Bài toán thác triển và bài toán cousin đối với hàm chính quy nhận giá trị trong đại số quaternion và đại số clifford

MUC LUC
Trang
Mò dau

3

Chircmg 1. Bài toàn thàc trién doi vai nghiem cùa he phirang trình
dao hàm riéng tuyén tinh càp mot
LL Bài toàn thàc trien doi vai nghiem cùa he phuang trình dao
hàm riéng tuyén tinh càp mot, he so hàng va càc ù'ng dung
cùa nò
L2. Bài toàn thàc trién doi vai nghiem cùa he phuang trình dao
hàm riéng vai he so hàm
Chircmg 2. Bài toàn thàc trien va bài toàn Cousin doi vai hàm chinh
quy nhan già tri trong dai so Quaternion
2.0. Mot so khài niem va ti'nh chat ca bàn ve dai so Quaternion
2.1. Bài toàn thàc trién doi vói hàm chinh quy
2.2. Bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thuóc
diéu hòa vào tham so
2.3. Bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm song chinh quy

11

11
39

52
52
56
65
76

C h u a n g 3. Bài toàn thàc trién va bài toàn Cousin doi vói hàm chinh
quy nhan già tri trong dai so Clifford
85
3.L Bài toàn thàc trién doi vói hàm da chinh quy
86
3.2. Bài toàn kieu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich
thirc vào tham so

101

3.3. Bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thuóc chinh
hình vào t h a m so

115

K e t luàn
Càc bài bào co lién quaji den luan à n

123
124

Tài liéu t h a m khào

126


CAC KY HIEU D U N G T R O N G L U A N A N
Rank D - hang cùa ma tran D
det D - dinh thuc cùa ma tran D

A - toàn Laplace
H - dai so Quaternion
A - dai so Clifford (thuc)
Cm - dai so Clifford (phuc)
i?(fì, R) - t a p tàt cà càc hàm nhan già tri thuc, dièu hòa trong fi
7?-(fì,IHI) - t i p tàt cà càc hàm chinh quy trong fi, nhan già tri trong H
T^H{^I

X Q2Ì

U)

- tap tàt cà càc hàm chinh quy trong fii, dièu hòa trong Q2,

nhan già tri trong H
TZHÌ^I

X f)2,

H)

- tap tàt cà càc hàm chinh quy (co ky di) trong fìi, dièu hòa

trong 0.2-, nhan già tri trong H
7?,s(fi, H) - tap tàt cà càc hàm song chinh quy trong fi, nhan già tri trong H
Co°(fi,IHI) - tap tàt cà càc hàm thuoc lóp C°° co già tri compact trong fi,
nhan già tri trong H.
ujm+i - dien tich mat càu don vi S'^ trong khòng gian ]R"^~^-^
7^^(fii X fi2, vA) - tap tàt cà càc hàm chinh quy trong fii, giài tich thuc trong
fi2, nhan già tri trong A.

TZA{^I

X fi2, ^ ) - tap tàt cà càc hàm chmh quy (co ky di) trong fii, giài tich

thuc trong fi2, nhan già tri trong A.
7^-^(fii X fi2, C) - tap tàt cà càc hàm chinh quy trong fii, chinh hình trong
fi2, nhan già tri phùc
7è>^(fii X 0.2^^) - tap tàt cà càc hàm chinh quy (co ky di) trong fi^, chinh
hình trong fi2, nhàn già tri phùc
7^(fi, C) t a p tàt cà càc hàm chinh hình trong fi
>l(fi, R) - t a p tàt cà càc hàm nhan già thuc, giài tich t h y c trong fi
Dq, 9 - càc dang vi phàn trong dai so Quaternion
dau, du - càc dang vi phàn trong dai so Clifford A (hoac C ^ )


MODÀU
Tu hai thàp ky gàn day, viéc nghién cuoi toàn tu Cauchy- Riemann suy
róng va toàn tu Dirac dà tra thành de tài trung tàm cùa nhiéu ngành toàn hoc
hien dai.
Mot mat, nhiéu bài toàn toàn cuc duoc nghién culi co lién quan chat che
vói càc tinh chat cùa hai toàn tu này trén càc da tap. Mat khàc, viéc nghién
cuu càc tình chat dia phuang cùa nghiem cùa toàn tu Cauchy - Riemann suy
róng va toàn tu Dirac dàn dèh mot vàn de mói me trong ly thuyét hàm là giài
tich Qifford ([6]-[10], [13]-[15]). Giài tich Qifford là su ma róng cùa giài
tich phùc cho lóp hàm nhan già tri trong mot dai so' két bop, khóng giao hoàn,
bao hàm nhùng dai so' quan trong trong ùng dung cùa vàt ly ly thuyét, ly
thuyét hat ca bàn va ly thuyét truòng luang tu nhu: Dai so Quartemion, Dai
so' Dirac, Dai so Pauli, ...
Nhùng két qua cùa F. Brackx, R. Delanghe, R. Gilbert, B. Goldschmidt,
V. P. Palamodov, D. Partici, W. Pincket, G. B. Rizza, J. Ryan, F. Sommen,

Le Hung Son, D. C Struppa, ... cho thày nhiéu tinh chat quan trong cùa hàm
chinh hình mot va nhiéu bién phùc, cùng nhu hàm giài tich suy róng (theo
nghia I. N. Vekua) dà duac ma róng cho càc hàm chinh quy va chinh quy suy
róng, nhan già tri trong mot dai so Qifford. Y nghla to lón cùa huóng nghién
cuu này là ma róng pham vi ùng dung cùa giài tich phùc cho mot lóp róng han
càc he phuang trình dao hàm riéng, bao góm nhùng he phuang trình quan
trong nhà't trong vàt ly ly thuyét, ca hoc luang tu, ly thuyét truòng va ùng
dung ky thuat nhu : he Maxwell, he Riesze, he phuang trình biéu dién Sohton,
he biéu dién càc truòng Gauge va Yang ~ Mills, trong ly thuyét chuyén pha va
khào sàt phàn bó cùa nhùng hat Quard (hat siéu vàt chat). Nò cùng ma ra
nhùng phuang phàp mói giùp cho viéc giài càc bài toàn bién cùa he phuang


