Tai lieu on thi toan vao lop 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (432.29 KB, 49 trang )
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC - BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
1)
4)
7)
10)
3x − 1
1
7x − 14
3− x
7x + 2
1
2)
x2 + 3
3)
5 − 2x
9)
5)
x 2 − 3x + 7
6)
2x − 1
11)
2x 2 − 5x + 3
9)
x +3
7−x
13)
1
3x
+
x −3
5−x
8)
11)
2x − x 2
1
x − 5x + 6
2
x2 − 2
6x − 1 + x + 3
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bài 1: Đưa một thừa số vào trong dấu căn.
3 5
2
a)
;
b) x (víi x > 0);
5 3
x
Bài 2: Thực hiện phép tính.
a)
c)
( 28 − 2 14 + 7) × 7 + 7 8; d)
( 8 − 3 2 + 10)( 2 − 3 0,4); e)
c)
(15 50 + 5 200 − 3 450): 10; f)
3;
2 3− 6
216 1
−
)⋅
3
8−2
6
Bài 4: Thực hiện phép tính.
a) (
a)
c)
b)
h)
3
3
c)
e) x
7
x2
26 + 15 3 − 3 26 − 15 3
14 − 7
15 − 5
1
+
):
1− 2
1− 3
7− 5
5 − 2 6 + 8 − 2 15
7 + 2 10
4− 7 − 4+ 7 + 7
d)
d)
c)
(3 − 5) 3 + 5 + (3 + 5) 3 − 5
b)
e)
6,5 + 12 + 6,5 − 12 + 2 6
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
1
1
a)
−
b)
7 − 24 + 1
7 + 24 + 1
a) 6 + 2 5 − 13 + 48
x
;
25 − x 2
5 2 +7 − 3 5 2 −7
3+ 5 − 3− 5 − 2
5+2 6
5−2 6
+
5− 6
5+ 6
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
d) (x − 5)
11 + 6 2 − 11 − 6 2
(4 + 15)( 10 − 6) 4 − 15
c)
2
;
5
6 + 2 5 + 6 − 2 5;
b)
3
g)
20 + 14 2 + 20 − 14 2 ;
Bài 3: Thực hiện phép tính.
x
3
3 +1 −1
−
3
3 −1 +1
3+ 5
3− 5
+
3− 5
3+ 5
b) 4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
99 + 100
Trang 1
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
a)
a b +b a
1
:
, víi a > 0, b > 0 vµ a ≠ b.
ab
a− b
a + a a − a
b) 1 +
÷ 1 −
÷, víi a > 0 vµ a ≠ 1.
a + 1 ÷
a − 1 ÷
c)
a a − 8 + 2a − 4 a
;
a−4
d)
1
× 5a 4 (1 − 4a + 4a 2 )
2a − 1
e)
2
3x 2 + 6xy + 3y 2
×
x 2 − y2
4
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
a) A = x 2 − 3x y + 2y, khi x =
1
1
;y =
5 −2
9+4 5
b) B = x 3 + 12x − 8 víi x = 3 4( 5 + 1) − 3 4( 5 − 1) ;
)(
(
)
c) C = x + y , biÕt x + x 2 + 3 y + y 2 + 3 = 0;
d) D = 16 − 2x + x 2 + 9 − 2x + x 2 , biÕt
16 − 2x + x 2 − 9 − 2x + x 2 = 1.
e) E = x 1 + y 2 + y 1 + x 2 , biÕt xy + (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = a.
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức P =
x −3
x −1 − 2
a) Rút gọn P.
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
a2 + a
2a + a
−
+ 1.
Bài 2: Xét biểu thức A =
a − a +1
a
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 -
a) Rút gọn A.
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
1
1
x
−
+
2 x − 2 2 x + 2 1− x
a) Rút gọn biểu thức C.
4
b) Tính giá trị của C với x = .
9
3 ).
A.
Bài 3: Cho biểu thức C =
Bài 4: Cho biểu thức M =
a) Rút gọn M.
a
− 1 +
2
a −b
a − b2
a
2
2
c) Tính giá trị của x để
1
C= .
3
b
:
2
2
a− a −b
a 3
= .
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
b 2
x −2
x + 2 (1 − x) 2
⋅
−
.
Bài 5: Xét biểu thức P =
x
−
1
2
x
+
2
x
+
1
b) Tính giá trị M nếu
Trang 2
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
.
Bài 6: Xét biểu thức Q =
x −5 x +6
x −2 3− x
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên.
2
x−y
x 3 − y3
x − y + xy
−
:
Bài 7: Xét biểu thức H =
x− y
x
−
y
x+ y
a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H ≥ 0.
c) So sánh H với H .
a 1
2 a
:
.
−
Bài 8: Xét biểu thức A = 1 +
a + 1 a −1 a a + a − a −1
a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
c) Tính các giá trị của A nếu a = 2007 − 2 2006 .
(
)
3x + 9x − 3
x +1
x −2
−
+
.
x+ x −2
x + 2 1− x
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên.
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
.
Bài 10: Xét biểu thức P =
x + 2 x − 3 1− x
x +3
1
2
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho P = .
c) So sánh P với .
2
3
Bài 9: Xét biểu thức M =
2
2
−
7 −5
7 +5
2 x + x + 1 x − x
1.1 Cho biểu thức: B =
÷1 −
÷: 1 − x
1
+
x
x
−
1
a) Rút gọn B.
b) Tính B khi x = 4 − 2 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B với x ≥ 0; x ≠ 1.
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức:
(
)
Bài 12:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
1.2 Cho biểu thức: M =
3
3 + 1 −1
−
3
3 +1 +1
x x−y y
x− y
−
x − y x + y + xy
a) Rút gọn M.
b) Với điều kiện nào của x và y thì M = 0.
Bài 13:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
3− 5
3+ 5
+
3+ 5
3− 5
x+2
x
1 x −1
+
+
÷:
2
x
x
−
1
x
+
x
+
1
1
−
x
1.2 Cho biểu thức: N =
a) Rút gọn N.
b) Chứng minh rằng: N > 0 với x ≥ 0; x ≠ 1.
Trang 3
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
Bài 14:
2+ 3 + 2− 3
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
1
1
x x−x
+
+
x −1 − x
x −1 + x
x −1
53
b) Tính P khi x =
c) Tìm x để P = 16.
