Luận văn thạc sĩ toán học vành, trường bậc hai và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------*-------

HOÀNG VĂN ĐÔNG

VÀNH, TRƯỜNG BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------*-------

HOÀNG VĂN ĐÔNG

VÀNH, TRƯỜNG BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN

Thái Nguyên - 2015

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Kiến thức cơ bản về mở rộng vành và tr-ờng

5

1.1

Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Mở rộng vành và tr-ờng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Vành và tr-ờng bậc hai

13

2.1

Tr-ờng bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Vành bậc hai và vành các số nguyên đại số . . . . . . . . .

21

3 Một số ứng dụng giải toán sơ cấp

31

3.1

Sử dụng tr-ờng bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2

Sử dụng chuẩn trong vành bậc hai . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3

Sử dụng phân tích duy nhất trong vành bậc hai . . . . . . .

36

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1


2

Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Tr-ờng Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, tôi đ-ợc nhận đề tài nghiên cứu \Vành, tr-ờng bậc
hai và ứng dụng" d-ới sự h-ớng dẫn của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn. Đến
nay, luận văn đã đ-ợc hoàn thành. Có đ-ợc kết quả này là do sự dạy bảo
và h-ớng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Cô. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc tới Cô và gia đình!
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào
tạo và Khoa Toán - Tin của Tr-ờng Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập
tại Tr-ờng và trong thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Sự giúp
đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của các thày cô giáo, các cán bộ thuộc
Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những
ấn t-ợng tốt đẹp.
Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh, đặc biệt là Trung

tâm HN&GDTX tỉnh - nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
để tôi hoàn thành khóa học này.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thành viên trong
lớp cao học Toán K7Q (Khóa 2013-2015) đã quan tâm, tạo điều kiện, cổ
vũ và động viên để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.


3

Lời nói đầu
Trong lý thuyết số đại số, một tr-ờng bậc hai đ-ợc hiểu là một tr-ờng
con của tr-ờng số phức C đồng thời là một mở rộng bậc hai của tr-ờng số
hữu tỷ Q (tức là một Q-không gian véc tơ chiều 2). Nh- vậy, nếu K là
tr-ờng bậc hai thì tồn tại một hệ {1 , } K (gọi là một cơ sở của K)
sao cho mỗi phần tử của K đều biểu diễn đ-ợc một cách duy nhất dạng
a + b với a, b Q. Với suy nghĩ t-ơng tự, ng-ời ta giới thiệu khái niệm
vành bậc hai, đó là một vành con của C đồng thời là một mở rộng bậc
hai của vành số nguyên Z. Cụ thể, nếu D là vành bậc hai thì tồn tại một
hệ {, } D (gọi là một cơ sở của D) sao cho mỗi phần tử của D đều
biểu diễn đ-ợc một cách duy nhất dạng a + b với a, b Z. Các vành và
tr-ờng bậc hai đã đ-ợc quan tâm và nghiên cứu một cách sâu sắc với nhiều
ứng dụng quan trọng trong toán sơ cấp. Chẳng hạn, chúng ta có thể dùng
vành và tr-ờng bậc hai để chứng minh rằng không thể dựng bằng th-ớc kẻ

và compa số thực 3 2, không thể \cầu ph-ơng một hình tròn" (dựng một
hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn cho tr-ớc).
Mục tiêu đầu tiên của luận văn là nghiên cứu các tr-ờng bậc hai và các
vành bậc hai. Mục tiêu tiếp theo là làm rõ cấu trúc của vành các số nguyên
đại số trong một tr-ờng bậc hai, chúng tôi chỉ ra rằng đây là một loại vành
bậc hai rất đặc biệt. Chẳng hạn, các iđêan của nó đều có một hệ sinh gồm

một hoặc hai phần tử, mỗi phần tử của nó đều có sự phân tích thành nhân
tử bất khả quy. Chúng tôi cũng chỉ ra một số lớp vành bậc hai có sự phân
tích duy nhất. Mục tiêu thứ ba của luận văn là áp dụng những kết quả về
vành và tr-ờng bậc hai để giải quyết một số dạng bài toán sơ cấp.
Luận văn đ-ợc viết chủ yếu dựa theo 4 tài liệu sau đây.
1. Daniel A. Marcus, Number Fields, Springer New York, 1977.


4

2. J. Rotman, Galois theory, Second edition, Springer, 1998.
3. David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests,
GNU Free Documentation License, October, 2007.
4. Victor V. Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition).
Phần mở rộng vành và tr-ờng đ-ợc tham khảo từ các tài liệu 1 và 2.
Khái niệm và một số kết quả về vành và tr-ờng bậc hai đ-ợc tham khảo từ
tài liệu 1. Phần ứng dụng giải toán sơ cấp trong Ch-ơng 3 đ-ợc tham khảo
từ tài liệu 3, 4 và một tài liệu về toán sơ cấp của PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ.
Luận văn chia làm 3 ch-ơng. Ch-ơng 1 trình bày những kiến thức cơ
bản về vành, tr-ờng, đồng cấu, mở rộng tr-ờng, cơ sở và bậc của mở rộng
vành và tr-ờng, số đại số, số nguyên đại số. Trong Ch-ơng 2, chúng tôi
chỉ ra cấu trúc của tr-ờng bậc hai, vành bậc hai, vành các số nguyên đại số
trong tr-ờng bậc hai, iđêan trong vành bậc hai, sự phân tích duy nhất trong
vành bậc hai. Ch-ơng 3 trình bày những ứng dụng của vành và tr-ờng bậc
hai trong việc giải toán sơ cấp. Ch-ơng chia làm 3 tiết nhỏ. Tiết 3.1 là các
bài toán giải đ-ợc bằng cách sử dụng tr-ờng bậc hai. Tiết 3.2 là các bài
toán sử dụng chuẩn trong vành bậc hai. Tiết 3.3 dành để trình bày các bài
toán sử dụng sự phân tích duy nhất trong vành bậc hai.