4
trình dao hàm riéng nhiéu bién vò'n truóc day gap nhiéu khó khan nhu bài toàn
bién cùa hàm chinh hình nhiéu bién phùc tra nén de dàng hon.
Tuy nhién, viéc nghién cùu ly thuyét hàm nhàn già tri trong mot dai so
aifford cùng co nhùng han che do tinh chat qua tóng quàt cùa nò. Trong mot
so nàm gàn day, nhiéu nhà toàn hoc nhu R. Delanghe, Gentili, D. Penici,
F. Sommen, Le Hung Son, V. Soucek, A. Sudbery,... dà bàt dàu xày dung ly
thuyét hàm nhàn già tri trong mot dai so hep han dai so' Qifford nhung dù ma
róng cho càc dai so' quan trong nhu dai so' Quaternion, dai so' Pauli va dac biét
là su ma róng cùa càc nhóm quay va nhóm Spin, thuòng gap trong càc ùng
dung vat ly va ky thuat. Dò là nói dung ca bàn cùa huóng nghién cùu mang tén
"Hình hoc va giài tich Spinor". Day là huóng nghién cùu mói ra dai, ké thùa
nhùng dó'i tuong va phuang phàp cùa nhiéu llnh vuc nghién cùu quan trong khàc
nhau cùa toàn hoc hién dai nhu giài tich phùc mot va nhiéu bién, giài tich diéu
hoà, giài tich Oifford, ly thuyét dóng diéu, hình hoc Yang - Mills,...
Ly thuyét hàm trén truòng Quaternion duac nghién cùu làn dàu tién boi
Hamilton ([29]) vào cuòi théky 19. Bàn thàn Hamilton va nhùng nguòi kétuc

chinh cùa óng là Tait ([71]) va Jolly ([33]) chi phàt trién ly thuyét hàm mot
bién Quaternion bang càc phuang phàp chung cùa ly thuyét hàm so.
Nàm 1935, R. Fueter ([19]-[22]) dà dua ra khài niem hàm chinh quy, là
nghiem cùa he phuang trình tuong tu he Cauchy - Riemann. Òng chi ra ràng,
hàm chinh quy co nhùng tinh chat tuang tu hàm chinh hình nhu dinh ly
Cauchy, cóng thùc tich phàn Cauchy, su khai trién Laurent, dinh ly duy nhà't.
Muòi hai nàm sau, Fueter va càc cóng su dà phàt trién càc két qua trén va xày
dung ly thuyét giài tich Quaternion va dà dat duac nhiéu két qua sau sàc. Tuy
nhién, co mot so' diém khóng tron ven trong ly thuyét này. Nhiéu dinh ly nói
trén hoac khòng tóng quàt, hoac khóng dugc chùng minh chat che nhu càc
chuàn mire thóng thuòng ve su trình bay ma giài tich phùc dòi hòi.
Nhùng nàm gàn day, giài tich Quaternion dà co nhùng buóc phàt trién mói
nhò càc cóng trình nghién cùu cùa W. W. Adams, C A. Berenstein, P.


5

Loustaunau, I. Sabadini, D. C Struppa ([l]-[2]), S. Adler ([4]), Deavours ([16]),
V. R Palamodov ([42]), D. Penici ([43]), Salamon ([50]-[51]), Le Hùng San
([57]). A. Sudber\' ([68]),...
Nàm 1978, A. Sudbery dà bó sung mot so' két qua mói ve hàm chinh
quy mot bién Quatemion dugc dinh nghia bòi R. Fueter. Su dung phép tinh vi
phàn ngoài, A.Sudbery dà dua ra nhùng càch chùng mmh mói va don giàn cho
hàu hét càc dinh ly co bàn va co thè xàc dinh dugc rò ràng mói quan he giùa
giài tich Quatemion va giài tich phùc.
Gàn day, D. Pertici ([43]) dà nghién cùu ly thuyét hàm chinh quy nhiéu
bién Quatemion va khài quàt mot so dinh ly tu giài tich phùc nhiéu bién cho
lóp hàm này nhu cóng thùc Bochner - Matinelli, dinh ly thàc trién kiéu
Hartogs, ...
Mot dang dac biét cùa hàm chinh quy nhan già tri trong dai so Qifford

là hàm song chinh quy cùng dugc nghién cùu boi F. Brackx, W. Pincket va Le
Hùng San. Trong ([55]), Le Hùng San dà dua ra khài niem hàm da chinh quy.
Dò là su tóng quàt cùa hàm chinh quy trong khóng gian nhiéu chiéu. Ben canh
dò, khài niém hàm song chinh quy suy róng cùng dugc xét trong ([55]). Mot
so két qua quan trong cùa lóp hàm này nhu cóng thùc tich phàn Cauchy, dinh
ly duy nhàt, nguyèn ly modul cuc dai, dinh ly thàc trién kiéu Hartogs, ... dà
dugc chùng minh ([55]).
Mot trong nhùng vàn de quan trong cùa huóng nghién cùu này là bài
toàn thàc trién va bài toàn Cousin dó'i vói càc lóp hàm nói trén. Càc két qua
chù yéu dugc the hién trong càc cóng trình cùa Le Hùng San ([54]-[67]).
Mot huóng nghién cùu khàc là ma róng toàn tu Cauchy-Riemann cùng
dà dugc mot so tàc già quan tàm. Nàm 1986 Dang Vàn Khài xét toàn tu


6
trong dò £; = ± 1, càc vecta e^ thòa man diéu kién Uén hgp
e-A^^A, + eA^eA, = 2^ij-eo,

i,j = L ...,/c

va nhàn dugc két qua: mgi hình chinh quy theo nghia Tf-0

cùng co nhùng

tinh chat tuong tu nhu hàm chinh quy theo nghia cùa R. Delanghe ([9]) hay
cùa F. Sommen ([53]).
Nàm 1994, Tran Quyé't Thàng dà xét phuang trình dang

trong dò D^ là toàn tu Cauchy-Riemann, J:^->

^ là toàn tu myén tinh va

dà ma róng mot so két qua cùa ly thuyét L N. Vekua ve hàm giài tich suy róng
mot bién phùc cho lóp nghiem cùa phuang trình nói trén. Ngoài ra, tàc già dà
chùng minh dugc dinh ly thàc trién kiéu Hartogs trong truòng hgp W{x, t) là
hàm chinh quy phài theo tham so' t va giài bài toàn kiéu Cousin cho lóp hàm
nói trén.
Tiép theo, nàm 1996, Nguyèn Cành Luang dà chi ra diéu kién càn va dù
de tón tai he vecta thoà man diéu kién lién hgp cùa toàn tu Tlà
k
..
V . ,,.
r m = 2 (mod 4)
khi va chi khi <
l e^^^, = eA^-.eAm-

Muc tiéu cùa luan àn là tié'p tue nghién cùu ly thuyét hàm sé trong lóp
càc hàm chinh quy, song chinh quy nhiéu bién Quatemion nhàn già tri trong
dai so Quatemion va hàm chinh quy, da chinh quy, nhàn già tri trong dai so
Clifford, khào sàt mot so tinh chà't mói cùa toàn tu Cauchy - Riemann suy
róng va toàn tu Dirac, giài quyét mot so' bài toàn thàc trién va bài toàn kiéu
Cousin (ma róng dinh ly Mittag- Leffler ) dó'i vói hàm chinh quy, song chinh
quy, nhan già tri trong dai so Quatemion, dai so' Clifford va bài toàn thàc trién
dó'i vói nghiem cùa he phuang trình dao hàm riéng nhiéu bién tóng quàt (ma
róng dinh ly Hartogs).


