Phân tích thống kê dự báo và mô phỏng vài chuỗi thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM VĂN KHÁNH

PHÂN TÍCH THỐNG KÊ DỰ BÁO
VÀ MÔ PHỎNG MỘT SỐ CHUỖI THỜI GIAN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phạm Văn Khánh

PHÂN TÍCH THỐNG KÊ DỰ BÁO VÀ MÔ
PHỎNG MỘT SỐ CHUỖI THỜI GIAN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán
Mã số: 62 46 15 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TS. Nguyễn Khắc Minh
2. GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết
quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất kì công trình nào khác.
Tác giả


LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thiện dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn
Khắc Minh, GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc nhất tới hai thầy vì sự định hướng và sự gợi mở vấn đề của các
Thầy trong nghiên cứu, sự động viên khuyến khích và sự tận tình của các
thầy trong dạy dỗ cũng như trong cuộc sống.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán – Cơ – Tin học, Phòng Sau đại
học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội, nơi
tác giả đã học tập và nghiên cứu từ năm 1997 tới nay.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy ở Bộ môn Lý thuyết Xác suất và
Thống kê toán, Khoa Toán – Cơ – Tin học đã giúp đỡ tác giả rất nhiều
trong quá trình học tập và hoàn thành luận án.
Trong quá trình học tập hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan
tâm giúp đỡ và đóng góp của GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng, PGS.TS. Trần
Hùng Thao, PGS.TS. Nguyễn Xuân Hoài, TS. Nguyễn Thịnh,...Tác giả xin
chân thành cảm ơn tới quý thầy về sự giúp đỡ quý báu đó.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tới người vợ thân yêu của mình vì sự hy
sinh và động viên, giúp đỡ tác giả trong học tập, nghiên cứu cũng như
trong cuộc sống. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tất cả thầy cô, gia đình và

bạn bè đã góp ý, ủng hộ và động viên tác giả trong quá trình học tập và
hoàn thành luận án.
Phạm Văn Khánh

2


MỤC LỤC

Những kí hiệu dùng trong luận án

5

Mở đầu

6

Chương 1. Chuỗi tự hồi quy cấp 1 với hệ số
thành phần ngẫu nhiên không âm
1.1 Điều kiện dừng của chuỗi . . . . . . . . .
1.2 Ước lượng các tham số của mô hình . . .
1.3 Nghiên cứu mô phỏng . . . . . . . . . . .
1.4 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . .

hồi quy có chứa
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

Chương 2. ƯỚC LƯỢNG THỜI ĐIỂM DỪNG TỐI ƯU
CHO QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ TRƯỢT
NGẪU NHIÊN
2.1 Kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Những kết quả đã được nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Bài toán tìm thời điểm bán tối ưu khi tốc độ tăng giá là
biến ngẫu nhiên rời rạc nhận 2 giá trị . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bài toán phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Bao dừng tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Lời giải số và mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Bài toán tìm thời điểm mua và bán tối ưu khi tốc độ tăng
giá là xích Markov rời rạc hai trạng thái . . . . . . . . . . .
2.4.1 Bài toán mua tài sản . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Bài toán bán tài sản . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
13
16
20
26

27
28
30
32
32
36
40
42
55
56
67
81

Chương 3. Phương pháp Monte - Carlo trong mô hình giá
quyền chọn áp dụng cho quá trình có bước nhẩy ngẫu nhiên 84
3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3


3.2
3.3
3.4

3.5

3.6

Phương trình vi phân ngẫu nhiên hệ số hằng với rủi ro
trung tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Giá một quyền chọn trong môi trường rủi ro trung tính .
Giải thuật Monte–Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết quả mô phỏng thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Kết quả mô phỏng quá trình giá . . . . . . . . . .
3.5.2 Kết quả mô phỏng giá của quyền chọn mua và quyền
chọn bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

86
88
92
101
101

. 101
. 106

Chương 4. Dự báo trạng thái hội tụ của thu nhập bình quân

đầu người của Việt Nam
108
4.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.1 Quan điểm kinh tế của các phương pháp được sử dụng111
4.2.2 Mô hình hồi quy Barro 1 mở rộng . . . . . . . . . . 113
4.2.3 Mô hình hồi quy Barro 2 mở rộng . . . . . . . . . . 122
4.2.4 Mô hình xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3 Kết quả ước lượng thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4 So sánh với các mô hình Barro kinh điển . . . . . . . . . . 139
4.5 Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Chương 5. So sánh mô hình vector tự hồi qui và các mô hình
được tạo ra bởi lập trình Gen trong dự báo chỉ số giá tiêu
dùng của Việt Nam
141
5.1 Cơ sở phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.1.1 Giới thiệu khái quát mô hình VAR . . . . . . . . . . 142
5.1.2 Giới thiệu về lập trình Gen . . . . . . . . . . . . . 144
5.2 Ước lượng thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2.1 Áp dụng mô hình VAR trong dự báo lạm phát . . . 148
5.2.2 Sử dụng GP cho dự báo lạm phát ở Việt Nam . . . . 151
5.3 Kết luận chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Kết luận và kiến nghị

157

Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến
luận án
158
Tài liệu tham khảo

