Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Quảng Ninh năm 2012 - 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
QUẢNG NINH
–––––––––
ðỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN :
TOÁN
( BẢNG A )
Ngày thi : 23/10/2012
Thời gian làm bài : 180 phút

(Không kể thời gian giao ñề)

Họ và tên,chữ ký
của giám thị số 1
–––––––––––––
–––––––––––––

(ðề thi này có 01 trang)
Bài 1 (6 ñiểm) :
1. Cho hàm số y =

x+2
có ñồ thị (C), gọi I là giao hai tiệm cận . Viết phương trình
x −1

tiếp tuyến với ñồ thị (C) biết tiếp tuyến ấy cắt hai ñường tiệm cận của ñồ thị tại hai
ñiểm A, B sao cho bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất.

2. Tính giới hạn sau : lim
x →0

( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012
x

Bài 2 (3 ñiểm) :
Tìm m ñể phương trình sau ñây có nghiệm :

x 2 − 2 x + m( x − 4)

x+2
+ 2 8 + 2 x − x 2 − 14 − m = 0
4−x

Bài 3 (3 ñiểm) :
Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác. ðặt IA = x ,
IB = y , IC = z . Chứng minh rằng :

1
1
1
2
= 2+ 2+
2
x
y
z
yz

Bài 4 (5 ñiểm) :
Trong mặt phẳng (P) cho ñường tròn ñường kính BC cố ñịnh. M là một ñiểm di ñộng
trên ñường tròn ấy. Trên ñường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại B lấy một ñiểm A cố
ñịnh. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC .
1. Chứng minh rằng khi M di ñộng mặt phẳng (BHK) cố ñịnh .
2. Xác ñịnh vị trí của M ñể diện tích tam giác BHK lớn nhất
Bài 5 (3 ñiểm) :
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn abc = 2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P=

a 6 + b6
b6 + c 6
c6 + a6
+
+
a 4 + b4 + a 2b 2 b4 + c 4 + b 2 c 2 c 4 + a 4 + c 2 a 2
– – – – – – – – – – – – –Hết– – – – – – – – – – – – –

Họ và tên thí sinh : – – – – – – – – – – – – –– – – – – – – – –Số báo danh: – – – –


SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn Toán – Bảng A (ñề thi chính thức)
Bài
Sơ lược lời giải
Bài 1 1. Giao hai tiệm cận I( 1;1)
6ñiểm Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với ñồ thị tại ñiểm có hoành ñộ x0

−3
x +2
( x − x0 ) + 0
=>phương trình tiếp tuyến có dạng: y =
2
x0 − 1
( x0 − 1)
Tiếp tuyến cắt tiệm cận ñứng tại A( 1;

ðiểm

0,5

x0 + 5
)
x0 − 1

0,5

Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang tại B( 2 x0 − 1;1 )
Ta có IA =

x0 + 5
6
;
−1 =
x0 − 1
x0 − 1

IB = 2 x0 − 1 − 1) = 2 x0 − 1

0,5

6
.2 x0 − 1 = 12
Nên IA. IB =
x0 − 1
1
2

Do vậy diện tích tam giác IAB : S = IA. IB = 6
Gọi p là nửa chu vi ∆IAB => bán kính ñường tròn nội tiếp ∆IAB : r =

S 6
=
p p

0,5

=> r lớn nhất <= > p nhỏ nhất. Mặt khác ∆IAB vuông tại I nên
2 p = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB 2 ≥ 2 IA. IB + 2 IA. IB = 4 3 + 2 6
2
Dấu “ = ” xảy ra <=> IA = IB ⇔ ( x0 − 1) = 3 ⇔ x = 1 ± 3

Với x = 1 − 3 ta có tiếp tuyến d1 : y = − x − 2( 3 − 1)
Với x = 1 + 3 ta có tiếp tuyến d2 :
2.