7
Luàn àn dugc chia làm ba chuang :

Chuang 1 xét bài toàn thàc trién dó'i vói nghiem cùa mot he phuong
trình dao hàm riéng tuyén tinh càp mot tóng quàt dang:
m

TI

r\

L(')(n) = j : X ; a ! ? ^ ,

/ = 1,...,L.

(1.1)

Nhu dà biét, trong thuc té, tón tai nhùng hàm chinh hình mot bién phùc
co diém kì di co làp chàng han hàm W(z ) = ~ . Day là hàm chinh hình tai
mgi diém z ;^ 0 nhung khóng the thàc trién giài tich vào diém z = 0. Nói càch
khàc day là mot hàm chinh hình co ky di compact. Hién tugng này khóng con
dung vói hàm chinh hình nhiéu bién phùc (dinh ly thàc trién Hartogs ([30]) dà
chi ra ràng, hàm chinh hình nhiéu bién phùc khóng co ky di compact). Do
phàn thuc va phàn ào cùa hàm chinh hình là nghiem cùa he Cauchy - Riemarm
nén dinh ly thàc trién Hartogs thuc chat là dinh ly thàc trién nghiem cùa mot
he phuang trình dao hàm riéng co dang dac biét. Vàii de dugc dat ra mot càch
tu nhién là dinh ly nói trén co dung dó'i vói he phuang trình dao hàm riéng
dang (1.1) khòng? Vói diéu kién nào thì viéc thàc trién nghiem thuc hién
dugc? Diéu này dà dugc Le Hùng San de cap trong ([61]).
Nói dung cùa Chuang 1 là nghién cùu khà nàng ma róng Dinh ly thàc
trién Hartogs dó'i vói nghiem cùa he (1.1)
Muc 1.1 su dung két qua cùa Le Hùng San ([61]) de nghién cùu hién
tugng thàc trién dó'i vói nghiem cuà mot so he phuang trình dao hàm riéng quan

trong nhu he Riesz, he Maxwell, he Vinogradov va he Moisil-Theodorescu, dóng
thòi xày dung mot lóp vi du àp dung.
Dinh ly thàc trién dó'i vói nghiem cùa he dang
È ^ . | | =/
2= 1

(1.32)


8
dugc néu ò phàn cuòi cùa Muc 1.1. Càn nhàn manh ràng, càc he so cùa he này
khòng nhàt thiét phài là hàng so. Dò là sii khàc nhau ca bàn giùa két qua này vói
két qua trong ([61]). Muc 1.2 ma róng dinh ly thàc trién Hartogs dó'i vói nghiem
cùa he (1.1) vói he so hàm.
Chuang 2 nghién cùu bài toàn thàc trién dó'i vói hàm chinh quy bién
Quatemion va bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm song chinh quy va hàm chinh
quy^phu thuóc diéu hòa vào tham so, nhàn già tri trong dai so Quatemion .
Muc 2.0 trình bay mot so khài niem ca bàn cùa dai so Quatemion.
Muc 2.1 de cap tói hién tugng thàc trién nghiem cùa he phuang trình
khóng thuàn nhàt dang

df - 0

dq

df

(2.9)

a

dq(3

--90-

(2.10)

Tu day ta nhan dugc dinh ly thàc trién doi vói hàm chinh quy nhiéu
bién Quatemion, dac biét là thu dugc dinh ly thàc trién kiéu Hartogs dó'i vói
hàm chinh quy nhiéu bién Quatemion. Diéu khàc biét ca bàn ve phuang
phàp so vói Chuang 1 là a day su dung cóng thùc tich phàn Cauchy - Fueter
doi vói hàm chinh quy.
Trong ly thuyét hàm chinh hình mot bién phùc, dinh ly Mittag - Leffler
dà khàng dinh ràng, co the xày dung mot hàm phàn hình tu càc cuc diém cho
truóc. Két qua này dà dugc tóng quàt cho hàm chinh hình nhiéu bién. Dò
chinh là nói dung bài toàn Cousin cóng tinh, cho phép xày dung mot hàm
phàn hình vói kì di dia phuang cho truóc. Tié'p tue y tuong dò, dinh ly Mittag
- Leffler dugc ma róng cho hàm chinh quy phu thuóc diéu hoà vào tham so
trong Muc 2.2 va cho hàm song chinh quy trong Muc 2.3. Càc bài toàn trén
déu dàn tói viéc giài he phuang trình khóng thuàn nhà't. Tuy nhién, khàc vói
giài tich phùc, Quatemion là dai so khóng giao hoàn nén càc phép tình thóng


9
thuòng ve dao hàm khòng con dung trong dai so Quatemion. Vi le dò, co
nhiéu buóc trong phép chùng minh càc dinh ly a day khóng thùa huóng dugc
càch chùng minh truyén thóng dà co trong giài tich phùc.
Chuang 3 trinh bay bài toàn thàc trién doi vói hàm da chinh quy va bài
toàn kiéu Cousin dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc tham so, nhàn già tri trong
dai so Qifford.

Muc 3.1 ma róng dinh ly thàc trién kiéu Hartogs dó'i vói hàm da chinh
quy. Phuang phàp chùng minh dinh ly nói trén hoàn toàn khàc phuang phàp
dà dugc su dung trong chuang 2. Truòng hgp này khóng the àp dung cóng
thùc tich phàn Cauchy dó'i vói hàm da chinh quy (xem nhàn xét 3.1) .Vi tich
hai hàm chinh quy nói chung khóng phài là mot hàm chinh quy nén tich hai
hàm da chinh quy nói chung cùng khóng phài là mot hàm da chinh quy. Chinh
vi vay, de giài quyét dugc vàn de này phài giài dugc he phuang trình khóng
thuàn nhàt dang
D^(H)g^fH,

/?.-l,...,n, n > 2

(3.21)

0 day càn phài su dung ky thuàt hoàn toàn mói trong viéc chùng minh
càc bó de, dinh ly co hén quan, tu dò thu dugc dinh ly kiéu Hartogs. Muc 3. 2
nghién cùu bài toàn kiéu Cousin dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich
thuc vào tham so. De phuc vu cho muc dich này, phài chùng minh dinh ly kiéu
Runge dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich thuc vào tham so. Vi vay,
càn xày dung càc hàm xà'p xì ma dinh ly Runge dòi hòi. Càch làm a day hoàn
toàn khàc vói ky thuat dà su dung trong Chuang 2.
Bài toàn kiéu Cousin dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc chinh hình vào
tham so, nhan già tri trong dai so Cliffford phùc dugc xét trong Muc 3.3. Chù y
ràng, khài niém hàm chinh quy dugc nói dén a day hiéu theo nghia cùa F.
Sommen, gàn lién vói toàn tu Dirac, khòng hoàn toàn gióng nhu khài niém hàm
chinh quy theo nghia cùa R. Delanghe, là nghiem cùa toàn tu Cauchy - Riemann.