Ch-ơng 1
Kiến thức cơ bản về mở rộng vành và
tr-ờng
1.1 Kiến thức cơ bản
Để bắt đầu chúng ta sẽ nhắc lại các định nghĩa cơ bản sau.
1.1.1 Định nghĩa. Một vành là một tập V cùng với 2 phép toán + (phép
cộng) và . (phép nhân) thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Phép cộng kết hợp: x, y, z V ta có (x + y) + z = x + (y + z).
(ii) Có phần tử không: 0 V sao cho x V ta có 0 + x = x + 0 = x.
(iii) Có phần tử đối: x V, x V sao cho x + (x) = (x) + x = 0.
(iv) Phép cộng giao hoán: x, y V ta có x + y = y + x.
(v) Phép nhân kết hợp: x, y, z V ta có (xy)z = x(yz).
(vi) Có phần tử đơn vị: 1 V sao cho 1.x = x.1 = x, x V .
(vii) Tính phân phối: x, y, z V sao cho x(y + z) = xy + xz.
Vnh V gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có tính giao hoán, tức là
ab = ba với mọi a, b V. Cho V là một vành. Một tập con A của V đ-ợc
gọi là một vành con của V nếu 2 phép toán trong vành V là đóng trong A
(tức là a + b, ab A với mọi a, b A) và A cùng với hai phép toán cảm
sinh là một vành.
1.1.2 Ví dụ. (i) Tập hợp các số nguyên Z với phép cộng và phép nhân thông
5


6

th-ờng là vành giao hoán, gọi là vành các số nguyên. T-ơng tự ta có vành
các số hữu tỷ Q, vành các số thực R, vành các số phức C.
(ii) Tập Zn = {
x | x Z} các số nguyên modulo n là một vành với phép
cộng và phép nhân nh- sau: x

+ y = x + y và x
y = xy với mọi x, y Zn.
Vành Zm đ-ợc gọi là vành các số nguyên modulo m hay vành các lớp thặng
d- theo môđun m.
(iii) Cho V là một vành giao hoán. Kí hiệu V [x] là tập các đa thức một
biến x với hệ số trong V . Mỗi phần tử của V [x] đ-ợc viết d-ới dạng
f (x) = anxn + . . . + a1 x + a0 với ai V, i. Ta cũng viết f (x) d-ới dạng
f (x) =

ai xi , trong đó ai = 0 với mọi i > n. Khi đó V [x] là một vành với

phép cộng f (x) + g(x) =
trong đó ck =

i+j=k

(ai + bi )xi và phép nhân f (x)g(x) =

ai bj với f (x) =

ai xi và g(x) =

c k xk ,

bi xi . Vành

V [x] đ-ợc gọi là vành đa thức một biến x với hệ số trong V .
1.1.3 Định nghĩa. Cho V là một vành. Tập con I của V đ-ợc gọi là một
iđêan của V nếu các điều kiện sau thỏa mãn
(i) Phép cộng đóng trong I, tức là x + y I, x, y I.

(ii) I chứa phần tử không: 0 I.
(iii) Có phần tử đối: x I với mọi x I.
(iv) ax, xa I với mọi a I, x V .
1.1.4 Ví dụ. (i) 0 = {0} là iđêan bé nhất và V là iđêan lớn nhất của V .
(ii) I là iđêan của vành Z khi và chỉ khi I có dạng nZ với n N.
Cho V là một vành. Phần tử a V đ-ợc gọi là phần tử khả nghịch nếu
tồn tại b V sao cho ab = 1. Chú ý rằng nếu I là iđêan của V thì các phát
biểu sau là t-ơng đ-ơng:
(i) I = V ;
(ii) I chứa một phần tử khả nghịch;
(iii) I chứa phần tử đơn vị.


7

1.1.5 Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành V . Với x V, đặt x + I =
{x + a | a I}. Ta gọi x + I là lớp ghép trái của I ứng với x. Chú ý
rằng x + I = y + I khi và chỉ khi x y I. Đặt V /I = {x + I | x V }
là tập các lớp ghép trái của I. Khi đó V /I là một vành với phép cộng
(x + I) + (y + I) = (x + y) + I và phép nhân (x + I)(y + I) = xy + I.
Vành V /I đ-ợc gọi là vành th-ơng của V ứng với I.
Chẳng hạn, vành th-ơng Z/mZ của vành Z theo iđêan mZ chính là vành
Zm các số nguyên modulo m.
1.1.6 Định nghĩa. Một ánh xạ f từ vành V vào vành V đ-ợc gọi là một
đồng cấu vành nếu f bảo toàn các phép toán, nghĩa là
f (x + y) = f (x) + f (y) và f (xy) = f (x)f (y)
với mọi x, y V . Một đồng cấu từ vành V vào V đ-ợc gọi là một tự đồng
cấu của V . Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) đ-ợc
gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu). Nếu f là một tự đồng cấu và là song
ánh thì ta nói f là một tự đẳng cấu.

1.1.7 Ví dụ. (i) Giả sử A là một vành con của vành V . Khi đó ánh xạ
nhúng iA : A V xác định bởi iA (x) = x là một đơn cấu, gọi là đơn cấu
chính tắc hay đơn cấu nhúng.
(ii) Giả sử I là một iđêan của vành V . Khi đó ánh xạ p : A V /I xác
định bởi: p(x) = x + I là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc hay phép
chiếu tự nhiên.
1.1.8 Định nghĩa. (i) Cho V là một vành giao hoán. Phần tử a V đ-ợc
gọi là một -ớc của không nếu a = 0 và tồn tại b V, b = 0 sao cho ab = 0.
(ii) Một vành giao hoán khác {0} và không có -ớc của không đ-ợc gọi là
một miền nguyên.