9−2 7
1.2 Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.
Bài 15:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
2( 2 + 6)
3 2+ 3
3 x+ 9x − 3
x +1
x −2
−
+
1.2 Cho biểu thức: K =
x+ x −2
x + 2 1− x
a) Rút gọn K.
b) Tính K khi x = 3 + 2 2 .
c) Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên.
Bài 16:
1
4 1
1 3
2
−
4,5 +
50 ÷:
5
2 2 2
15 8
x 1
2 x
−
1.2 Cho biểu thức: A = 1 +
÷:
÷
x +1 x −1 x x + x − x −1
a) Rút gọn A.
b) Tính A khi x = 4 + 2 3 .
c) Tìm x để A > 1.
1.1 Tính giá trị của biểu thức: ×
Bài 17: Tính giá trị của biểu thức:
1.1 Cho biểu thức: B =
4−2 3 − 3
x2 + x
2 x+ x
+1−
x − x +1
x
a) Rút gọn B.
Bài 18:
b) Tìm x để B = 2.
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
1
1
+
2+ 3 2− 3
2 x+ x − 1 2 x x − x + x x − x
−
÷×
1
−
x
1
−
x
x
2 x −1
1.2 Cho biểu thức: C = 1 +
b) Cho C =
a) Rút gọn C.
6
1+ 6
×Tìm x ?.
c) Chứng minh: C >
2
.
3
Bài 19:
1.1 Tính giá trị của biểu thức: (2 2 − 5 + 18)( 50 + 5)
x−5 x
25 − x
x +3
x −5
− 1÷:
−
+
÷
x +5
x −3
x − 25
x + 2 x − 15
1.2 Cho biểu thức: D =
a) Rút gọn D.
b) Với giá trị nào của x thì D < 1.
Trang 4
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
Bài 20:
2
7
+
2 − 2 3− 2
x x −1 x x + 1
1 x +1
x −1
−
+
1.2 Cho biểu thức: E =
÷+ x −
÷
÷
x+ x
x x −1
x +1
x− x
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
a) Rút gọn E.
Bài 21:
1.1 So sánh hai số:
b) Tìm x để E = 6.
2005 − 2004 và 2004 − 2003
x2 − x
2 x+ x 2( x − 1)
−
+
1.2 Cho biểu thức: P =
x + x +1
x
x −1
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức Q =
2 x
nhận giá trị là số nguyên.
P
Bài 22: Tìm giá trị biểu thức sau:
1
a) A =
3
−
4
−
.
d) D = 2 + 2 + 2 + ... + 2
11 − 2 30
7 − 2 10
8+4 3
n dấu căn
1
1
1
+
+ ........ +
b) B =
.
1+ 2
2+ 3
99 + 100
1
1
1
+
+ ........ +
c) C =
.
2 1 +1 2 3 2 + 2 3
100 99 + 99 100
Bài 23: Rút gọn các biểu thức sau:
x
x
4 x −1 1
+
+
÷:
x
−
4
x
+
2
2
−
x
x−4
a) A =
(
b) B =
c) C =
d) D =
x− y
)
3
+ 2x x + y y
+
x x+y y
1
3
2
−
+
x +1 x x +1 x − x +1
x x + y y − xy
( x − y)
(
(
x+ y
x+ y
Bài 24: Cho abc = 1. Tính: S =
)
3
(
)+
xy − y
x− y
)
2 y
x+ y
1
1
1
+
+
1 + a + ab 1 + b + bc 1 + c + ac
Trang 5
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
DẠNG TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC (cố gắng tự làm)
Bài 1
2x + 1
A=
x x −1
x−2
: 1 −
x −1 x + x + 1
1
−
x
a) Rút gọn A =
b) Tính A biết x=
x +3
e)Tìm x để A=1/3
Bài 2
B=
a)Rút gọn B=
x (1 − x) 2
1+ x
b)Tìm x để B=2/5
2 x
−
2x − 5 x + 3
E=
a)Rút gọn E=
1
e) So sánh B với 1/2
1
1
.
C x +1
3
x
c)Tính C với x=
e)Tìm x ∈ Z để C’ ∈ Z
2
2− 3
g)Tìm x để C= 5 x
x +1
1
2−x
:
−
+
x − 2 x +1
x
1 − x x − x
x+ x
x
x −1
x +1
x −1
+
b)Tìm x để E > 1
c)Tìm GTNN của E với x > 1
e)Tính E tại 2 x + 1 = 5
g)Tìm x để E = 9/2
x x +1 1− x
:
+
x + 1 1 − x x − 1
x + 1
x
+
b)Tìm GTNN của G với x>0
2 x −9
x −5 x +6
−
x +3
x −2
−
2 x +1
3− x
a)Rút gọn K=
d)Tìm GTNN của K’=1/K
g) Tính K biết x-3 x + 2 =0
h) So Sánh K’ với 1
x +1
x −1
−
a)Rút gọn G =
c)Tính G tại x = 17- 4 13
c)Tìm x ∈ Z để K ∈ Z
Bài 7 M=
g) Tìm x để B >
5
b)Tìm GTNN của C’ với C’=
3−2 x
G=
Bài 6 K=
c)Tính B biết x= 12-6 3
2
: 3 +
2 x − 3 1− x
d)Tìm x ∈ Z để E ∈ Z
Bài 5
h) Tìm x để A > 1/2
x x +1
+ x ⋅
− x
x −1
x +1
d)Tìm x để C>0
Bài 4
d) Tìm GTNN của A
x x − 1
:
x
x +1
C=
a)Rút gọn C=
c)Tìm x∈ Z để A ∈ Z
g) So sánh A với 1
d) Tìm GTNN và GTLN củaB
Bài 3
2− 3
2
x −1 1
x
2
:
−
+
x + 1 x + 1 1 − x x − 1
2x + 1
4 x
d)Tìm x để G = 9/8
x +1
x −3
b)Tìm x để K<1
e)Tìm x để K = 5
a)Rút gọn M=
4 x
x + 2 x +1
Trang 6
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
b)Tìm x để M= 8/9
e)So sánh M với 1
g) Tìm GTNN, GTLN của M
x−3 x
9− x
− 1 :
Bài 8 N=
x
−
9
x+
b)Tìm x để N<0
Bài 9
−
x −6
x −3
2− x
−
x −2
x + 3
2 x
x +3
x
+
x −3
−
3x + 3 2 x − 2
:
− 1
x − 9 x − 3
c)Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
x+2
x +1
1
+
−
÷
x −1 ÷
x x −1 x + x + 1
S= 1 +
c)Tìm GTNN của S với a>1
Bài 12 Y=
3x − 3 x − 3
x+ x −2
x +1
−
x +2
+
e) Tính R tại x=11-6 2
a)Rút gọn S=
a + a +1
a −1
P=
x
+
x x −1
c) Tìm x để P =-4
x +2
d)Tìm GTLN của Y
a) Rút gọn P=
x −1
x +1
e) Tính P tại x=6-2 5
x x +1
a) Rút gọn P=
x+ x
2x + 2 x + 2
x
c) Tính P tại x = 12+ 6 3
x −1
P=
x +1 −
P=
x− x
−
x −2
a)Rút gọn Y=
d)Tìm GTNN của P
2x + 2
b)Tìm a để S=2a
e)Tìm a ∈ Z để S ∈ Z
x
3
6 x −4
+
−
x −1
x −1
x +1
P=
c) Tìm x để P =2
Bài 16
b)So sánh R với 3
c)Tìm x ∈ Z để Y ∈ Z
b) Tìm GTNN của P
Bài 15
x +3
x
x −2 1
.
