Ein systematischer, linear skalierender fragmentansatz für das elektronenstrukturproblem

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s✐❡❤❡ ❛✉❝❤ ❘❛❜✐t③ ✉♥❞ ❆❧✐➩ ❬✶✹✻❪✳ ❇❡③❡✐❝❤♥❡ ❞✐❡s❡ ❋✉♥❦t✐♦♥ f ❛❧s♦ ❞❡♥ ✉♥❜❡❦❛♥♥t❡♥
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y = f (x1 , x2 , . . . , xd )
✭✷✳✵✳✶✮
③✇✐s❝❤❡♥ ❞❡♥ d ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ x1 , x2 , . . . , xd ♠✐t xi ∈ V ✉♥❞ ❡✐♥❡♠ ❣❡s✉❝❤t❡♥ ❦♦♠✲
♣❧❡①✇❡rt✐❣❡♥ ❆✉s❣❛❜❡✇❡rt y ∈ C ✶ ✱ s✐❡❤❡ ❆❜❜✐❧❞✉♥❣ ✷✳✶✳ V s❡✐ ❤✐❡r❜❡✐ ❡✐♥ ❜❡❧✐❡❜✐❣❡r
❱❡❦t♦rr❛✉♠ ü❜❡r ❞❡♠ ❑ör♣❡r ❞❡r r❡❡❧❧❡♥ ❩❛❤❧❡♥ R✳

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❊r❣✐❜t ❡✐♥❡ ❋✉♥❦t✐♦♥ f ❞❡♥ ❣❧❡✐❝❤❡♥ ❩✉s❛♠♠❡♥❤❛♥❣✱ ♦❜✇♦❤❧ ③✇❡✐ ✐❤r❡r ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛✲
r✐❛❜❧❡♥ ✈❡rt❛✉s❝❤t ✇✉r❞❡♥ ✉♥❞ ❣✐❧t ❞✐❡s ❢ür ❥❡❞❡♥ ♠ö❣❧✐❝❤❡♥ ❲❡rt ❛✉s V ✱ ❞❛♥♥ s❛❣t ♠❛♥✱
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❉✐❡ ❯♥✉♥t❡rs❝❤❡✐❞❜❛r❦❡✐t ❞❡r ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ ❦❛♥♥ ❡✐♥❡ ❣❡✇✐❝❤t✐❣❡ ❱❡r❡✐♥❢❛❝❤✉♥❣
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❞✐❡s❡♠ ❋❛❧❧ ❞✐❡ ❚❡✐❧❝❤❡♥ s❡❧❜st ✉♥✉♥t❡rs❝❤❡✐❞❜❛r✳ ❉❛s ❤❡✐ÿt✱ ❡s ä♥❞❡rt s✐❝❤ ♥✐❝❤ts✱ ✇❡♥♥
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❉❡s✇❡❣❡♥ ✐st ❡s ❧♦❤♥❡♥s✇❡rt✱ ✈♦♥ ❞❡♥ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ ❞❡r ③✉✈♦r ❜❡s♣r♦❝❤❡♥❡♥ ❑❧❛ss❡ ❥❡♥❡
❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ ❛❜③✉tr❡♥♥❡♥✱ ❞❡r❡♥ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ ✉♥✉♥t❡rs❝❤❡✐❞❜❛r s✐♥❞✳ ❲✐r ❞❡✜♥✐❡r❡♥
❞❛❜❡✐ ③✉♥ä❝❤st ❞✐❡ ❆✉s✇✐r❦✉♥❣ ❞❡r P❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❛✉❢ ❞✐❡ ❋✉♥❦t✐♦♥ f ❢ür ③✇❡✐ ❜❡s♦♥❞❡r❡
❋ä❧❧❡✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷ ✭✭❛♥t✐✲✮s②♠♠❡tr✐s❝❤❡ ❋✉♥❦t✐♦♥✮✳ ❊✐♥❡ ❋✉♥❦t✐♦♥ f S ∈ V (d) ♠✐t ✉♥✉♥t❡r✲

s❝❤❡✐❞❜❛r❡♥ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ ❤❡✐ÿt s②♠♠❡tr✐s❝❤✱ ✇❡♥♥ ❢ür ❛❧❧❡ x1 , . . . , xd ∈ V ✉♥❞ ❢ür
❛❧❧❡ i = j
✭✷✳✶✳✶✮
f S (. . . , xi , . . . , xj , . . .) = f S (. . . , xj , . . . , xi , . . .)
(d)

❣✐❧t✳ ❉✐❡ ▼❡♥❣❡ ❞✐❡s❡r ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ ❜❡③❡✐❝❤♥❡♥ ✇✐r ♠✐t VS ✳
❉✐❡ ❋✉♥❦t✐♦♥ f A ❤❡✐ÿt ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐s❝❤✱ ✇❡♥♥ ✉♥t❡r ❣❧❡✐❝❤❡♥ ❱♦r❛✉ss❡t③✉♥❣❡♥

f A (. . . , xi , . . . , xj , . . .) = −f A (. . . , xj , . . . , xi , . . .)

