Đ.A BAI TAP PP TOA DO TRONG MP

GV: Nguyễn Hữu Trung

ĐÁP ÁN BÀI TẬP P.PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Höõu Trung – Tröôøng THPT Vónh Ñònh

Lưu ý: Đa số các bài tập sau đây và các bài trong các đề thi ĐH hàng năm đều phải dựa vào hình vẽ để giải
quyết, có những bài phải bắt buộc dựa vào hình vẽ mới suy ra lời giải. Bởi thế, HS cần tập kỷ năng giải toán
trên hình vẽ, gạch ý chính sau đó mới trình bày lời giải.

DẠNG I: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trường hợp 1: Xác định được 1 điểm trên đường thẳng và VTPT hoặc VTCP(hoặc biết 2 điểm) để
viết PTTQ: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0
r
r
 x = x0 + u1t
. Nếu n = (a; b) thì u = (b; −a )
 y = y0 + u2t

PTTS: 

Trường hợp 2: Sử dụng PT đoạn chắn nếu có giao điểm với Ox,Oy:
Đường thẳng cắt Ox tại A(a; 0), cắt Oy tại B(0;b) có phương trình

x y
+ = 1 (ab ≠ 0)
a b

Trường
hợpr 3: Nếu bài toán có cho góc, khoảng cách thì phải tìm được hoặc gọi tọa độ VTPT
r
n = (a; b) ≠ 0 , giải và chọn a hoặc chọn b.

Trường hợp 4: Sử dụng phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường thẳng
*Lưu ý: Cho d: ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0)
→
-Nếu d’//d thì phương trình d’ có dạng: ax + by + c’ = 0(c’ ≠ c) hay 1 VTPT của d’ là n = (a; b)
→
-Nếu d’ ⊥ d thì phương trình d’ có dạng: bx - ay + c’ = 0 hay 1 VTPT của d’ là n = (b; -a)
-Nếu giả thiết cho đường phân giác thì dùng kỷ thuật lấy điểm đối xứng qua đường phân giác hoặc
dùng hai góc bằng nhau, hoặc dùng số đo góc

1
1
a.ha = ab.sin C
2
2
-Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đtròn tâm I, bán kính R ⇔ d(I, ∆ ) = R
-Hai điểm M,N nằm cùng phía đối với d ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + by N + c) > 0 . Dùng kết quả này để

-Khi cho diện tích tam giác, ta hay dùng S =

phân biệt đường phân giác trong hay ngoài của một tam giác.
-Nếu cho trực tâm ta dùng quan hệ vuông góc, cho trọng tâm ta dùng tính chất trọng tâm.
 pt AB
 pt AB
 pt AH
⇒A ;
⇒B ; 
⇒H
Bài 1: Gọi H là trục tâm ∆ ABC. Giải hệ 
 pt AH
 pt BH

 pt BH
 qua A
 qua B
 qua H
- Pt AC : 
- Pt BC : 
-Đường cao CH: 
 ⊥ BH
 ⊥ AH
 ⊥ AB
 qua A
 qua A
Bài 2: - Pt AB : 
, AC : 
 ⊥ CH
 ⊥ BH
 pt AB
 pt AC
⇒ B, 
⇒ C . Đt BC đi qua 2 điểm B, C
-Giải 
 pt BH
 pt CH
Bài 3: Vì A không nằm trên đ.chéo đã cho nên đó là đ/c BD.
 qua A
-AC : 
.Tìm được C là điểm đối xứng với A qua BD.
 ⊥ BD
-Viết pt đường tròn (C) đường kính AC, giải hệ (C) và BD suy ra B,D. Từ đó viết được pt các cạnh
Bài 4: Giả sử 2 cạnh đó là AB và AC. Giải hệ suy ra A

 qua O
 pt AB
 qua B
r
⇒ B . Pt BC  r uuu
-Đcao BO 
. Giải hệ 
 n = OA
 ⊥ AC
 pt BO
Bài 5: (Sử dụng kỷ thuật điểm đối xứng qua đường phân giác)
Gọi M’ là điểm đx với M qua AD thì M’ ∈ AB. Tìm được M’
Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng

1


GV: Nguyễn Hữu Trung
 qua M '
 pt AB
 qua M
r
⇒ A . Phương trình AC :  r uuuu
-Pt AB : 
. Giải hệ 
u = AM
 ⊥ CH
 pt AD
-Giải hệ suy ra tọa độ C.
 qua B

uuur
uuuu
r
-Vì AD là phân giác trong nên AB = 2 AM ⇒ B. Phương trình BC :  r uuur
u = BC
Bài 6: Vẽ hình và giải trên hình vẽ
-Gọi D là giao điểm của trung tuyến BM(M là trung điểm BC) và phân giác trong CD. Giải hệ ⇒ D
-Gọi A’ là điểm đx với A qua CD ⇒ A’ ∈ BC. Tìm được A’
-Viết pt đt ∆ qua A và //CD. Tìm giao điểm P của ∆ với BM
-Vì M là trung điểm DP nên M(;) ⇒ C
BC đi qua 2 điểm A’, C đã biết tọa độ
Bài 7: (Dựa rvào khoảng cách, gọi VTPT)
ur
Gọi n = (a; b) là một VTPT của AB thì một VTPT của BC là n ' = (b; − a ) .
Phương trình AB, BC lần lượt là a(x – 4) + b(y – 5) = 0, b(x – 6) – a(y – 5) = 0\
S ABCD = 16 ⇔ d ( P, AB ).d (Q, BC ) = 16
Giải và chọn a hoặc b ⇒ pt đt AB
 qua B
Bài 8: Viết pt BC: 
( ∆ là trung trực của BC). Giải hệ suy ra trung điểm N của BC ⇒ tọa độ C
⊥ ∆
 qua M
r
Pt AC  r uuuu
u = AM
Bài 9: -Tìm được M’ đx với M qua AD thì M’ ∈ AC
 qua M '
-Pt AC: 
. Giải hệ suy ra tọa độ A
 ⊥ BH

-Viết pt AB rồi giải hệ để có B
C ∈ AC
⇒ C(Chú ý: AD là phân giác trong nên chọn C và M nằm cùng phía đối
-Từ 2 giả thiết 
 MC = 2
với AD)
Bài 10: Xem bài 6 dạng I
r
Bài 11: C1: Sử dụng góc giữa 2 đt để viết ptđt(Gọi n = (a; b) , góc giữa AC và BC = góc giữa BA và BC)
C2: Tìm được điểm N trên AB và MN//BC
Biết trung điểm của MN suy ra trung điểm I của BC, biết thêm tọa độ điểm B ⇒ C
AC đi qua 2 điểm C và M
Bài 12: Giả sử AH: 2x-3y+12=0
AM:2x+3y=0
Giải hệ suy ra A ⇒ pt đt AC(đã có A và C)
 qua C
-Pt BC: 
. Giải hệ ⇒ M , dùng công thức tọa độ trung điểm ⇒ B
 ⊥ AH
 qua A
-Pt AB :  r uuur
u = AB
 qua B
Bài 13: -Phương trình BC: 
.
 ⊥ AH
 qua C
-Pt AC : Giải hệ ⇒ C. Tìm được điểm B’ đx với B qua CD(B’ ∈ AC), AC :  r uuur
u = CB '
 qua A

-Pt AB : Giải hệ ⇒ A. Đường thẳng AB  r uuur
u = AB
Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng

2


GV: Nguyễn Hữu Trung
Bài 14:
-Tìm A,B: Vì A, B lần lượt thuộc (d1), (d2) nên A(a; -a), B(b;b+1)
uuu
r
uuu
r
 PB = 2.PA
r
uuu
r . Giải được a,b ⇒ A, B ⇒ pt đường thẳng d
2PA = PB ⇔  uuu
 PB = −2.PA
Bài 15: Vẽ hình để suy ra pp giải:
-Viết pt các đường phân giác ∆ , ∆ ’ của các góc tạo bởi d1 và d 2 .
qua P và / / d1
-Đường thẳng cần tìm : 
qua P và / / d 2
Bài 16: Xem bài 13
Bài 17: Tương tự như bài 15

DẠNG II: ĐƯỜNG TRÒN
Hai dạng pt đường tròn. Hai đường tròn tiếp xúc trong , hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Đường

thẳng ∆ tiếp xúc với đtròn tâm I, bán kính R ⇔ d(I, ∆ ) = R. Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 trục tọa
độ và nằm trong góc phần tư thứ nhất thì I(R; R), R > 0. Tính chất của tiếp tuyến. Phương trình trục
đẳng phương của 2 đtròn. Công thức phân đôi tọa độ về tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm.
Bài 1: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
1) R = d(I,d)
3x + 7
)
2) tâm I ∈ (d) nên I ( x; −
4
(C) đi qua A(1; 2), B(2; 1) nên IA = IB ⇒ x = ? ⇒ I và R = IA ⇒ pt
3) Gọi ptđ.tròn là: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (a 2 + b 2 - c > 0)
Thay vào và giải hệ 3 pt 3 ẩn ⇒ a,b,c(Chú ý kiểm tra đk)
Bài 2: Vì số lẻ nên sử dụng pt chùm đường tròn:
Đtròn đi qua giao điểm của (C1) và (C2) có pt dạng m(x2 + y2 - 2x + 2y - 2)+ n( x2 + y2 - 6y) = 0 (C)
Vì (C2) không tiếp xúc với d nên (C) không trùng (C2). Do đó m ≠ 0, chọn m = 1
Từ điều kiện tiếp xúc ⇒ n = ? ⇒ pt (C)
Bài 3:
Cách 1: Sử dụng pp vec tơ đơn vị để viết pt 2 đường phân giác trong. Tìm giao điểm của chúng suy ra tâm I, r
= d(I, AB).
Cách 2: Viết pttq AB,BC,CA.
Gọi I(a; b) là tâm đtròn nội tiếp ∆ ABC. Giải hệ 2 pt d(I,AB) = d(I,BC) = d(I,CA) ⇒ a,b
Bài 4: I ∈ d1 ⇒ I(a; 3-2a)
Giải d(I,d2) = d(I,d3) ⇒ a
Bài 5: Giải hệ ⇒ A,B
Vì ∆ ABC vuông tại B nên AC là đường kính ⇒ C là điểm đx của A qua tâm đtròn
Bài 6: Gọi A(m;n), B(p;q)
 m 2 + n 2 − 2m − 2n + 1 = 0
 2
uuur
uuur