10
Phàn cuòi Chuang 3 giói thiéu hai bài toàn ma trong dai so Quatemion

va dai so Qifford.
Càc kél qua chinh cùa luàn àn dà dugc dang va nhàn dàng trong [1-5]
va dà dugc bào cao tai càc hgi nghi khoa hoc va càc xemina sau:
- Hói nghi quoc té làn thù 7 "Finite or infinite dimensionai complex analysis
and apphcations"tai Nhàt Bàn, 8-1999 do PGS TSKH Le Hùng San trình bay.
- Hòi nghi quóc té làn thù 9 "Finite or infinite dimensionai complex
analysis and applications" tai Ha Nói, 8-2001.
- Hói nghi phuang trình dao hàm riéng va ùng dung, Vién Toàn hoc,
12-1999.
- Hòi nghi vàt ly ly thuyét toàn quóc làn thù 24, 8 - 1999.
- Hòi nghi vat ly ly thuyét toàn quóc làn thù 26, 8 - 2001.
- Xemina phuang trình dao hàm riéng lién truòng Dai hoc Bach khoa
Ha Nói va Dai hoc Khoa hoc Tu nhién.
- Xemina giài tich - dai so Khoa Toàn - Ca - Tin hoc, Dai hoc Khoa hoc
Tu nhién, Dai hoc Quóc già Ha Nói.
- Hòi nghi khoa hoc ky niém 50 nàm thành lap Dai hoc Su pham Ha
Nói 1,9-2001
- Hói nghi khoa hoc ky niém 45 nàm thành làp Dai hoc Bach khoa Ha Nói.
- Hòi nghi ùng dung toàn hoc toàn quóc làn thù nhàt, 12-1999.


11

Chtromg 1
BÀI TOÀN THÀC TRIÉN DOI VÓI NGHIEM
CÙA HE P H U a N G TRÌNH DAO HÀM RIÉNG
TUYEN TINH CAP MOT
Nhu dà biét, trong Toàn hoc ùng dung va trong Vat ly ly thuyét co nhiéu
bài toàn dàn dén viéc nghién cùu hién tugng thàc trién nghiem cùa mot he
phuang trình dao hàm riéng. Tiéu chuan ma tran cho viéc thàc trién nghiem

cùa he phuang trình dao hàm riéng tuyén tinh càp mot voi he so hàng dà
dugc Le Hùng San chùng minh trong [61].
Phàn mò^ dàu cùa 1.1 trình bay càc tiéu chuàn dò dong thòi dua ra mot
so khài niém va dinh nghia dugc su dung trong Chuong 1.
Su dung càc tiéu chuàn này, ta chùng minh dinh ly thàc trién nghiem
cùa càc he phuong trình Ma:x:well, he Riesz, he Moisil - Theodorescu va he
Vinogradov trong muc 1.1.1 - 1.1.4. Muc 1.1.5 trình bay dinh ly thàc trién
duoi mot dang khàc. Cuoi cùng, dinh ly thàc trién cho truòng hgp he so bién
thién dugc mò róng trong muc 1.2.
1.1. BÀI TOÀN THÀC TRIEN DOI VÓI NGHIEM CÙA HE
PHUONG TRÌNH DAO HÀM RIÉNG TUYEN TÌNH GAP MOT,
HE SO HÀNG VA GAG ÙNG DUNG CÙA NO
Xét he phuang trình dao hàm riéng
TU

n

rj

L(^)(n) = 5 : 5 : a i 5 ) | ^ = /(^), e=l,...,L
i=l j = l

(1.1)

3

trong do Ui = -Ui(xi,..., x^) là càc hàm giài tich thuc theo càc bién x i , , . . , x„
vàii = (ui,...,Um) là hàm chua biét, / ^ = /(^)(xi,... ,2:^) là càc hàm giài
tich thuc cho truóc theo càc bién x i , . . . , x^, a[f là càc hàng so thuc hoac
càc hàm giài tich thuc theo X i , . . . ,Xn.

Dinh nghia 0.1. Già s é u = (lii(x),... ,u^(x)) va ù :- ( ù i j x ) , . . . , ùm{x))
là hai nghiem cùa he (1.1) trong càc mién tuong ung G vk G trong dò G C
(7 C R". Néu ù = u trong G thì ù dugc ggi là thàc trién cùa u trong G.


12
Dinh ly 0.1. (Dinh ly duy nhàt cho hàm giài tich thuc).
Già su u là mot nghiem giài tich thuc theo x i . . . . .Xr, cua he (1.1) trong
mièn G C E " , a Za mot tap ma khàc rong cùa G. Néu u = G trong a thì
u = 0 trong toàn G ([30]).
Trong Chuong 1. ta luòn su dung nhan xét sau
Nhan xét 0.1.
1) Néu he (1.1) là elhptic vói he so giài tich thuc thì moi nghiem thuóc
lóp C^ déu là hàm giài tich thuc ([31]). Trong truòng hgp n à y khi nói dén
nghiem cùa he, t a hiéu dò là càc nghiem dù tron.
2) Néu he (1.1) khóng phài là elhptic thì ta chi xét càc nghiem giài tich
thuc.
Vi vay Dinh ly 0.1 dung cho càc nghiem cùa he theo nghia nói trén. Nói
càch khàc, thàc trién ù cùa u trong G néu co là duy nhàt.
Già su G là mot mién cùa R", S là mot làn càn ma bàt ky cùa dG. Ky
hiéu
A^^^ = ( a l f L x „ ,

i = l,....L,

(1.2)

A, = ( A « . . . . , A « ) ,

(1.3)

e=i

z,A:= l , . . . , m ;

j = l,...,n,

B=(Z;(i),...,Z5(-)),

C= I

:

).