160


NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Ký hiệu

Ý nghĩa

(Ω, F, P )
I(A)
[x]
max{ln(x), 0}
log(x)
hcc
ARCH

Không gian xác suất
Hàm chỉ tiêu của tập hợp A
Số nguyên lớn nhất không vượt quá x với x ≥ 0.
ln+ (x).
log10 (x)
Hầu chắc chắn
Mô hình tự hồi quy với phương sai
có điều kiện của sai số thay đổi
Tổng sản phẩm quốc nội
Độc lập cùng phân bố
Quá trình trung bình trượt
Sai số dự báo bình phương trung bình

Ước lượng hợp lý cực đại
Căn bậc hai của MSE
Mô hình ARCH tổng quát
Mô hình GARCH dạng mũ
Mô hình GARCH phân ngưỡng
Bình phương tối thiểu
Bình quân thu nhập
Độ lệch chuẩn
Lập trình Gen
Giải thuật tiến hóa

GDP
IID
MA
MSE
MLE
RMSE
GARCH
EGARCH
TGARCH
BPTT
BQTN
Std.Dev
GP
EA

5


MỞ ĐẦU

Phân tích các dữ liệu thực nghiệm tại những điểm khác nhau theo thời
gian dẫn đến những bài toán mới và độc đáo trong mô hình thống kê và
suy diễn thống kê.
Sự tương quan trong mẫu được lấy tại các điểm lân cận theo thời gian
có thể làm hạn chế việc áp dụng nhiều phương pháp thống kê truyền thống
phụ thuộc vào giả định rằng những quan sát liền kề là độc lập và cùng
phân bố. Phân tích chuỗi thời gian được hiểu là sử dụng các phương pháp
tiếp cận có hệ thống để trả lời các câu hỏi toán học và thống kê về những
mối tương quan thời gian nói trên.
Có rất nhiều những yêu cầu về việc phân tích thống kê đối với những
quan sát phụ thuộc ở trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật
và khoa học tự nhiên. Một mô tả cấu trúc xác suất của một chuỗi các quan
sát phụ thuộc được gọi là mô hình một quá trình ngẫu nhiên. Trong luận
án này chúng tôi không giới hạn trong việc xem xét các chuỗi thời gian
truyền thống như các quá trình tự hồi qui (AR), trung bình trượt (MA),
tự hồi qui trung bình trượt (ARMA), vector tự hồi qui (VAR) mà chúng
tôi mở rộng ra xem xét các chuỗi thời gian có hệ số ngẫu nhiên, chuỗi thời
gian liên tục mà hệ số chứa thành phần ngẫu nhiên, chuỗi thời gian liên
tục có tác động của bước nhảy ngẫu nhiên...
Phương pháp tiếp cận cơ bản trong phân tích chuỗi thời gian thường
dựa trên giả thiết rằng sự tương quan giữa các điểm lân cận theo thời gian
là giải thích tốt nhất cho sự phụ thuộc của giá trị hiện tại và giá trị trong
quá khứ. Các phương pháp phân tích chuỗi thời gian tập trung vào việc
mô hình hóa các giá trị tương lai của một chuỗi thời gian như là một hàm
của giá trị hiện tại và quá khứ. Theo kịch bản này, bắt đầu bằng hồi quy
6


các giá trị hiện tại của một chuỗi thời gian trên các giá trị quá khứ của

bản thân chuỗi đó và trên các giá trị trong quá khứ của các chuỗi khác.
Mô hình này được sử dụng như một công cụ dự báo và đặc biệt phổ biến
với các nhà kinh tế vì lý do này.
Trong luận án này, chúng tôi sử dụng các kết quả trong phân tích và
mô phỏng chuỗi thời gian để ứng dụng trong điều khiển và dự báo. Việc
điều khiển các chuỗi thời gian thể hiện trong bài toán xác định thời điểm
dừng tối ưu. Đối với bài toán này biến điều khiển chính là biến thời gian
mà người đầu tư cần quyết định giá trị trị nào của biến thời gian mà người
đầu tư cần dừng lại quá trình đầu tư của mình để thu được cực đại lợi
nhuận. Bản chất của bài toán này là bài toán dự báo: dự báo thời điểm
thay đổi xu thế của chuỗi thời gian: thời điểm giá đạt đỉnh và thời điểm
giá chạm đáy. Thời điểm chuỗi giá cả thay đổi xu thế ta gọi đó là thời điểm
chuyển mà tại đó nhà đầu tư thường đưa ra quyết định mua hay bán. Một
kết quả rất thú vị ở chương 2 cho thấy là thời điểm tối ưu để mua là khi
giá đang lên và vừa qua đáy, thời điểm tối ưu để bán là giá đang xuống và
vừa qua đỉnh!
Bài toán dự báo là bài toán chủ yếu trong phân tích và mô phỏng chuỗi
thời gian. Việc dự báo các chỉ tiêu kinh tế luôn là mong muốn của các nhà
lãnh đạo, các nhà đầu tư và mọi người dân. Chính vì vậy luận án này cũng
giải quyết một phần quan trọng trong các vấn đề thời sự của đất nước đó
là dự báo về trạng thái hội tụ về thu nhập bình quân đầu người và chỉ số
giá tiêu dùng.
Luận án cũng nghiên cứu việc tính toán giá của các phái sinh trong thị
trường tài chính. Nó giúp cho các nhà đầu tư bảo hiểm các quyết định
của mình khi thị trường có những cú sốc (bước nhảy ngẫu nhiên) ngoài ý
muốn.
Luận án nghiên cứu phân tích thống kê, mô phỏng các chuỗi thời gian
và áp dụng cho các chuỗi thời gian trong kinh tế bao gồm cả vĩ mô và vi
mô. Vì đặc trưng khác nhau của các chuỗi nên các phương pháp tiếp cận
và nghiên cứu cũng khác nhau.