 p + q2 + 4 p − 5 = 0
∈
∈
Vì A (C), B (C’) và MA = −2 MB nên ta có hpt: 
 m − 1 = −2( p − 1)
 n = −2q

Cách 2 : Sử dụng phép vị tự tâm M tỉ số k = -2
Bài 7: I ∈ d ⇒ I(a; 2a-5)
IA = IB ⇒ a ⇒ I, R
Bài 8: Bài toán quy về viết pt đt ∆ sao cho ∆ qua M và d(I, ∆ ) = R 2 − 3 = 1
Bài 9: Vẽ hình và tính bằng hình vẽ
Gọi H là trung điểm MN. Tính được IA, AM ⇒ MH(Công thức nghịch đảo bình phương đ/cao trong tam giác
vuông)

DẠNG III: TÌM ĐIỂM M THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng

3


GV: Nguyễn Hữu Trung
Bài 1:
-Tìm B: giải hệ
 qua M
-Tìm A: Viết pt AC: 
(Chú ý AC ≠ BD) rồi giải hệ ⇒ A
( AC , AB ) = ( BA, BD)
-Tìm C, D: Tìm tâm I của hcn ⇒ C, D đx với A, B qua I
uuur r

−3b − 4
0
Bài 2: Gọi B(
; b). Giải cos AB, u ∆ = cos45 ⇒ b
2
Bài 3: Viết phương trình AB, CD
M ∈ ∆ nên M(m; 3m-5)
1
1
S MAB = S MCD ⇔ AB.d ( M , AB ) = CD.d ( M , CD ) ⇒ m ⇒ M
2
2
Bài 4: B(b; b+3), C(c; c+1). Giải hệ AB = BC = CA ⇒ b,c
Bài 5:
*A = AB ∩ l A
*B = AB ∩ BC
*C:
+Tìm B’ đx với B qua l A
+Viết pt AB’ và giải hệ
Bài 6: A(3;a), C(3;c), a ≠ c, B(b; 3b-4), D(d; 6-d)
Giải hệ :
+Trung điểm AC và BD trùng nhau
+AC = BD
+AC ⊥ BD
Kq: A(3;3), B(2;2), C(3;1), D(4;2)
Bài 7: G(3y-1;y) . Công thức tọa độ trọng tâm ⇒ C(9y-8; 3y+2)
1
S ABC = AB.d (C , AB ) = 6 ⇒ y
2
Bài 8: Vẽ hình và tính được OA

Viết pt đtròn (C) tâm O, R = OA
Giải hệ đường thẳng, đtròn ⇒ A,B
C,D đx với A, B qua O
Bài 9:
Kiểm tra A ∉ d ⇒ d là đ/chéo chứa BD
-Tìm C là điểm đx với A qua BD
-Viết rpt đtròn đkính AC, giải hệ ⇒ B,D
Bài 10: Gọi n = (a; b) là 1 VTPT của AB
-AB qua M nên pt AB có dạng a(x – 1) + b(y – 1) = 0
-AD đi qua N và ⊥ AB nên pt AD có dạng b(x-2) – ay = 0
Vì AB = 2AD nên d(O,AD) = 2d(O,AB). Giải và chọn a hoặc b ⇒ pt
Bài 11: Gọi M là trung điểm BC thì AM ⊥ BC
-Viết pt AM rồi giải hệ suy ra M
1
SABC = AM .BC = 3 ⇔ BC = 6 2
2
⇒
-gt
B(b; b+3), C(c; c+3), b ≠ c.
Vì BC = 6 2 và M là trung điểm BC nên ta có hpt ......... ⇒ b,c
Bài 12: Phải vẽ và giải được trên hình vẽ, sau đó mới chuyển sang giải bằng tính toán.
Gọi J là trung điểm MN thì IJ//AB
 qua M
r
-Pt AB:  r ur
: x = 0(Oy)
u = IJ = (0; 22 / 3) ⇒ n = (1;0)
-Vì A,B ∈ AB nên A(0;a), B(0;b), a ≠ b. Vì C, D đx với A, B qua I nên C(4; 2-a), D(4; 2-b)
uuur uuur
 AC.BD = 0

⇒ a, b
Vì ABCD là hình thoi và AC = 2BD nên ta có hpt 
 AC = 2 BD
Bài 13: Gt ⇒ I(x; x), pt AB: y = 0
SABCD = 2.d(I,AB).AB = 4 (Chiều cao nhân với độ dài cạnh đáy tương ứng) ⇒ x = ?

