DE TOAN THI THU DH 2011 (6) CO GIAI

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT GIA LỘC

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không tính thời gian giao đề)

4
2
4
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx + 2m + m (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm
cực đại, cực tiểu của đồ thị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình (2cos x − 1)(sin x + cos x) = 1
1
1

x − 3 = y − 3
x
y
2. Giải hệ phương trình 
( x − 4 y )(2 x − y + 4) = −36

Câu III (1 điểm) Tính tích phân

π
2

sin 2 x cos x
dx
1 + cos x
0

∫

Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có AB = 2a, BC = a 2
·ABC = 300 và thể tích lăng trụ bằng a 3 . Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt
phẳng ( A ' BC ) .
Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=

3

 x
y
z 
4( x 3 + y 3 ) + 3 4( y 3 + z 3 ) + 3 4( z 3 + x 3 ) + 2  2 + 2 + 2 ÷
z
x 
y

Câu VI (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua M(0; -1)
Biết AB = 2AM, đường phân giác trong AD và đường cao CH lần lượt có
phương trình là x − y = 0 và 2 x + y + 3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC.
2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6 x − y − z + 13 = 0 và hai
x

y
z
x +1
y
z −1
= = , d2 :
= =
. Viết phương trình
1
1
2
−2
1
1
đường thẳng d vuông góc với (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 .

đường d1 :

Câu VII (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A và B là hai điểm lần lượt
biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 6 z + 18 = 0 . Chứng minh rằng tam
giác OAB vuông cân.

Sở GD & ĐT Hải
Dương

.....................Hết....................
ĐÁP ÁN THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC
2010-2011

Trường THPT Gia Lộc
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút (không tính thời gian phát đề)

NỘI DUNG

CÂU
I
2.0điể
m

ĐIỂM

1 (1.0 điểm)
- Khi m = 1 thì y = x 4 − 2 x 2 + 3
- Tập xác định D = R
- Sự biến thiên :
Chiều biến thiên y ' = 4 x 3 − 4 x = 4 x( x 2 − 1) ,

0,25

 x=0
y ' = 0 ⇔  x = 1
 x = −1

- Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -1 ; 0) và (1 ; +∞ ), nghịch biến
trên các khoảng ( (−∞; −1) và (0 ; 1)
- Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD = 3
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, yCT = 2

0.25

y = lim y =+∞
- Giới hạn xlim
→−∞
x →∞

x
y’

−∞

+∞

-

-1
0

+

0
0
3

-

1
0

+∞

+

+∞

0.25
y
2

2

Đồ thị

y

3
0.25
2

-2
2.(1.0 điểm)

-1

0

1

2

x


- Tập xác định D = R
y ' = 4 x 3 − 4mx
 x =0
y ' = 0 ⇔ 2
x = m

0.25

Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ x1 ≠ 0
Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là A(0, m 4 + 2 m) và hai điểm cực
tiểu là B ( − m ; m 4 − m 2 + 2m ), C ( m ; m 4 −m 2 + 2m )
VABC cân tại A, A∈ Ox ; B, C đối xứng nhau qua Ox

1
y A −y B .BC
2
1
= m 2 .2 m =1 ⇔m 2
2

0.25
0.25

SVABC =

m =1 ⇔m =1

0.25

II
1(1.0 điểm)
2.0điểm PT đã cho tương đương với: sin 2 x + 2 cos 2 x − (s inx + cos x) = 1

0.25

SVABC

⇔ sin 2 x + 1 + cos2 x − (s inx + cos x) = 1
⇔ sin 2 x + cos2 x = s inx + cos x
π
π
⇔ sin(2 x + ) = s in(x + )
4
4
π
2π
, k ∈Z
⇔ x = k 2π hoặc x = +k
6

0.25
0.25
0.25

3

2 (1.0 điểm)

0.25

ĐK : x, y ≠ 0
x = y
1
1
( y − x )( y 2 + xy + x 2 )
x − 3 = y − 3 ⇔ ( x − y) =
⇔  y 2 + xy + x 2
3 3
= −1
x
y
x y

x3 y 3

Trường hợp x = y thay vào phương trình: ( x − 4 y )(2 x − y + 4) = −36
 x = −6
2
ta được phương trình: x + 4 x −12 = 0 ⇔ 
 x =2
Hệ có nghiệm ( - 6;- 6); ( 2; 2)

0.25

y 2 + xy + x 2
= −1

Trường hợp
x3 y 3
Do y 2 + xy + y 2 > 0 với ∀x, y ≠ 0 nên nếu

0.25

( x; y ) là nghiệm thì xy < 0

Mặt khác ( x − 4 y )(2 x − y + 4) = −36 ⇔ 2 x 2 + 4 y 2 − 9 xy + 4 x − 16 y = −36
⇔ 2( x + 1) 2 + 4( y − 2) 2 − 9 xy = −18 (*)
Do xy < 0 nên PT(*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (-6; -6) , (2 ; 2)
III.
1.0điể