7


Luận án gồm năm chương và được cấu trúc như sau:
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một mô hình chuỗi thời gian mới.
Đó là chuỗi tự hồi quy cấp 1 mà hệ số góc có tác động của thành phần ngẫu
nhiên không âm. Chuỗi này dùng để mô hình hóa quá trình tăng trưởng và
phương sai của sai số thay đổi. Để mô tả độ biến động của một quá trình
ngẫu nhiên ta thường mô hình hóa bởi các quá trình ARCH, GARCH,
EGARCH hay TGARCH. Tuy nhiên bằng việc mô phỏng ta thấy RCA(1)
rất gần với các mô hình trên nhưng việc ước lượng các tham số, kiểm định
và dự báo dễ dàng hơn rất nhiều. Việc sử dụng chuỗi thời gian mới này
cho ta các tiện lợi hơn rất nhiều so với các mô hình hiện có.
Ở Chương 2 chúng tôi xét mô hình chuỗi thời gian liên tục nếu rời rạc
hóa mô hình chuỗi thời gian trong chương này ta sẽ được mô hình khá
giống với chương 1 nghĩa là tốc độ tăng trưởng (hệ số góc) cũng phụ thuộc
vào biến ngẫu nhiên rời rạc hoặc quá trình ngẫu nhiên rời rạc (có thể nhận
giá trị âm). Tuy nhiên, trong chương này chúng tôi xem xét bài toán điều
khiển tối ưu chuỗi thời gian mà biến điều khiển là biến thời gian còn biến
trạng thái (không quan sát được) là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận 2 giá trị
hoặc quá trình Markov 2 trạng thái còn biến trạng thái quan sát được là
quá trình giá cả. Đây là sự mở rộng các kết quả hiện có về bài toán xác
định thời điểm dừng tối ưu trong đó thêm thành phần ngẫu nhiên vào hệ
số dịch chuyển (hệ số góc-tốc độ tăng trưởng). Các kết quả thu được là
khả quan và được kiểm tra trên dữ liệu mô phỏng cho thấy tính đúng đắn
của các kết quả tìm được. Bài toán xác định thời điểm dừng tối ưu được
sử dụng trong thống kê toán học (ước lượng và kiểm định), trong toán tài
chính, kỹ thuật tài chính, trong các giải thuật gen di truyền (thời điểm
dừng cho quá trình tiến hóa)....Trong luận án này chúng tôi áp dụng bài

toán thời điểm dừng tối ưu áp dụng cho bài toán tài chính.
Chương 3 chúng tôi xét một chuỗi thời gian liên tục có thêm thành
phần ngẫu nhiên khác loại với chuyển động Brown đó là thành phần bước
nhảy được cộng hợp vào mô hình mà không chứa trong hệ số hồi quy như
trong chương 1 và chương 2 để mô hình hóa những biến cố dạng sốc tác

8


động vào quá trình giá cả. Các công thức liên quan tới giá của các phái
sinh tài chính mà quá trình cơ sở là chuỗi thời gian đang xét rất phức
tạp thậm chí không thể tính được vì vậy luận án đưa ra phương pháp mô
phỏng Monte-Carlo để tính toán giá của các phái sinh tài chính này. Đây
là loại chuỗi thời gian thường gặp trong thực tế nhất là trong thị trường
có nhiều đột biến như sự vỡ nợ của các tập đoàn lớn, các biến cố chính
trị, thiên tai..., tuy nhiên các nghiên cứu về loại chuỗi thời gian này chưa
nhiều đặc biệt do tính phức tạp trong phân bố của các phái sinh tài chính
liên quan nên việc tính toán và dự báo gặp nhiều khó khăn. Ta sẽ gặp
trong chương 3, kỳ vọng của giá quyền chọn mua trong điều kiện có bước
nhảy có dạng:
∞
˜

¯

pk (λT ).ES˜k C (BS) S0 eSk −λJT , T ; K, σ 2 , r

C (S0 , T ) =

,

(0.1)

k=0

trong đó:
k

Sk =

k

Qi ,
i=1

pk (λT ) =

(λT )
k!

e−λT ,

C
x, T ; K, σ 2 , r = xΦ(d1 (x)) − Ke−rT Φ(d2 (x)),
√
2
d1 (x) := σ√1 T ln Kx + r + σ2 T , d2 (x) = d1 (x) − σ T ,
(BS)

và Φ (y) là hàm phân phối chuẩn.