8

(ii) Một tr-ờng là một vành giao hoán khác 0 và mọi phần tử khác 0 đều
khả nghịch. Cho K là một tr-ờng và T là một tập con khác rỗng của K
ổn định với hai phép toán trong K. Ta nói T là một tr-ờng con của K nếu
T cùng với hai phép toán cảm sinh từ K cũng là một tr-ờng.
Z là miền nguyên, Q, R, C là tr-ờng. Chú ý rằng mỗi tr-ờng là một
miền nguyên, và mỗi miền nguyên hữu hạn là một tr-ờng. Tuy nhiên miền
nguyên vô hạn không nhất thiết là tr-ờng, chẳng hạn nh- miền nguyên Z.
Chú ý rằng mỗi tr-ờng có đúng hai iđêan là {0} và chính nó. Tổng quát
hơn, nếu V = {0} là vành giao hoán thì các phát biểu sau là t-ơng đ-ơng:
(i) V là một tr-ờng;
(ii) V chỉ có đúng hai iđêan là {0} và V .
(iii) Mọi đồng cấu từ V đến một vành giao hoán khác {0} đều là đơn cấu.

1.2 Mở rộng vành và tr-ờng
1.2.1 Định nghĩa. (i) Cho F là một tr-ờng và K là một tr-ờng chứa F .
Khi đó F K đ-ợc gọi là một mở rộng tr-ờng và ta nói K là một mở

rộng của tr-ờng F . Mở rộng tr-ờng F K đ-ợc kí hiệu là K/F .
(ii) Cho A là một vành và V là một vành chứa A. Khi đó A V đ-ợc gọi
là một mở rộng vành và ta nói V là một mở rộng của vành A. Mở rộng
vành A V đ-ợc kí hiệu là V /A.
Chú ý rằng nếu A là vành con của vành V và A = V thì A không bao
giờ là iđêan của V . Vì thế chúng ta không sợ nhầm lẫn giữa kí hiệu của
mở rộng vành V /A với kí hiệu cho một vành th-ơng nào đó của V .
1.2.2 Ví dụ. (i) Q C, Q R, R C là các mở rộng tr-ờng.
(ii) Z Q, Z R, R C là các mở rộng vành.


9

(iii) Cho F là tr-ờng và F [x] là vành đa thức. Đặt
F (x) = {f (x)/g(x) | f (x), g(x) F [x], g(x) = 0},
trong đó f (x)/g(x) = h(x)/k(x) chỉ nếu f (x)k(x) = g(x)h(x). Khi đó
F (x) là một tr-ờng, gọi là tr-ờng các phân thức hữu tỷ một biến x với hệ
số trong F . Anh xạ j : F F (x) cho bởi j(a) = a là một đơn cấu. Vì
thế ta có thể đồng nhất mỗi phần tử a F với phân thức hằng a/1 F (x).
Khi đó ta có F F (x) là một mở rộng tr-ờng.
1.2.3 Định nghĩa. (i) Cho K/F là một mở rộng tr-ờng. Khi đó K có cấu
trúc không gian vectơ trên tr-ờng F với phép cộng trong K và phép nhân
vô h-ớng suy ra từ phép nhân của K. Một cơ sở của F -không gian véctơ
K đ-ợc gọi là cơ sở của mở rộng tr-ờng K/F .
(ii) Bậc của mở rộng tr-ờng K/F là chiều của F -không gian véctơ K, kí
hiệu là [K : F ]. Nếu [K : F ] hữu hạn thì ta gọi K/F là mở rộng hữu hạn.
1.2.4 Ví dụ. (i) Xét mở rộng tr-ờng C/R. Ta biết rằng mọi phần tử của C
đ-ợc viết duy nhất d-ới dạng a + bi với a, b R. Do đó {1, i} là một cơ
sở của C/R. Suy ra [C : R] = 2.
(ii) Đặt Q[i] = {a + bi | a, b Q}. Khi đó Q[i] là một tr-ờng chứa Q. Vì

thế Q[i]/Q là một mở rộng tr-ờng và {1, i} là một cơ sở của mở rộng này.
Suy ra [Q[i] : Q] = 2.



(iii) Đặt Q[ 2] = {a + b 2 | a, b Q]. Khi đó Q[ 2] là một tr-ờng chứa


Q và {1, 2} là một cơ sở của mở rộng này. Suy ra [Q[ 2] : Q] = 2.
(iv) Các mở rộng tr-ờng R/Q và C/Q đều là mở rộng vô hạn vì hệ các số
siêu việt là hệ con vô hạn của R và hệ này độc lập tuyến tính trên Q.
(v) Với K(x) là tr-ờng các phân thức một biến x với hệ số trong K, mở
rộng K(x)/K là mở rộng vô hạn vì hệ {1, x, . . . , xn , . . .} là một hệ con vô
hạn của K(x) và hệ này độc lập tuyến tính trên K.


10

1.2.5 Mệnh đề. Cho K2/K1 và K3 /K2 là các mở rộng hữu hạn, trong đó
K1, K2 , K3 là các tr-ờng. Khi đó K3 /K1 là một mở rộng hữu hạn và
[K3 : K1 ] = [K3 : K2 ][K2 : K1 ].
Hơn nữa, nếu {ei }i=1,...,n và {fj }j=1,...,m lần l-ợt là cơ sở của các mở rộng
K2/K1 và K3 /K2 thì {ei fj }i=1,...,n;j=1,...,m là một cơ sở của mở rộng K3/K1 .
Chứng minh. Kí hiệu S1 = {ei }i , S2 = {fj }j và S3 = {ei fj }i,j , trong đó
i {1, . . . , n} và j {1, . . . , m}. Cho u K3 . Vì S2 là cơ sở của mở
m

rộng K3/K2 nên ta có biểu diễn u =

aj fj với aj K2. Do aj K2 và

j=1
n

S1 là cơ sở của mở rộng K2 /K1 nên ta có biểu diễn aj =

bji ei , trong đó
i=1

bji K1 . Thay vào biểu diễn u =

aj fj ta đ-ợc u =

cij ei fj , trong đó

cij K1. Do đó S3 là hệ sinh của K1 -không gian vectơ K3.
Ta chứng minh S3 độc lập tuyến tính. Xét một ràng buộc tuyến tính của
S3 cho bởi

