Một vài phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

Phương trình lượng giác

VẤN ĐỀ VI:
Vài cách giải dặc biệt
với các phương trình khơng chuẩn mực
1. Phương pháp tổng hai số âm:
A ≥ 0

⇔ A=B=0
B ≥ 0
A + B = 0

2.

Phương pháp đối lập (chặn trên và chặn dưới hai vế)
A ≥ M

B ≤ M ⇔ A = B = M
A = B


3. Phương pháp phản chứng:
A ≤ M
A = M

⇔
B ≤ N
B = N
A + B = M + N

4.

Phương pháp biến đổi phương trình về dạng tích có vế phải bằng 1, các nhân tử bị chặn
bởi ±1 :
 A ≤1

A = B =1
 B ≤1 ⇔ 
 A.B = 1  A = B = −1


5.

Dùng tham số như ẩn số

6. Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.

Nguyễn Văn Hải
17


Phương trình lượng giác

Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
a, 4 cos 2 x + 3 tan x − 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0 (1)
b, cos 2 x − cos 6 x + 4(3sin x − 4sin 3 x + 1) = 0

(2)
GIẢI:

a, ĐK: x ≠

π
+ kπ
2

(1) ⇔ (4 cos 2 − 4 3 cos x + 3) + (3 tan 2 x + 2 3 tan x + 1) = 0

(

⇔ 2 cos x − 3

) +(

)

2


3
cos x =

2
⇔
 tan x = − 3

3

π


x = ± + 2mπ


6
⇔
π
 x = − + nπ

6


2

3 tan x + 1 = 0

(m, n ∈ Z)

So với điều kiện thì x = −

π
+ k 2π là nghiệm của (1) k ∈ Z
6

b,
(2) ⇔ ( 1 + cos 2 x ) + ( 1 − cos 6 x ) + 4sin 3 x + 2 = 0
⇔ 2 cos 2 x + 2sin 2 3 x + 4sin 3 x + 2 = 0
⇔ cos x x + (sin 3 x + 1) 2 = 0
cos x = 0
⇔
sin 3 x = −1

π

 x = 2 + kπ

⇔
 x = − π + k 2π

6
3

π
⇔ x = + l 2π (l ∈ Z)
2

Nguyễn Văn Hải
18


Phương trình lượng giác
Ví dụ 2:
Giải các phương trình sau:
a, cos x = 1 + x

(1)
 π
với x ∈  0, 
 2

b,2sinx = cos x

(2)

GIẢI:
a,
Ta nhận thấy x = 0 là nghiệm của (1)
Đặt f ( x ) = 1 + x − cos x
f ′( x) = 1 + sinx ≥ 0 ∀x ∈ R
⇒ f ( x) là hàm tăng
Do đó:
x >0 ⇒ f ( x) > f (0)
⇒ 1 + x − cos x > 0

⇒ cos x < 1 + x : x > 0 không là nghiệm của (1)
x<0 ⇒ f ( x) < f (0)
⇒ cos x > 1 + x : x < o không là nghiệm của (1)

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất.
b,
Với - x = 0

:

VT = 2sin0 = 20 = 1
VP = cos 0 = 1
⇒ x = 0 là nghiệm của (2)

- 0< x<

π
:

2

⇒ sin x > 0
⇒ 2sin x > 20 = 1 :VT > 1

0< x<

π
2

Vậy: 0 < x <

⇒ cos x < 1

:VP < 1

π
khơng là nghiệm của (2), do đó:
2

x = 0 là nghiệm duy nhất.
Nguyễn Văn Hải
19


Phương trình lượng giác
*Bài tập:
6.1: Giải các phương trình sau:
a, cos 3 x + 2 − cos 2 3 x = 2(1 + sin 2 2 x)
b, sin3x + cos3x = 2 – sin4x

c, 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1
d, sin2x + sin2y + sin2(x + y) =