Chuỗi cho bởi công thức (0.1) hội tụ rất chậm và kỳ vọng ES˜k tính rất
khó khăn, cho nên chúng tôi đã đề xuất phương pháp Monte-Carlo để tính
toán một số phái sinh (quyền chọn mua, quyền chọn bán) kiểu Châu Âu
liên quan đến chuỗi. Đối với các quyền chọn kiểu Mỹ thì còn phức tạp hơn
rất nhiều vì thời hạn thực thi hợp đồng không được định trước, bài toán
xác định quyền chọn mua hay quyền chọn bán kiểu Mỹ bản chất là bài
toán xác định thời điểm dừng tối ưu khi mô hình tồn tại bước nhảy với
cường độ và biên độ nào đó. Chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán này trong
những nghiên cứu tiếp theo.
Trong các phương pháp phân tích chuỗi thời gian, phân tích tự hồi quy
là một phương pháp được áp dụng phổ biến. Các mô hình hồi quy Barro
9


sử dụng phương pháp tự hồi quy để xem xét sự hội tụ của các tiểu vùng
kinh tế trong một nền kinh tế hay là sự hội tụ của các nền kinh tế như
là một xu thế chung của quá trình phát triển. Ở trong Chương 4 chúng
tôi tiến hành mở rộng mô hình hồi quy Barro (xem [20]) để xây dựng mô
hình mới gọi là Mô hình Barro mở rộng bằng việc xem xét bài toán
dưới góc độ phương trình vi phân và xét tất cả các thời kì con trong toàn
bộ thời kì nghiên cứu đồng thời áp dụng trong việc dự báo trạng thái hội
tụ của thu nhập của bình quân đầu người của Việt Nam cho thấy ưu việt
của mô hình mở rộng bằng việc so sánh với mô hình xích Markov. Trong
chương này, chúng tôi đã chứng minh những kết quả để so sánh độ chính
xác của các mô hình mở rộng với các mô hình kinh điển.
Chương 5 chúng tôi đưa ra phương pháp gọi là phương pháp xấp xỉ ngẫu
nhiên sử dụng các nguyên lý tiến hóa trong sinh học và mô phỏng Monte Carlo để xây dựng các mô hình dự báo chuỗi thời và so sánh với mô hình
toán học là mô hình véc tơ tự hồi quy (VAR). Giả sử ta cần dự báo chuỗi
thời gian S(t) ban đầu ta xấp xỉ S(t) bởi Sˆ0 (x) trong đó x là véc-tơ chứa
các biến độc lập hoặc các biến trễ của S(t). Sau một bước lặp ta sử dụng

các toán tử tiến hóa để được Sˆ1 (x) sao cho S1 (x)−S(t) ≤ S0 (x)−S(t) .
Cuối cùng ta thu được một dãy các hàm S0 (x), S1 (x), ·, Sn (x) hội tụ tới

S(t). Điều kì diệu của phương pháp được đưa ra ở trong chương này đó là
máy tính có thể tự vận dụng các quy tắc đã được cài đặt để tự tạo ra các
hàm xấp xỉ với dữ liệu quan sát và thu được hàm dự báo thông qua quá
trình tiến hóa những hàm dự báo được tạo ra một cách ngẫu nhiên ban
đầu. Các kết quả cho thấy tính ưu việt của phương pháp mới.
Luận án đã sử dụng nhiều cách tiếp cận khác nhau để giải quyết bài toán
dự báo bao gồm cả phương pháp tiếp cận truyền thống và phương pháp
hiện đại, các mô hình xác suất, mô hình toán tài chính, mô hình toán kinh
tế và kỹ thuật mô phỏng được triệt để áp dụng trong luận án.
Xuyên suốt toàn bộ luận án là bài toán phân tích thống kê dự báo và mô
phỏng các chuỗi thời gian trong đó các chuỗi thời gian được xem xét trong
luận án gồm chuỗi thời gian liên tục (Chương 2 và Chương 3) và chuỗi

10


thời gian rời rạc (các chương còn lại), từ các chuỗi thời gian trong kinh
tế đến các chuỗi thời gian trong tài chính. Các khía cạnh khác nhau của
bài toán dự báo cũng được nghiên cứu trong luận án như: dự báo giá trị
của chuỗi trong tương lai (Chương 1), dự báo thời điểm cao nhất và thấp
nhất của chuỗi thời gian trong một thời đoạn (Chương 2), ước lượng và dự
báo các giá trị phái sinh tài chính khi công thức giải tích không áp dụng
được (Chương 3), dự báo trạng thái hội tụ của một chuỗi thời gian có xu
thế (Chương 4) và dự báo cấu trúc của một chuỗi thời gian khi không thể
định dạng được mô hình toán học của chuỗi (Chương 5).
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại các hội nghị: Hội nghị toàn
quốc lần thứ 4 về Xác suất và thống kê (Vinh, 5/2010), Hội Nghị Khoa

Học Khoa Toán - Cơ - Tin học (trường ĐH Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Hà
Nội, 10/2010), Hội nghị quốc tế 2013 Statistics and its interactions with
other disciplines (SIOD 2013) và đã được đăng ở các tạp chí:
Open Jounal of Statistic, American Jounal of Operation Research, Tạp chí
Ứng dụng Toán học.