aij ei fj = 0 với aij K1 . Khi đó ta viết

j

i aij ei

fj = 0

và xét nó nh- một ràng buộc tuyến tính của S2 . Do S2 độc lập tuyến tính
nên

aij ei = 0 với mọi j. Mặt khác do S1 độc lập tuyến tính nên aij = 0

với mọi i, j. Vậy S3 độc lập tuyến tính.
Cho E/K là mở rộng tr-ờng và 1 , . . . , n E. Kí hiệu K[1 , . . . , n ] là
giao của các vành con của E chứa K và 1 , . . . , n . Khi đó K[1 , . . . , n ]
là vành con bé nhất của E chứa K và 1 , . . . , n . T-ơng tự, kí hiệu
K(1 , . . . , n ) là giao của các tr-ờng con của E chứa K và chứa các phần
tử 1 , . . . , n . Khi đó K(1, . . . , n ) là tr-ờng con bé nhất của E chứa K
và 1 , . . . , n . Do đó ta có mở rộng tr-ờng K(1 , . . . , n )/K.
1.2.6 Ví dụ. (i) Ta có Q[i] = {a + bi | a, b Q} là vành con bé nhất của
C chứa Q và i. Hơn nữa, dễ kiểm tra đ-ợc Q[i] cũng là một tr-ờng, vì thế


11

nó là tr-ờng con bé nhất của C chứa Q và i. Do đó
Q(i) = Q[i] = {a + bi | a, b Q}.


(ii) Ta có Q(i)[ 2] = {a + b 2 | a, b Q(i)} là vành con bé nhất của C


chứa Q(i) và 2. Hơn nữa, dễ thấy Q(i)[ 2] cũng là một tr-ờng, vì thế

nó là tr-ờng con bé nhất của C chứa Q(i) và 2. Do đó




Q(i, 2) = Q(i)( 2) = Q(i)[ 2] = Q[i, 2].

(iii) Để tính bậc của mở rộng tr-ờng tr-ờng Q(i, 2)/Q chúng ta làm nhsau. Theo (i) ta có {1, i} là cơ sở của mở rộng tr-ờng Q(i)/Q. Do đó [Q(i) :


Q] = 2. Theo (ii), {1, 2} là cơ sở của mở rộng tr-ờng Q(i, 2)/Q(i). Do

đó [Q(i, 2) : Q(i)] = 2. Suy ra


[Q(i, 2) : Q] = [Q(i, 2) : Q(i)][Q(i) : Q] = 2.2 = 4.
1.2.7 Định nghĩa. Cho V /V là một mở rộng vành. Giả sử S là một hệ
con của V thỏa mãn tính chất: Mỗi phần tử u V đều đ-ợc biểu diễn
một cách duy nhất d-ới dạng u = a1s1 + . . . + ansn , trong đó n N,
a1, . . . , an V và s1 , . . . , sn S. Trong tr-ờng hợp này ta viết V = V s
sS

và ta gọi S là một cơ sở của mở rộng vành V /V . Chú ý rằng nếu mở rộng
V /V có một cơ sở thì mọi cơ sở của nó đều có cùng lực l-ợng. Trong
tr-ờng hợp này, lực l-ợng của một cơ sở của mở rộng V /V đ-ợc gọi là
bậc của mở rộng V /V và đ-ợc kí hiệu là [V : V ]. Đặc biệt, ta nói bậc của
của mở rộng vành V /V là n nếu tồn tại hệ {e1 , . . . , en } các phần tử của
V sao cho mỗi phần tử u V đều đ-ợc viết một cách duy nhất d-ới dạng
u = a1 e1 + a2e2 + . . . . + an en , trong đó a1 , . . . , an V.
Trong tr-ờng hợp này, hệ {e1 , . . . , en } là một cơ sở của mở rộng vành V /V
và ta viết
S = V e1 V e2 . . . V en .


12

1.2.8 Ví dụ. (i) Vành Z[i] = {a + bi | a, b Z} là một mở rộng bậc 2 của

vành Z, một cơ sở của mở rộng này là {1, i} vì mọi phần tử của Z[i] đều
đ-ợc viết duy nhất d-ới dạng a+bi với a, b Z. Do đó ta có Z[i] = Z Zi.



(ii) vành Z[ 3 2] = {a + b 3 2 + c 3 4 | a, b, c Z} là một mở rộng bậc 3

của vành Z, một cơ sở của mở rộng này là {1, 3 2, 3 4} vì mọi phần tử của



Z[ 3 2] đều đ-ợc viết duy nhất d-ới dạng a + b 3 2 + c 3 4 với a, b, c Z. Do



đó ta có Z[ 3 2] = Z Z 3 2 Z 3 4.
(iii) Vành đa thức Z[x] một biến x với hệ số trong Z là mở rộng bậc vô hạn
của Z, một cơ sở của mở rộng này là S = {1, x, x2 , . . . , xn , . . .}. Do đó
Z[x] = Z Zx Zx2 . . . Zxn . . . .
Chú ý rằng mỗi mở rộng tr-ờng luôn có cơ sở vì mỗi không gian véc tơ
đều có cơ sở. Tuy nhiên, điều này không đúng đối với mở rộng vành.
1.2.9 Ví dụ. Tồn tại những mở rộng vành không có cơ sở, chẳng hạn nhmở rộng vành Q/Z.
Chứng minh. Giả sử mở rộng vành Q/Z có một cơ sở. Gọi S Q là
một cơ sở của mở rộng Q/Z. Chú ý rằng 0
/ S vì nếu ng-ợc lại ta có
0 = 1.0 = 2.0 là hai biểu diễn khác nhau của 0 qua cơ sở S (điều này không
thể xảy ra do tính duy nhất của biểu diễn). Nếu S có nhiều hơn 1 phần tử
thì ta lấy s1 = s2 S. Với i = 1, 2, viết si = pi /qi là biểu diễn của si thành
phân số tối giản, trong đó qi = 0. Khi đó p1 p2 = p2 q1 (p1 /q1 ) = p2 q1 s1 và
p1 p2 = p1 q2(p2 /q2 ) = p1 q2s2 . Do tính biểu diễn duy nhất của p1 p2 qua cơ

sở S nên ta có p2 q1 = 0. Suy ra p2 = 0 và do đó s2 = 0, điều này không
thể xảy ra (do 0
/ S theo chứng minh trên). Do đó S gồm đúng một phần
tử. Giả sử S = {s} với s = p/q là phân số tối giản, p, q Z, p, q = 0. Vì
1
1
Q nên nó biểu diễn đ-ợc qua S. Suy ra
= n(p/q) với n Z. Vì
2q
2q
thế q = 2qnp. Suy ra 1 = 2np, điều này vô lí.