9
4

e, tan2x + tan2y + cot2(x + y) = 1
f, cos x

1
1
− 1 + cos 3 x
−1 = 1
cos x
cos 3 x

g, cot 2 x + cot 3 x +

1
=0
sin x.sin 2 x.sin 3 x

1 2
2
2
h, sin x + sin 3 x = sin x.sin 3 x
4
2

2

1   2
1 
1

i,  cos 2 x +
÷ +  sin x + 2 ÷ = 12 + sin y
2
cos x  
sin x 
2

j, x2 – 2x.sinxy + 1 = 0
6.2:
Giải các phương trình sau:
sin x
a, 2 = sin x +

b, 3

sin x

1
sin x

= cos x

c, 2 cos 2 ( x + x ) = 3−

x

+3

x

d, tan x + cot x = 2sin 2 x
e, tan 4 x + tan 4 y + 2 cot 2 x.cot 2 y = 3 + sin 2 ( x + y )

Nguyễn Văn Hải
20


Phương trình lượng giác
6.3:
Giải các phương trình sau:
a, cos x = 1 −
b, x − sin

x2
2

π
π (1 − x)
( x + 1)sin
=0
3
3

với x ∈ [ 0,1]
với 0 ≤ x ≤

c, sin x + tan x − 2 x = 0
2
d, 2m − 2m(cos x + sin x) +

π
2

3
= cos x − sin x (theo tham số m)
2

e, 7 cos 2 x + 1995.sin1994 x = 1995
6.4:
a, Giải phương trình:

( cos 4 x − cos 2 x )

2

= 5 + sin 3 x

b, Định a để phương trình sau có nghiệm:

( cos 4 x − cos 2 x )

2

= ( a 2 + 4a + 3) ( a 2 + 4a + 6 ) + 7 + sin 3 x 6.5:

a, Với giá trị nào của a thi phương trình:
1 + sin2ax = cosx
Có nghiệm duy nhất?
b, Chứng minh rằng nếu a là số hữu tỷ khác 0 còn b là số vơ tỷ thì phương trình:
1 + sin2ax = cox bx
Có 1 nghiệm duy nhất.
6.6:
a, Định điều kiện của a, b để phương trình sau có nghiệm:
x 2 + 5 = 2[x-2cos(ax+b)]
b, Định a, b để mọi nghiệm của phương trình sin(x + y) = a
cũng là nghiệm của phương trình cos(x + y) = b

Nguyễn Văn Hải
21


Phương trình lượng giác
VẤN ĐỀ VII:
Tìm nghiệm phương trình lượng giác thoả mản điều kiện cho trước.
Giải phương trình siêu việt chứa các biểu thức lượng giác.
1. Với những phương trình lượng giác được cho thêm điều kiện về nghiệm, khi giải xong ta
phải dựa vào điều kiện mà chọn nghiệm. Nếu điều kiện về nghiệm là một khoảng cho
trước thì việc chọn các nghiệm dẫn đến việc giải các bất phương trình trong tập số
nguyên. Nếu điều kiện về nghiệm cần thoả bất phương trình chứa các hàm lượng giác,
việc chọn các nghiệm nhất thiết được thực hiện trên một khoảng bằng BSCNN của chu
kỳ các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình và bất phương trình điều kiện
2. Việc giải các phương trình siêu việt chứa các biểu thức lượng giác, thường tuỳ thuộc đặc
trưng của mỗi phương trình. Cần kết hợp cách giải các phương trình mũ, logarit với giải
phương trình lượng giác. Đơi khi sử dụng phương pháp đối lập, đoán nghiệm. Chú ý đến
điều kiện ban đầu của bài tốn.