✭✷✳✶✳✷✮

(d)

❣✐❧t✳ ❆♥❛❧♦❣ s❡✐ ❞✐❡ ❑❧❛ss❡ ❤✐❡r ♠✐t VA ❜❡③❡✐❝❤♥❡t✳

❇❡♠❡r❦✉♥❣ ✶ ✭❣❡♠✐s❝❤t❡ ❙②♠♠❡tr✐❡♥✮✳ ◆❛tür❧✐❝❤ ❦❛♥♥ ❡✐♥❡ ❋✉♥❦t✐♦♥ ❛✉❝❤ ❣❡♠✐s❝❤t❡
❙②♠♠❡tr✐❡ ❤❛❜❡♥✳ ❉❛❜❡✐ s✐♥❞ ❞✐❡ ■♥❞❡①♠❡♥❣❡♥ Is , Ia ⊂ {1, . . . , d} ❥❡❞♦❝❤ ❞✐s❥✉♥❦t✱ ✇✐❡
❛♥ ❢♦❧❣❡♥❞❡♠ ❇❡✐s♣✐❡❧ ❦❧❛r ✇✐r❞✿

✶✸


✷✳ ❚❡♥s♦r③❡r❧❡❣✉♥❣
❇❡✐s♣✐❡❧ ✶ ❙❡✐ f ∈ V (3) ✉♥❞ s❡✐ f ✐♥ ❞❡♥ ❡rst❡♥ ❜❡✐❞❡♥ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥

❛♥t✐s②♠♠❡tr✐s❝❤✱ Ia = {1, 2}✱ ✉♥❞ ✐♥ ❞❡♥ ❧❡t③t❡♥ ❜❡✐❞❡♥ ✇✐❡❞❡r✉♠ s②♠♠❡✲
tr✐s❝❤✱ Is = {2, 3}✳ ◆✉♥ ♣❡r♠✉t✐❡r❡♥ ✇✐r

f (x1 , x2 , x3 ) = −f (x2 , x1 , x3 ) = −f (x2 , x3 , x1 ) = f (x3 , x2 , x1 )

= f (x3 , x1 , x2 ) = −f (x1 , x3 , x2 ) = −f (x1 , x2 , x3 )

✉♥❞ ❞❛♠✐t ♠✉ss f ❣❧❡✐❝❤ 0 s❡✐♥✳

♦

❉❛s ❆r❣✉♠❡♥t ❧ässt s✐❝❤ ❢ür f ♠✐t d ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ ❛♥❛❧♦❣ ❢ü❤r❡♥✿ ❲✐r ❜❡♥öt✐❣❡♥ ♥✉r
❡✐♥ xi ∈ Is ✱ xk ∈ Ia ✉♥❞ xj ∈ Is ∪ Ia ✳

❆✉s ❞✐❡s❡♠ ●r✉♥❞ ❜❡s❝❤rä♥❦❡♥ ✇✐r ✉♥s ❛✉❢ ✭✈♦❧❧stä♥❞✐❣✮ s②♠♠❡tr✐s❝❤❡ ♦❞❡r ❛♥t✐s②♠✲
♠❡tr✐s❝❤❡ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥✳

❆✉❢❣r✉♥❞ ❞❡r ❯♥✉♥t❡rs❝❤❡✐❞❜❛r❦❡✐t ❞❡r ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ s❝❤r❡✐❜❡♥ ✇✐r ❞✐❡ ❋✉♥❦t✐♦♥
f ❛✉❝❤ s♦
f ({x1 , . . . , xd }) =: f ({xi }I ) ♠✐t I := {1, . . . , d},
✭✷✳✶✳✸✮

✇♦❜❡✐ ❞✐❡ ▼❡♥❣❡♥❦❧❛♠♠❡r♥ ❞✐❡ ❇❡❧✐❡❜✐❣❦❡✐t ✐♥ ❞❡r ❘❡✐❤❡♥❢♦❧❣❡ ❞❡r ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥
❞❡✉t❧✐❝❤ ♠❛❝❤❡♥✳ ❲✐r st❡❧❧❡♥ ❞❛♠✐t ❞✐❡ ▼❡♥❣❡ ❞❡r ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ {x1 , x2 , . . .} ❞❡r
❋♦❧❣❡ ✈♦♥ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ x1 , x2 , . . . ♠✐t ❢❡st❡r ❆❜❢♦❧❣❡ ❣❡❣❡♥ü❜❡r✱ ✇❡❧❝❤❡ ✇✐r ä❤♥❧✐❝❤
✈❡r❦ür③t ❛✉❝❤ s♦ s❝❤r❡✐❜❡♥

f (x1 , . . . , xd ) =: f (xI ) ♠✐t I := 1, . . . , d.