(

)

Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng

4


GV: Nguyễn Hữu Trung
C, D đx với A, B qua I

DẠNG IV: CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP VÀ HYPEBOL
Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết M(8;12) ∈ (E) và MF1 = 20 (với F1 là tiêu điểm trái).
x2 y 2
HD: Gọi PTCT của elip (E) là 2 + 2 = 1(a > b > 0)
a
b
c
c
MF1 = a + .xM ⇔ a + .8 = 20 (1)
a
a
64 144

M ∈ (E) ⇔ 2 + 2 = 1(2)
a
b
Mặt khác, ta luôn có a 2 = b 2 +c 2 (3)
Giải hệ 3 pt ⇒ a,b ⇒ PTCT
Bài 2: (Bỏ: Viết phương trình Hypebol đó)
HD b:
Kiểm tra NO – NF2 = 2(Hằng số) ⇒ N nằm trên Hypebol có 2 tiêu điểm là O,F2; 2a = 2
x2
y2
Bài 3: ( E ) :
+
= 1 . Vì M ∈ (E) nên tọa độ M có dạng M(2sint; cost) (Lg hóa hay tham số hóa tọa độ)
4
1
Pt AB: x – 2y + 4 = 0
2 sin t − cos t + 2
1
SABC = AB.d ( M , AB ) đạt max ⇔ d(M,AB) =
đạt max
2
5
⇔ sint – cost đạt max (Vì sint – cost + 2 > 0)
⇔ sint – cost = 2 (Vì − a 2 + b 2 ≤ a.s inx + b.cos x ≤ a 2 + b 2 , ∀x ∈ R )
2
)
2
Bài 4: Vì A, B là các đỉnh nên tọa độ có dạng A(a; 0), B(0; b) ⇒
x y
phương trình AB: + = 1 hay bx+ay – ab = 0

a b
Giải t và được M( 2; −

Bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi ABA’B’ là R = d(O,AB) =

a 2b 2
a 2 + b2

a 2b 2
=4
a 2 + b2
Kết hợp thêm a 2 = b 2 + c 2 để giải ra a 2 và b 2
S = π R 2 = 4π ⇔

Bài 5: Gọi PTCT của elip (E) là
Giả thiết M ∈ (E) ⇔

x2 y 2
+
= 1(a > b > 0) .
a 2 b2

4 9
+ =1
a 2 b2

đường chuẩn là x + 8 = 0 ⇔ x = −

a
a2

= − = −8
e
c

Mặt khác a 2 = b 2 + c 2
Giải hệ 3 pt trên để được a 2 , b 2
x2 y2
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol ( H ) có phương trình 2 − 2 = 1 và M là điểm bất kỳ thuộc
a
b
(H). Gọi d1, d2 là các đường thẳng đi qua M và song song với các đường tiệm cận của (H). Chứng minh rằng
hình bình hành tạo bởi d1, d2 và các đường tiệm cận của (H) có diện tích không đổi.

DẠNG V: CÁC BÀI TOÁN VỀ PARABOL
Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng

5


GV: Nguyễn Hữu Trung
Bài 1: Viết PTCT của (P) trong mỗi trường hợp sau:
a)(P) có tiêu điểm F(5; 0)
b)(P) đi qua điểm M(1; -3)
c)(P) có tham số tiêu p = ¼
d)Đường chuẩn x = -3
2
Bài 2: Cho(P): y = 2 x và (d): x – 2my – 1 = 0. CMR, d luôn đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại 2 điểm
phân biệt A,B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB.
Bài 3: Tìm tham số tiêu của (P) có tiêu điểm F(1;2) và đường chuẩn ∆ : 3x – 4y – 5 = 0
Bài 4: CMR, nếu đường thẳng (d): y = mx – m cắt (P): y 2 = 4 x tại 2 điểm phân biệt A, B thì

AB = x A + xB + 2 (Lưu ý d đi qua F nên áp dụng đ/n ta được đpcm). Khoảng cách từ trung điểm I của AB đến
1
đường chuẩn bằng AB . Từ đó có nhận xét gì về đường tròn đường kính AB.
2
Bài 5: CMR (P): y 2 = 4 x cắt Parabol (P’): x 2 + 8 x − 4 = 16 y tại 4 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn.
Xác định tâm và bán kính đường tròn đó.
37 126
Bài 6: Tìm M∈ (P): y 2 = 64 x và N∈ (d):4x + 3y + 46=0 để MN ngắn nhất(ĐS:M(9;-24),N( ; −
)
5
5

VI: ĐỀ THI TUYỂN SINH CÁC NĂM 2002 - 2010
Bµi 1(D/2010).Cho điểm A(0; 2) và d là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu của A lên d. Viết phương
trình đường thẳng d, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.