Ch-ơng 2
Vành và tr-ờng bậc hai
Mục tiêu của ch-ơng này là nghiên cứu các tr-ờng bậc hai và các vành bậc
hai. Ta hiểu các tr-ờng bậc hai (các vành bậc hai) t-ơng ứng là các tr-ờng
con của C chứa Q (vành con của C chứa Z) sao cho nó là mở rộng tr-ờng
bậc hai của Q (mở rộng vành bậc hai của Z).

2.1 Tr-ờng bậc hai
Tr-ớc khi định nghĩa khái niệm tr-ờng bậc hai, chú ý rằng Q là tr-ờng
con bé nhất của C. Vì thế mỗi tr-ờng con của C đều chứa Q. Thật vậy,
giả sử K là một tr-ờng con của C. Khi đó 1 K và 0 K. Suy ra
n = 1 + 1 + . . . + 1 K với mọi số nguyên d-ơng n > 0. Vì thế phần tử
m
đối n của n cũng thuộc K với mọi số nguyên d-ơng n. Suy ra
K
n
với mọi m, n Z, n = 0. Do đó Q K.

2.1.1 Định nghĩa. Cho K là một tr-ờng con của C. Nếu bậc của mở rộng
K/Q là hữu hạn thì K đ-ợc gọi là tr-ờng số. Nếu [K : Q] = 2 thì K đ-ợc
gọi là mở rộng tr-ờng bậc hai của Q hay ngắn gọn là tr-ờng bậc hai.



2.1.2 Ví dụ. (i) Kí hiệu Q[ 3] = {a+b 3 | a, b Q}. Khi đó Q[ 3]

là một tr-ờng chứa Q và là một mở rộng tr-ờng bậc hai của Q vì {1, i 3}


là một cơ sở của mở rộng này. Vì thế Q[ 3] = Q(i 3) là một tr-ờng
13


14

bậc hai.


(ii) Q[ 2] = {a + b 2 | a, b Q} là một tr-ờng chứa Q, nó là một mở

rộng tr-ờng bậc hai của Q vì {1, 2} là cơ sở của mở rộng này. Vì thế


Q( 2) = Q[ 2] là một tr-ờng bậc hai.
(iii) Nh- trong Tiết 1.2, chúng ta đã chỉ ra rằng
Q(i) = Q[i] = {a + bi | a, b Q}
là mở rộng tr-ờng bậc hai của Q, vì thế nó là một tr-ờng bậc hai.
Định lí sau đây mô tả cấu trúc của các tr-ờng bậc hai. Với mỗi số

nguyên m không có -ớc chính ph-ơng (tức là m không chia hết cho a2 với
mọi số nguyên a > 1) ta kí hiệu


Q[ m] = {a + b m | a, b Q},
trong đó nếu m < 0 thì ta hiểu





m là số phức i m. Rõ ràng Q[ m] là

một tr-ờng con của C chứa Q.
2.1.3 Định lý. Một tr-ờng con K của C là tr-ờng bậc hai khi và chỉ khi
tồn tại số nguyên m = 0, m = 1 và m không có -ớc chính ph-ơng sao cho

K = Q[ m].
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh Định lý theo 2 chiều.
(): Giả sử tồn tại một số nguyên m không có -ớc chính ph-ơng sao cho
m = 0, m = 1 và


K = Q[ m] = {a + b m | a, b Q}.

Vì m = 0, m = 1 và m không có -ớc chính ph-ơng nên m
/ Q. Vì


thế [Q[ m] : Q] > 1. Rõ ràng {1, m} là một hệ sinh của Q-không gian

véc tơ Q[ m], do đó [Q[ m] : Q] 2. Suy ra [Q[ m] : Q] = 2. Vì thế

Q[ m] là một tr-ờng bậc hai.


15

(): Giả sử K là một tr-ờng bậc hai. Khi đó Q K C và K là một Qkhông gian vectơ chiều 2. Suy ra K = Q. Vì thế tồn tại K \ Q. Kí hiệu
Q() là tr-ờng con bé nhất của K chứa Q và . Khi đó Q() = Q. Suy ra
[Q() : Q] > 1. Vì [K : Q] = 2 nên [Q() : Q]

2. Vì thế [Q() : Q] = 2.

Suy ra K = Q[]. Khi đó hệ {1, } là hệ độc lập tuyến tính trên Q, nh-ng
hệ {1, , 2 } là phụ thuộc tuyến tính trên Q. Vì vậy tồn tại một quan hệ
phụ thuộc tuyến tính a2 + b + c = 0 với a, b, c Q và a, b, c không đồng
thời bằng 0. Nếu a = 0 thì b + c = 0 với b, c không đồng thời bằng 0, điều
này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của {1, }. Do đó a = 0. Chia
hai vế cho a ta đ-ợc ràng buộc tuyến tính 2 + d + e = 0 với d, e Q.
Nếu e = 0 thì = 0 hoặc = d Q, điều này vô lí. Do đó e = 0. Ta có
2

+ d + e =

d
+
2

2

d2
+ e
4

= 0.


d
d2 4e
Đặt = + . Dễ thấy Q[] = Q[] = K và =
. Viết
2
2
p
d2 4e = , với p và q là các số nguyên nguyên tố cùng nhau, ta nhận
q


pq
p
2
đ-ợc d 4e =
=
. Đặt pq = m . Khi đó
q
q

d2 4e
= Q[ d2 4e]
K = Q[] = Q
2

pq
=Q
q


= Q[ pq] = Q[ m ].