− 1
x 1− x
c)Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
Bài 14
−3
x + x +1
d)Tính S tại a=1/2
b)Tìm x để Y=x
Bài 13
a)Rút gọn R=
a 1
2 a
:
−
a + 1 a − 1 a a + a − a − 1
x −2
d)Tính P tại x = 25 − 4 6
d)Tìm x ∈ Z để R>4
c)Tìm GTNN , GTLN của R
3
e)Tính N tại x=7-4 3
a)Rút gọn P=
c)Tìm GTNN của P
Bài 10 R = 1:
Bài 11
a)Rút gọn N=
d)Tìm x ∈ Z để N ∈ Z
c)Tìm GTLN của N
P=
d)Chứng minh M ≥ 0
c)Tính M tại x= 17+12 2
2
1− x
x +1 1
x
⋅
a) Rút gọn P=
−
x
2
x −1 2 x
d) Tính P tại x= 3-2 2
x +1
x+2
x +1
−
−
x −1 x x −1 x + x +1
d) Tính P tại x=6-2 5
b) tìm GTLN , GTNN của P
e ) Tìm x để P > 0
a) Rút gọn P =
− x
x + x +1
g) So sánh P với -2 x
b) tìm GTLN của P
e ) Tìm x để P < -3
Trang 7
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
h) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
g) So sánh P với 1
Bài 17
P=
x2 − x
x + x +1
c) Tìm x để P =3
2x + x
−
x
a+3 a +2
a+ a −2
−
P = 1 +
c) Tìm x để P =5
1
1
:
+
a − a a + 1
a −1
x x −1
b) tìm GTLN, GTNN của P
Bài 21
P=
−
x+2
x x −1
x +1
x + x +1
b) Tìm GTLN , GTNN của P
Bài 22
3x + 3 x − 3
P=
x+ x −2
c) Tìm x để P = 4
1
x −1
3+ x
3− x
−
1
−
+
3− x
3+ x
a) Rút gọn P =
a) Rút gọn P=
x −1
− 2
x +2
1
−
a) Rút gọn P=
c) Tìm x để P = -1
x
x −2
+
x +3
:
2 x − x x − 2
4x
x +2
a) Rút gọn P=
b) Tìm GTLN của P
g) So sánh P với 3
a) Rút gọn P=
4x
x −2
d)Tìm x để P > 4 x
a) Rút gọn P =
d) Tính P tại a= 4 - 2 3
d) Tính P tại x=11-4 6
g) So sánh P với 2
x + x +1
e ) Tìm x để P< 2
c) Tìm x để P = 3
c) Tìm a để P = 2
e ) Tìm x để P>1
−3 x +4
a −5 a
25 − a
a −5
a + 2
− 1 :
−
−
a
−
25
a
+
3
a
−
10
2
−
a
a
+
5
P =
d) Tính P tại x=5-2 6
d) Tính tại x= 22- 4 10
Bài 23 P =
Bài 24
x −1
x
4x 5
4 x +2
:
−
x − 9 3 − x 3 x − x
b) Tìm GTLN , GTNN của P với x>4
b) Tìm GTLN của P
x+2
e ) Tìm x để P>0
d) Tính P tại x=8+2 10
d) Tính P tại x=17+12 2
P =
Bài 22.1
1
P
c) Tìm x để P =1/3
+
b Tìm x để P =3
2 a
x+ x
x −1
x
x+ x
⋅
+
a) Rút gọn P =
x − 1 2x + x − 1 2 x − 1
x + x +1
c) Tìm x để P = 2
+
a +1
g) So sánh P với 1/2
x 1
2 x
:
−1
−
x + 1 x − 1 x x + x − x − 1
2x x + x − x
b) Tìm GTNN của P
g) So sánh P với 1/2
a) Rút gọn P =
e ) Tìm x để P>3
b) Tìm GTLN , GTNN của P’=
P =
Bài 20
x +1
e ) Tìm x để P > 3
a
d) Tính P tại x= 15-6 6
Bài 19
a) Rút gọn P = x −
x −1
d) Tính P tại x=7+2 3
P =
Bài 18
2( x − 1)
+
x −4
x +3
e ) Tìm x để P>-1
5
a +2
e ) Tìm a để P > 2
b) Tìm GTNN của P
g) So sánh P với 1
Trang 8
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
Bài 25 P =
(
3 a+
)
a −1
(
)
a −1
2
−
(
a a −1
b) Tìm GTLN , GTNN của P
2
+
2
a) Rút gọn P=
a −1
c) Tìm x để P =1
x − x−3
−
x −1
x +1
:
−
x − 1 x − 1
1
P =
Bài 26
)
6 − 2 a −1
5 a +1
a + a +1
) Tính P tại x= 7-2 6
8 x
x + 1 x − 1
x −1
−
x+4
a) Rút gọn P =
4 x
b) Tìm GTLN , GTNN của P
c) Tìm x để P = 8
h) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
d) Tính P tại x=10-2 21
e ) Tìm x để P >5
g) So sánh P với 4
2x + x −1 2x x + x − x x − x
P = 1 +
−
÷
÷×2 x − 1
1
−
x
1
−
x
x
Bài 27:
b Tìm GTLN , GTNN của P
x
Bài 28 P =
2 x −2
+
c) Tìm x để P = 3
c) Tìm x để P =3
e ) Tìm x để P >4
g) So sánh P với 2
x+ x −4
Bài 29 P =
x−2 x −3
x −1
: 1 −
3 − x
−
b) Tìm GTNN của P
x + x +1
(
x+3
)
2. x + 1
d) Tính P tại x= 15+6 6
a) Rút gọn P =
x −2
x +1
d) Tính P tại x= 5+2 6
g) So sánh P với 1
P =
1
x +1
c) Tìm GTNN của P
Bài 31
a) Rút gọn P=
c) Tìm x để P =1/2
e ) Tìm x để P > -1
Bài 30
x −3
x − 2
x
d) Tính P tại x=13- 4 10
3− x
x +1
x +2
:
+
2 x − 2 x + x + 1 x x − 1
b) Tìm GTLN , GTNN của P
a) Rút gọn P=
P =
−
1
2
:
−
x x − x + x −1 x −1 x −1
2 x −2
x −1
x +1
a) Rút gọn P =
b)Tìm x để P =
x +2
x−5 x +6
−
x +3
2− x
−
x + 2
: 2 −
x − 3
x
x + 1
a) Rút gọn P =
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
d) Tính P tại x= 5 − 2 6
e ) Tìm x để P>2
g) So sánh P với 2
h) Tìm GTLN , GTNN của P’=
x +1
1
x+2
+
+
x :
x + x + 1 1− x x x −1
b) Tìm x để P = 6
3 x
d) Tính P tại x=7-2
b) Tìm x để P = 3
Bài 32. P =
1
e ) Tìm x để P >3
a) Rút gọn P = x +
g) So sánh P với 3 x
x +1
x−4
1
P
x +1
h) Tìm GTNN của P
Trang 9