11


CHƯƠNG 1

CHUỖI TỰ HỒI QUY CẤP 1 VỚI HỆ SỐ HỒI QUY CÓ
CHỨA THÀNH PHẦN NGẪU NHIÊN KHÔNG ÂM

Những mô hình chuỗi thời gian với hệ số ngẫu nhiên (RCA) là các
mô hình phi tuyến, là sự mở rộng lớp các mô hình tự hồi quy cổ điển trong
phân tích các chuỗi thời gian tuyến tính và cho phép ta linh hoạt hơn trong
việc mô hình hóa phương sai của sai số thay đổi thường gặp trong dữ liệu,
tuy nhiên lớp các mô hình RCA hiện nay vẫn có ít các nghiên cứu về nó
đặc biệt các mô hình RCA ít được chú ý hơn so với các mô hình ARCH,
GARCH và các mô hình phân ngưỡng khác. Ta có thể thấy rằng những
lợi ích của những mô hình RCA so với các mô hình nêu trên như sau:
• Thứ nhất, các mô hình RCA cho ta một thủ tục ước lượng tham số thống
nhất mà không phụ thuộc vào cấu trúc xác suất của quá trình cơ sở.
• Thứ hai, mặc dù các mô hình GARCH là phổ biến hơn trong phân tích
dữ liệu tài chính nhưng những mô hình này có thể chuyển thành các mô
hình RCA như là một trường hợp đặc biệt.
• Thứ ba, dù mô hình RCA đơn giản nhất như là mô hình RCA cấp 1
cũng rất thích hợp trong các ứng dụng kinh tế lượng. Do giả thiết về bước
ngẫu nhiên của hành vi của giá cả thị trường cổ phiếu được mô hình hóa

bởi chuỗi thời gian tự hồi quy cấp 1 với hệ số hồi quy φ = 1 trong khi đó
hệ số hồi quy trên thực tế nằm giữa các mô hình dừng và không dừng cấp
1, lý thuyết này cho ta thấy tác dụng phụ không mong muốn của sự ước
lượng không chính xác dẫn đến sự khác nhau đáng kể trong dáng điệu của
chuỗi ứng với các trường hợp φ < 1, φ = 1 và φ > 1. Tuy nhiên, nếu ta
thêm vào hệ số hồi quy một thành phần ngẫu nhiên việc mô hình hóa hành
vi giá cả sát với thực tế hơn. Các tác giả trong [5], [6] đã xét các chuỗi
thời gian với hệ số ngẫu nhiên và chuỗi tự hồi quy cấp 1 với hệ số chịu tác
động của biến ngẫu nhiên chuẩn. Ở đây, trong luận án này ta giả sử thành
phần ngẫu nhiên là trị tuyệt đối của biến ngẫu nhiên chuẩn kỳ vọng 0, bởi
12


vì trong nhiều trường hợp của thị trường đang chịu sự tác động của chính
sách kích cầu hay một chính sách ưu tiên nào đó sẽ tác động lên hệ số tự
hồi quy và thành phần tác động này là ngẫu nhiên dương. Việc ước lượng
các tham số của mô hình trở lên khó khăn hơn rất nhiều vì phân bố của
nhiễu hệ số là phân bố chuẩn chặt cụt.
Trong chương này, chúng tôi cũng thiết lập các điều kiện để chuỗi đang
xét là chuỗi dừng, xây dựng ước lượng cho các tham số và chứng minh các
tính chất của các ước lượng. Các kết quả của chương này thu được từ bài
báo [3] của tác giả.

1.1

Điều kiện dừng của chuỗi

Xét một chuỗi thời gian thỏa mãn

Yt = (φ + |bt |) Yt−1 + et

(1.1)

trong đó {(bt , et )}t∈Z là các véc tơ ngẫu nhiên độc lập xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P) nào đó và

E

bt
et

=

0
0

; Cov

bt
et

=

σb2 0
0 σe2

(1.2)

Để xét tính dừng của chuỗi (1.1) với điều kiện (1.2) ta xem xét biến ngẫu
nhiên

∞

Y =

i−1

(φ + |b−j |)

e−i
i=0

(1.3)

j=0

−1

(φ + |b−j |) = 1.

ở đây ta quy ước
j=0

Ta có bổ đề sau về sự xác định của biến Y .
Bổ đề 1.1.1. Giả sử

E ln+ |e0 | < ∞, E ln+ |φ + |b0 || < ∞

(1.4)

− ∞ ≤ E ln |φ + |b0 || < 0.

(1.5)

và
Khi đó chuỗi (1.3) hội tụ tuyệt đối (hcc).

