Lượng giác hóa để chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, bất phương trình

Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

Một vài phương pháp lượng giác hóa ứng dụng trong đại số
-----------------------------------------------Một số trường hợp thường gặp

 x = sin α
Dạng 1 : Nếu x2 + y2 =1 thì đặt 
với α ∈ [ 0; 2π ]
 y = cosα
 x = a sin α
Dạng 2 : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) thì đặt 
với α ∈ [ 0; 2π ]
 y = acosα


 −π π 
 x = sin α , α ∈  2 ; 2 
Dạng 3 : Nếu x ≤ 1 thì đặt 


 x = cosα , α ∈ [ 0; π ]

 −π π 
 x = m sin α , α ∈  2 ; 2 
Dạng 4 : Nếu x ≤ m thì đặt 


 x = mcosα , α ∈ [ 0; π ]
Dạng

5 :Nếu

x ≥1

hoặc

bài

toán

có

chứa

x2 −1

thì

đặt

x=

1
với
cosα

 π   3π 
α ∈ 0;  ∪ π ; 
2

2








Dạng 6 :Nếu x ≥ m hoặc bài toán có chứa x 2 − m 2 thì đặt x =
 π   3π 
α ∈ 0;  ∪ π ; 
2
2






m
vớ i
cosα



Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức
 −π π 
x = tan α với α ∈ 
; 

 2 2

x 2 + 1 thì đặt

Dạng 8 : Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức
 −π π 
x = m tan α với α ∈ 
; 
 2 2

x 2 + m 2 thì đặt

I. chứng minh đẳng thức , bất đẳng thức
Bài 1:

Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có:

−

1
( a + b )(1 − ab )
1
≤
≤
2
2
2 (1 + a )(1 + b ) 2
Giải:

Đặt:

a = tgα , b = tgβ với

 π π
; .
 2 2

α, β ∈  −

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

1


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

( a + b )(1 − ab )
( tg α + tg β )(1 − tg α tg β )
=
2
2
(1 + a )(1 + b )
(1 + tg 2 α )(1 + tg 2 β )

Khi đó: A =

= cos2α cos2 β .

sin(α + β) 
sin α sin β 
.1 −

cos α cos β  cos α cos β 

= sin (α + β) . cos (α + β) =

Suy ra:

A =

Vậy:

-

1
sin (2α + 2β)
2

1
1
sin (2α + 2β) ≤
2
2

1
1
( a + b )(1 − ab )
≤

≤
2
2
2 (1 + a )(1 + b )
2

(đpcm).

Bài 2:
Chứng minh rằng nếu |x| < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có:
(1 + x)n + (1 – x)n < 2n

(1)

Giải:
Vì |x| < 1 nên có thể đặt x = cost với t ∈ (0; π)
và bất đẳng thức (1) được viết thành:
(1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n

(2)

t
t
2
Thay trong (2) 1 + cos t = 2cos 2 và 1 – cost = 2sin 2 ta được
2

t

2n t

+ sin 2 n  < 2n
2
2

t π
t
t
Bởi vì 0 < 2 <
nên 0 < sin 2 , cos 2 < 1 nên chắc chắn:
2
n
t 
t
2 t 
2n
2
cos 2 =  cos
 < cos 2 ∀n > 1. Tương tự ta có:
2

2n  cos

(3)

t
t
2
sin 2 < sin 2 ∀n > 1. Do đó
2n




2n  cos

2n

t
t
t
t

+ sin 2 n  < 2n  cos 2 + sin 2  = 2n
2
2
2
2


Vậy bất đẳng thức (3), cũng có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứng minh.

