc

THPT Yên Dũng số 2

www.boxtailieu.net

2014


Khắc phục sai lầm khi giải toán Dao động tắt dần

2014

III. Vận dụng 2
Bài toán 1: Chứng minh Biên độ dao động tắt dần giảm theo cấp số cộng
Giả sử với con lắc lò xo nằm ngang dao động tắt dần khi có ma sát với hệ số ma sát µ
CM:
- Gọi A là độ giảm biên độ sau một lần đi qua VTCB lần thứ i thì A  Ai  Ai 1
- Độ giảm cơ năng của hệ trước và sau:
Với f ms   mg; S  Ai  Ai 1
- Biến đổi được: A  Ai  Ai 1 

1 2 1 2
kAi  kAi 1  Ams  f ms .S
2
2

2 mg

 const
k

- Như vậy: Biên độ dao động tắt dần giảm theo cấp số cộng với công sai là
2 mg
A  Ai  Ai 1 

k

N A0

2 A

ne
t

- Số dao động: n 

 const

ilie

u.

Bài toán 2: Một CLLX đặt trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng là µ.
Ban đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bẳng (Lò xo không biến dạng) một đoạn A 0 rồi buông nhẹ.
Tính quãng đường vật đi được từ lúc thả vật đến lúc dừng lại.
Bài giải:
mg
Gọi xo là vị trí tại đó lực đàn hồi có độ lớn bằng lực ma sát trượt, ta có: kxo = mg  xo =

k
2mg
= 2xo
k

ox

A =

ta

Gọi A là độ giảm biên độ trong 1/2 chu kì (mỗi khi qua VTCB), ta chứng minh được:

w
.b

Vật chỉ có thể dừng lại trong đoạn từ –xo đến xo. Ta chứng minh rằng nếu vật dừng lại tại vị trí có tọa
Ao2 – x2
độ là x thì đường đi tổng cộng là: s =
∆A

w
w

1
k(Ao2 – x2)
Ta có: k(Ao2 – x2) = mgs  s =
ĐPCM
2
2mg

Ao
= n + q (q < 1). Ta có các trường hợp sau:
∆A
1. q = 0 (Ao chia hết cho ∆A): vật chắc chắn dừng lại ở VTCB (các bạn tự CM), khi đó
Ao2
s=
∆A

Xét tỉ số

2. q = 0,5 (Ao là số ban nguyên lần ∆A): vật dừng lại ở vị trí có |x| = xo. Khi đó:
Ao2 – xo2
s=
∆A
3. 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước khi dừng của vật là An = q.∆A = xo + rΔA
(r = q – 0,5). Vật sẽ dừng trước khi qua VTCB. Ta có
1
k(An2 – x2) = mg(An – x)  An + x = = 2xo
2
 xo + rΔA + x = 2xo
 x = xo – rΔA = (1 –2 r)xo.
x=ΔA(1-q)

4

Sưu tầm, biên soạn: Nguyễn Duy Bắc

THPT Yên Dũng số 2

www.boxtailieu.net

Khắc phục sai lầm khi giải toán Dao động tắt dần

2014

Ao2 – x2
s=
với x tính được theo công thức trên
∆A

w
w

w
.b

ox

ta

ilie

u.

ne
t

4. 0 < q < 0,5: Trước đó ½ chu kì, biên độ của vật là : A n = ∆A + p. Vật dừng lại sau khi qua
VTCB 1 đoạn x. Ta có

1
k(An2 – x2) = mg(An + x) An – x = ∆A  x = p,
2
Vậy: S=(A02-p2)/ ∆A
k
Ví dụ: Con lắc lò xo nằm ngang có = 100(s2), hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và cùng
m
bằng 0,1. Kéo vật ra khỏi VTCB 1 đoạn Ao rồi buông. Cho g = 10m/s2. Tìm quãng đường tổng cộng
vật đi được trong các trường hợp sau:
1. Ao = 12cm
2. Ao = 13cm
3. Ao = 13,2cm
4. Ao = 12,2cm
Áp dụng cụ thể cho bài toán trên:
∆A = 2cm ; xo = 1cm
122
1. Ao = 12cm, chia hết cho A nên s =
= 72cm
2
2. Ao = 13cm, chia cho A ra số bán nguyên, vật dừng cách VTCB1 đoạn xo nên
132  12
s=
= 84cm
2
A
3. Ao = 13,2cm: o = 6,6. Biên độ cuối cùng là An = 0,6.A = 1,2cm . Vật dừng lại trước khi qua
A
VTCB
1
k(An2  x2) = mg(An  x)

 An + x = A
 x = 2  1,2 = 0,8cm
2
13.22  0.82
s=
= 86,8cm
2
4. Ao = 12,2cm. Biên độ cuối cùng là An1 = 2,2cm  vật dừng cách VTCB một đoạn x = 0,2cm
12.22  0.22
s=
= 74,4cm
2
IV. Vận dụng 3: Một số bài tập đáng lưu tâm trong cách ra đề thi Đại học
( Phần này tham khảo của thầy Đạt THPT Lạng Giang 1)

5

Sưu tầm, biên soạn: Nguyễn Duy Bắc

THPT Yên Dũng số 2

www.boxtailieu.net


w
w

w
.b

ox

ta

ilie

u.

ne
t

Khắc phục sai lầm khi giải toán Dao động tắt dần

6

Sưu tầm, biên soạn: Nguyễn Duy Bắc

THPT Yên Dũng số 2

www.boxtailieu.net

2014


w
w

w
.b

ox

ta

ilie

u.

ne
t

Khắc phục sai lầm khi giải toán Dao động tắt dần

7

Sưu tầm, biên soạn: Nguyễn Duy Bắc

THPT Yên Dũng số 2

www.boxtailieu.net

2014


w
w

w
.b

ox

ta

ilie

u.

ne
t

Khắc phục sai lầm khi giải toán Dao động tắt dần

8

Sưu tầm, biên soạn: Nguyễn Duy Bắc

THPT Yên Dũng số 2

www.boxtailieu.net

2014