13


Chứng minh. Xét trường hợp −∞ < E ln |φ + |b0 || < 0, theo luật mạnh
số lớn tồn tại biến ngẫu nhiên i0 sao cho:

1
ln |φ + |b−1 || + ln |φ + |b−2 || + · · · + ln |φ + |b−i || ≤ iγ
2

∀i ≥ i0 (1.6)

trong đó

−∞ < γ = E ln |φ + |b0 || < 0.
Sử dụng (1.6) ta có

|Y | ≤

i0

∞

i−1

|e−i |

|φ + |b−j || +

|e−i |

i=0

i−1

i=i0 +1

j=0

|φ + |b−k ||
k=0

(1.7)

≤

i0

∞

i−1

|e−i |

i=0

|φ + |b−j || +
j=0

|e−i | eiγ/2

i=i0 +1

Với bất kỳ η > 1 ta có:

P ln+ |e−i | > i ln η

P |e−i | > η i =
1≤i<∞

1≤i<∞

P ln+ |e−0 | > i ln η ≤ Eln+ |e0 | / ln η < ∞

=
1≤i<∞

Khi đó, theo bổ đề Borel-Caltelli:
∞

|e−i | .eiγ/2 < ∞

P

= 1.

(1.8)

i=i0 +1

Như vậy, từ (1.7) ta thu được P {|Y | < ∞} = 1.
Xét trường hợp E ln |φ + |b0 || = −∞ lúc đó (1.6) đúng với mọi γ < 0 làm
tương tự như trên ta có điều phải chứng minh.
Bây giờ ta xét một số tính chất của biến ngẫu nhiên Y thông qua các
mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử các điều kiện (1.2) và (1.5) được thỏa mãn, đồng
thời E|b0 |ε < ∞, E|e0 |ε < ∞ với ε > 0 nào đó. Khi đó tồn tại δ > 0 sao
cho E|Y |δ· < ∞.

14


Chứng minh. Xét hàm số M (t) = E|φ + |b0 ||t , 0 ≤ t ≤ ε.
Ta có M (0) = 1 và theo (1.5) thì: M (0+) < 0. Vì vậy M (t) là hàm giảm
trong lân cận phải của 0, do đó tồn tại δ > 0 sao cho: M (δ) < 1.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng, 0 < δ ≤ 1. Áp dụng bất đẳng
thức: (a + b)δ ≤ aδ + bδ với a, b ≥ 0 ta có:

δ
∞

δ

|Y | ≤ 

∞

i−1

|e−i |
i=0

|φ + |b−j || ≤
j=0

i−1

δ

|φ + |b−j ||δ

|e−i |
i=0

j=0

Sử dụng điều kiện (1.2) và M (δ) < 1, ta thu được:
∞
δ

δ

E|Y | ≤ E|e0 |

∞

i−1
δ

M i (δ) < ∞.

|φ + |b−j || = E|e0 |

E
i=0

δ

j=0

i=0

Mệnh đề 1.1.3. Giả sử rằng các điều kiện (1.2) và (1.5) được thỏa mãn,
đồng thời: E|e0 |ν < ∞, E|b0 |ν < ∞, E|φ + |b0 ||ν < 1 với ν ≥ 1 nào đó.
Khi đó E|Y |ν < ∞.
Chứng minh. Do điều kiện (1.2) và áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta
có:
∞
1/ν

(E|Y |ν )

1/ν

≤ (E|e0 |ν )

i/ν

(E|φ + |b0 ||ν )

.

<∞

i=0

Nghĩa là E|Y |ν < ∞.
Định lý sau khẳng định điều kiện dừng của chuỗi (1.1).
Định lý 1.1.4. Giả sử rằng các giả thiết (1.1), (1.4) và (1.5) được thỏa
mãn. Khi đó:
∞

Yk =

i−1

(φ + |bk−j |)

ek−i
i=0

j=0

hội tụ tuyệt đối một cách hầu chắc chắn và quá trình {Yk ; k ∈ Z} là nghiệm

dừng duy nhất của (1.1).

15


Chứng minh. Ta có: Yk hội tụ tuyệt đối theo Bổ đề 1.1.1. Mặt khác:
∞
i=0

∞

i−1

(φ + |bk−j |) = ek +

ek−i

Yk =

i−1
j=0

i=1

j=0

(φ + |bk−j |)

ek−i .

= ek + ek−1 (φ + |bk |) + ek−2 (φ + |bk |) . (φ + |bk−1 |) + · · ·
∞

= ek + (φ + |bk |) .

i−1

(φ + |bk−1−j |) = ek + (φ + |bk |) Yk−1 .

ek−1−i
j=0

i=0

Vậy Yk là nghiệm duy nhất của (1.1). Dễ thấy {Yk } là dãy dừng và {Yk }
độc lập với et , bt , t > k

1.2

Ước lượng các tham số của mô hình

Giả sử

b0
e0

∼N

0
0

,

σb2 0
0 σe2

(1.9)

Trong mục này ta quan tâm tới véc tơ ước lượng của u0 = φ, σb2 , σe2 dựa
trên phương pháp hợp lý cực đại.
Với k ∈ Z ta có:

E (Yk |Fk−1 ) = E ((φ + |bk |) Yk−1 + ek |Fk−1 ) = (φ + E |bk |) Yk−1
trong đó Fk−1 = σ{Y0 , Y1 , · · · , Yk−1 }. Mà

E |bk | =

2
· σb ⇒ E (Yk |Fk−1 ) =
π


Var (Yk |Fk−1 ) = E  Yk − φ + σb

=E




|bk | − σb



=

1+

2
π

2
π

σb2 − 2σb
16

φ + σb
2
π

2
π
2

2
Yk−1
+ e2k |Fk−1



|Fk−1 

Yk−1

2

Yk−1





2
2
E |bk | Yk−1
+ σe2
π


= 1−

2
π

2
σb2 Yk−1
+ σe2

Bổ đề 1.2.1. Hàm mật độ có điều kiện fYk |Yk−1 (x) có dạng sau:



2
√
(x−φYk−1 )
−
2
2 2
2
 Yk−1 σb (x − φYk−1 ) 
fYk |Yk−1 (x) =
e 2(σb Yk−1 +σe ) Φ 

2
2
2
2
2
2
σe ( Yk−1 σb + σe )
π σb Yk−1 + σe
trong đó Φ(x) là hàm Laplace
.
Chứng minh. Ta có bk ∼ N (0, σb2 ) nên hàm mật độ của |bk | có dạng sau:
√
2
2 − 2σx12
e b
f|b| (x1 ) = √
πσb
và ek ∼ N (0, σe2 ). Do tính độc lập giữa bk và ek nên hàm mật độ đồng thời

của bk và ek như sau:
2

2

1 −( 2σx12 + 2σx2e2 )
f|b|,e (x1 , x2 ) =
e b
.
πσb σe
Đặt

X = Yk−1 |bk | + ek ,
Z = |bk |
suy ra được

|bk | = Z,
ek = X − Yk−1 Z
Hàm mật độ đồng thời của X, Y như sau:
2

2

z)
)
1 −( 2σz 2 + (x−Y2σk−1
2
e
e b
.

fX,Z (x, z) =
πσb σe

Khi đó hàm mật độ của X là:
+∞

fX (x) =

fX,Z (x, z)dz =
0

17






2
2
π(σb2 Yk−1

+ σe2 )

exp{−

x2
2
2(σb2 Yk−1

+ σe2 )


}Φ 

σb Yk−1 x
2 σ2 + σ2)
σe ( Yk−1
e
b




vì vậy hàm mật độ của X + φYk−1 sẽ là




(x − φYk−1 )2
 Yk−1 σb (x − φYk−1 ) 
exp
−
Φ


2
2
2
2

π(σb Yk−1 + σe2 )
2(σb Yk−1 + σe2 )
2
2
2
σ ( Y σ +σ )
2

fYk |Yk−1 (x) =

e

k−1 b

e

Như vậy ta có hàm hợp lý như sau:

√

n

Ln (u) =
i=1



(Yi − sYi−1 )2
exp −
2 +y

2 xYi−1
2
π xYi−1 + y
2


Φ

x
y Yi−1 (Yi

− sYi−1 )

2 +y
xYi−1

Ước lượng hợp lý cực đại được xác định bởi:

sup Ln (u) = Ln θˆn

(1.10)

u∈Γ

trong đó Γ là một miền tùy chọn thích hợp nào đó thuộc R3 .
Đặt

Hn (u) =

1

n

n

gi (u) ,
i=1

√x

2

gi (u) =

(Yi −sYi−1 )
2 +y
xYi−1

+ ln

2
xYi−1

+ y − ln Φ

y Yi−1 (Yi −sYi−1 )

√

2 +y
xYi−1

Khi đó có thể viết lại (1.10) dưới dạng

inf Hn (u) = Hn θˆn

u∈Γ

Ta giả sử rằng

Γ=

(s, x, y) : −s0 ≤ s ≤ s0 ,

1
1
≤ x ≤ x0 , ≤ y ≤ y0
x0
y0

(1.11)

với

s0 > 0, x0 > 1, y0 > 1

(1.12)

Bây giờ ta phát biểu tính vững của ước lượng giả hợp lý cực đại θˆn .
18






Định lý 1.2.2. Giả sử các giả thiết (1.2 ), (1.4), (1.5), (1.9), (1.11),
(1.12) được thỏa mãn đồng thời

P {(φ + b0 ) e0 = 0} < 1
và

u0 ∈ Γ
thì

θˆn → u0

(n → ∞)

(hcc).

Chứng minh. Theo định lý Egorov và các giả thiết ta có thể tìm được một
biến cố E với P (E) > 1 − , một số dương δ ∗ < δ , một số dương M và một
số n0 sao cho trên E , với mọi n > n0 và u ∈ Nδ∗ ≡ u : u − u0 < δ ∗ ,
các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
0
n (u )
(i) (u − u0 ) ∂H∂u
< nδ ∗3 ,
(ii) Giá trị riêng nhỏ nhất của (2n)−1 Vn lớn hơn ∆ > 0 và,
(iii) (1/2)(u − u0 ) Tn (u∗ )(u − u0 ) < nM δ ∗3

Sử dụng khai triển Taylor của Hn (u) trên biên của Nδ∗ , ta có:

Hn (u) ≥ Hn (u0 )+n(−δ ∗3 +∆δ ∗2 −M δ ∗3 ) ≥ Hn (u0 )+nδ ∗2 (∆−δ ∗ −M δ ∗ )
Vì ∆ − δ ∗ − M δ ∗ có thể nhận giá trị dương nếu chọn δ ∗ đủ nhỏ, do vậy
Hn (u) sẽ nhận giá trị nhỏ nhất tại một điểm θˆn nào đó ở miền trong của
ˆ
Nδ∗ và θˆn thỏa mãn ∂Hn (θn ) = 0 trên biến cố E với mọi n > n0 .
∂u