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

2


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

Bài 3: Chứng minh rằng từ 4 số thực cho trước ta luôn luôn chọn được hai số x, y trong 4
số đó sao cho:
0≤

x−y
≤1
1 + xy

(1)

Giải:
y1

Giả sử 4 số thực cho trước

y2

y3

y4 y5

là a ≤ b ≤ c ≤ d
Đặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với
-

π
π
< y1 ≤ y2 ≤ y3 ≤ y4 <
< y5 = π + y1
2

2

Các điểm y1, y2, y3 chia đoạn [y1; y1 + π] thành 4 đoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4;
y5]. Trong số 4 đoạn này phải có ít nhất một đoạn có độ dài không lớn hơn
0 ≤ y2 – y1 ≤

π
. Giả sử
4

π
. Thế thì:
4

0 ≤ tg (y2 – y1) ≤ 1 ⇔ 0 ≤

tgy 2 − tgy1
b−a
=
≤ 1
1 + tgy 2 tgy1 1 + ab

Đặt x = b, y = a ta được điều cần chứng minh.
Bài 4: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh:

 2 1   2 1  17
x + 2  + y + 2  ≥
x  
y  2


Giải:
Ta có: x + y =
để

x = cosa và

( x ) + ( y ) = 1, theo mệnh đề IV thì có một số a với
2

2

0 ≤ a ≤ 2π

y = sina.

Bất đẳng thức đã cho được viết thành:

1 

4
 cos a +
+
cos 4 a 

Ta có:

cos4a +

 sin 4 a + 1  ≥ 17



sin 4 a  2


1
1
1

4
4
4 
+
sin
a
+
=
(cos
a
+
sin
a)
1
+

4
4
4
4 
cos a
sin a

 sin a cos a 

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

3


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT




= (1 – 2sin2acos2a) 1 +

www.MATHVN.com

1
16 
  sin 2 2a 
= 1 −
1+




sin 4 a cos4 a  
2  sin 4 2a 

sin2 2a
1

Vì 0 < sin 2a ≤ 1 nên 1 ≥
2
2
2

và 1 +

16
≥ 17. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
sin 4 2a

Bài 5: Chứng minh với mọi cặp số thực x, y ta luôn có:

(

)

x2 + (x – y)2 ≥ 4 x 2 + y 2 sin2

π
.
10

Giải:
Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có:
4sin2

π 3− 5
π


= 2 1 − cos  =
.
5
2
10


Bất đẳng thức đã cho có thể viết:

3− 5


2



x2 + (x – y)2 ≥ (x2 + y2) 

(1)

Nếu y = 0 bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng.
Nếu y ≠ 0. Chia hai vế (1) cho y2 và đặt

có dạng: tg2a + (tga – 1)2 ≥

−π
π
x
= tga với

thì bất đẳng thức
2
2
y

3− 5
(1 + tg2a)
2

⇔ sin2a + (sina – cosa)2 ≥

3− 5
2

⇔ sin2a + 1 – 2sinacosa ≥

3− 5
2

⇔ cos2a + 2sin2a ≤
⇔

5

1
2
cos 2a +
sin 2a ≤ 1
5
5

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

(2)

4


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT
2

www.MATHVN.com

2

 1   2 
Bởi vì 
 +
 =1
5
5

 

vì vậy

1
2
π
= cosβ và

= sinβ. Với 0 < β <
2
5
5

Bất đẳng thức (2) có thể viết là: cos(2a - β) ≤ 1. Điều này hiển nhiên.
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng. (đpcm)
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện
a, b > c > 0 ta có bất đẳng thức:

c(a − c) + c( b − c) ≤

ab

(1)

Giải:
Vì a > 0, b > 0,

ab > 0 nên bất đẳng thức (1) tương đương với
c(a − c)
c ( b − c)
+
≤1
ab
ab
2

(2)

2

 c  a−c
 +
 =1
Nhận xét rằng 
 

a
a

 

Nên đặt

π
a−c
= sinu với 0 ≤ u ≤
a
2

c
= cosu ,
a
2

2

 c   b − c
 + 

 =1
Ta cũng thấy 
b 
 b 
Nên đặt

c
= cosv ,
b

π
b−c
= sinv với 0 ≤ v ≤ .
b
2

Khi đó (2) có thể viết thành

c a−c
+
b
a

c b−c
= cosv sinu + cosusinv ≤ 1
a
b

(3)

Bởi vì cosusinv + sinucosv = sin(u + v) ≤ 1 nên (3) luôn luôn đúng có nghĩa là (1)
đúng.