(1.5)

Khi dò, B là m a tran kieu m x n-^ va C là ma tran kieu m^ x n.
N é u a ^ y , i = l , . . . , m ; j = l , . . . , n ; £=1,...,L

là hàng so t a co

D i n h ly 0.2 [61]. Già su m < n va ton tai m vecta A ^ , . . . , A^n sao cho
1. RankD^^) = 1, z-r l , . . . , m ,
2. Rank E = m,
3. Rank C — m.
Khi do, mot nghiem cùa he (1.1) trong E deu thàc trién thành
nghiem cùa chinh he dò trong toàn G.

mot

D i n h ly 0.3 [61]. Già su m, n bdt ky va ton tai m vecta A i , . . . , A^ sao cho


13
1. RankD^^) = 1, ? rz: l , . . . ,m,
2. Rank B = m,
3. Rank C = 1.
Khi dò, mèi nghiem cùa he (1.1) trong E dèu thàc trién thành mot
nghiem cùa chinh he dò trong toàn G.
Nhu dà biét, nghiem cùa he Riesz, he Maxwell, he Moisil - Theodorescu hay he Vinogradov nói chimg là khòng thàc trién dugc, chàng han hàm
u = grad ( - j vói r = ^Jx\ -\- xi^^- x\ là mot nghiem cùa he Riesz
du\ , du2
dx\
dx2
du^
duj
dxj
dxi

duz _
dxs
= 0,

i,j-1,2,3

trong làn càn mó bàt ky cùa dG vói G là mot mién tùy y cùa K^ co chira
diém 0 nhung khòng the thàc trien (tham chi thàc trién lién tue) thành mot
nghiem cùa he trong toàn G.
Ta sé bo sung vào mòi he dò mot so diéu kién thich hgp sao cho viéc thàc

trién nghiem thuc hién dugc.
1.1.1. B à i t o à n t h à c t r i é n doi v a i n g h i e m c ù a he Riesz
Già su G là mién bàt ky cùa R^, E là mot làn càn mó cùa dG.
Xét he Riesz
dui
du2
dus
— - + — - -\
= 0
dxi
dx2
dxs
dui
duj
= 0
dxj
dxi

(1.6)
(1 < i < j < 3)

vói diéu kién bo sung dang
3

3

EE»i"i^ = ^"'
J= l i = i

(!•')

trong do /^^^ là càc hàm giài tich thuc cho t r u ó c trong G U E, a\^^ = const.
£ :- 1, 2. He (1.6), (1.7) co dang (1.1) vói m = n = 3, L = 6.


14
Dat
(i)
('^ = a^^^ + a,
21
(0

(i)_„(^)
"il

777(0

a 22

7

(1.8)

1,2.

^^13 "" *^31

— ^23 "*" ^32

Ta co dinh ly sau

D i n h ly 1.1. Già su càc so trong (1.8) thóa man càc dièu kién
1.

Q(^)/3(^) ^

0,

2.
3.

(a(')) V ) + (^W)'mW = a^^)0(i)^ii),
a(2)/3(i)^a(i)/?(2),

z = 1,2,

(a(i))'Q(2)/3(2)n(i) + a(i) (/3(i))'/?(2)m(2).
Khi dò, moi nghiem cùa he (1.6), (1.7) trong E dèu thàc trién
thành mot nghiem cùa chinh he dò trong toàn G.
ChiJng m i n h . Chgn càc vecto
A

(1)

(

a 11

(1)

a 12

'

'

1

(1) . ( 1 )
^13 ' ^32

P

(1)

771(1)

1,0),

A2=(-alV,4V,4V,4V-P^^^^^^\l,0),
A3

(

a(2) _ a ( 2 ) _ „ ( 2 )
(2) _ ^ ™ ( 2 ) 0 .
"il'
" 1 2 ' " i S ' "'32
(2)
>'-'!-'•
(2:

(1)

p(2)^ a
vai p^-""^ = a
/3(i) ' ^
/?(2) •
Tir (1.4), de dàng nhan thày ràng, càc ma tran D^*) là

0
D(i)

0
md)

pw
,(1)

771(1)

pw

0

md)

1

, D(2) =

0

p( 1 ) ^ ( 1 )

p(i)

n(i)

0

0
D(3) =

ad)

0

0
p(i)n(i)

0

a(2)

n

nd)

•

i(2)n(2)

/J{2)
,(2)

m

(2)

n

(2)

Dat
B* =

Q

0

ad)

0

(!)

^ d )

Q,(2)

pd)nd)

/3(2)

/3d)

c* =

ad)
0

m(i)
ad)

pd)nd)

a(2)

m(2)

p(2)n(2)

pw

(1)

duac


15

thì B* va C* tuong ung là ma tran con cùa ma tran B va C, xàc dinh bòi
(1.5).
Rò ràng Rank Dd) = Rank D^^) = R^nj^ pO) ^ i_
Tir dièu kién (3) va (4), de dàng thày det B* 7^ 0, det C* 7^ 0.
Tir dò, Rank B = Rank C = 3 = m. Nhu vay, càc dièu kién cùa Dinh
ly 0.2 duac thòa man.
Dinh ly dugc chung minh.
Dinh ly 1.2. Già sii càc so trong (1.8) thóa man càc dièu kién
1. a d ) = / ? d ) = 0 ,
md)a(2)/?(2) ^ 0,
2. ( 7 < i ) ) ' - 4 m d ) n d ) > 0 ,
3. Ton tai x, y thòa man
a) 7(2)(2:2 + 1) + 2xy(xa(2) - m(2)) = (x/3(2) + J/Q(2))(X2 + 1),
b ) x a ( 2 ) + x 2 n ( 2 ) _ m ( 2 ) + n(2) = y/3(2)(x2 + 1) _ y 2 ( ^ ^ ( 2 ) _ ^ ( 2 ) ) ^

e) xa(2)_m(2) ^ 0 .
Khi dò, moi nghiem cùa he (1.6), (1.7) trong E dèu thàc trien dugc
thành mot nghiem, cùa chinh he dò trong toàn G.
Chung minh. Chon
Ai = ( - a i V > - a i y , - 0 ^ ^ , ^ 1 , 1 , 0 ) ,
A2= ( - 4 i \ - a ^ y , - a i y , Ì 2 , l , 0 ) ,
A3 = ( A l ^ \ A ^ ^ A f , A f , 0 , l
trong dò il, Ì2 là nghiem cùa phuong trình
t' - ( 4 y - 4V)^ - a'i^a^^ + [a^^ - a[\^) ( 4 ^ - a[\^) = 0
va
^(3) _ xa(') - X^Q(^^ + «(^2^

-^1
^^2

;IT1

'

~ *^21 ~ ^'^1 )

r(3) _ f2)
xgW - 4^,) + gf^,)
A3 - a a i - y
^^^^^^
,
Af ) = x^(2) - 42) - x / ^ ^ ' ^ - "22^ + ^ n
^•^
a;2 + i


16

Tir (1. 4). ta co
'0
D(i) = 0

0
md)

0
43^ + ^1

_o 42'-^!
D(3) =

0
, Df2) =

0 4y-^2

"^^*

" X

a(2) _ ^^

xk
yk

x(a(2) _ xk)
y{a^^^ - xk)

m

d.

p{2) _

(1)

0
+ t2

a 23

d)
n

y).