* C1 : GọiuH(x
; y ) là hìnhuuuchiếu
của A xuống ∆
uur 0 0
r
Ta có : AH = ( x0 ; y0 − 2), OH = ( x0 ; y0 )

uuur uuur
2
2
2
 AH .OH = 0
 x0 + y0 ( y0 − 2) = 0
 x0 + y0 − 2 y0 = 0

⇒
⇔ 2
Do gt : 
2
2
 x0 − 4 y0 + 4 = 0
 AH = d ( H , Ox)  x0 + ( y0 − 2) = y0
  y0 = −1 + 5

  x02 = −8 + 4 5
 y0 = −1 ± 5
 y02 + 2 y0 − 4 = 0
⇔ 2
⇔ 2
⇔
  y0 = −1 − 5
 x0 − 4 y0 + 4 = 0
 x0 = 4 y0 − 4
 2

  x0 = −8 − 4 5 < 0 (loai )

x = ± 4 5 − 8
⇔ 0
⇒ H ± 4 5 − 8; −1 + 5 .Phương trình ∆ : ( 5 − 1) x ± 4 5 − 8 y = 0

 y0 = −1 + 5

)

(

* C2 :
• ∆ ≡ Oy ⇒ H ≡ A : không thoả AH = d(H, Ox)
• ∆ ≡ Ox ⇒ H ≡ O : không thoả AH = d(H, Ox)
• Pt ∆ : y = kx (k ≠ 0)
 AH ⊥ ∆
1
⇒ y =− x+2

k
 AH qua A

2k

x
=
 y = kx
2

 2k
2k 2 
k +1

⇔
⇒
H
;
1


Toạ độ H = ∆ ∩ AH thoả hệ 
 2
÷
2
2
 k +1 k +1 
 y = − k x + 2
 y = 2k
k 2 +1

2

2

2

2k 2
 2k   2k
AH = d ( H ; Ox ) ⇔  2 ÷ +  2
− 2÷ = 2
⇔ k 4 − k 2 −1 = 0
k
+
1
k
+
1
k
+
1


 


Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng

6


GV: Nguyễn Hữu Trung
 2 1+ 5
k =
2+2 5
2
⇔
⇔k =±
2
 2 1− 5
< 0 (loai )
k =

2

Vậy ∆ : y = ± 2 + 2 5 x
2

Bài 2.Cho tam giác ABC, biết A(2; -1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc C lần
lượt là : db: x – 2y + 1 = 0 ; dc: x + y + 3 = 0. Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.
HD : Tìm A1 là điểm đx với A qua db
A2 là điểm đx với A qua dc

BC đi qua 2 điểm A1A2.
Bài 3(A-2006).Trong mặt phẳng cho ba đường thẳng d1 : x + y + 3 = 0; d 2 : x − y − 4 = 0; d 3 : x − 2 y = 0.
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d 3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d 1 bằng hai lần
khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
M ∈ d3 ⇒ M(2m ;m)
d(M,d1) = 2.d(M,d2) ⇒ m
Baøi 4(A/2002).Trong mặt phẳng vơi hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy,xét tam giác ABC vuông tại A.Phương
trình đường thẳng BC là 3x − y − 3 = 0 ,các đỉnh A,B ∈ trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng
2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC .
1
HD: Vẽ hình và dựa vào hv để giải, dùng 2 lần công thức tính S: S = AB. AC = pr
2
⇒
B là gđ của BC với Ox
B(1; 0)
A ∈ Ox ⇒ A(a; 0), a ≠ 1
A là hình chiếu của C lên Ox và C ∈ BC nên C( a; a 3 − 3 )
1
S = AB. AC = pr (Biểu diễn theo a và giải được a ⇒ A,C ⇒ G)
2
Bài 5(B/2003): Cho hcn ABCD có tâm I(1/2; 0), pt đường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa
độ các đỉnh A, B, C, D biết A có hoành độ âm.
HD: Tính được AD = 2d(I,AB) =

5 ⇒ AB = 2 5 ⇒ IA = 5/2

Viết phương trình đtròn (C) đkính AC
A, C là các giao điểm của AC với (C)
B,D: lấy đx của A,C qua I
Bài 6(A/2004).Cho A(0; 2) và B( − 3 ; -1). Tìm trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ OAB.