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
Bài 33) P =
(
)+
3 x+ x −3
x +3
x+ x −2
x +2
x −2
−
Rút gọn P =
x −1
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
d) Tính P tại x=
g) So sánh P với 3
h) Tìm GTLN , GTNN của P
x
x +1 2 x + 7 3 − x
−
−
:
+
1
÷
÷
÷
x−4 ÷
x +2
x −2
x −2
Bài 35
2+ x
2− x
−
2− x
−
2+ x
e ) Tìm x để P> 10/3
x −5
a) Rút gọn P =
x +2
d) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
c) Tìm GTNN của P
P =
b) Tìm x để P = 7/2
13 − 4 10
Bài 34 P =
b) Tính P biết x= 9-4 5
3 x +8
x +2
4x 2
x +3
:
−
x − 4 2 − x 2 x − x
a) Rút gọn P =
4x
x −3
b) Tìm x để P = -1
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
d) Tính P tại x=
e ) Tìm x để P > 4
g) So sánh P với 4 x
h) Tìm GTLN , GTNN của P với x>9
Bài 36
2x + 1
P =
x x −1
−
x+4
: 1 −
x −1 x + x + 1
1
e ) Tìm x để P >1
Bài 37
P =
x x + 26 x − 19
x+2 x −3
2 x
x −1
+
x −3
x − 7 x + 12
b) Tính P tại x= 2 7 − 4 3
x− x
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
x −4
−
c) Tìm x để
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
x x −1
x +3
x +3
2 x +1
3− x
A < A2
e ) Tìm x để P > 1
−
x x +1
x+ x
+
x +1
x
d) Tính P tại x=
x −3
.P
x +1
a) Rút gọn P =
x + 16
x +3
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
b) Tìm x để P = 7
e ) Tìm x để P <
−
23 − 4 15
d) Tính P tại x=
c) Tìm GTNN của P
2 x +1
P=
P=
−
17 − 12 2
d) Tính P tại x=
Bài 39
x −3
h) Tìm GTLN , GTNN của P’=
b) Tính P tại x= 7- 4 3
Bài 38
x
a) Rút gọn P =
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
b) Tìm x để P = - 2
15 − 4 14
h) Tìm GTNN của P
x
a) Rút gọn P =
x −2
x −4
d) Tìm x để P = 2
h) Tìm GTLN , GTNN của P’= P .
a) Rút gọn P =
25 − 6 14
x + 2 x +1
x
x −4
x +2
b) Tìm x để P= 9/2
g) So sánh P với 4
h) Tìm GTLN , GTNN của P
Trang 10
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
6 x −4
x −1
a) Rút gọn P =
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
d) Tính P tại x=
11 − 4 6
g) So sánh P với 1
h) Tìm GTNN của P
Bài 40
P=
1
x
x −1
+
3
x +1
−
7+4 3 + 7−4 3
i) Tính P tại x =
Bài 41 P =
x
+
x
x
:
x + 1 x + x
2 x
x +3
+
x
x −3
−
3x + 3 2 x − 2
:
− 1
x − 9 x − 3
x +1
x −1 x −1 x + 2 x +1
−
−
÷
÷: x + x
1
−
x
2
x
−
2
2
x
+
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
d) Tính P tại x = 4 + 2 3
2 x
1
x
−
: 1 +
÷
÷
÷
x −1 x +1 ÷
x x − x + x −1
g) So sánh P với
−3
x +3
x
x −1
b) Tìm x để P = 2
1− x
x + x +1
h) Tìm GTLN , GTNN của P
a) Rút gọn P =
d) Tính P tại x=
g) So sánh P với
h) Tìm GTLN , GTNN của P
x +3
x +2
x +2
+
+
x − 2 3− x x −5 x + 6
5 +1
d) Tính P tại x=
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
Bài 46 P =
5 −1
8
−
e) Tìm GTLN , GTNN của P
a) Rút gọn P =
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
x
2
x+9
−
+
x +3
x −3 9− x
8
a) Rút gọn P =
Rút gọn P =
Bài 44 P =
e ) Tìm x để P
g) So sánh P với 1
d) Tính P tại x = 6 + 2 5
Bài 45 P =
x +2
i) Tính P tại x =
Bài 43 P =
b) Tìm x để P =
b) Tìm x để P = -1
x
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
b) Tìm x để P = -1
e ) Tìm x để P > 2
x + x +1
e ) Tìm x để P >
h) Tìm GTLN , GTNN của P
Bài 42 P =
b) Tìm x để P = -1
x +1
k) Tìm x để P < 1/2
a) Rút gọn P=
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
x −1
a) Rút gọn P =
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
d) Tính P tại x=
g) So sánh P với
h) Tìm GTLN , GTNN của P
−5
b) Tìm x để P =
x −3
e ) Tìm x để P
1
b) Tìm x để P =
x −2
e ) Tìm x để P
Bài 1: Cho biểu thức :
P=
1
a +2
5
−
+
a +3 a+ a −6 2− a
Trang 11
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
Bài 47: Cho biểu thức:
x x +3
x +2
x +2
:
+
+
x + 1 x − 2 3 − x x − 5 x + 6
P= 1 −
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 48: Cho biểu thức:
x −1
1
8 x 3 x −2
: 1 −
−
+
3 x − 1 3 x + 1 9x − 1 3 x + 1
P=
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
6
5
Bài 49: Cho biểu thức :
P= 1 +
a 1
2 a
:
−
a + 1 a − 1 a a + a − a − 1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c)Tìm giá trị của P nếu a = 19 − 8 3
Bài 50: Cho biểu thức;
1 + a3
a (1 − a ) 2 1 − a 3
:
+
a
.