Ví dụ:
Tìm tổng các nghiệm của phương trình:
cos 2 x − tan 2 x =

cos 2 x − cos3 x − 1
(1) thoả 1 ≤ x ≤ 70
cos 2 x
GIẢI:

Điều kiện:

x≠

π
+ kπ
2

(1) ⇔ 2 cos 2 x − 1 − tan 2 x = 1 − cos x − 1 − tan 2 x
⇔ 2 cos 2 x + cos x − 1 = 0
 cos x = −1
⇔
 cos x = 1

2
 x = π + k 2π
⇔
 x = ± π + k 2π
3


π
2π
⇔ x= +k
3
3
Nguyễn Văn Hải
22


Phương trình lượng giác
Vì 1 ≤ x ≤ 70 ⇔ 1 ≤

π
2π
+k
≤ 70
3
3

3−π
210 − π
≤k≤
,k ∈Z
2π
2π
⇔ k ∈ { 0,1, 2,...,31,32}
⇔

Phương trình (1) có 33 nghiệm trên [1;70] lập thành cấp số cộng :
x0 =

π
π 2π
π
π
2π
; x1 = +
;...; x32 = + 32 có cơng sai là
3
3
3
3
3
3

S = x0 + x1 + x2 +…+ x32 =

33  π  π
2π
 3 +  3 + 32 3
2 



÷


= 363π

* Bài tập:

7.1: Tìm các nghiệm của phương trình:

π
3π


sin  x − ÷ − cos  x +
4
4




÷= 1


thoả mãn bất phương trình:

2 cos 7 x
cos 3 + sin 3

7.2: Giải các phương trình sau:
a, In sin ( x + x )  = 0


x
x





b, log 3  sin − sin x ÷ + log 1  sin + cos 2 x ÷ = 0
2
2



3
c, 2log 3 ( cot x ) = log 2 (cos x)
7.3: Tìm các nghiệm của phương trình
1
( cos5 x + cos 7 x ) − cos 2 2 x + sin 2 3 x = 0
2
thoả mãn điều kiện x < 2
7.4: Tìm các nghiệm của phương trình:
tan x + sin x + tan x − sin x = 3tan x
a, Trên [ 0, π ]
Nguyễn Văn Hải
23


Phương trình lượng giác
b, Trên tồn trục số.
7.5: Tìm các nghiệm phương trình:

π
5π


sin  4 x + ÷+ cos  4 x +

4
4




÷= 2


thoả mãn bất phương trình

cos 2 x
> 2− sin 4 x
cos 2 − sin 2

7.6: Giải các phương trình sau:
2

2

a, 4sin x + 41+ cos x = 10
b, log cos x sin x + log sin x cos x = 2

x
x
−x
c, 2cos = 2 + 2
5
 3 + sin x + cos x 
d, sin x + cos x − sin x.cos x = 1 + lg 

÷
 4 + sin x.cos x 

VẤN ĐỀ VIII:
Tính giá trị biểu thức, tìm miền giá trị (GTLN, GTNN) của hàm số
bằng phương pháp giải phương trình

Nguyễn Văn Hải
24


Phương trình lượng giác
1. Để tính giá trị của một hàm lượng giác của một cung, dựa vào mối liên hệ giữa các cung
(bù, phụ, hơn kém π ,

π
,…) và cơng thức lượng giác, ta lập được một phương trình bậc hai
2

hay ba mà hàm lượng giác đó là nghiệm. Giải phương trình này ta tính được giá trị đó.
2. Để tính giá trị của một biểu thức lượng giác số, ta cũng lập một phương trình lượng giác
(tương tự trên) nhận các hàm lượng giác trong biểu thức đó là nghiệm. Dựa vào định lý
Viète của phương trình bậc n ta suy ra giá trị của biểu thức.

GHI CHÚ: Nếu một phương trình có n nghiệm a1, …, an thì:
(x-a1)(x-a2)…(x-an) = 0
⇔ x1n-S1xn-1+S2xn-2-S3xn-3+…+ (-1)nSn = 0
Với:

S1 = a1 + a2 + …+ an

S2 = a1a2 + a2a3 + …+ ana1

…………………………………………

Sn = a1a2…an
3. Để tìm miền giá trị của một hàm ( hay tìm GTLN, GTNN), ta làm như sau:
•

Tim D

(Miền xác định)

•

Lấy y ∈ T

(Miền giá trị), giải phương trình

y = f ( x) với x ∈ D
Khi giải xong phương trình y = f ( x) ta thương đưa về dngj phươg trình bậc hai hay
bậc một đối với sinx, cosx.
Từ điều kiện có nghiệm của phương trình suy ra miền giá trị cần tìm.