0.25

π

π

2
sin 2 x.cos x
s inx.cos 2 x
I =∫
dx = 2 ∫
dx
1 + cos x
1 + cos x
0

0
2

0.2.5
0.25


m

Đặt t = 1 + cos x ⇒ dt = − sin xdx , cos x = t −1
x = 0 ⇒t = 2
2

= 2(
IV.
1.0điể
m

π
2

⇒t =1

2

0.25

2

(t −1)

1
dt =2 ∫(t −2 + ) dt
t
t
1

I = 2∫
1

, x=

2
t2
−2t +ln t ) =2 ln 2 −1
1
2

1
a2 2
0
S ABC = BA.BC .sin 30 =
2
2
2
a 2
VABC . A' B 'C ' = S ABC . AA ' =
. AA ' = a 3 ⇔ AA ' = a 2
2

Kẻ AK ⊥ BC , AH ⊥ A ' K

Do AA ' ⊥ ( ABC ) nên

AA ' ⊥ BC → BC ⊥ (AA ' K )

0.25
0.25

0.25
0.25

0.25

→ BC ⊥ AH → AH ⊥ ( A ' BC ) ⇒ AH = d ( A,( A ' BC )) Tr

ong tam giác vuông ABK ta có
AK = AB.sin 300 = a

Trong tam giác vuông AA’K ta có

V.
1.0điể
m

1
1
1
3
=
+
= 2

2
2
2
AH
AA '
AK
2a
2
⇒ AH = a
= d ( A, ( A ' BC ))
3
Gọi M, N là giao điểm của d với d1 , d 2
Vì M ∈ d1 nên M ( s; s; 2 s ) , N ∈ d 2 ⇒ N (−1 − 2t , t ,1 + t )
uuuu
r
⇒ MN = (−2t − s − 1; t − s;1 + t − 2s )
uuuu
r uur
Vì d ⊥ ( P ) nên MN / /Up = (6; −1; −1) do đó
−2t −s −1 t −s 1 +t −2s
=
=
6
−1
−1
4t −7 s =1
t = 2
⇔
⇔
⇔M (1;1; 2), N (−5; 2; 3)

 s =1
s =1

Phương trình đường thẳng d

0.25

0.25
0.25
0.25


VI.
1.0điể
m

Goi d là đường thẳng qua M vuông góc AD cắt
AD, AB lần lượt tại I và N, ta có :
PT(d) : x + y + 1 = 0 , I = d ∩ AB
1 1
⇒ I ( − ; − ) ⇒ N ( −1; 0) (I là trung điểmMN)
2 2
AB ⊥ CH ⇒ pt(AB) : x − 2 y − 1 = 0 , A = ( AB) ∩ ( AD)
⇒ A(1;1)
AB = 2 AM = 2 AN ⇒ N là trung điểm AB ⇒ B (−3; −1)
1
pt(AM) : 2 x − y −1 = 0, C = ( AM ) ∩(CH ) ⇒C (− ; −2)
2

VII.

1.0điể
m

0.25
0.25
0.25
0.25

Ta có : 4( x 3 + y 3 ) −( x + y )3 =3( x − y ) 2 ( x + y ) ≥ 0, ∀x, y, z > 0
⇒ 4( x 3 + y 3 ) ≥ ( x + y )3 ⇒ 3 4( x3 + y 3) ≥ x + y

Tương tự:
Suy ra

3

4( y 3 + z 3 ) ≥ y + z

3

4( z + x ) ≥ z + x
3

0.25

3

4( x 3 + y 3 ) + 3 4( y 3 + z 3 ) + 3 4( z 3 + x 3 ) ≥ 2( x + y + z ) ≥ 6 3 xyz
x
y

z
6
Mặt khác 2( y 2 + z 2 + x 2 ) ≥ 3 xyz (Cô-si)
3

0.25
0.25

1

nên P ≥ 6( 3 xyz + 3 xyz ) ≥ 12
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 12 khi x = y = z = 1
VIII
1.0điể
m

phương trình : z 2 − 6 z +18 = 0 có V' =9 −18 =−9 =9i 2

0.25
0.25

nên có hai nghiệm t1 =3 +3i
t2 =3 −3i

0.25

Trong mặt phẳng tọa độ số phức t1 có điểm biểu diễn là A(3 ;3)
số phức t2 có điểm biểu diễn là B(3 ;-3)

0.25

VOAB có OA = OB = 3 2 nên VOAB cân tại O
uuu
r
uuu
r
uuu
r uuu
r
OA(3;3) , OB (3; −3) ⇒OA.OB = 0 ⇒OA ⊥ OB

Nên VOAB vuông tại O. Vậy VOAB vuông cân tại O

Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®îc ®ñ ®iÓm tõng
phÇn nh ®¸p ¸n quy ®Þnh.

0.25