−
a
P=
1+ a
1+ a
1 − a
a)
Rút gọn P
b)
Xét dấu của biểu thức M=a.(P-
1
)
2
Bài 51: Cho biểu thức:
x +1
2x + x
x +1
2x + x
+
− 1 : 1 +
−
2
x
+
1
2
x
−
1
2
x
+
1
2
x
−
1
1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = . 3 + 2 2
2
P=
(
)
Bài 52: Cho biểu thức:
2 x
−
x
x
+
x
−
x
−
1
P=
1
x
: 1 +
x + 1
x − 1
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P ≤ 0
Bài 53: Cho biểu thức:
2a + 1
P=
a3
−
a) Rút gọn P
1 + a3
a
.
−
a
a + a + 1 1 + a
b) Xét dấu của biểu thức P. 1 − a
Bài 54: Cho biểu thức:
Trang 12
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
x+2
x +1
x +1
.
+
−
x x −1 x + x +1 x −1
P= 1 :
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3
Bài 55: Cho biểu thức :
1− a a
1 + a a
+ a .
− a
1− a
1+ a
P=
b) Tìm a để P< 7 − 4 3
a) Rút gọn P
Bài 56: Cho biểu thức:
2 x
+
x
+
3
P=
a)
x
3x + 3 2 x − 2
:
−
− 1
x − 3 x − 9 x − 3
Rút gọn P
b) Tìm x để P<
1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 57: Cho biểu thức :
x−3 x
9− x
x −3
− 1 :
−
−
x−9
x+ x −6 2− x
P=
a) Rút gọn P
x −2
x + 3
b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 58: Cho biểu thức :
P=
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
x + 2 x − 3 1− x
x +3
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
1
2
c) Chứng minh P ≤
2
3
Bài 59: Cho biểu thức:
P=
2 x
+
x +m
x
m2
−
2
x − m 4 x − 4m
với m>0
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P=0.
b) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
Bài 60: Cho biểu thức :
a2 + a
2a + a
P=
−
+1
a − a +1
a
a) Rút gọn P
b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P=2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 61: Cho biểu thức
a +1
a +1
ab + a
ab + a
+
− 1 :
−
+ 1
ab − 1
ab − 1
ab + 1
ab + 1
3 −1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a= 2 − 3 và b=
1+ 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a + b = 4
P=
Trang 13
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
Bài 62: Cho biểu thức :
a) Rút gọn P
P=
a a −1 a a +1
1 a + 1
a −1
−
+ a −
+
a− a
a+ a
a a − 1
a + 1
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 63: Cho biểu thức:
a
1
P=
2 −2 a
2
a −1
a +1
a +1 − a −1
a) Rút gọn P
Bài 64: Cho biểu thức:
(
P=
)
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
2
a − b + 4 ab a b − b a
.
a+ b
ab
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a= 2 3 và b= 3
Bài 65: Cho biểu thức :
x+2
x
1
:
+
+
x
x
−
1
x
+
x
+
1
1
−
x
P=
a)
Rút gọn P
x −1
2
b) Chứng minh rằng P>0
∀x ≠1
Bài 66: Cho biểu thức :
2 x + x
−
x x −1
P=
1
x +2
: 1 −
x − 1 x + x + 1
a) Rút gọn P
b) Tính
P khi x= 5 + 2 3
Bài 67: Cho biểu thức:
3x
1
2
1
2
:
+
−
P= 1 :
2+ x 4− x 4−2 x 4−2 x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P=20
Bài 68: Cho biểu thức :
x− y
+
P=
x− y
a) Rút gọn P
x3 − y 3
y−x
:
(
)
2
x − y + xy
x+ y
b) Chứng minh P ≥ 0
Bài 69: Cho biểu thức :
1
3 ab
1
3 ab
a −b
.
:
+
−
a + b a a + b b a − b a a − b b a + ab + b
P=
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a=16 và b=4
Bài 70: Cho biểu thức:
Trang 14
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
2a + a − 1 2a a − a + a a − a
.
−
2 a −1
1− a a
1− a
6
a) Rút gọn P
b) Cho P=
tìm giá trị của a
1+ 6
P= 1 +
c) Chứng minh rằng P>
2
3
Bài 71: Cho biểu thức:
x−5 x
25 − x
− 1 :
−
x
−
25
x
+
2
x
−
15
P=
a) Rút gọn P
x −5
x − 3
x +3
+
x +5
b) Với giá trị nào của x thì P<1
Bài 72: Cho biểu thức:
(
)
( a − 1). a − b
3 a
3a
1
:
−
+
2a + 2 ab + 2b
a
+
ab
+
b
a
a
−
b
b
a
−
b
P=
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 73: Cho biểu thức:
1
1 a +1
a + 2
−
−
:
a a −2
a − 1
a −1
P=
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P>
1
6
Bài 74 Cho biểu thức:
1
1
2
1
+
.