Tiếp tục quá trình trên nhưng thay

bởi

k

= 2−k và thay δ bởi

δk = k −1 , k = 1, 2, ...
ta thu được một dãy các biến cố Ek và một dãy tăng {nk } sao cho phương
trình
∂Hn (u0 )
=0
∂u
có nghiệm trên Ek với mọi n > nk . Với mỗi nk ≤ n ≤ nn+1 ta định nghĩa
θˆn là nghiệm của phương trình

∂Hn (u0 )
=0
∂u
trong lân cận δk của u0 và tại đó Hn đạt minimum và θˆn = 0 trên Ekc . Khi

đó θˆn → u0 trên lim inf k→∞ Ek trong đó

P (lim inf Ek ) = 1
k→∞

19


vì

∞

1 − P (lim inf Ek ) =
k→∞

P (lim sup Ekc )
k→∞

k→∞

Ejc )

j=k
∞

∞

P (Ejc )

≤ lim

= limk→∞ P (
2−j = 0

≤ lim

k→∞

j=k

j=k

Định lý 1.2.3. Đặt:

gi (u) =

∂gi (u) ∂gi (u) ∂gi (u)
,
,
∂s
∂x
∂y

là vector đạo hàm của gi (u) và


gi (u) = 


∂ 2 gi (u)

∂s2
∂ 2 gi (u)
∂s∂x
∂ 2 gi (u)
∂s∂y

∂ 2 gi (u)
∂x∂s
∂ 2 gi (u)
∂x2
∂ 2 gi (u)
∂x∂y

∂ 2 gi (u)
∂y∂x
∂ 2 gi (u)
∂y∂x
∂ 2 gi (u)
∂y 2






là ma trận đạo hàm cấp 2 của gi (u).
Giả sử
i) θ ∈ int(Γ)
ii) Eb40 < ∞, Ee40 < ∞
Khi đó

√
D
n θˆn − θ → N 0, G−1 AG−1
trong đó G =1 (θ), A = E g1 (θ)

T

g1 (θ).

Chứng minh. Theo [4], Định lý 3.2.26 trang 101-102.

1.3

Nghiên cứu mô phỏng

Ta tiến hành mô phỏng dữ liệu với các tham số φ = −0.5, σb2 =
0.04, σe2 = 0.04 với các cỡ mẫu n khác nhau sau đó ước lượng các tham số
trên bằng phương pháp giả hợp lý cực đại. Kết quả ước lượng được cho
trong bảng (1.1) dưới đây.

20


Hình 1.1: Đồ thị chuỗi lợi suất của giá vàng Hà Nội trên thị trường tự do.

n
200
500
1000
5000

10000
50000
100000
500000

φ (Std.Dev)
-0.509076 (0.015956)
-0.500239 (0.014815)
-0.500143 (0.015308)
-0.500115 (0.013749)
-0.499113 (0.013825)
-0.509930 (0.013079)
-0.508612 (0.012760)
-0.507420 (0.011521)

σb2 (Std.Dev)
0.040642 (0.001227)
0.0401392 (0.001349)
0.040105 (0.001362)
0.040041 (0.001147)
0.039990 (0.001171)
0.041492 (0.001199)
0.041661 (0.001153)
0.041652 (0.000960)

σe2 (Std.Dev)
0.039666 (0.001152)
0.039712 (0.001197)
0.039859 (0.001651)
0.039939 (0.001555)

0.039988 (0.001312)
0.040011 (0.000829)
0.039893 (0.000963)
0.039982 (0.000783)

Bảng 1.1. Kết quả ước lượng dựa trên dữ liệu mô phỏng

Dưới đây là một số hình ảnh mô phỏng chuỗi RCA với tác động ngẫu nhiên
dương. Ta có thể so sánh tính dừng của chuỗi được nghiên cứu trong mục
(1.1) với các hình ảnh mô phỏng.

21


Hình 1.2: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −0.4, σb = 0.4, σe = 0.4, EYt ≈ 1.935910−4 ,
chuỗi dừng theo Bổ đề 1.1.1.

Hình 1.3: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −0.6, σb = 0.4, σe = 0.4, EYt ≈ 2.3673 ∗ 10−4
chuỗi dừng theo Bổ đề 1.1.1..

Hình 1.4: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −0.8, σb = 0.4, σe = 0.4, EYt ≈ −2.2580 ∗ 10−4
chuỗi dừng theo Bổ đề 1.1.1..

22


Hình 1.5: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −1.0, σb = 0.4, σe = 0.4, EYt ≈ 2.6469 ∗ 10−4
chuỗi dừng theo Bổ đề 1.1.1..

Hình 1.6: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −1.1, σb = 0.4, σe = 0.4, EYt ≈ 4.9064 ∗ 10−4

chuỗi dừng theo Bổ đề 1.1.1..

Hình 1.7: Đồ thị mô phỏng cho chuỗi với φ = −1.2, σb = 0.4, σe = 0.4, EYt ≈ −1.4247 ∗ 10−4
chuỗi không dừng và bắt đầu phân cụm.

23