(2)
m
x(/3(2) _ yk) vai
v k — xa
rr2 + l
y{0^^'> - yk)

(2)

Dat
-

B* =

0
md)
a^32^-ti

0
md)
42^-^2

md)
md)

k'
'0
xk , C - - 0
yk_
.k

t i + 023
12 + ^23

thì B * va C* tu-ang u-ng là càc ma tran con cùa ma tran B va C. Tir già
thièt suy ra
RankZ^d) = Rank 15(2) ^ Ranki:)(3) = i va Rank B = Rank B*
Rank C == Rank C* = 3 == m.
Ap dung Dinh ly 0.2, t a nhàn dirgc Dinh ly 1.2.
D i n h ly 1.3. Già su càc so trong (1.8) thóa man càc dièu kién
1. a d ) / 3 d ) ^ 0 ,
a(2) =/?(2) ^ 0,
2. (7(2))'=4m(2)n(2),
3.

ad)7(2)^2m(2)/?d),

4.

{a^^^)\W

+ (/?d))2^d) = ad)/5d)7d).

Khi dò, moi nghiem cùa he (1.6), (1-7) trong E dèu thàc trien
thành mot nghiem cùa chinh he dò trong toàn G.

Churng m i n h . Chon càc vecto
(1)

ajj_ ,

(1)

a^2 1

,d) . d )

'^i3')'^32

(1)
(1)
(1)
(1)
1 1 1 ' ^^21 , % 1 , ^ 3 2

A2 =

1
i(i)

m

(1)

,1,0)

P^^V^M,o),

Xs = {-a^A\-a?l-a?lUa^S

-ag^OA).

Tacó
0
Q d)

0
p d ))71
nd)

0
md)

pii)

,w

m

(1)

0
D(2) =

ad)

0

md)

0

(l)r,(l)
p^^'n

nd)

pw
1
p(i) m

nd)

(1)

duac


17

0
0

D(3) =

0

m(2)

—'V

VOI p (1)

2 '

1 ,,,

0

'2)

n

2'

-

a

(1)

i2,

0(^)'-

(2)

a

(2:

/?(:

Rò ràng. Rank D^^^ = Rank D^^) = Rank D^^^ = 1.
Dat
(1)

0
ad)

a
m CD

^(1)

p(l)„(l)

0
m

(1)

m (1)

0

Q

0

m(2;

a

(2)

Ì^(2)

, c*-

(1)

p(i)n(i)

d^
•7

•2)

Tir càc dièu kién cùa dinh ly, ta nhàn duoc
R a n k B = R a n k B * : = R a n k C = R a n k C * = 3 = m.
Àp dung Dinh ly 0.2. ta co dièu phài chùng minh.
N h a n x é t 1.1. Néu bo sung vào he (1-6) ba phu-ong trình dang
dui

ZE
- ^

'^ dxi

1 7= 1

-^

(^)

/

w

i=

1,2,3

(1.9)

và dat
Q (i)

(0 ,

== a\2 + CI21

(0
(0
m ' ' = aòo
22 — a1 1

(^)
= a^^ + a31

1

{i)

n'

-J-)^Ji)
^23 + ^32

(^)
a 33

1,2,3,

(1.10)

— a11

Ta nhàn duoc
D i n h l y 1.4. Già su càc so trong (1.10) thóa man càc dièu kién
a :^)
/?('•) "" ^ ^

2.

^

p2y^(x) + j„(z) = ^ ^ ( 0 ^

'

j = 1,2,3,

- ad)
3. Rank B* = 3 vai B* = m d )
pnd)

a(2)
,n(2)
p?!^'^)

a(3) ]
m(3)

pn^^)

ir/7? 5o. 77ZOZ nghiem cùa he (1.6), (1.9) trong S <ìèu i/idc inen
thành mot nghiem cùa he trong toàn G.

_.
ì-t!.-'.'
•t-ol

:XkM

dugc

_.


18
Chijmg minh. Chon

Ai = (-4i\-4V^-«'31 ' %(2i ) _ iV^ ( i ) , 1 , 0 , 0 ) ,
A2 = ( - ai^i\ - 4 T , - 4 : ' , 4 ' ^ - \rn^^^^^^ 1'0),
^3 = ( -

(3)

.43,),-4^,\4|'--m(3),0,0,1).

an

Tir cóng thuc (1.4), ta co
DW =

;5(0 n

ro

a(^)

0

m(')

-m(^)

n(^) .

.0 pn'^'^
Rò ràng, Rank D^') = 1,
Dat

t = 1,2,3.

)

i = 1,2,3.

pw

^0 ad)
C* - 0 a(2)
0 a(3)

0(2)
Pi3)

thì B* và C* là càc ma tran con tuong ung cùa càc ma tran B và C. Hon
nira Rank B = Rank B* =^ 3, Rank C = Rank C* = 1.
Ap dung Dinh ly 0.3, ta nhan dugc Dinh ly 1.4.
Vi du 1.1. Xét he phirong trình (1.6) vói dièu kién bo sung
du2 du3
dxi
dxi
du2 du2
-f

dxi
dx2

= 0

du2
dx^

du^
dxi

(1.11)
= 0.

Khi do he (1.6), (1.11) co nghiem, (chang han Ui = —5xi — X2 + x^^
U2 = -Xi

+ 3X2 + X3,

U3 = Xi + X3 -f 2X3).

De dàng kiém tra dugc ràng, he (1.6), (1.11) thòa man Dinh ly 1.1. Do
dò, moi nghiem cùa he (1.6), (1.11) trong S dèu thàc trién dugc thành mot
nghiem cùa chinh he dò trong toàn G.
Vi du 1.2. Néu bó sung vào he (1.6) dièu kién
du2

du2
dxs
du2

dxi

= 0

dudxi

1.12)
= 0


19
thì he (1.6), (1.12) co nghiem (chang han li^ = xi + X3, U2 = C = const,
U3 = X i -

X3).