[

Bài 7: Chứng minh rằng: 4 a 3 −

] (

)

(1 − a 2 ) 3 − 3 a − 1 − a 2 ≤

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

2

5


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

Giải:
Điều kiện: 1 – a2 ≥ 0 ⇔ a ≤ 1
Đặt a = cosα, với α ∈ [0; π]
Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:

[

4 cos 3 α −

]

(1 − cos 2 α) 3 - 3(cosα - 1 − cos 2 α ) ≤

⇔ 4(cos3α - sin3α) – 3 (cosα - sinα) ≤

2

⇔ (4cos3α - 3cosα) + (3sinα - 4sin3α)≤
⇔ cos (3α -

2

2 ⇔cos3α + sin3α≤ 2

π
)≤ 1, luôn đúng.
2

Bài 8: Chứng minh rằng:

a 2 − 1 + 3 ≤ 2a
Giải:
Điều kiện:

a2 – 1 ≥ 0 ⇔ a ≥ 1.

Đặt

a =

π
1
, với α ∈ [0 ; ).
2
cos α

Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:

1
2
2
1
3
tg
3
−
+
≤
⇔
α
+
≤
cos 2 α
cos α
cos α

3
1
sinα +
cosα ≤ 1
2
2

⇔ sinα +

3 cosα ≤ 2 ⇔

⇔ sin (α +

π
) ≤ 1, luôn đúng.
3

Bài 9: Cho x2 + y2 = 1 ; u2 + v2 = 1. Chứng minh
a) xu + yv≤ 1.
b) xv + yu≤ 1.
c) –2 ≤ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) ≤ 2.
d) –2 ≤ (x + y) (u + v) – (x – y) (u – v) ≤ 2.
Giải:
Áp dụng mệnh đề IV. Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb
và 0 ≤ a, b ≤ 2π. Khi đó
a) xu + yv=cos(a – b)≤ 1.

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

6

Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

b) xv + yu=sin(a + b)≤ 1.
c) (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) = (cos a – sin a) (cos b + sin b) +
+ (cos a + sin a) (cos b – sin b) =

π
2 sin  − a  2 sin
4


=

 π + b +


4


π
π
2 cos  − a  2 cos  + b 
4

4


= 2cos (a + b)
Rõ ràng –2 ≤ 2cos (a + b) ≤ 2.
Bài 10:

(đpcm)

Chứng minh:
a) (a + b)4 ≤ 8(a4 + b4)
b) 32(a6 + b6) ≥ (a + b)6
c) (a + b)8 ≤ 64(a8 + b8)

Giải:
a) Với a = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu a ≠ 0 chia hai vế cho a và đặt tgx =

với

b
a

π
π
2
2

Bất đẳng thức đã cho tương đương với: (1 + tgx)4 ≤ 8(1 + tg4x)
⇔ (cos x + sin x)4 ≤ 8(cos4x + sin4 x)

(1)

Vì sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2x cos2x =

sin 2 2x 3 + cos 4 x
=1=
2
4
(sin x + cosx)4 = (1 + sin2x)2 =

3 + 4 sin 2 x − cos 4 x
2

(1) ⇔ 8(cos4x + sin4x) – (sin x + cos x)4
=

9 5
+ cos4x – 2sin2x ≥ 0.
2 2

Điều này hiển nhiên vì cos4x ≥ -1 và - sin2x ≥ -2.
b) c) Làm tương tự như a).
Bài 11: Chứng minh rằng

[

a 1 − b 2 + b 1 − a 2 + 3 ab − (1 − a 2 )(1 − b 2 )

]

≤2

Giải:

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

7


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

2
 a ≤ 1
1 − a ≥ 0
⇔


 b ≤ 1
1 − b 2 ≥ 0

Điều kiện:

a = sin α
, với α , β ∈ [0; π]

b
=
sin
β



Đặt

Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
sinα . 1 − sin 2 β + sin β. 1 − sin 2 α +
+ 3[sin α. sin β −
⇔ sinα.cosβ + sinβ.cosα +

(1 − sin 2 α)(1 − sin 2 β)

≤2

3 (sinα.sinβ - cosα.cosβ)≤ 2

⇔ sin(α + β) - 3 cos(α + β)≤ 2

1
2

⇔  sin(α + β) -

3
cos(α + β)≤ 1
2

π
3

⇔sin(α + β - )≤ 1 , luôn đúng.