+ +
P=
y x+ y x
x
a) Rút gọn P
1
:
y
x3 + y x + x y + y 3
x 3 y + xy 3
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 75: Cho biểu thức :
P=
x3
2x
1− x
−
.
xy − 2 y x + x − 2 xy − 2 y 1 − x
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2
Trang 15
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIÉT
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai.
Bài 1: Giải các phương trình
1) x2 - 6x + 14 = 0 ;
2) 4x2 - 8x + 3 = 0 ;
2
3) 3x + 5x + 2 = 0 ;
4) -30x2 + 30x - 7,5 = 0 ;
5) x2 - 4x + 2 = 0 ;
6) x2 - 2x - 2 = 0 ;
7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ;
8) 2 2 x2 + x + 1 = 3 (x + 1) ;
9) x2 - 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x2 - 11x + 8 = 0 ;
2) 5x2 - 17x + 12 = 0 ;
3) x2 - (1 + 3 )x + 3 = 0 ;
4) (1 - 2 )x2 - 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ;
5) 3x2 - 19x - 22 = 0 ;
6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ;
8) x2 - 11x + 30 = 0 ;
9) x2 - 12x + 27 = 0 ;
10) x2 - 10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. (∆>0)
1) x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0 ;
2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;
2
2
3) x - (2m - 3)x + m - 3m = 0 ;
4) x2 + 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0 ;
2
2
5) x - (2m + 3)x + m + 3m + 2 = 0 ;
6) x2 - 2x - (m - 1)(m - 3) = 0 ;
7) x2 - 2mx - m2 - 1 = 0 ;
8) (m + 1)x2 - (2m - 1)x - 3 + m = 0 ;
2
9) ax + (ab + 1)x + b = 0.
Bài 2: a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân biết:
1
1
1
+
+
= 0 (Èn x)
x−a x−b x−c
c) Chứng minh rằng phương trình: c2x2 + (a2 - b2 - c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một
tam giác.
d) Chứng minh rằng phương trình bậc hai:
(a + b)2x2 - (a - b)(a2 - b2)x - 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3:
a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3)
b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)
x2 - 2bx + 4a2 = 0
(2)
x2 - 4ax + b2 = 0
(3)
2
2
x + 4bx + a = 0
(4)
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm.
c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau):
Trang 16
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
ax 2 −
2b b + c
1
x+
=0
b+c
c+a
(1) bx 2 −
2c c + a
1
2a a + b
1
x+
= 0 (2) cx 2 −
x+
=0
c+a
a+b
a +b
b+c
(3)
với a, b, c là các số dương cho trước.
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0.
Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau được
thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm
của phương trình bậc hai cho trước.
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 - 3x - 7 = 0.
Tính:
A = x12 + x 2 2 ;
B = x1 − x 2 ;
D = ( 3x1 + x 2 ) ( 3x 2 + x1 ) ; E = x13 + x 23 ;
C=
1
1
+
;
x1 − 1 x 2 − 1
F = x14 + x 2 4
1
1
vµ
. (Sử dụng ViEt)
x1 − 1
x2 − 1
Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x2 - 3x - 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của các
biểu thức sau:
Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là
2
A = 2x13 − 3x12 x 2 + 2x 23 − 3x1x 2 2 ;
1 1
x
x
x
x
B = 1 + 1 + 2 + 2 − − ÷ ;
x 2 x 2 + 1 x1 x 1 + 1 x 1 x 2
3x12 + 5x1x 2 + 3x 2 2
C=
.
4x1x 2 2 + 4x12 x 2
Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Không giải phương trình hãy thành lập
p
q
vµ
phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là
.
q −1
p −1
b) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là
1
1
vµ
.
10 − 72
10 + 6 2
Bài 4: Cho phương trình x2 - 2(m -1)x - m = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m.
b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 +
1
1
vµ y 2 = x 2 + .
x2
x1
Bài 5: Không giải phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
Trang 17
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
A = ( 3x1 − 2x 2 )( 3x 2 − 2x1 ) ;
B=
x1
x
+ 2 ;
x 2 − 1 x1 − 1
C = x1 − x2 ;
D=
x1 + 2 x 2 + 2
+
x1
x2
Bài 6: Cho phương trình 2x2 - 4x - 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải phương trình hãy thiết lập phương
trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 - x2 ; y2 = 2x2 - x1
Bài 7: Cho phương trình 2x2 - 3x - 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ;
y2 thoả mãn:
y 1 = x 1 + 2
a)
y 2 = x 2 + 2
2
x1
y1 =
x2
b)
2
x2
y 2 = x
1
Bài 8: Cho phương trình x2 + x - 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2
thoả mãn:
x1 x 2
y1 + y 2 = x + x
2
1
a)
;
y
y
1 + 2 = 3x + 3x
1
2
y 2 y 1
y 1 + y 2 = x 1 2 + x 2 2
b) 2
y 1 + y 2 2 + 5x 1 + 5x 2 = 0.
Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax - a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy lập phương trình ẩn y có
hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
y1 + y 2 =
1
1
1
1
+
vµ
+
= x1 + x 2
x1 x 2
y1 y 2
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô
nghiệm.
Bài 1:
a) Cho phương trình (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phương trình (2m - 1)x2 - 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phương trình có nghiệm.
c) Cho phương trình: (m - 1)x2 - 2mx + m - 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
d) Cho phương trình: (a - 3)x2 - 2(a - 1)x + a - 5 = 0.
Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
4x 2
2( 2m − 1) x
a) Cho phương trình: 4
−
+ m 2 − m − 6 = 0 . Xác định m để phương trình có ít nhất
2
2
x + 2x + 1
x +1
một nghiệm.
b) Cho phương trình: (m2 + m - 2)(x2 + 4)2 - 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để phương trình có ít
nhất một nghiệm.
Trang 18
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thoả
mãn điều kiện cho trước.
Bài 1: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm).
5) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 - x2 = - 2.
7) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 - x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x2 - 2(m + 1)x + m - 3 = 0 ;
(4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
2
b) mx - (m - 4)x + 2m = 0 ;
2(x12 + x22) = 5x1x2
c) (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 ;
4(x12 + x22) = 5x12x22
2
2
d) x - (2m + 1)x + m + 2 = 0 ;
3x1x2 - 5(x1 + x2) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x2 + 2mx - 3m - 2 = 0 ;
2x1 - 3x2 = 1
2
2
b) x - 4mx + 4m - m = 0 ;
x1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m - 4 = 0 ;
2x1 + x2 + 1 = 0
2
2
d) x - (3m - 1)x + 2m - m = 0 ;
x1 = x22
2
3
e) x + (2m - 8)x + 8m = 0 ;
x1 = x22
f) x2 - 4x + m2 + 3m = 0 ;
x12 + x2 = 6.