De dàng kiém tra dugc ràng. he (1.6). (1.12) thóa man Dinh ly 1.2. Vi
vay, moi nghiem cùa he (1.6), (1.12) trong E dèu thàc trién dugc vào toàn G.
Vi d u 1.3. Chgn ma tran càc he so cùa (1.9) nhu sau
/

(1)

a 11

Ad)

(1)

(1)

a 13

(1)

a 21

\

(1)

a 11

(1)
W^
a 13 + a
12

a 12

fi)

a 12

a 23

(1)
a[\^
)

(1)

—a23

(1
+ 0>21 7^ 0 ,
(2)
11

/

A(2)

(2)

(2)

(2)

^

"21

C2)
^11

(2)
^22

\

(2)

a 22

(2)

\ a\2 — a 13

a 13

(2)

(2)

a 21
\

(2)

a 12

a 23
(2)

a 23

„(2)
41'
/

(2)

+ a^iVO, arl^^a^;^

a

(3)

^(3)

(3)

"12

a 13

"11

a 23

(3)

=

(3)

a 21

(3)

v4^2^
(3)

(3)

a 11

/

(3)

(3)

a 13

a 21

^(3)
"32

*^11 + ^23

(3)

a 32 /

(3)

a 32 + ^^3 ^ 0, a\y + a'21 ^ 0

Khi dò, ta co mot lóp vi du àp dung Dinh ly 1.4. Chang han, chgn dièu
kién phu nhu sau:

l

dui
dx2
dui

du^
dxi
du2
0X2
8x2
dui j 9^3
dx2
dxi

du 3
dxi
«9^3
8x2

du3
9X2
dus

= f(2)

1.13)

8x3

He (1.13) t u o n g duong vói he sau
8u\
8Urt
— - -\
i
8x2
8x1
9X2

. dx

dx2

8x

^,,.
z= fW
•'

^

(1.14)


20
De dàng kiém tra ràng, he (1.6), (1.13) thòa man tàt cà càc già thièt
cùa Dinh ly 1.4. Do dò, co thè àp dung dinh ly này cho nghiem cùa he (1-6).

(1.13) hay chinh he (1.6), (1.14).
1.1.2. Bài toàn thàc trién doi véri n g h i e m cùa he M a x w e l l
Già su G là mot mièn cùa khòng gian Mincopxki M , E là mot làn càn
m ó cùa 8G.
Xét he phuong trình Maxwell
div£^ = 0
8H

xotE =

dt

(1.15)

àìvH = {}
8E

TOtH

8t

+3

trong dò E — {Ei,E2,Es),
H = {Hi^H2^ H^),
E^, H^^ z = 1, 2, 3 là càc
hàm cùa x i , X2: ^3, i, nhan già tri thuc, xàc dinh trong G.
Ky hiéu ui = Ei,

U2 = E2,

U3 = E3 U4 ^ Hi,

u^ = H2,

ue = H^,

t — X4.

He (1.15) tuong duong vói he
8ui
dxi
8u2
dxs
8ui
8x3
8ui
8x2
8x4
8x1
8ui
8x4
8U2
8x4
du4
8x0

8u2
8x2
8U3

8us
5X3

+ 8x2 +
8us
8x1

+

= 0

8u4
= 0
8x4
8us
0
8x4
8UQ

dxi
du5

8x4

«9X2

8x3

8UQ

= 0
(1.16)

= 0

du5

+ dxz

= -Jl
8X2
dui j duQ
= -J,
8x3
dxi
8115 5U3
= -J:8x1
8x4


21
Xét he (1.16) vói dièu kién phu
6

6

rs

/

1=1 j = i

const,

VOI

GUE,

/^^^

w

(1.17)

-^

là càc hàm giài tich t h u c cho truóc trong

i = l,..-,6.

Dat
a

(0

(i)
= n(l^ - f a 21
= a 12

/3f^)

_= . ( ^ '
13

+ a31

7 ii)

= ni'^
23

(0
a 32

Q .(0

+a

(0
n

m

51

n

61

{^)

(0
a 11
(0
= ^.y
33 — a11
ii)

= a22

(0

a
^43

771(^:

= a 53 + 42^

(^)

(^)

=

a 52

(0
a 41

^63 -

^41

(i)

i = 1,2,3;

(1.18)

2 = 4,5,6.

1.19)

Ta co dinh ly
D i n h ly 1.5. Già su càc he so cùa (1.17) và càc so trong (1.18)^ (1.19) thóa
man càc dièu kién sau
a

(i)

p = const 7^ 0,

2

2«W ^ j^{i)

p'^n

p^(0^

_

=

i
'i)
—O62

a 34

•a 51

a 42

a 31
(0
a 23

= —a 54

(0

a 14

_ J^)
= a53

(i)

3. a) <

Z=

a 11
(0
a 21
b) < (0
a 31

l,

1,. --,6,

{^)

(i) -

— ^22 ~

_^W

ai2

—

(0

—a53

4. Rank B* - 6

^33

(0 _

-

P

(0

— %4

(i)
^(0 _
•44
a 13
mf^) = a (0
14

faz

^24

" 4 3 -~ " 6 1

a 41

m^"^ — '44

_ (.t ). _ (0
_

,..,6,

a 21

(0
a 51
(0
a 61
(0
a 32

^52 ~

^63

2 = 1,2,3.

= a 64

(0
= —a 44
__ ^(0
-

.
-

24
"23 — "44

1 = 4,5,6,


22
(3)
0
0
a
(3)
0
0
m
m
(2)
(3)
fi)
0
0
pn
pn
B^ = pn
,(4;
0
0
0
a'
(5)

TU
0
0
0
(4)
(5)
0
0
0
pn"-"' pn^"'
Khi dò, moi nghiem cùa he (1.16), (1-17) trong E
thành mot nghiem cùa chinh he dò trong toàn G.

Q

(2)

[2)

(6)

a
(6)
m
(6)
pn'
dèu thàc trién

dugc

Chirng m i n h , Chgn càc vecto
(1)
(1)
— ^na\,\aoo
'^23

A l -

h=

J-

(2)

P

(4)
(4)
^11 ' ^23

(2)
5^31 '

_

(4)

C4)

•^13 ' ^ 1 2 '

(5)
(5) _ (5)
(5)
" 1 1 ' " 2 3 ' *^13 ' ^^12 1
(6)

(6)

(6)

^11 ' '^23 '

„(6)

CD

(D

41 '

14

a'24\-al',\h0„0,0,0,0),

21 '
(2)
21 '

_a^3)

f 3 ) _ l
(3)
C3)
" i l ' "23
"^
'"31'

A4 =

Ae-

CD

(1)
m^(1) \aoJ

P

(2)
(2)
'^ll ' ^23

X2 =

A5 =

^

(3)
"21'

^14 '

(3)
"41*

(3) _ (3) _ (3) 0 0 1 0 0 0^
"l4 ' " 2 4 '
" 3 4 i'-') U, i , U-U, UJ,

(4)
^^41

a 53

(5)
^^41 '

(5)
^53

C2}

C4)

,(6)

44^-4'4^0^1^0,0,0,0),

^ 4C2)

1 '

C4:

.C4)

C4;

^ m f 5 ) , - 4 ' ; , - a f 4 \ 0,0,0,0,1,0),
P

(6)

^13 ' ^12 ' ~ ^ 4 1 ' "~%3 "^

"^

^J6)
4 ' - 4 4C
, 60) ' 0 ^ 0 , 0 , 0 , 1 ) .