Bài 12: Cho a1, a2,… a17 là 17 số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng ta luôn chọn
được hai số aj, ai từ 17 số đó sao cho
0<

a j − ai
1 + a ia j

< 4 − 2 2 −1

Giải:
Không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử a1 < a2 < … < a17
Đặt tgvi = ai với -

π
π
< vi <
i = 1, 2,…, 17
2
2
 π ; π  nên từ a < a <
1
2

 2 2

Do tính chất đồng biến của hàm số y = tgx trong khoảng  −

… < a17

suy ra -

π
π
< v1 < v2 < … < v17 < < v1 + π
2
2

Các điểm v2 , v3 , …, v17 chia đoạn [v1 ; v1 + π] thành 17 đoạn trong đó có ít nhất một
đoạn có độ dài không vượt quá

π
.
17

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

8


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

a) Nếu có một i với 1 ≤ i ≤ 16 sao cho 0 < vi+1 – vi ≤

www.MATHVN.com

π
17

thì

π
π
π
π
8 =1
0 < tg(vi+1 -vi) ≤ tg
< tg . Vì tg =
4
π
17
16
1 − tg 2
8
2 tg

π
π
π
16 =
suy ra tg = 2 - 1, tg =
π
8
8
1 − tg 2
16
2 tg

2 - 1 ⇒ tg

π

=
16

4 − 2 2 −1

Khi đó ta có
0 < tg(vi+1 – vi) =

tgv i +1 − tgv i

1 + tgv i +1 tgv i

=

a i +1 − a i

1 + a i a i +1

< 4 − 2 2 −1

Chọn aj = ai+1 ta được điều cần chứng minh.
b) Nếu 0 < v1 + π - v17 <

π
π
<
thì
17 16

0 < tg [(v1 + π) – v17] = tg(v1 – v17) < tg

π
16

Lúc này ta chọn aj = a1 và ai = a17 ta được điều cần chứng minh.
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi cặp số thực x, y ta đều có:

1 ( x 2 − y 2 )(1 − x 2 y 2 ) 1
− ≤
≤
4 [(1 + x 2 )(1 + y 2 )]2
4
Giải:
Đặt x = tgu , y = tgv với -

A=

π
π
< u, v <
thì biểu thức
2
2

( x 2 − y 2 )(1 − x 2 y 2 )

[(1 + x 2 )(1 + y 2 )]2

( tg 2 u − tg 2 v)(1 − tg 2 utg 2 v)
=

.
(1 + tg 2 u ) 2 (1 + tg 2 v) 2

sin 2 u sin 2 v 
 sin 2 u sin 2 v  
−
1
−



 cos 2 u cos 2 v   cos 2 u cos 2 v 

= cos4u. cos4v 

= (sin2u cos2v – sin2v cos2u) (cos2u cos2v – sin2u sin2v)
= (sinu cosv + sin v cos u)(sin u cos v – sin v cos u) ×
× (cos u cos v + sin u sin v) (cos u cos v – sin u sin v)

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

9


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

= sin(u + v) sin(u – v) cos(u – v) cos(u + v)

1
sin2(u + v) sin2(u – v)
4
1
1
Suy ra A = sin2(u + v)sin2(u – v) ≤
4
4
−1
1
Tức
≤A≤
4
4
1
Biểu thức A đạt giá trị lớn nhất bằng khi
4
=