Bài 4:
a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 - (2m - 1)x - 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm
phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
b) Chư phương trình bậc hai: x2 - mx + m - 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu
2x1x 2 + 3
thức R = 2
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
2
x1 + x 2 + 2(1 + x1x 2 )
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phương trình sau đây bằng 2.
mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
2
Bài 5: Cho phương trình: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac =
2b2.
Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình
có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb2 = (k + 1)2.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số.
Bài 1:
a) Cho phương trình x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn
1 < x1 < x2 < 6.
b) Cho phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2
thoả mãn: - 1 < x1 < x2 < 1.
Bài 2: Cho f(x) = x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn
2.
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
Trang 19
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
a) Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn - 1.
Bài 4: Cho phương trình: x2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 5: Tìm m để phương trình: x2 - mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2.
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ
thuộc tham số.
Bài 1:
a) Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ
thuộc vào tham số m.
b) Cho phương trình bậc hai: (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một
hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
c) Cho phương trình: 8x2 - 4(m - 2)x + m(m - 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ
thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số - 1 và 1.
Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m - 1)2x2 - (m - 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một
hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phương trình: x2 - 2mx - m2 - 1 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.
x1 x 2
5
+
=− .
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:
x 2 x1
2
2
Bài 4: Cho phương trình: (m - 1)x - 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải và biện luận phương trình theo m.
b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x1 - x2| ≥ 2.
Bài 5: Cho phương trình (m - 4)x2 - 2(m - 2)x + m - 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm x1 ;
x2 thì: 4x1x2 - 3(x1 + x2) + 2 = 0.
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai.
Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị của tham số để phương trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phương trình
kia:
Xét hai phương trình:
ax2 + bx + c = 0 (1)
a’x2 + b’x + c’ = 0 (2)
trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m.
Định m để sao cho phương trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phương trình (1), ta có thể
làm như sau:
i)
Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (1) thì kx0 là một nghiệm của phương trình (2), suy ra hệ phương
trình:
ax 0 2 + bx 0 + c = 0
(*)
2 2
a' k x 0 + b' kx 0 + c' = 0
Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.
Trang 20
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
ii)
Thay các giá trị m vừa tìm được vào hai phương trình (1) và (2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau.
Xét hai phương trình:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3)
a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4)
Hai phương trình (3) và (4) tương đương với nhau khi và chỉ khi hai phương trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập
nghiệm là rỗng).
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau ta xét hai trường hợp
sau:
i)
Trường hợp cả hai phương trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:
∆ ( 3) < 0
∆ ( 4 ) < 0
Giải hệ trên ta tịm được giá trị của tham số.
ii)
Trường hợp cả hai phương trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:
Δ (3) ≥ 0
Δ (4) ≥ 0
S(3) = S(4)
P = P
(4)
(3)
2
Chú ý: Bằng cách đặt y = x hệ phương trình (*) có thể đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn như sau:
bx + ay = −c
b' x + a' y = −c'
Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm như sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.
- Tìm m thoả mãn y = x2.
- Kiểm tra lại kết quả.
Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
2x2 - (3m + 2)x + 12 = 0
4x2 - (9m - 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x2 + (3m + 1)x - 9 = 0; 6x2 + (7m - 1)x - 19 = 0.
b) 2x2 + mx - 1 = 0;
mx2 - x + 2 = 0.
2
c) x - mx + 2m + 1 = 0;
mx2 - (2m + 1)x - 1 = 0.
Bài 3: Xét các phương trình sau:
ax2 + bx + c = 0 (1)
cx2 + bx + a = 0 (2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có một nghiệm chung duy nhất.
Bài 4: Cho hai phương trình:
x2 - 2mx + 4m = 0 (1)
x2 - mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phương trình (1).
Bài 5: Cho hai phương trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương.
Bài 6: Cho hai phương trình:
Trang 21
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
x2 + mx + 2 = 0 (1)
x2 + 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phương trình tương đương.
c) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho các phương trình:
x2 - 5x + k = 0 (1)
x2 - 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của phương trình
(1).
MỘT SỐ BÀI LÀM THÊM
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 2x2 + 5x = 0
b) 2x2 - 1 = 0
c) x2 + 5 = 0
d) 2x2 - 3x - 5 = 0
e) x2 -( 2 + 1)x + 2 =0
f) 2x4 - 7x2 - 4 = 0
Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép:
a) 3x2 + (m + 1)x + 4 = 0
c) 5x2 + 2mx - 2m + 15 = 0
2
b) mx - 2(m - 1)x + 2 = 0
d) mx2 - 4(m - 1)x - 8 = 0.
Bài 3: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm :
a) 2x2 - (4m + 3)x + 2m2 - 1 = 0
b) mx2 + (2m - 1)x + m + 2 = 0
Bài 4: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
a) x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
b) (m + 1)x2 + 4mx + 4m - 1 = 0
Bài 5: Với giá trị nào của m thì phương trình:
a) x2 + 2mx - 3m + 2 = 0 có 1 nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) 4x2 + 3x - m2 + 3m = 0 có 1 nghiệm x = -2. Tìm nghiệm còn lại.
c) mx2 -
1
x - 5m2 = 0 có 1 nghiệm x = -2. Tìm nghiệm còn lại.