Viết m = k 2 m, trong đó m không có -ớc chính ph-ơng. Khi đó m =



k m. Vì thế K = Q[ m ] = Q[ m]. Nếu m = 0 hoặc m = 1 thì

K = Q[ m] = Q và do đó K không là tr-ờng bậc hai, vô lí. Vì thế m = 0
và m = 1.


16


Từ định lí trên ta thấy rằng các tr-ờng bậc hai đều có dạng Q[ m] với

m là số nguyên không chính ph-ơng và m = 0, m = 1. Ta gọi Q[ m] là
tr-ờng bậc hai ứng với m. Kết quả sau đây chỉ ra rằng với hai số nguyên
phân biệt không có -ớc chính ph-ơng, các tr-ờng bậc hai t-ơng ứng với

chúng là phân biệt.
2.1.4 Mệnh đề. Nếu m, n Z là hai số nguyên phân biệt không có -ớc

chính ph-ơng và m, n = 0, m, n = 1 thì các tr-ờng bậc hai Q[ m] và

Q[ n] không đẳng cấu với nhau.
Chứng minh. Cho m, n Z là hai số nguyên phân biệt không có -ớc chính


ph-ơng và m, n = 0, m, n = 1. Giả sử Q[ m]
= Q[ n], tức là tồn tại


một đẳng cấu: : Q[ m] Q[ n]. Vì là đồng cấu nên (1) = 1. Do
đó (n) = (1 + . . . + 1) = (1) + . . . + (1) = 1 + . . . + 1 = n với mọi
n N. Vì là đống cấu nên nó biến phần tử đối thành phần tử đối, vì thế
(n) = (n) = n với mọi n N. Với r = p/q Q với p, q Z
và q > 0, ta có 1 = (1) = (1/q) + . . . + (1/q) = q(1/q). Vì thế
(1/q) = 1/q. Nếu p > 0 thì
(r) = (p/q) = (1/q) + . . . + (1/q) = p(1/q) = p/q = r.
Nếu p < 0 thì (r) = (p/q) = (p/q) = r. Do đó (r) = r với mọi




r Q. Vì ( m) Q[ n] nên tồn tại a, b Q sao cho ( m) = a+b n.
Vì m, n = 0, m, n = 1 và m, n không có -ớc chính ph-ơng nên ta có


m, n

/ Q. Nếu b = 0 thì ( m) = a = (a), lại do là đơn cấu nên

m = a Q, vô lí. Do đó b = 0. Nh- vậy,




m = (m) = (( m)2 ) = (( m))2 = (a + b n)2 = a2 + 2ab n + b2 n.
m a2 b2 n
Q, điều này là vô lí.
Nếu a = 0 thì n =
2ab

Vì vậy a = 0, do đó m = b2 . Suy ra b = m
/ Q. Điều này cũng vô lí


Vì vậy Q[ m] không đẳng cấu với Q[ n].



17

Phần cuối tiết này dành để đặc tr-ng các số đại số và số nguyên đại số
trong các tr-ờng bậc hai.
2.1.5 Định nghĩa. Cho K là một tr-ờng con của tr-ờng C.
(i) Số u K đ-ợc gọi là số đại số của K nếu tồn tại đa thức khác không
f (x) Q[x] sao cho f (u) = 0.
(ii) Số u K đ-ợc gọi là số nguyên đại số của K nếu tồn tại đa thức
f (x) Z[x] có hệ số cao nhất bằng 1 sao cho f (u) = 0.

(iii) Các số đại số (số nguyên đại số) là các số đại số của C (các số nguyên
đại số của C).
2.1.6 Ví dụ. (i) Số i Q[i] là số đại số của Q[i] và cũng là số nguyên đại
số của Q[i] vì i là nghiệm của đa thức f (x) = x2 + 1 Q[x].



(ii) Số 2 là số đại số của Q[ 2] và cũng là số nguyên đại số của Q[ 2]

vì 2 là nghiệm của g(x) = x2 2 Q[x].





(iii) Xét số thực u = 5 + 4 5 R. Ta có 4 5 = u 5. Do đó 5 =


u2 2u 5+5. Suy ra 5(1+2u) = u2 +5. Vì thế u4 10u2 20u+20 = 0.
Vậy u là nghiệm của f (x) = x4 10x2 20x + 20 Q[x]. Do đó u là số
đại số và cũng là số nguyên đại số của R.
Kết quả sau đây đặc tr-ng số đại số và số nguyên đại số trong Q. Tr-ớc
hết ta cần bổ đề sau.
2.1.7 Bổ đề. Giải sử f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 là một đa thức có hệ số
nguyên bậc n 1 và phân số tối giản p/q là nghiệm hữu tỷ của f (x). Khi
đó p là -ớc của a0 và q là -ớc của an .
Chứng minh. Vì p/q là nghiệm của f (x) nên
f (p/q) = anpn /q n + an1 pn1 /q n1 + . . . + a1p/q + a0 = 0.

18

Do đó anpn + an1 pn1 q + . . . + a1 pq n1 + a0 q n = 0. Suy ra
an pn + an1 pn1 q + . . . + a1 pq n1 = a0 q n ;
an pn = an1 pn1 q + . . . + a1 pq n1 + a0 q n .
Do vế trái của đẳng thức thứ nhất là bội của p nên a0 q n là bội của p. Do
gcd(p, q) = 1 nên p là -ớc của a0. T-ơng tự ta suy ra q là -ớc của an .
2.1.8 Mệnh đề. (i) Mỗi số hữu tỷ là một số đại số của Q.
(ii) Một số hữu tỷ là số nguyên đại số của Q nếu và chỉ nếu nó là số nguyên.
Chứng minh. (i) Cho p/q là một số hữu tỷ với p, q Z. Khi đó p/q là
nghiệm của đa thức f (x) = x p/q Q[x]. Do đó p/q là số đại số của Q.
(ii) Giả sử phân số tối giản p/q là số nguyên đại số. Khi đó có đa thức
f (x) = xn + an1xn1 + . . . + a1x + a0 Z[x] nhận p/q làm nghiệm. Theo
bổ đề 2.1.7 ta có q là -ớc của 1. Do đó p/q là số nguyên.
Ng-ợc lại mỗi số nguyên p đều là nghiệm của đa thức f (x) = x p Z[x],
đa thức này có hệ số cao nhất bằng 1. Do đó p là số nguyên đại số.
Mệnh đề tiếp theo đặc tr-ng số đại số và số nguyên đại số trong tr-ờng
bậc hai.
2.1.9 Mệnh đề. Cho m là số nguyên, m = 0, m = 1 và m không có -ớc
chính ph-ơng. Khi đó m 0 (mod 4) và ta có

(i) Mọi phần tử của tr-ờng bậc hai Q[ m] đều là số đại số.