Ví dụ 1:
Khơng dùng bảng hãy tính sin 180

Nguyễn Văn Hải
25

Phương trình lượng giác
GIẢI:
sin 540 = cos360

Ta có:

(540 + 360 = 900 )

⇔ sin 3(180 ) = cos 2(180 )
⇔ 3sin180 − 4sin 3 180 = 1 − 2sin 2 180
⇔ 4sin 3 180 − 2sin 2 180 − 3sin180 + 1

Đặt:

x = sin180 : 0 < x < 1

(1) ⇔ 4x3 – 2x2 – 3x + 1 = 0
⇔ (x – 1)(4x2 + 2x – 1) = 0
⇔ 42 + 2x – 1 = 0

−1 − 5 (loại)
<0
x =
4

⇔

−1 + 5
x =


4
Vậy: sin 180 =

−1 + 5
.
4

Ví dụ 2:
Tìm GTLN GTNN của :

y=

cosx+2sinx+3
.
2cosx-sinx+4

GIẢI
Ta có phương trình : 2cosx – sinx = -4

vơ nghiệm (vì a2 + b2
⇒ 2cosx – sinx + 4 ≠ 0 với mọi x
⇒ D= R
Gọi T là tập giá trị của y
Lấy y thuộc T ,thế thì tồn tại x thuộc D sao cho y =
⇔ (y +2)sinx + ( 1 – 2y )cosx = 4y – 3

cosx+2sinx+3
2cosx-sinx+4

(1)
(2)

Nguyễn Văn Hải
26


Phương trình lượng giác
(1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm
⇔ ( y + 2)2 + (1 -2y )2 ≥ (4y -3)2
⇔ 11y2 -24y + 4 ≤ 0
⇔

2
≤ y≤2
11
2 
T =  ;2 
11 

Dấu “=” xảy ra được nên:
Và GTLN y = 2,

GTNN y =

2
11

*Bài tập:
8.1: Không dùng bảng (dùng phương trình) tính các giá trị sau:

cos180 ,sin 360 ,sin1080 ,cos 720
8.2: Chứng minh:
2π 5
2π
+ sin 2
=
a, sin
5
5
4
2π
3π 13
4π
+ cos 4
+ cos 4
=
b, cos
7
7
7 16
8.3: Tìm giá trị của:
π
2π
3π
π
2π
3π
tan 2 + tan 2
+ tan 2
.tan

và tan .tan
7
7
7
7
7
7
8.4: Tìm x sao cho:
sin x + 1
y=
là số nguyên.
cos x + 2
8.5: Định k để giá trị nhỏ nhất của:
k sin x + 1
y=
nhỏ hơn -1.
cos x + 2
sinx+1
8.6 Tìm x sao cho y =
là số nguyên .
cosx+2
8.7 Tìm GTLN, GTNN của:
sinx+2cosx+1
a, y =
sinx+cosx+2
cos 2 x + sinx.cosx
b, y =
.
1+sin 2 x
BÀI TẬP TỔNG HỢP

1:Giải các phương trình sau:
a, sin23x +sin24x = sin25x + sin26x.
Nguyễn Văn Hải
27


Phương trình lượng giác
b,sin3x(1 + cotx ) + cos3x( 1+ tanx) = 2 sinx.cosx .
c,

sin 3x cos3x
2
+
=
.
cos2x sin2x sin 3 x

x
2 = y2 − 4 y + 5
d,
2 x
1 + tan
2
2 tan

9
2
2
e, sin 2 x − tan x = cos 2 x

2
f, 2sin 3 x −
g,

1
1
= 2cos3 x +
sin x
cos x

sin 4 x + sin 2 x − 4sin 3 x + 2cos x − 4
=0
sin x − 1

h, 12sin x + 5cos x = 2 y 2 − 8 y + 21
i, sin x + 2 − sin 2 x + sin x. 2 − sin 2 x = 3
n

1


j,  tan x + cot x  = cos n x + sin n x (n ∈ N , n ≥ 2)
4


2: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
1 + 2cos x + 1 + 2sin x = m
3.Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau:
2cos 2 x + cot 2 x =

sin 3 x + 1
sin 2 x

với điều kiện 2 ≤ x ≤ 40 .