2
Bài 6: Không giải phương trình x2 - 2x - 15 = 0. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình. Tính
1
1
a) x12 + x22
b) 2 + 2
c) x13 + x23
d) x12 - x22
x1
x2
x1
x2
3 x12 + 3 x2 2 − 3
+
e) (x1 - x2)
g)
h)
x12 x2 + x1 x2 2
x2 − 3 x1 x1 − 3x2
Bài 7: Lập phương trình có hai nghiệm là x1, x2 được cho trong mỗi trường hợp sau:
2
2
a) x1 = - 4, x2 = 7; b) x1 = - 5 , x2 = 3 + 5 ;
c) x1. x2 = 4; x1 + x2 = 17 ;
Bài 8: Cho phương trình: x2 + px - 5 = 0 có nghiệm là x 1, x2. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được
cho trong các trường hợp sau:
2
a) - x1 và - x2
b)
1
1
và
x1
x2
Bài 9: Cho phương trình x2 + (m - 3)x - 2m + 2 = 0.
a) Tìm giá trị của m để :
a1) phương trình có nghiệm x = -5. Tìm nghiệm còn lại.
a2) phương trình có hai nghiệm phân biệt.
a3) phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
a4) Phương trình có 2 nghiệm cùng dương.
a5) Phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
Trang 22
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
a6) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả 2x1 + x2 = 3
a7) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả (x1 - x2)2 = 4
b) Viết một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình độc lập với tham số m.
Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m - 1)x - 2m + 5 = 0. Định m để :
a) Phương trình có nghiệm.
b) Phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả :
α ) x1 + 2x2 = 9
β ) x1 + x2 + 2x1x2 ≤ 6
γ ) A = 12 - 10x1x2 + (x12 + x22) đạt GTNN.
Bài 11: Cho phương trình: (m - 2)x2 - 3x + m + 2 = 0
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
c) Giải và biện luận phương trình trên.
Bài 12: Cho phương trình: x2 - mx - 2(m2 + 8) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm để:
2
2
a) x1 + x2 = 52
b) x1 + x2 đạt GTNN. Tìm GTNN này.
Bài 13: Cho phương trình: x2 - mx - 7m + 2 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả : 2x1 + 3x2 = 0.
2
2
d) Tìm m nguyên để biểu thức A =
x1.x2
nhận giá trị nguyên.
x1 + x2 − 1
Bài 14: Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m2 - 3m + 2 = 0.
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2
2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x1 + x2 = 16 .
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm của phương trình cùng dấu âm hay cùng
dấu dương?
Bài 15: Cho phương trình: x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1 = 0.
a) Giải phương trình với m = - 1.
b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình không phụ thuộc vào m.
Bài 16: Giải các phương trình sau:
a) x − x − 1 − 3 = 0
b) x4 - 7x2 - 144 = 0.
c) 2x4 - x3 - 6x2 - x + 2 = 0
d)
15 − x + 3 − x = 6
Trang 23
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa được về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phương trình
3x − 2y = 4
1)
;
2x + y = 5
3x − 4y + 2 = 0
4)
;
5x + 2y = 14
4x − 2y = 3
2)
;
6x − 3y = 5
2x + 5y = 3
5)
;
3x − 2y = 14
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
( 3x + 2 )( 2y − 3) = 6xy
1)
;
(
)(
)
4x
+
5
y
−
5
=
4xy
2x + 3y = 5
3)
4x + 6y = 10
4x − 6y = 9
6)
10x −15y = 18
( 2x - 3)( 2y + 4 ) = 4x ( y − 3) + 54
2)
;
(
)(
)
(
)
x
+
1
3y
−
3
=
3y
x
+
1
−
12
7x + 5y - 2
x + 3y = −8
4)
6x - 3y + 10 = 5
5x + 6y
y + 27
2y - 5x
+
5
=
− 2x
3
4
3)
;
6y
−
5x
x
+
1
+y=
3
7
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phương trình sau
1
2
+
x + 2y y + 2x = 3
1)
;
4
3
−
=1
x + 2y y + 2x
(
(
)
)
2
3x
−
x +1 y + 4 = 4
2)
;
2x
5
−
=9
x + 1 y + 4
3y
x +1
+
x −1 y + 2 = 7
3)
;
2
5
−
=4
x − 1 y + 2
5 x − 1 − 3 y + 2 = 7
5)
2 4x 2 − 8x + 4 + 5 y 2 + 4y + 4 = 13.
2 x 2 − 2x + y + 1 = 0
4)
;
3 x 2 − 2x − 2 y + 1 + 7 = 0
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước
Bài 1: Định m và n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).
2mx − ( n + 1) y = m − n
( m + 2 ) x + 3ny = 2m − 3
2
Định a và b biết phương trình: ax - 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy:
a) 2x - y = m ;
x = y = 2m ;
mx - (m - 1)y = 2m - 1
2
b) mx + y = m + 1 ; (m + 2)x - (3m + 5)y = m - 5 ; (2 - m)x - 2y = - m2 + 2m - 2.
Bài 3: Cho hệ phương trình
mx + 4y = 10 − m
(m lµ tham sè)
x + my = 4
a) Giải hệ phương trình khi m =
b) Giải và biện luận hệ theo m.
2.
Trang 24
CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LÓP 10 THPT
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0.
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dương.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x2 - y2 đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tương tự với S =
x*y).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố
định khi m nhận các giá trị khác nhau.
( m − 1) x − my = 3m − 1
Bài 4: Cho hệ phương trình:
2x − y = m + 5
Giải và biện luận hệ theo m.
Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0.
Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = 0. (Hoặc: sao cho M (x ; y) nằm trên parabol y
= - 0,5x2).
Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm trên một đường thẳng cố
định khi m nhận các giá trị khác nhau.
x + my = 2
Bài 5: Cho hệ phương trình:
mx − 2y = 1
Giải hệ phương trình trên khi m = 2.
Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên.
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x - y đạt giá trị lớn nhất.
Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I
x + y + xy = 11
Ví dụ: Giải hệ phương trình 2
2
x + y + 3( x + y ) = 28
Giải các hệ phương trình sau:
2
2
x 2 + xy + y 2 = 4
x + y + x + y = 8
1) 2
2)
2
x + xy + y = 2
x + y + xy = 7
2
2
x − 3xy + y = −1
4) 2
2
3x − xy + 3y = 13
x + xy + y = 2 + 3 2
7) 2
2
x + y = 6
( x − y ) 2 − ( x − y ) = 6
9)
2
2
5 ( x + y ) = 5xy
( x + 1) ( y + 1) = 8
5)
x ( x + 1) + y ( y + 1) + xy = 17
xy + x + y = 19
3) 2
2
x y + xy = 84
2
2
( x + 1) ( y + 1) = 10
6)
( x + y ) ( xy − 1) = 3
2
2
2
x + xy + y = 19 ( x − y )
8)
2
2
x − xy + y = 7 ( x − y )
x y + y x = 30
10)
x x + y y = 35
Trang 25