0,5

y = 2( 3 + 1) − x

( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − ( x 2 + 2012) + x 2
x
7
 2
1 − 2x −1 
( x + 2012)
+ x
= lim

x →0
x



1

L = lim
x →0

Ta có L1 = lim( x + 2012) = 2012
2

;

x →0

7

Tính L2 = lim
x →0

1 − 2x −1
x

ðặt

7

0,5

1

L3 = lim x = 0
x →0

1 − 2 x = t => x =

1 − t7
2

Và khi x → 0 thì t → 1
=> L2 = lim
t →1

2(t − 1)
−2
2
= lim

=−
7
2
3
4
5
6
t
→
1
1− t
1+ t + t + t + t + t + t
7

2
4024
Vậy L = 2012.  −  + 0 = −
 7

7

1


x + 2
4 − x ≥ 0

⇔ −2 ≤ x < 4
ðiều kiện:  x ≠ 4
8 + 2 x − x 2 ≥ 0




Bài 2
3ñiểm

0,5

Với ñ/k ñó phương trình ñã cho tương ñương với
⇔ −(− x 2 + 2 x + 8) − m 8 + 2 x − x 2 + 2 8 + 2 x − x 2 − 6 − m = 0 .

0,5

(1)

ðặt t = 8 + 2x − x 2 ; Khi x ∈ [ – 2; 4) thì t ∈ [ 0; 3] .
Phương trình trở thành : – t2 – mt + 2t – 6 – m = 0

(2)

−t 2 + 2t − 6
.
t +1
−t 2 + 2t − 6
−t 2 − 2t + 8
Xét hàm số f (t ) =
; t ∈ [ 0;3] ; f’(t) =
t +1
(t + 1)2

⇔

0,5

m=

0,5

 t = −4
t = 2

f’(t) = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên ñoạn [ 0 ; 3 ].
t
–∞ –4 –1 0
2
f’(t)
– 0 + +
+
0
-2

3

+∞

–

0,5

f(t)
−

–6

9
4

Phương trình ñã cho có nghiệm x∈ [–2; 4) ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈ [0; 3]
⇔ ðường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số f(t) , t ∈ [ 0; 3 ] ⇔ – 6 ≤ m ≤ – 2
0,5

Vậy với – 6 ≤ m ≤ – 2 thi phương trình có nghiệm

Bài 3 Ta có:
r
3ñiểm
x=

o

sin 45

y=

r

B
sin

2
r
z=
C
sin
2

=

r
B+C
sin
2

;

A
r

;

B

r
r

1

I
C

Suy ra:
B+C
B
C
C
B
sin
sin cos + sin cos
2 2
yz
2
2
2
2
2 = ( r + r ) = a => a 2 = y z (1)
=r
=r
B
C
B
C
B
C
x
x2
sin sin
sin sin
tg
tg

2
2
2
2
2
2

1


Ngoài ra ñịnh lý hàm cos trong tam giác BIC cho :
a 2 = y 2 + z 2 − 2 yz cos BIC

<=>

a 2 = y 2 + z 2 − 2 yzcos (180 −

<=>

a 2 = y 2 + z 2 − 2 yzcos135o

<=>

a 2 = y 2 + z 2 + 2 yz.

1

2
2

(2)

y 2 z2
1
1
1
2
= y 2 + z 2 + yz 2 <=> 2 = 2 + 2 +
2
x
x
y
z
yz

Từ (1) và (2) ta có :
Bài 4
5ñiểm

B+C
)
2

a)

A

CM ⊥ BM

=> CM ⊥ ( ABM ) ⊃ BH


 CM ⊥ AB
 BH ⊥ CM
=> 
=> BH ⊥ ( ACM ) ⊃ AC
 BH ⊥ AM

 AC ⊥ BH
=> 
=> AC ⊥ ( BHK )
 AC ⊥ BK


K

H

B

Mặt phẳng (BHK) ñi qua B cố ñịnh và
vuông góc với AC cố ñịnh nên
mp(BHK) cố ñịnh

C
M

∆BHK vuông tại H

=> SBHK= (1/2) BH.HK ≤

vậy ∆BHK có diện tích lớn nhất
Khi ñó BH =

1

0,5

BH 2 + HK 2
BK 2
=
(const)
4
4

BH = HK

∆BHK vuông cân.