(ii) Nếu m 2 (mod 4) hoặc m 3 (mod 4) thì phần tử u Q[ m] là

số nguyên đại số khi và chỉ khi tồn tại a, b Z sao cho u = a + b m.

(iii) Nếu m 1 (mod 4) thì phần tử u Q[ m] là số nguyên
đại số khi

a+b m
.
và chỉ khi tồn tại a, b Z sao cho a b (mod 2) và u =
2


Chứng minh. (i) Cho = a + b m Q[ m]. Khi đó là nghiệm của

ph-ơng trình x2 2ax + a2 b2 m Q[x]. Suy ra là số đại số.


19



Tr-ớc khi chứng minh (ii), (iii), ta giả sử = a + b m Q[ m] l một số
nguyên đại số. Khi đó là nghiệm của đa thức f (x) = x2 2ax+a2 b2 m.
Để f (x) Z[x] thì 2a Z và a2 b2 m Z. Suy ra 4a2 4b2 m =
(2a)2 (2b)2 m Z. Do 2a Z nên ta suy ra (2b)2 m Z. Do m không có
-ớc chính ph-ơng nên m không thể giản -ớc với bất kỳ -ớc nào của mẫu
số của (2b)2. Suy ra 2b Z. Vì thế (2a)2 (2b)2m 0 (mod 4). Bây giờ
ta chứng minh (ii) và (iii).
(ii) Nếu m 2, 3(mod 4) thì từ (2a)2 (2b)2 m 0(mod 4) ta phải
có (2a)2, (2b)2 0(mod 4) hay 2a, 2b là số chẵn, tức là a, b Z. Vậy

= a + b m với a, b Z.
(iii) Nếu m 1(mod 4) thì từ (2a)2 (2b)2 m 0(mod 4) ta phải có
2
(2a)2, (2b)2 1(mod 4) hoặc (2a)
, (2b)2 0(mod 4), tức là 2a, 2b cùng

a+b m
với a b(mod 2).
chẵn hoặc cùng lẻ. Vậy =
2

2.1.10 Mệnh đề. Cho K = Q[ m] l tr-ờng bậc hai. Khi đó tồn tại đúng

2 tự đẳng cấu của K, tự đẳng cấu thứ nhất là tự đẳng cấu đồng nhất idK ,


còn tự đẳng cấu thứ 2 biến m thành m và giữ nguyên các phần tử
của Q.
Chứng minh. Cho là một tự đẳng cấu của K. Bằng các lập luận nh- trong
chứng minh Mệnh đề 2.1.4 ta suy ra giữ nguyên các phần tử của Q, tức


là (a) = a với mọi a Q. Giả sử ( m) = a + b m với a, b Q. Nếu



b = 0 thì ( m) = a Q. Vì thế với mọi phần tử u = c + d m Q[ m]
với c, d Q, do là đồng cấu và giữ nguyên các phần tử của Q nên ta có


(u) = (c) + (d)( m) = c + da Q. Do đó Im = Q = Q[ m]. Do
đó không là toàn cấu, vô lí. Vì vậy b = 0. Nếu a = 0 thì

m = (m) = ( m m) = ( m)( m) = a2 + 2ab m + b2m,
hay



m a2 b2 m
Q, điều này là vô lí (chú ý rằng m = 0, m =
m=
2ab


20

1 và m không có -ớc chính ph-ơng nên


( m) = b m. Do đó



m
/ Q). Do đó a = 0. Suy ra





m = (m) = ( m m) = ( m)( m) = (b m)2 = b2 m.
Suy ra m(b2 1) = 0. Do m = 0 nên b = 1 hoặc b = 1. Nếu b = 1

thì (c + d m) = c + d m với mọi c + d m Q[ m] và vì thế là


đẳng cấu đồng nhất. Nếu b = 1 thì (c + d m) = c d m với mọi


c + d m Q[ m].

2.1.11 Định nghĩa. Cho = a + b m thuộc tr-ờng bậc hai K. Khi đó
là nghiệm của đa thức P(x) = x2 2ax + a2 b2 m Q[x]. Nghiệm thứ

hai của đa thức là
= a b m. Định nghĩa:
N () =
= a2 mb2 là chuẩn của
T r() = +
= 2a là vết của

2.1.12 Bổ đề. Với mọi , Q[ m] ta có N () = N ()N () và
T r( + ) = T r() + T r().


Chứng minh. Đặt = a + b m và = c + d m. Khi đó

= (ac + bdm) + (ad + bc) m;

+ = (a + c) + (b + d) m

Do đó
N () = (ac + bdm)2 m(ad + bc)2 = (a2 mb2 )(c2 md2 ) = N ()N ().
T r( + ) = 2(a + c) = 2a + 2c = T r() + T r().