2(u + v) = π
u = π

sin 2(u + v) = 1
x = 1

2
⇔ 
⇔ 
4 ⇔ 


sin 2(u − v) = 1
y = 0
2(u − v) = π
v = 0

2

hoặc

2(u + v) = − π
u = − π

sin 2(u + v) = 1
 x = −1

2
⇔ 
⇔ 
4 ⇔ 

sin 2(u − v) = 1
y = 0
2(u − v) = − π
v = 0

2

Biểu thức A nhận giá trị nhỏ nhất bằng -

1

khi:
4

2(u + v) = π
u = 0

sin 2(u + v) = 1
x = 0

2
⇔ 
⇔ 

π ⇔ 
sin 2(u − v) = −1
y = 1
2(u − v) = − π
v = 4

2

hoặc

2(u + v) = − π
u = 0

sin 2(u + v) = −1
x = 0

2

⇔ 
⇔ 

−π ⇔ 
sin 2(u − v) = 1
y = −1
2(u − v) = π
v = 4

2

Bài 14: Cho các số thực x, y không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng

−2 2−2≤

x 2 − ( x − 4 y) 2
≤2 2−2
x 2 + 4y 2

(1)

Với các giá trị của x, y như thế nào thì dấu đẳng thức xảy ra.
Giải:

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

10


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

1) Nếu x = 0 , y ≠ 0 thì − 2 2 − 2 < −4 =

Nếu x ≠ 0, y = 0 thì

www.MATHVN.com

x 2 − ( x − 4 y) 2
< 2 2−2
x 2 + 4y 2

x 2 − ( x − 4 y) 2
= 0 bất đẳng thức cũng đúng.
x 2 + 4y 2

Giả sử x ≠ 0, y ≠ 0 thì (1) tương đương với
2

2

 x  −  x − 2
  

2y   2y

 ≤ 2 2−2
−2 2−2≤
2
 x  +1
 
 2y 

(2)

x
= tga thì (2) trở thành:
2y

Đặt

tg 2 a − ( tga − 2) 2
≤2 2 -2
-2 2 − 2 ≤
1 + tg 2 a
⇔

- 2 2 - 2 ≤ cos2a [4tga – 4] ≤ 2 2 - 2

(3)

Vì cos2a[4tga – 4] = 4sinacosa – 4cos2a = 2sin2a – 2(1 + cos2a)
= 2(sin2a – cos2a – 1) =2

[


 2a − π  − 1 ∈ − 2 2 − 2; 2 2 − 2
2
sin




4  


]

nên (3) đúng, nghĩa là bất đẳng thức (1) đúng.
2) Từ các phép biến đổi trên đây cho thấy:

x 2 − ( x − 4 y) 2
π
x

= -2 2 - 2 khi sin  2a −  = -1 với tga =
2y
4
x 2 + 4y 2

Vì

-

π
π
− 5π
π 3π
π

⇒

< 2a <
nên sin  2a −  = -1
2
2
4
4 4
4


⇒ 2a-

π −π
−π
x
π
=
⇒a=
⇒
= tg −  = 1 8
4
2
2y
 8

2

⇒ x + 2y( 2 - 1) = 0
Tương tự như trên:

x 2 − ( x − 4 y) 2

π

= 2 2 - 2 khi sin  2a −  = 1
4
x 2 + 4y 2


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

11


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

π
π
2
tg
+
tg
3π
x
 3π 
4
8 = 1+ 2 −1 = 2 +1
a=
⇒
= tg   =

8
2y
 8  1 − tg π tg π 1 − ( 2 − 1)
4 8
⇒ x – 2y( 2 + 1) = 0
Bài 15: Chứng minh rằng với các số thực x, y, z tuỳ ý ta có

x−y

≤

1+ x 2 1+ y2

x−z
1+ x2 1+ z2

+

z−y
1 + z2 1 + y2

Giải:
Đặt x = tgα , y = tgβ , z = tgγ với -

π
π
< α, β, γ < .
2
2

Ta có:

x−y
1 + x 2 1 + y2

=

tgα − tgβ

= cosαcosβ sin α − sin β
cos α cos β
1 + tg 2 α 1 + tg 2β

=sinαcosβ - sinβcosα=sin(α - β)
Tương tự ta có:

x−z
1+ x2 1+ z2

= sin(α - γ),

z−y
1 + z2 1 + y2

=sin(γ - β)

