Quy hoạch thực nghiệm

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM
Môn học: TỐI ƯU HÓA

Đề tài:

QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM
Thực hiện: Nhóm 7


1. Một số khái niệm xác suất.
2. Khái niệm về nhận dạng một mô hình thống kê.
3. Phương pháp bình phương bé nhất.
4. Mô hình hồi quy tuyến tính đơn.
5. Mô hình hồi quy tuyến tính bội.


1

1. Một số khái niệm về xác suất
1.1. Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên A trong phép thử

Định nghĩa cổ điển về xác suất: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và có tất cả n kết cục như vậy. Kí
hiệu m là số các kết cục thuận lợi cho biến cố A. Khi ấy xác suất của biến cố A là:

P(A) =

Xác Suất P(A) là một số thực thuộc khoảng (0,1).

Biểu thị mức độ chắc chắn của sự kiện A trong một lần thực hiện phép thử .

2

1. Một số khái niệm về xác suất
1.1. Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên A trong phép thử

Ví dụ: Trong một túi có 3 viên bi đỏ, 7 viên bi vàng. Tính xác suất bốc ngẫu nhiên một viên bi là bi đỏ?

Giải:
Gọi A là biến cố bốc ngẫu nhiên được bi đỏ.
Xác suất của biến cố A là:
P(A) = = = 0,3


3

1. Một số khái niệm về xác suất
1.2. Đại lượng ngẫu nhiên

•

Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu nhiên nhận một số giá trị với các xác suất tương ứng xác
định.

•

Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.

•

Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số.

4

1. Một số khái niệm về xác suất
1.3. Kỳ vọng toán

Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X ký hiệu là E(X) và được xác định như sau:
E(X) =
là biến
ngẫucủa
nhiên
rờingẫu
rạc. nhiên X khi thực hiện phép thử tương ứng.
Ý nghĩa: E(X) là giá trị trung bìnhnếu
(về X
mặt
xác suất)
biến
nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục.


5

1. Một số khái niệm về xác suất
1.4. Phương sai

Phương sai là thông số dùng để đo độ phân tán các giá trị mà X có thể nhận được xung quanh giá trị trung bình.
D(X) =

1.5. Độ lệch chuẩn

Ký hiệu là , được tính bằng công thức:
=


6

1. Một số khái niệm về xác suất
1.5. Ví dụ

Giá trị biến ngẫu nhiên Xi
Phân phối xác suất Pi

1

2

3

5

0,2

0,4

0,3

0,1

Kỳ vọng: E(X) = = 1.0,2 + 2.0,4 + 3.0,3 + 5.0,1 = 2,4.
Phương sai: D(X) =
2
2
2
2
= (1-2,4) .0,2 + (2-2,4) .0,4 + (3-2,4) .0,3 + (5-2,4) .0,1 = 1,18.
Độ lệch chuẩn: = = .


7

1. Một số khái niệm về xác suất
1.6. Quy luật phân bố chuẩn

Biến ngẫu nhiên liên tục được gọi là tuân theo quy luật phân bố chuẩn với 2 tham số là a và khi và chỉ khi hàm mật độ xác
suất của X là:

Ý nghĩa: a là kỳ vọng của X trong phân bố chuẩn, là độ lệch chuẩn.


8

1. Một số khái niệm về xác suất
1.6. Quy luật phân bố chuẩn

Đồ thị của f(x) có dạng như sau:


9

2. Khái niệm về nhận dạng một mô hình thống kê
2.1. Các loại biến

Khi nghiên cứu một hệ thống mà ta chưa biết quy luật hoạt động của các mối quan hệ, bên trong giữa các phần tử của nó ta
thường coi nó như 1 hộp đen và mô tả nó bằng sơ đồ:

•
•

Các tín hiệu đầu vào x và
Các tín hiệu đầu ra y


10

2. Khái niệm về nhận dạng một mô hình thống kê
2.1. Các loại biến

Tín hiệu đầu vào người ta chia thành 2 loại:

•

Các biến điều khiển được, người nghiên cứu có thể điều chỉnh theo dự định. Được biều diễn bằng vector X. Ở đầu vào
mỗi vector là một điểm thí nghiệm gồm k yếu tố.X = [].
Nếu thực hiện một bộ gồm n điểm thí nghiệm thì ta có một ma trận thí

Với là giá trị của biến thứ i tại thí nghiệm thứ j

nghiệm như sau:

11

2. Khái niệm về nhận dạng một mô hình thống kê
2.1. Các loại biến

•

Các biến không điều khiển được: còn gọi là biến ngẫu nhiên, cũng giống như biến điều khiển được, biến ngẫu nhiên có thể
biều diễn bằng vector hoặc một ma trận. ký hiệu .
Trong quá trình tính toán để đơn giản, ta thường giả thuyết biến ngẫu

nhiên có :

Kỳ vọng E() = 0
Phương sai D( =
Phân phối chuẩn : (0,)

Các tín hiệu đầu ra (biến bị điều khiển) dùng để đánh giá đối tượng là một vectơ, ký hiệu trên hình là vector Y=[]. Chúng
thường được gọi là các hàm mục tiêu. Biểu diễn hình học của hàm mục tiêu được gọi là mặt đáp ứng (bề mặt biếu diễn).