1

BK
2

1
1
1
1
1
1
=

+
=
+
2
2
2
2
2
BK
AB
BC 2
BH
AB
BM
1
1
1
1
1
1
=
<=>
+
=
+
=>
2
2
2
2

2
BK
2 BH
AB
BC
2 AB
2 BM 2

Mà

<=>

1

1
1
1
1
1
h2 + 2R 2
=
+
=
+
=
2 BM 2
BC 2
2 AB 2
4R2
h2

4h 2 R 2

=> BM 2 =

4h 2 R 2
<=> BM =
h2 + 2R2

1

hR 2
h2 + 2 R 2

(với R là bán kính ñường tròn (C), AB = h )
Mà B cố ñịnh => M thuộc ñường tròn tâm B bán kính

hR 2
h2 + 2 R 2

=> có hai vị trí của M làm cho diện tích ∆BHK ñạt GTLN ñó là giao của
ñường tròn (C) và ñường tròn (B;BM)

0,5


Bi 5
(a 2 + b2 )(a 4 + b 4 a 2b 2 ) (b 2 + c 2 )(b 4 + c 4 b 2c 2 ) ( c 2 + a 2 )( c 4 + a 4 c 2a 2 )
P=
+
+

3ủim
a 4 + b 4 + a 2b 2
b4 + c 4 + b2c 2
c 4 + a 4 + c 2a 2
Nhn xét: Do abc = 2 2 nên a2, b2, c2 l các số thực dơng
Xét : A =

0,5

x 2 + y 2 xy
vi x,y > 0
x 2 + y 2 + xy

0,5

x
t2 t +1
Chia tử v mẫu cho y v đặt t =
ta đợc A = 2
với t > 0
y
t + t +1
2

Xét hm số f(t) =

t2 t +1
trên (0;+)
t2 + t +1

Ta có : f(t) =

2(t 1)
= 0 t =1
(t 2 + t + 1) 2
2

Da vo bng bin thiờn ta cú f (t )
T ủú A =

Bảng biến thiên:
0
t

f (t)

1

1
0

f(t)

1
3

+
+
1

1
vi mi t > 0
3

x 2 + y 2 xy 1

vi x,y > 0; du bng xy ra khi t = 1 nờn x = y.
x 2 + y 2 + xy 3

a 4 + b 4 a 2b2 1
p dng vi x = a , y = b ta cú 4 4 2 2
a +b +a b
3
2

0,5

0,5

2

b 4 + c 4 b2 c 2 1
c 4 + a 4 c 2a 2 1

,

b4 + c 4 + b 2 c 2 3
c 4 + a 4 + c 2a 2 3
1
1

1
2
=> P (a 2 + b 2 ) + (b 2 + c 2 ) + (c 2 + a 2 ) = (a 2 + b 2 + c 2 )
3
3
3
3

Tng t

0,5

p dng BT Cụsi ta cú a 2 + b 2 + c 2 3 3 a 2b 2c 2 = 6 vi abc = 2 2
=> P 4 du ủng thc xy ra chng hn khi a = b = c =
Vy Pmin = 4 khi chng hn a = b = c = 2

2

0,5

Chỳ ý:
1. Hng dn chm ny ch trỡnh by s lc bi gii .Bi lm ca hc sinh phi chi
tit,lp lun cht ch,tớnh toỏn chớnh xỏc mi ủc ủim ti ủa.
2. Cỏc cỏch gii khỏc nu ủỳng vn cho ủim. T chm trao ủi v thụng nht chi tit
nhng khụng ủc quỏ s ủim dnh cho cõu, phn ủú.
3. Cú th chia ủim thnh tng phn nhng khụng di 0,25 ủim v phi thng nht trong
c t chm.
4. im ton bi l tng s ủim cỏc phn ủó chm. Khụng lm trũn ủim
5. Mi vn ủ phỏt sinh trong quỏ trỡnh chm phi ủc trao ủi trng t chm v ch cho
ủim theo s thng nht ca c t.

sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh

kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 12 thpt năm học 2012-2013

Đề thi chính thức

môn : Toán

H v tờn, ch ký
ca giỏm th s 1

( bảng B )
Ngày thi : 23/10/2012
Thời gian làm bài : 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

..
......