Như vậy, chứng minh bất đẳng thức đã cho, đưa về chứng minh bất đẳng thức:
sin(α - β)≤ sin(α - γ)+ sin(γ - β)
với mọi

(*)

 π; π

 2 2

α, β, γ ∈  −

Ta có sin(u + v)=sinucosv + sinvcosu≤sinucosv+sinvcosu
≤ sinucosv+sinvcosu≤ sinu+ sinv
Để ý rằng α - β = (α - γ) + (γ - β).
Từ bất đẳng thức cuối cùng ta suy ra (*). (Đpcm)
Bài 16: Cho các số thực x, y thoả mãn
x2 + y2 = x 1 − y 2 + y 1 − x 2
Chứng minh:

3x + 4y ≤ 5

Giải:
Điều kiện xác định: 1 – y2 ≥ 0, 1 – x2 ≥ 0 tương đương –1 ≤ x, y ≤ 1

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

12


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

Nếu x ∈[-1; 0] hoặc y ∈ [-1; 0] hoặc x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0 bất đẳng thức hiển
nhiên đúng. Ta chỉ cần xét 0 < x < 1 và 0 < y < 1.

π
π
<α<
; 0 < β < π.
2
2

Đặt

x = cosα , y = sinβ với -

Từ

x2 + y2 = x 1 − y 2 + y 1 − x 2

Ta có:

cos2α + sin2β = cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α - β) ≤ 1

⇒ cos2α ≤ cos2β hoặc sin2β ≤ sin2α

π
π
π
hoặc - < α < 0 và 0 < β < ta có cosα > 0, cosβ > 0.
2
2

2

a) Nếu 0<α,β <

cos2α ≤ cos2β ⇔ cosα ≤ cosβ

3
5

3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 2cosβ + 4sinβ = 5  cos β +
= 5cos(β - ϕ) ≤ 5 trong đó cosϕ =
b) Nếu 0 < α <

4
sin β 
5


3
.
5

π π
,
< β < π ta có sinα > 0 , sinβ > 0 thì
2 2

sin2β ≤ sin2α ⇔ sinβ ≤ sinα
3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 3cosα + 4sinα = 5cos(α - ϕ) ≤ 5
c) Nếu -

π
π
<α<0,
< β < π thì sin α < 0 , sinβ > 0.
2
2

sin2β ≤ sin2α ⇔ sinβ ≤ -sinα
3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 3cosα - 4sinα = 5cos(α + ϕ) ≤ 5.

II. giải phương trình , bất phương trình :
Bài1: Giải bất phương trình :
1+ x − 1− x ≤ x
Giải :
Điều kiện :
1 + x ≥ 0
⇔ −1 ≤ x ≤ 1

1 − x ≥ 0
Đặt x=cost , t ∈ [ 0, π ]

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

13


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành :
1 + cos t − 1 − cos t ≤ cos t ⇔ 1 + cos t − 2cos 2

t
≤ cos t
2

t
t
t
t
⇔ 2(cos − sin ) ≤ cos 2 − sin 2
2
2
2
2
t
t
t
t
⇔ (cos − sin )(cos + sin − 2) ≥ 0
2
2
2
2
t π
t π
⇔ 2cos( + )[ 2cos( − ) − 2] ≥ 0
2 4

2 4
t π
t π
⇔ cos( + )[cos( − ) − 1] ≥ 0
2 4
2 4
t π
⇔ cos( + ) ≤ 0
2 4
⇔
⇔

π
2

π
2

≤

t π
+ ≤π
2 4

≤t ≤

3π
2

⇔ −1 ≤ cos t ≤ 0

⇔ −1 ≤ x ≤ 0
vậy phoơng trình này có nghiệm −1 ≤ x ≤ 0 .