21

2.2 Vành bậc hai và vành các số nguyên đại số
Trong tiết này, tr-ớc hết chúng ta nghiên cứu khái niệm và một số tính
chất đơn giản của vành bậc hai. Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng tập các
số nguyên đại số của một tr-ờng bậc hai là một vành bậc hai. Hơn nữa,
mỗi phần tử của tr-ờng bậc hai đều biểu diễn đ-ợc thành th-ơng của hai
số nguyên đại số. Sau đó chúng ta mô tả cấu trúc của các iđêan, xác định
các phần tử khả nghịch và nghiên cứu sự phân tích thành nhân tử bất khả
quy trong vành các số nguyên đại số.
Cho V là vành con của C. Khi đó V chứa Z. Thật vậy, do V là vành
nên 0 V và 1 V. Suy ra n = 1 + . . . + 1 V với mọi n N. Do đó
phần tử đối n của n cũng thuộc V với mọi n N. Suy ra Z V.
2.2.1 Định nghĩa. Cho V là vành con của C. Khi đó V chứa Z. Nếu mở
rộng V /Z có một cơ sở gồm 2 phần tử thì V đ-ợc gọi là một vành bậc hai.
Trong suốt tiết này, luôn giả thiết m là một số nguyên, m = 0, m = 1
và m không có -ớc chính ph-ơng. Đặt


Z[ m] = {a + b m | a, b Z}.


Khi đó Z[ m] là một vành bậc hai. Một cơ sở của mở rộng Z[ m]/Z là

{1, m}.

Kết quả sau đây chỉ ra rằng nếu m, m là hai số nguyên phân biệt không


có -ớc chính ph-ơng thì các vành bậc hai Z[ m] và Z[ m ] là phân biệt.
2.2.2 Mệnh đề. Nếu m, n Z là hai số nguyên phân biệt không có -ớc


chính ph-ơng và m, n = 0, m, n = 1 thì các vành bậc hai Z[ m] và Z[ n]
không đẳng cấu với nhau.
Chứng minh. Cho m, n Z là hai số nguyên phân biệt không có -ớc chính


ph-ơng và m, n = 0, m, n = 1. Giả sử Z[ m]
= Z[ n], tức là tồn tại


22



một đẳng cấu : Z[ m] Z[ n]. Vì là đồng cấu nên (1) = 1. Do
đó (n) = (1 + . . . + 1) = (1) + . . . + (1) = 1 + . . . + 1 = n với mọi
n N. Vì là đống cấu nên nó biến phần tử đối thành phần tử đối, vì thế
(n) = (n) = n với mọi n N. Do đó (r) = r với mọi r Z.




Vì ( m) Z[ n] nên tồn tại a, b Z sao cho ( m) = a + b n.
Vì m, n = 0, m, n = 1 và m, n không có -ớc chính ph-ơng nên ta có

m, n
/ Q. Nếu b = 0 thì ( m) = a = (a). Do là đơn cấu nên

m = a Z, vô lí. Do đó b = 0. Nh- vậy,




m = (m) = (( m)2 ) = (( m))2 = (a + b n)2 = a2 + 2ab n + b2 n.
m a2 b2 n
Q, điều này là vô lí. Vì vậy a = 0,
Nếu a = 0 thì n =
2ab
do đó m = b2 n. Suy ra b = m/n. Do m = n nên m/n = 1. Do m, n


không có -ớc chính ph-ơng nên khi biểu diễn m/n thành phân số tối giản
thì cả tử và mẫu đều không chứa -ớc chính ph-ơng. Suy ra m/n
/ Z.


Điều này cũng vô lí. Vì vậy Z[ m] không đẳng cấu với Z[ n].

2.2.3 Mệnh đề. Cho V = Z[ m] là vành bậc hai. Khi đó tồn tại đúng 2 tự
đẳng cấu của V , tự đẳng cấu thứ nhất là tự đẳng cấu đồng nhất idV , còn


tự đẳng cấu thứ 2 biến m thành m và giữ nguyên các phần tử của Z.

Chứng minh. Cho là một tự đẳng cấu của V . Bằng các lập luận nh- trong
chứng minh Mệnh đề 2.2.2 ta suy ra giữ nguyên các phần tử của Z, tức


là (a) = a với mọi a Z. Giả sử ( m) = a + b m với a, b Z. Nếu



b = 0 thì ( m) = a Z Vì thế với mọi phần tử u = c + d m Z[ m]
với c, d Z, do là đồng cấu và giữ nguyên các phần tử của Z nên ta có


(u) = (c) + (d)( m) = c + da Z. Do đó Im = Z = Z[ m]. Do
đó không là toàn cấu, vô lí. Vì vậy b = 0. Nếu a = 0 thì




m = (m) = ( m m) = ( m)( m) = a2 + 2ab m + b2m,


23

m a2 b2 m
Q, điều này là vô lí (chú ý rằng m = 0, m =
hay m =
2ab

1 và m không có -ớc chính ph-ơng nên m
/ Q). Do đó a = 0. Suy ra

( m) = b m. Do đó






m = (m) = ( m m) = ( m)( m) = (b m)2 = b2 m.
Suy ra m(b2 1) = 0. Do m = 0 nên b = 1 hoặc b = 1. Nếu b = 1




thì (c + d m) = c + d m với mọi c + d m Z[ m] và vì thế là


đẳng cấu đồng nhất. Nếu b = 1 thì (c + d m) = c d m với mọi


c + d m Z[ m].
Tiếp theo chúng ta nghiên cứu các số nguyên đại số trong tr-ờng bậc
hai.

2.2.4 Mệnh đề. Cho K = Q[ m] là tr-ờng bậc hai. Khi đó tập S các số
nguyên đại số của K là một vành con của K.
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.1.9 thì

a + b m | a, b Z nếu m 2, 3(mod 4)

S=
m
a
+
b


| a b(mod 2) nếu m 1(mod 4)
2
Rõ ràng 1 là số nguyên đại số, tức là 1 S. Do đó ta chỉ cần chứng
minh tập S ổn định với 2 phép toán nhân và cộng tức là với mọi , S
thì , + S. Tr-ờng hợp m 2, 3(mod 4) thì từ biểu diễn của S ta dễ
dàng chứng minh đ-ợc điều trên.
Vì vậy ta sẽ chứng
minh cho tr-ờng hợp
a+b m
a +b m
m 1(mod 4). Cho =
, =
với a, a , b, b Z.
2
2
Khi đó

(a + a ) + (b + b ) m
+ =

S
2