(6)

Càc ma tran D^^\ xàc dinh bòi (1.4), co dang

D« =

0

Q(^)

/?(^)

0

0

m(^)

-mW
P

0

0
0
0
0

pn(^)
0
0
0

n(^)

0
0
0
0

0
0
0

0
C
0
0
0
0 a(0

•c

)(i)

=

0
.0

(i = 1,2,3)

m(')

0
0
0
/3(0

P
n(0

pn(')
(i = 4,5, 6)

Ky hiéu

-0
0
0
C* =
0
0
.0

ad)

pil)

Q(2)

P{2)

a(3)
a(4)

/?(3)

Q(5)

a(6)

^(4)

/?(5)
/3(6)

0D
D
3
,3
,D.

•

thì B* và C* là càc ma tran con tuong ung cùa ma tran B và C.

0
0
0
0
0
0


23
R ò r à n g , RankD^^^ = 1,

z = 1,....6,

Rank C = Rank C* = 1

Rank B = Rank B* = 6 = m.

Càc già thiét cùa Dinh ly 0.3 dèu dugc thòa man.
Dinh Iv duoc chuns minh.
Vi d u 1.4. Chgn ma tran càc he so cùa he (1.17) nhu sau
/

"il

(D

CD

(D
a 34
(D
a 24

V
trong dò

+ a21

a 12

A(i) =

CD

a 41

CD

a 14

C2)

CD

a 23

CD

a 11
(D
a 24
(D
a 14
/D

\

34

CD

a 23

CD

•^12 "*" ^13

a 21

(D
a 21

'41

C2)

a 11

"12

C2)

/

(2)
^^12

A(2) =

C2)

C2)

"13

"14

"23
(2)
^11

"24

\

C2)

a 21

^22

(2)
(2)
'^IS "^ *^21
(2)
a 41
(2)

—a34

M
(2)
%4

{2)
^41

C2)

(2)

a 24
M

(D
a 14
(D
a 24
a (D

CD

a 13

a^2 + 4 i 7^ 0,
/

vai

(D
a 12
(D
a 11
(D

a 23
(D
a 34

a 14

C2)
- ^ 4

41'
+ a(^,)

"12

C2
+ 4^3^ -4l

C2)
^14

C2

(2)
^23

C2)

a

a 21

/

42^-43^-4^,), 42' + 4i'#o, 41)^4^.
(3)

/

"il

a 12

"21

a 22

C3)

(3)

A(3) =

a 12

C3)

a 13

^"21

a 32

(3)
"34

(3)

(3)

-a34

a 41

C3)
a 24
,

(3)
a 14
(3) , ^ ( 3 )

^(3)

(3)

C3)

C3)

a 24

A^

a 34

—a24
(3)

a 14

C3)

a 41
,^(3)

\

a 14

a 23

C3)

a 41

W_,C3)

C3)

a 13

C3)

•a

C3) j _ . C 3 )
23
22

•a

(3)
12

+a

/3)
^11

.C3)
a-'
~n^^^

"13

C3)

"21

a 21

trong dò A^ ^ 2 a - - a - + a - + a ^ ^ , ^ ai^.^+a^,^ / 0; a\'^-a'^^+a^^)-^af^

^ 0


24

a 12

^11

C4)

(4)

a 11

•12
C4j
—a13

A^^^ =

(4)

C4)

(4;
/^

"42

J4)

C4)

—a34
C4)

\

(4)

a 34

(4)
(4)
^24 ~ ^34
(4)

(4)

—a23
a

a 14

'41

C4)

(4)

a 41

a14

a 24

a 24

a 11

C4)
"42

"14

(4)
a 23

C4)

(4)

—a23

a 41

a 13

"12 /

C4)

a 42 T "34 '

/

(5)
"il

C5)

AC5)^

C5)

C5)

a42
(5)
52

a

—a34
C5)

C5)

a 34 7^42^

"^i l

"l3
"41
"34
\

6)
(6)
a 34 ^ a 42'

a 34

a 11
C5)
"42
C5)

C5)

a 24
(5)
52

a 14 + a

o)

a 34

C5)

a 41

C5)

C5)

C5)

a 13

-ag^ I

a41

—a14

—a23

7^ "52 )

{ a[\'
-a[l^
A^^) =

C5)

C5)

(5)

a 23

a 41

"14 ^
:5)
a 24

(5)
a 23

a 11

C5)
13

V a 24

a 13

C5)

a 12
•a

C5)

(5)

a12

"24

"12

"13

"14

"il
(6)
"23

"23

"24

"11

"34

"42

"42

"52

"14

"62

"14

"24

+ "52
+ "41

"34

"23

"41

"^3^

^ "62

-4^2V

(6) , „C6)
a14 + a^V ^ 0.

He (1.17) vói ma tran càc he so A ^ ^ ^ . . . , A^^^ thòa man tàt cà càc già

thiét cùa Dinh ly 1.5. Nhu vay, co the àp dung dinh ly này cho he (1.16),
(1.17).
Sau day, t a xét mot vi du cu the


25
Chon

Ad)

/ODO
1 0 0
1 0
0
0 0 0
0 0
0

Vo 0 0
/O
1
1
A(3) =
0
0
\0

A(5)

/O

0
0
O
O

/O 0 0
1 1 0
1 1 0
A(2) =
0 0 0
0 0
0

0 \
0
0
,
0
- 1

1 /

0
0
0 \
1 0
0 1
0 - 1
0
0

0
1
0
0 - 1
0
0
1 /
0 0 0\
0 0 0
0 0 0
l i o
l i o

0 \
0
0
1
- 1

Vo 0 0
/O
0
0
AW =
O
0

,

1 /

0 0
0 0
0 0
l i o
0 0

0\
0
0
1

0

Vo 0 0 0 /
/O
0
0
A(6) =.
O
0

Vo 0 0 0/

0 0
0 0
0 0
l i o
0 0

0\
01
0
0

Vo 1 1 0 /

Vai m a t r a n càc he so nhu trén, he (1-17) trò thành

dE2 _^ dEs
dxi
dxi
dE2
dE2
dxi + dxo
dE2
dE2
dxi
8x2
8H1
dHi
8X2 + 8x3
8HI
8HI
8x0
dx-i
dHi
8H1

dH2 ^ dHs

dt
dt
dEs
dEs
dxi
dx2
dEs
dEs
dxi
8x3 +

8x'

dx-

8x:

8H2
dx
dH3

dHi
8t
8H1
8t

dHo
8t
8H2
8t

OH8t

+

8t

1.18)

dH2
5X3

dih
dx-i

= /(6