Bài 2 : giải phương trình :

1 + 1 − x 2 = x(1 + 2 1 − x 2 )
Giải :

Điều kiện : 1-x2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1
t

 cos 2 = 0
 −π π 
⇔
đặt x = sint với t ∈  ;  . Khi đó phương trình đã cho có dạng :
 2 2
sin 3t = 0

2

1 + 1 − sin 2 t = sin t (1 + 2 1 − sin 2 t ) ⇔ 1 + cos t = sin t (1 + 2 cos t )
⇔ 2cos

t
t
3t
t
= sin t + sin 2t ⇔ 2cos = 2sin cos
2
2

2
2

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

14


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

t

 π
cos = 0
1


t = 6
x=
t
3t
2

⇔ 2cos (1 − 2 sin ) = 0 ⇔ 
⇔
⇔
2


π
2
2
2
 3t

t=
x =1
sin 2 = 2

2
vậy phương trình có nghiệm x =

1
và x=1.
2

Bài 3 : Giải phương trình :
x+

x
1− x2

=2 2

Giải :

điều kiện :

x 2 −1 > 0

⇔ x > 1.

x > 0
Đặt x=

1
 π
, t ∈  0, 
cos t
 2

Khi đó phương trình có dạng :
1
cos t = 2 2 ⇔ 1 + 1 = 2 2 ⇔ sin t + cos t = 2 2 sin t.cos t
cos t sin t
1
−1
cos t

1
+
cos t

(

)

Đặt sint + cost = u 1 ≤ u ≤ 2 , ta có sin t.cos t =

u2 −1

.
2

Khi đó phương trình đã cho có dạng :

u = 2(u − 1)
2

u = 2
⇔ 2u − u − 2 = 0 ⇔ 
−1
u=
(l)

2
2

π

π

π

π

u = 2 ⇔ sin t + cos t = 2 ⇔ 2 sin(t + ) = 2 ⇔ sin(t + ) = 1 ⇔ t + = + 2kπ
4
4
4 2
⇔t=

π
4

+ 2kπ . So sánh điều kiện ta có : t =

π
4

⇔ x= 2

vậy nghiệm của phương trình là x = 2

Bài 4 : với a ≠ 0 , giải bất phương trình
x 2 + a2 ≤ x +

2a 2
x2 + a2

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

15


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

giải :
 −π π 

Đặt x = a tan t , t ∈ 
;  . Khi đó bất phương trình có dạng :
 2 2
a
2a 2 cos t
−1
≤ a tan t +
⇔ 1 ≤ sin t + 2cos 2 t ⇔ 2sin 2 t - sint -1 ≤ 0 ⇔
≤ sin t ≤ 1
cos t
a
2

⇔ tan t ≥

−a
−1
⇔x≥
3
3

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥

−a
3

Bài 5 : Giải phương trình :
8x(2x2-1)(8x4-8x2+1)=1 (1)
giải:
Ta có các trường hợp sau :

Với x ≥ 1, suy ra VT(1)>1, do đó phương trình vô nghiệm .
Với x ≤ -1, suy ra VT(1)<0, do đó phương trình vô nghiệm .
Với x <1, đặt x=cost , với t ∈ (0, π )
Khi đó phương trình được chuyển về dạng :
8cost(2cost2-1)(8cost4-8cost2+1)=1
⇔ 8cost.cos2t.cos4t = 1 ⇔ 8sint.cost.cos2t.cos4t = sint

 2 kπ
t = 7
8t = t + 2kπ
⇔ sin8t = sint ⇔ 
⇔ ⇔
8t = π − t + 2kπ
 t = π + 2 kπ

9
So sánh điều kiện ta có

 2π 4π 6π π π 5π 7π 
t∈ ;
; ; ; ; ; 
 7 7 7 9 3 9 9 
vậy phương trình có các nghiệm
2π
4π
6π
π
π
5π
7π 


x ∈ cos
; cos
; cos
; cos ; cos ; cos ; cos 
7
7
7
9
3
9
9 


Bài 6 : Giải phương trình
(1-m2)x+(1-m2)x=(1+m2)x

với 0
Giải:
Chia cả 2 vế của phương trình cho (1+m2)x >0 ta có :