uuur uuur
 AH .OB = 0
⇒ x, y ⇒ H
r
Gọi H(x; y) là trực tâm ∆ ABO. Giải hệ  uuur uuu
 BH .OA = 0
Gọi I(a ; b) là tâm đtròn ngoại tiếp ∆ ABO. Giải hệ IA = IB = IO ⇒ a, b ⇒ I
Bai 7(B/2004).Cho hai đường thẳng d: x - 2y - 1 = 0 và điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm trên d điểm M để tam giác
MAB có diện tích bằng 15 .
AB = 5 và phương trình AB: 4x + 3y – 7 = 0
M ∈ d ⇒ M(2m+1; m)
1
SMAB = AB.d ( M , AB ) = 15 ⇔ d(M,AB) = 6 ⇔ m = ?
2
Bài 8(D-2004).Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(-1; 0), B(4; 0) và C(0; m) với m ≠ 0. Gọi G là trọng
tâm ∆ ABC. Tìm m để ∆ GAB vuông tại G .
HD: Dùng công thức tọa độ trọng tâm và tích vô hướng
Bài 9(A/2005): Cho d: x – y = 0 và d’: 2x + y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết A thuộc d,
C thuộc d’ và B, D thuộc Ox.
7
Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng


GV: Nguyễn Hữu Trung
-Vẽ hình
- A ∈ d ⇒ A(a;a) ⇒ C(a; -a) (Vì C đx với A qua BD hay Ox)
C ∈ d’ ⇒ 2a – a – 1 = 0 ⇒ a = 1 ⇒ A(1; 1) và C(1; -1)
-Gọi B(b; 0) và D(d; 0), b ≠ d
Từ 2 gt: AC và BD có chung trung điểm và AC = BD ta lập hệ và giải được b = 0, d = 2 hoặc b = 2, d = 0
Bài 10(B/2005): Cho A(2; 0) và B(6; 4). Viết pt đường tròn (C) tiếp xúc với Ox tại A và khoảng cách từ tâm

của (C) đến B bằng 5.
Vẽ hình để suy ra I(2; b). Giải IA = IB ⇒ b ⇒ Tâm I và bán kính R
x2 y2
+
= 1 . Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng A, B đối
4
1
xứng nhau qua Ox và tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 11(D/2005): Cho C(2; 0) và elip (E):
Gọi A(a; b) thì B(a; -b), b ≠ 0
Vì A, B ∈ (E) nên

a 2 b2
+ = 1 (1)
4 1

∆ ABC đều nên AB = AC (2)
Giải hệ bằng cách rút b2 ta được a,b
Bi 12(A-2006): Giống bài VI.2
Bài 13(B/2006): Cho (C) có phương trình x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0 và điểm M(-3; 1). Gọi A, B là các tiếp
điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết pt đt AB.
*Cách 1: Sử dụng pt trục đẳng phương của 2 đường tròn
Viết pt đtròn (C’) đường kính IM(I là tâm đtròn (C)): x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 0
Đường thẳng AB là trục đẳng phương của 2 đtròn nên x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = x 2 + y 2 + 2 x − 4 y
⇔ 2x + y – 3 = 0
uu
r
*Cách 2: Gọi A( x0 ; y0), đường thẳng MA đi qua A và nhận IA làm VTPT nên có pt

x0 x + y0y – (x + x0 ) – 3(y + y0) + 6 = 0
MA đi qua M(-3; 1) nên 2 x0 + y0 – 3 = 0
Tương tự nếu gọi B(xB; yB) thì 2xB + yB – 3 = 0
Vì tọa độ A, B thỏa mãn pt đt d: 2x + y – 3 = 0 nên pt AB là 2x + y – 3 = 0
*Cách 3: Viết pt 2 tiếp tuyến, tìm 2 tiếp điểm A, B sau đó viết pt
*Cách 4: Viết pt đường tròn đường kính IM, giải hệ pt của 2 đtròn để tìm A, B ⇒ pt
Bài 14(D/2006): Cho (C) có phương trình x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 và đt d: x – y + 3 = 0. Tìm điểm
M trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính của (C) và tiếp xúc ngoài với (C).
HD:

(C) có tâm I(1;1), R = 1
M ∈ d nên M(m; m+3)
đường tròn tâm M, bán kính R’ = 2R = 2 tiếp xúc ngoài với (C) ⇔ IM = R + R’
⇔ m=?