4.Cho phương trình : 1 + sinx + 1 − sinx = kcosx .
a, Giải phương trình khi k = 2.
b, Giải và biện luận phương trình theo tham số k.

5. Tìm nghiệm của phương trình :
sin x.tan 2 x + 3(sinx- 3 tan 2 x) = 3 3 . thoả mãn: 2log 1 x ≤ 0 .
2

6.Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
Nguyễn Văn Hải
28


Phương trình lượng giác

)

(

π

2
. cos  3 x − 9 x + 160 x + 800  = 1 .
8


7.Giải và biện luận phương trình :
a, (m – 1 )sin2x – 2( m+ 1 )cosx + 2m – 1 = 0
b, cosax +cos2bx - cos[( a + 2b )x] = 1.
c, msinx + ( 2m - 1)cosx = 3m – 1
8. Cho phương trình

với 0 < x <

: sinx + mcosx = 1

a, Giải phương trình khi m =

π
.
2

(1)

3.

b, Định m để (1) có nghiệm chung với phương trình : msinx + cosx = m2
9. Chứng minh phương trình

:sinx- 2sin2x – sin3x = 2 2

.

.

vơ nghiệm .

10. Tìm nghiệm của phương trình
a2sinx – asin2x – a2cosx + acos2x = cosx – sinx

với

−3π
< x <π .
4

11. Cho phương trình :
2(2 – 3m )sin3x + 3(2m – 1)sinx + 2(m – 2 )sin2x.cosx – ( 4m – 3 )cosx = 0.
a, Giải phương trình khi m = 2 .
 π
b, Tìm m để 0,  chứa đúng một nghiệm của phương trình .
 4
12. Cho phương trình msĩn + (m + 1 )cosx =
a, Giải phương trình khi m =

m
.
cosx

1
.
2

b, Định m để phương trình có nghiệm .
c,Giả sử m là giá trị làm cho phương trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn x1 +x2 ≠

π
+ kπ
2

Tính cos2(x1 + x2 ) theo m.
13. a, Xác định a sao cho phương trinh : 2cosx +a.cosx = 3 + sin2x có nghiệm duy nhất trên

[ 0,2π ) .
Nguyễn Văn Hải
29


Phương trình lượng giác
b,Cho hai phương trình : 2|x| + |x| = 1 + asin2y

(1) và (2|y| + |y| )sinx = acosx

(2)

Tìm a để mọi nghiệm (x,y) của (1) cũng là nghiệm của (2).
14. Cho phương trình : sin4x + (1 – sinx)4 = m.
1
a, Giải phương trình với m = .
8
b, Định m để phương trình có nghiệm .
15. Cho phương trình : 2cosx.cos2x.cos3x + m = 7cos2x.
a, Giải phương trình khi m = - 7.
 −3π −π 
,
b,Định m đẻ phương trình có nhiều hơn một nghiệm thuộc đoạn 

.
8 
 8


1 
 2
2
16.Tìm số thực a > 0 và nhỏ nhất thoả mãn phương trình : cosπ  a + 2a − ÷ − sin(π a ) = 0
2 


17. Tìm nghiệm của phương trình : sin2 [(x + 1)y] = sin2 (xy) + sin2 [(x – 1)y] .
Sao cho (x +1)y, xy , (x – 1)y tạo thành cácgóc của 1 tam giác .
18. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác sao cho các góc của nó đều là nghiệm của
bất phương trình : (56 – 65sinx)(80 – 64sinx – 65cos2x) = 0 .

Nguyễn Văn Hải
30