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

16


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT
x

www.MATHVN.com

 1 − m 2   2m 
+
=1

2 
2 
 1+m   1+m 
x

π

2m
1 − m2
= cos2t
Đặt m=tant với t ∈ (0; ) ta có
= sin 2t và
4
1 + m2
1 + m2
Khi đó phương trình đã cho có dạng :

( sin 2t )

x

+ ( cos2t ) = 1
x

Nhận xét :
với x=2 là nghiệm của phương trình .

( sin 2t ) x < sin 2 x
Với x<2 ta có 
⇒ VT < 1 , phương trình vô nghiệm.
x
2
( cos2t ) < cos x
( sin 2t ) x >sin 2 x
với x>2 ta có : 
⇒ VT > 1 , phương trình vô nghiệm .
x
2
( cos2t ) > cos x
vậy với 0
Bài 7: Giải hệ phương trình :
 2y
1 + y 2 = x

 2x = y
1 + x 2
Giải :

 x = tan α
 −π π 
Đặt 
vớ i α , β ∈ 
;  . Khi đó hệ đã cho trở thành :

 2 2
 y = tan β
 2 tan β
1 + tan β 2 = tan α
sin 2 β = tan α (1)
⇔
. Ta xét hai trường hợp :

sin 2α = tan β (2)
 2 tan α = tan β
1 + tan α 2
Nếu sin α = 0 thì sin β = 0 và ngược lại nên ta có x = y = 0 là nghiệm của hệ .
Xét sin α ≠ 0 và sin β ≠ 0 : Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có :
sin 2α .sin 2 β = tan α . tan β ⇔ 4 cos α .cosβ =

1
1
⇔ cos α .cosβ =
cosα .sin β
2

(1) ⇔ 2sin α .cos α .cosβ = sin α ⇔ sin β = sin α ⇔ β = α

(3)
(4)

Thay (4) vào (3) ta có

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

17


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT
cos 2α =

www.MATHVN.com

1
1
1
π
π kπ
⇔ (1 + cos 2α ) = ⇔ cos 2α = 0 ⇔ 2α = + kπ ⇔ α = +
,k ∈Z
2
2
2
2
4 2

Khi đó nghiệm của hệ là

x = y = 0
x = y = tan( + kπ ) ⇔  x = y = 1
4
 x = y = 1

π

III. Một số bài tập đề nghị
Bài 1: Cho x2 + y2 = 1 chứng minh

1 6 6
≤x +y ≤1
4

Bài 2: Cho ab + bc + ca = 1 , chứng minh rằng:
4abc = a(1- b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2)
Bài 3: Cho 0 ≤ ai ≤ 1 , i = 1, 2, …, n. Chứng minh
(1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2) ≤ 22
Bài 4: Cho 4 số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt. Chứng minh rằng có thể chọn được ít nhất 2
trong 4 số đó sao cho:
0≤

ai − a j
1 + a i + a j + 2a i a j

<2- 3

Bài 5: Cho x, y thoả mãn 2x + 5y = 7. Chứng minh rằng: x2 + y2 ≥

49
29

Bài 6: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, x và y thoả mãn ax + by = c.
Chứng minh rằng:

x2 + y2 ≥

c2
a 2 + b2

Bài 7: Cho 4a2 + 9b2 = 25. Chứng minh 6a + 12b ≤ 25
Bài 8: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh
16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y) ≤

2

Bài 9: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh

x
y
z
3 3
+
+
≥
2
2
2
2
1− x 1− y 1− z

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

18


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com

Bài 10: Cho a ≥ 1. Chứng minh
–2 ≤

a2 −1 + 3
≤ 2.
a

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

19


Nguyễn Hà Lan Anh _ Toán 08-11_Chuyên Lê Quý Đôn_QT

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

www.MATHVN.com

20