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (4 điểm):
Tớnh gii hn sau : lim
x 0

1 + 2x 3 1 + 3x
x2

Bài 2 (3 điểm):
Cho tam giác ABC có C = , B = với < , trung tuyn AM. Gọi là
góc nhọn tạo bởi AM với cạnh BC, chng minh rng: 2cot = cot - cot.
Bài 3 (4 điểm):
2
Gii bt phng trỡnh: x + x + 6 x + 2 < 18

Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giỏc ủu ABC cnh a, ủng thng (d) qua A vuụng gúc vi mt
phng (ABC). Trờn (d) ly ủim M. Gi I l trc tõm ca tam giỏc MBC, H l trc
tõm ca tam giỏc ABC, giao ủim ca ủng thng HI vi (d) l N.
1. Chng minh rng t din MNBC cú cỏc cp cnh ủi vuụng gúc vi nhau
2. Chng minh rng khi M di chuyn trờn (d) thỡ tớch AM.AN khụng ủi.
Bài 5 (3 điểm):
a4 b4 a2 b2 a b
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 4 + 4 2 + 2 + +
b a b a b a
vi a, b l cỏc s thc tha món a 0, b 0.

------------------------- Hết -------------------------Họ và tên thí sinh: ................................................................. Số báo danh: ........................


MA TRẬN ðỀ
THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN BẢNG B. ðỀ THI CHÍNH THƯC
(ðề tự luận)

Mức ñộ nhận thức

Vận dụng
Nhận biết

Chủ ñề kiến thức
Giới hạn của hàm số

Thông hiểu

Mức ñộ
thấp

Tổng

Mức ñộ
cao

1

(lớp 11)

1
4

Hệ thức lượng giác trong

4,0
1

hình học phẳng (lớp 11)

1
3

Giải phương trình, bất

3,0

1

1

phương trình, hệ có sử dụng
tính chất của hàm số
(lớp 10, 12)

4

Hình học không gian

1

(lớp 11)

4,0
1

4

2
2

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

1

6,0
1

nhất của biểu thức có dùng
tính chất của hàm số
(lớp 10, lớp 12)

3
0

2

0,0

2

8,0

2

7,0

3,0
6

5,0

20,0


SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN BẢNG B. ðỀ CHÍNH THƯC
(Hướng dẫn chấm này có 03 trang)
Bµi
Bài 1
4 ñiểm

S¬ l−îc lêi gi¶i
 1 + 2 x − ( x + 1)  + ( x + 1) − 3 1 + 3 x 
1 + 2 x − 3 1 + 3x

 

Có : lim
= lim
2
2
0
x →0
x
→
x
x



−x2
x 2 ( x + 3)


= lim
+


2
x →0
2
2
2
 x  1 + 2 x + ( x + 1)  x ( x + 1) + ( x + 1) 3 1 + 3 x + 3 (1 + 3 x)  





−1
x+3
1

 −1
= lim
+
=
+1 =



x →0 
2
2
2
  1 + 2 x + ( x + 1)  ( x + 1) + ( x + 1) 3 1 + 3 x + 3 (1 + 3 x)   2




Bài 2
3 ñiểm

* Trường hợp góc β nhọn:
KÎ AH ⊥ BC, do α < β nên BHcã cotϕ = HM/AH, cotα = CH/AH, cotβ = BH/AH
Do: HM = BM-BH ; HM = CH-CM; BM=CM
nên cộng vế-vế 2 ñẳng thức ta ñược: 2HM = CH-BH
=> 2HM/AH = CH/AH - BH/AH ,
hay 2 cotϕ = cotα - cotβ. Ta có ñpcm !

Cho
®iÓm
1,5
1

1,5

1,0
0,5

0,5
0,5

A

B
Bài 3
4 ñiểm

H

M

C

* Trường hợp góc β tù: Chứng minh tương tự
TXð: x∈ (-2; +∞)
Nếu x ∈[-2; 0] thì: BPT ñã cho có VT ≤ 4 + 0 + 6 2 < 18 = VP
Suy ra ∀x ∈[-2; 0] ñều là nghiệm của BPT ñã cho.
2
Nếu x > 0, xét hàm số y = f(x) = x + x + 6 x + 2 với x∈ (0; +∞)
Có f’(x) = 2x + 1 + 3/ x + 2 > 0 ∀x∈ (0; +∞) => f(x) ñồng biến trên (0; +∞)
Mà f(2) = 18 nên với x∈(0; +∞) ta có: BPT ñã cho <=> f(x) < f(2) <=> x<2
Kết hợp với x∈ (0; +∞) ñược 0 < x < 2.
Kết luận: BPT ñã cho có nghiệm là -2 ≤ x < 2