Bài 15(A/2007): Cho tam giác ABC có A(0; 2), B(-2; -2) và C(4; -2). Gọi H là chân đường cao
Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng

8


GV: Nguyễn Hữu Trung
kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Viết pt đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
HD: Tìm tọa độ của H, M, N sau đó viết phöông trình đtròn đi qua 3 điểm
Bài 16(D/2007): Cho đường tròn (C): ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9 và đường thẳng d: 3x – 4y + m = 0.
Tìm m để trên d có duy nhất điểm P sao cho từ P kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB đến (C) và tam giác PAB
đều(A, B là các tiếp điểm).
HD:

I(1; -2), R=3

∆ PAB đều nên IPA = 300 ⇒ IP = 6
⇒ P nằm trên đtròn (C’) tâm I bán kính R’ = 6(P cũng thuộc d)
Trên d có duy nhất điểm P thỏa mãn ycbt ⇔ d tiếp xúc với (C’)
⇔ d(I, d) = 6
 m = 19
⇔ 
 m = −41

Bài 17(A/2008): Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng

5
và hình chữ nhật
3

cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
HD: Gọi PTCT của (E) là

x2 y 2
+
= 1(a > b > 0)
a 2 b2


c
5
e = =
a
3

x2 y 2

Từ gt, ta có hpt:  2(2a + 2b) = 20 . Giải hệ ta được a 2 và b 2 ⇒ PTCT
+
=1
9
4
a 2 = b 2 + c 2


Bài 18(B/2008): Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC, biết rằng hình chiếu vuông góc của
C lên AB là điểm H(-1; -1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và
đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0.
HD: Vẽ hình và giải được bằng hình vẽ. Đặt lA: x – y + 2 = 0 và hB: 4x + 3y – 1 = 0
-Tìm điểm H’ đx với H qua lA (H’ ∈ AC)
 qua H '
-Viết ptrình AC: 
 ⊥ hB
-Giải hệ lA và AC ⇒ A
 qua H
-Viết pt HC  r uuur
 n = AH
Bài 19(A/2009): Cho (C) có phương trình x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 và đt d: x + my – 2m + 3 = 0,
m là tham số thực. Gọi I là tâm đường tròn. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B và
tam giác IAB có diện tích lớn nhất.
HD : Vẽ hình và giải trên hình vẽ
1
S IAB = .IA.IB.sin I = sin I .
2
Vậy SIAB đạt được GTLN khi và chỉ khi I = 900 ⇔ ∆ IAB vuông tại I
Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng

9


GV: Nguyễn Hữu Trung
⇒ AB = 2
⇒ d(I,d) = AB/2 = 1
⇒ m = 0 hoặc m = 8/15
2
2
Bài 20(B/2009): Cho đường tròn (C): ( x − 2) + y =

4
và hai đt d: x – y = 0, d’: x – 7y = 0. Xác
5

định tọa độ tâm K và tính bán kính đường tròn (C’), biết (C’) tiếp xúc với d, d’ và tâm K ∈ (C).
HD : Gọi K(a ; b)
2
2
K ∈ (C) ⇒ ( a − 2) + b =

4
(1)
5

(C’) tiếp xúc với d, d’ ⇔ d(I,d)=d(I,d’)
a−b

⇔

2

=

a − 7b
50

(2)

Giải hệ trên ta được a = 8/5 và b = 4/5
Bài 21(D/2009): Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm AB. Đường trung tuyến và đường
cao kẻ từ A có phương trình 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết pt đường thẳng AC.
(Xem Đ.A trên địa chỉ violet.vn/trunghoa7886)
Bµi 22(A/2010) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d 1: 3 x + y = 0 , d2: 3 x − y = 0 . Đường tròn
(T) tiếp xúc với d1 tại A và cắt d2 tại B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình đường tròn
3
(T), biết diện tích tam giác ABC bằng
và điểm A có hoành độ dương.
2
HD: A ∈ d1 ⇒ A (a; −a 3 ) (a>0)
Pt AC qua A ⊥ d1 : x − 3 y − 4a = 0
AC ∩ d2 = C(−2a; −2 3a )
 a a 3
Pt AB qua A ⊥ d2 : x + 3 y + 2a = 0 , AB ∩ d2 = B  − 2 ; − 2 ÷÷


3
1
 1


 2

S ∆ABC =
⇔ BA.BC = 3 ⇔ a =
⇒ A
; −1 ÷ ; C  −
; −2 ÷
2
3
3
 3



2

2

3
1  
3
 −1

⇒ Tâm I 
; − ÷ ; ¡ = IA = 1⇒ Pt (T ) :  x +
+  y + ÷ =1
÷
2
2 3 
2 3 2


Câu VI.b-Ban A). Cho ∆ ABC cân tại A(6; 6). Đường thẳng đi qua trung điểm của AB và AC có phương
trình x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ B, C biết điểm E(1; -3) thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC.
HD: Phương trình đường cao AH : 1(x – 6) – 1(y – 6) = 0 ⇔ x – y = 0
x−y=0
Gọi K là giao điểm của IJ và AH (với IJ : x + y – 4 = 0), suy ra K là nghiệm của hệ x + y = 4
⇒ K (2; 2)
x = 2x − x = 4 − 6 = −2
K là trung điểm của AH ⇔ y H = 2y K − y A = 4 − 6 = −2 ⇔ H (-2; -2)
H
K
A

