Một số bài toán tìm cực trị trong hình học

Một số bài toán tìm cực trị trong hình học
A. Đặt vẫn đề:
Qua nhiều năm dạy học, tôi thấy rằng đối với bộ môn hình học đa số học kém.
Bởi tính trừu tợng, logic, chính xác của nó. Để giải một bài toán hình học đa số học
sinh gặp rất nhiều khó khăn. Trong đó có bài toán hình học Tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của hình lại là một dạng toán không dễ chút nào. Đa số các em khi gặp
loại toán này đều bó tay. Kể cả một số học sinh khá giỏi.
Trớc những khó khăn của học sinh không thể không làm cho tôi trăn trở, và tôI đã
cố gắng tìm tòi để một phần nào đó tháo gỡ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải
quyết những bài toán dạng này.
Vởy tôi xin nêu một số bài toán giải cực trị trong hình học để hỡng dẫn cách
giải cho học sinh THCS theo từng lớp.
B. Nội dung.
Bài 1: ( toán lớp 7)
Cho hai điểm A,B nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng d. Tìm trên d một
điểm M sao cho tổng các độ dài AM + BM nhỏ nhất.
Trình bày cách giải:
A
B
M

d

A/
Trên mặt phẳng đối của mặt phẳng chứa A,B> lấy điểm A/ . Sao cho d là đờng
trung trực của AA/ . Nối A/ với B cắt d tại M.
Ta có : AM + MB nhỏ nhất
A/m + mb nhỏ nhất.
A/m + mb nhỏ nhất
A/,B,M thẳng hàng.
M là điểm cần tìm .

Đối với bài này, với học sinh trên lớp 7 có thể là một bài dễ. Song học sinh lớp 7
thì học sinh nghĩ đến điểm A/ có thể không hình dung ra, nên có thể gặp khó khăn.
Bài 2:
Cho tam giác ABC. Hãy xác định vị trí của điểm M thuộc đoạn BC sao cho tổng
khoẩng cách từ các đỉnh B và C đến đờng thẳng AM là:
1


a, Lớn nhất .
b, Nhỏ nhất

A
E

Hình vẽ

B

C
H

M

F

Bài giải :
Lấy M trên cạnh BC từ B và C kẻ BE
Ta có S

ABC

=S

ACM

=

AM ; CF

AM.

1
1
1
AM.BE + AM.CF = AM( BE + CF) không đổi
2
2
2

Vậy BE + CF lớn nhất khi AM nhỏ nhất .
AM nhỏ nhất khi AM
BC
M trùng với H.
*BE +CF nhỏ nhất khi AM lớn nhất
Nếu AB AC AM lớn nhất khi AM = AB. M B
Nếu AB AC AM lớn nhất khi AM = AC. M C
ở bài này cái khó ở đây là học sinh sẽ không hình dung ra đợc quan hệ về diện tích
liên quan đến độ lớn của tổng đoạn thẳng. Để tìm đến cái không đổi nào ?
Bài 3; a, Hãy tìm một điểm trên cạnh của một tam giác sao cho từng khoảng cách
từ điểm đó đến hai cạnh còn lại là nhỏ nhất.

b, Hãy tìm điểm thuộc miền trong của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từ
điểm đó đến 3 cạnh của tam giác là nhỏ nhất.
A
F
B

M
E

N

C

Hớng dẫn giải:
a, Trên cạnh AC lấy điểm M . Từ M và các đỉnh A, C dựng AE BC,
MN BC , MP ; CF vuông góc với AB. Kẻ MK AE.


+ Â > C Thì BC > AB . Khi đó AE < CF.
Lúc này cần so sánh tổng MN + MP với AE.
Dễ thấy MN = KE Nên chỉ cần so sánh các đoạn thẳng MP và MK là đủ .
Vì ABC = ACF< C = AMK
2


Nên tia MP cắt AK ở I
Ta có: MK MI MP. Nh vậy điểm phảI tìm là đỉnh A (Điểm này là đỉnh của
góc lớn hơn thuộc cạnh AC )
+, Nếu  = C . Thì rõ ràng MP + MN = AE (= CF) Và có giá trị không đổi.
Điểm phảI tìm là điểm tùy ý trên cạnh AC.

Bài này học sinh tơng đối khó để hình dung ra đợc các đờng kẻ để đến các quan
hệ với các đại lợng không đổi. Và trờng hợp : Â > C . Khi đó M = A. Thì khoảng
cách nhỏ nhất . Còn khi  = C . M tùy ý.
b,
C

A

B

Bài giải:
Giả sử M là điểm thuộc miền trong của ABC thỏa mãn điều kiện đề bài và
không mất tính tổng quát.
Ta giả sử: C > B > Â.
Qua điểm M dựng đờng thẳng // với AB. Đờng thẳng này cắt AC ở D ; CB ở E
Cùng với các đờng thẳng qua M. Vuông góc với các cạnh ( Hình vẽ ). Theo bài
trên và từ CDE và ABC.
Ta có : EH < MQ + MR EH + IK < MQ + MR + MP
Hay CK < MQ + MR + MP.
Nh vậy giá trị nhỏ nhất của tổng MP + MQ MR bằng CK. Và lúc đó M C.
A
Bài 4: Cho tam giác
ABC có
Cạnh không bằng nhau. Hãy tìm một điểm
B
C
Trong tam giác sao cho tổng các khoảng cách
từ điểm đó đến các đờng thẳng AB; BC;CA;
Là nhỏ nhất.
Bài giải:

Đặt: BC = a ; CA = b ; AB = c ; x,y,z, lần lợt là khoảng cách từ M đến các cạnh
BC, CA , và AB. Dễ thấy rằng x ha ; y hb ; z hc.
Và 2S = ax + by + cz. (S là diện tích tam giác ABC) .
3


Từ đó

ax by cz
+
+
=1
2 S 2S 2 S

hay

x
y
z
+ +
=1
h a hb hc

Nếu a < b < c . ha< hb< hc.
1=

x
y
z
x

y
z
+ +

+
+
ha hb hc ha ha ha

x + y + z ha

x + y +z = ha là nhỏ nhất. Dấu đẳng thức xẩ ra khi và chỉ khi y = z = o

Và x = ha khi đó M A
Vậy khi M A thì tổng x +y +z nhỏ nhất
Bài toán này cũng dựa vào quan hệ diện tích tam giác để đI đến việc giảI quyết bài
toán.
3, Kết luận: Trên đây là một số bài toán giúp tôi tháo gỡ phần nào về nỗi băn
khoăn. Và đã giúp học sinh hiểu thêm nhiều về loại toán Tìm cực trị trong hình
họccác em đã biết cách làm và đã làm toán loại này tốt hơn. Song vì năng lực hạn
chế, vốn kiến thức cha nhiều, chắc chans còn nhiều thiếu sót mong các thầy cô
giáo cô giáo, đồng nghiệp góp ý thêm để đề tài phong phú hơn.
Xin cảm ơn !

4


5