0,5
0,25
0,5
0,5

0,75
1,0
0,5
0,5


Bài
Bài 4
6 ñiểm

Sơ lược lời giải

Cho
ñiểm

4.1 (4 ñiểm)
Gọi E là trung ñiểm BC, từ giả thiết suy ra H∈AE, I∈ME => IH cắt (d) tại N
Theo giả thiết (d)⊥mp(ABC) => (d)⊥BC hay MN⊥BC
Chứng minh ñược BH⊥mp(MAC) rồi suy ra BH⊥MC
Mà BI⊥MC nên MC⊥ mp(BHI), từ ñó suy ra MC⊥BN
Chứng minh tương tự, ñược MB⊥CN
Vậy tứ diện MNBC có các cặp cạnh ñối vuông góc với nhau (ñpcm !)
4.2 (2 ñiểm)
Chứng minh ñược: BC⊥mp(MAE) => BC⊥IH và MC⊥mp(BKF) => MC⊥IH
suy ra IH⊥MB

1,0

Trong tam giác MNE, có: ANH = AEM (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
suy ra ∆ ANH ∼ ∆ AEM

0,5

do ñó:

AN AH
a 3 2 a 3 a2
=
=> AM.AN = AE.AH =
. .
=
AE AM
2 3 2
2

Vậy tích AM.AN không ñổi (ñpcm !)

M

A

B

I
F
H

E

K

C

N

0,5
1,0
1,0
1,0
0,5

0,5


Bài

Sơ lược lời giải

Bài 5
3 ñiểm

a b
a2 b2
a 2 b2
a4 b4
2
2
ðặt: t = + => t ≥ 2 ; t = 2 + 2 + 2 ⇒ 2 + 2 = t − 2 => 4 + 4 = t 4 − 4t 2 + 2 .
b a
b
a

b
a
b
a

Khi ñó: P =

Cho
ñiểm
0,5

a4 b4  a2 b2  a b
+ 4 −  2 + 2  + + = t 4 − 4t 2 + 2 − (t 2 − 2) + t = t 4 − 5t 2 + t + 4
4
b
a b
a  b a

Xét hàm: f (t ) = t 4 − 5t 2 + t + 4 với t ≥ 2 , có: f '(t ) = 4t 3 − 10t + 1 ; f "(t ) = 12t 2 − 10

0,75

Với t ≥ 2 thì f”(t) > 0 => hàm f’(t) ñồng biến trên (-∞ ; -2] và [2; +∞).
Nên : t > 2 => f’(t) > f’(2) = 13 > 0; t < –2 => f’(t) < f’(–2) = -11 < 0
Ta có bảng biến thiên :
t
–∞
–2
2
+∞

f’(t)
–
+
+∞
+∞
f(t)
–2
2

0,75

Mà f(-2) = - 2 < 2 = f(2), suy ra : min f(t) = –2 ; ñạt khi t = –2 <=> a = – b ≠ 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -2, ñạt ñược khi a = - b ≠ 0
C¸c chó ý khi chÊm:
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược bài giải. Bài làm của học sinh
phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới ñược ñiểm tối ña.
2. Các cách giải khác nếu ñúng vẫn cho ñiểm. Tổ chấm trao ñổi và thông nhất
chi tiết nhưng không ñược quá số ñiểm dành cho câu, phần ñó.
3. Có thể chia ñiểm thành từng phần nhưng không dưới 0,25 ñiểm và phải
thống nhất trong cả tổ chấm.
4. ðiểm toàn bài là tổng số ñiểm các phần ñã chấm. Không làm tròn ñiểm
5. Mọi vấn ñề phát sinh trong quá trình chấm phải ñược trao ñổi trong tổ
chấm và chỉ cho ñiểm theo sự thống nhất của cả tổ.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH

1