{

{

Phương trình BC : 1(x + 2) + 1(y + 2) = 0 ⇔ x + y + 4 = 0
Gọi B (b;
Do H u
làuurtrung điểm của BC ⇒ C (-4 – b; b); E (1; -3)
uuu
r-b – 4) ∈ BC
Ta có : CE = (5 + b; − b − 3) vuông góc với BA = (6 − b; b + 10)
⇒ (5 + b)(6 – b) + (-b – 3)(b + 10) = 0
⇒ 2b2 + 12b = 0 ⇒ b = 0 hay b = -6
Vậy B1 (0; -4); C1 (-4; 0) hay B2 (-6; 2); C2 (2; -6)
Bµi 23(B/2010) Cho tam giác ABC vuông tại A, đỉnh C(-4; 1),đường phân giác trong góc A có phương trình
x + y – 5 =0. Viết phương trình đthẳng BC, biết SABC = 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng

10


GV: Nguyễn Hữu Trung
HD: Gọi A(a; 5-a), a > 0.
r
r
B
Đường phân giác trong của góc A có VTPT n = (1;1) ⇒ u = (1; −1)
uuu
r r
2 ⇒
a = 4 ⇒ A(4; 1)
cos CA, u =
2
C
A
⇒ AC = 8
Mà diện tích ∆ABC = 24 nên AB = 6.
Mặt khác, AB ⊥ AC hay AB ⊥ trục hoành nên B(4; b).
d
b = 7
AB = 6 ⇔ 
(Loại b = -5 vì B và C phải nằm khác phía đối với đường phân giác trong)
 b = −5
Vậy phương trình của BC là: 3x + 4y – 16 = 0

(

)

Câu VI.b(Ban A). Trong mp Oxy cho điểm A(2; 3 ) và (E): 2 x 2 + 3 y 2 − 6 = 0 . Gọi F1, F2 là các tiêu
điểm trái, phải của (E); M là giao điểm có tung độ dương của AF1 với (E), N là điểm đối xứng
của F2¸qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2.
x2 y 2
HD: ( E ) : +
= 1 ⇒ c2 = a 2 − b2 = 3 − 2 = 1
3
2
Do đó F1(-1; 0); F2(1; 0); (AF1) có phương trình x − y 3 + 1 = 0
uuur 
uuur uuur
1  uuur
 2 
 4 
1;
NA
=
1;
−
⇒ M  1;
⇒
N
⇒
÷

÷

÷; F2 A = 1; 3 ⇒ NA.F2 A = 0

3
3
3



⇒ ∆ANF2 vuông tại A nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có đường kính là F2N. Do đó đường tròn có
2
2 
4

2
phương trình là : ( x − 1) +  y −
÷ =3
3


(

)

Bµi 24(D/2010): Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có điểm A(3; -7), trực tâm H(3;-1), tâm
đường tròn ngoại tiếp là I(-2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C biết hoành độ C dương.
HD: * C1: Nối dài AH cắt đường tròn (C) tâm I tại điểm H'
⇒ BC đi qua trung điểm HH'.
Phương trình AH : x = 3
Đường tròn (C) có pt : ( x + 2) 2 + y 2 = 74
H' là giao điểm của AH và đường tròn (C)
⇒ H' (3; 7)
Đường thẳng BC có phương trình : y = 3 cắt

đường tròn (C) tại điểm C có hoành độ là nghiệm
phương trình : ( x + 2) 2 + 32 = 74
⇒ x = 65 − 2 (lấy hoành độ dương); y = 3.
Vậy C ( 65 − 2 ; 3)
* C2: Gọi (C) là đường tròn tâm I(−2;0),
bán kính R = IA = 74
Pt đường tròn (C) : ( x + 2) 2 + y 2 = 74
Gọi AA1 là đường kính ⇒ BHCA1 là hình bình hành
⇒ HA1 qua M trung điểm BC
Ta có IM là đường trung bình của ∆A1AH
uuur 1 uuur
 xM = −2
⇔ M (−2;3)
Nên : IM = AH ⇔ 
2
 yM = 3
Pt BC qua M và vuông góc AH : y − 3 = 0

Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng

11


GV: Nguyễn Hữu Trung
( x + 2) 2 + y 2 = 74
 x = −2 + 65

⇔
Toạ độ C thoả hệ phương trình :  y − 3 = 0
. Vậy C ( 65 − 2 ; 3)

 y = 3
x > 0


CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !!!

Hướng dẫn giải bài tập PP tọa độ trong mặt phẳng

12