12

2. Khái niệm về nhận dạng một mô hình thống kê
2.2. Phương trình hồi quy

•

Đặt Y = φ ( X1,X2,X3,….,Xk)

•

Dự đoán Y = φ ( X1,X2,X3,….,Xk) có thể là một trong các hàm có dạng đã biết nào đó hoặc là một tổ hợp của các hàm có
dạng đã biết ,tức là:
φ ( X1,X2,X3,….,Xk) =

•

Dựa vào kết quả của n thí nghiệm bằng một phương pháp nào đó xác định được tham số a j với độ tin cậy nhất định
,chẳng hạn :
’
a j aj (j= 1 m)

Khi đó ta nhận được : φ ( X1,X2,X3,….,Xk) =, được gọi là phương trình hồi quy thực nghiệm trong đó f( X 1,X2,X3,….,Xk) là
’
các hàm có dạng đã biết cần xác định a j bằng một phương pháp nào đó ,có độ tin cậy xác định được.


13

3. Phương pháp bình phương bé nhất
3.1. Giới thiệu chung

Gỉa sử có ma trận thí nghiệm a{ a1, a2…an}
Kết quả { y1, y2, …yn}
Kết quả thực tế { Y1, Y2, …YN}
=> Tồn tại sai số giữa ya và YN
=> Phương pháp bình phương bé nhất được dùng nhằm tìm kiếm sai số bé nhất có thể được.

14

3. Phương pháp bình phương bé nhất
3.2. Giải phương trình hồi quy Y= ax+b

Vì các cặp số (x1,y1), (x2, y2), … , (xn, yn) nhận được từ thí nghiệm chỉ là những giá trị gần đúng của x, y nên chúng không
hoàn toán là nghiệm đúng của phương trình y = ax + b nghĩa là:
y1 – ax2 – b = v1
y2 – ax2 – b = v2
………………..
yn – axn – b = vn

trong đó các vi là các sai số.
=> Phương pháp bình phương bé nhất nhằm xác định các các hệ số a và b sao cho tổng bình phương của các sai số nói
trên là bé nhất.


15

3. Phương pháp bình phương bé nhất
3.2. Giải phương trình hồi quy Y= ax+b

Nghĩa là: S = = min.
Như vậy a, b phải thỏa mãn hệ phương trình sau:

Rút gọn ta có hệ sau:

16

3. Phương pháp bình phương bé nhất
3.2. Giải phương trình hồi quy Y= ax+b

Đây là hệ 2 phương trình hai ẩn số a và b, n là số lần làm thí nghiệm.
Giải hệ này ta tìm được a và b như sau:

a= ;

b=


17

3. Phương pháp bình phương bé nhất
2
3.3. Giải phương trình hồi quy y= ax + bx+c

•
•
•

2
Hàm hồi quy có dạng Y = ax + bx + c
2
Sai số : v = (ax + bx + c ) – y với i = 1, 2 ,…, n
i
i
Tổng các bình phương của các sai số trên là bé nhất nghĩa là:

S = = min.
Như vậy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình sau:


18

3. Phương pháp bình phương bé nhất
2
3.3. Giải phương trình hồi quy y= ax + bx+c

Rút gọn ta được hệ phương trình chính tắc sau:


19

3. Phương pháp bình phương bé nhất
2
3.3. Giải phương trình hồi quy y= ax + bx+c

Giải hệ ta tìm được các giá trị của a, b, c
=> lập bảng dạng sau:


20

3. Phương pháp bình phương bé nhất
3.4. Ví dụ
0
Trong hợp kim, ta có bảng số liệu về phần trăm lượng chì và điểm chảy tương ứng q C .

Tìm quan hệ hàm giữa nhiệt độ và lượng chì trong hợp kim.

Giải bài toán trên bằng phương pháp bình phương cực tiểu?


21

3. Phương pháp bình phương bé nhất
3.4. Ví dụ

Giải:
Theo phương pháp bình phương cực tiểu có: q = a + a p
0
1
Lập bảng tính:


22

3. Phương pháp bình phương bé nhất
3.4. Ví dụ

Giải:
Vậy áp dụng công thức tính a và a ta được phương trình hồi quy như sau: q = 95,3530 + 2,2337p
0
1
Sai số của phương pháp:


23

3. Phương pháp bình phương bé nhất
3.4. Ví dụ

Giải:
Sai số xác suất được tính bởi công thức:

Vậy hàm hồi quy có dạng sau: q = 95,3530 + 2,2337p ± 1,7