✭✷✳✶✳✹✮

❲❛r✉♠ ✐♥t❡r❡ss✐❡rt ✉♥s ❞✐❡s❡ ❊✐❣❡♥s❝❤❛❢t ❞❡r ❯♥t❡rs❝❤❡✐❞❜❛r❦❡✐t❄ ◆❛tür❧✐❝❤ ✐st s✐❡
❞✉r❝❤ ✇❛❤r❣❡♥♦♠♠❡♥❡ ♣❤②s✐❦❛❧✐s❝❤❡ ❘❡❛❧✐tät ♠♦t✐✈✐❡rt✸ ✱ ❥❡❞♦❝❤ st❡❝❦t ❞❛❤✐♥t❡r ❛✉❝❤ ❡✐♥
❛♥❞❡r❡r ●r✉♥❞✿ ❯♠ ❞✐❡ ❑♦♠♣❧❡①✐tät ❞❡s Pr♦❜❧❡♠s ③✉ ❞✉r❝❤❜r❡❝❤❡♥✱ ✇♦❧❧❡♥ ✇✐r s♣ät❡r
❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ ❛✉s V (d) ❞✉r❝❤ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ ❞❛rst❡❧❧❡♥✱ ❞✐❡ ♥✉r ♥♦❝❤ ✐♥ ❡✐♥❡♠ ❯♥t❡rr❛✉♠ V (k)
✐❤r❡ ❑♦♠♣❧❡①✐tät ❜❡✇❛❤r❡♥✱ ✇♦❜❡✐ k ❦❧❡✐♥❡r ✉♥❞ ✐♥s❜❡s♦♥❞❡r❡ ✐♥ ❞❡r ●röÿ❡ ✉♥❛❜❤ä♥❣✐❣
✈♦♥ d ✐st✳ ❩✉ ❞✐❡s❡♠ ❩✇❡❝❦ ❜❡♥öt✐❣❡♥ ✇✐r ❆❜❜✐❧❞✉♥❣❡♥ ✈♦♥ V (d) ♥❛❝❤ V (k) ✳ ❖✛❡♥s✐❝❤t❧✐❝❤
♠üss❡♥ ❞✐❡s❡ ❆❜❜✐❧❞✉♥❣❡♥ ✈♦♥ ❡✐♥❡r ❜❡st✐♠♠t❡ ❯♥t❡r♠❡♥❣❡ ❞❡r ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ ❛✉❢
❞✐❡ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ ❞❡s ❩✐❡❧r❛✉♠s ✇✐r❦❡♥✳ ❉❛❜❡✐ ✐st ♥❛tür❧✐❝❤ ❡♥ts❝❤❡✐❞❡♥❞✱ ♦❜ ❞✐❡
❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ ✉♥t❡rs❝❤❡✐❞❜❛r s✐♥❞ ♦❞❡r ♥✐❝❤t✳
❙✐♥❞ s✐❡ ✉♥t❡rs❝❤❡✐❞❜❛r✱ s♣✐❡❧t ❡s ❡✐♥❡ ❘♦❧❧❡✱ ✇❡❧❝❤❡ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ ❣❡✇ä❤❧t ✇❡r❞❡♥✳
❙✐♥❞ s✐❡ ✉♥✉♥t❡rs❝❤❡✐❞❜❛r✱ s♣✐❡❧t ❡s ❦❡✐♥❡ ❘♦❧❧❡ ✇❡❧❝❤❡ ✇✐r ✇ä❤❧❡♥✱ s♦♥❞❡r♥ ❡✐♥③✐❣ ✇✐❡
✈✐❡❧❡✳
❊s s❝❤❡✐♥t ❛❧s♦ s♦✱ ❛❧s ✇är❡ ❞❛s Pr♦❜❧❡♠ ♠✐t ✉♥✉♥t❡rs❝❤❡✐❞❜❛r❡♥ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥
❡✐♥❢❛❝❤❡r✳

✭❆♥t✐✲✮❙②♠♠❡tr✐s✐❡r❡r

❛✉s V (d)
✸

(d)

(d)

❲✐r ❦ö♥♥❡♥ ❥❡❞❡ ❋✉♥❦t✐♦♥ ❛✉s VS ✉♥❞ VA ❛✉s ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥
❞✉r❝❤ ③✇❡✐ ❜❡st✐♠♠t❡ ❖♣❡r❛t♦r❡♥ Sˆ ✉♥❞ Aˆ ❡r③❡✉❣❡♥✿

❙♦ ✉♥t❡rt❡✐❧❡♥ s✐❝❤ ✐♥ ❞❡r P❤②s✐❦ ❞✐❡ ●❡s❛♠t❤❡✐t ❞❡r ❚❡✐❧❝❤❡♥ ✐♥ ❣❡♥❛✉ ③✇❡✐ ❑❧❛ss❡♥✱ ❋❡r♠✐♦♥❡♥ ✉♥❞
❇♦s♦♥❡♥✱ ❞❡r❡♥ ❜❡s❝❤r❡✐❜❡♥❞❡ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ ❡♥t✇❡❞❡r ❣❡♥❛✉ s②♠♠❡tr✐s❝❤ ♦❞❡r ❣❡♥❛✉ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐s❝❤
s✐♥❞✳

✶✹


✷✳✶✳ ❍♦❝❤❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧❡ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✸ ✭✭❆♥t✐✲✮❙②♠♠❡tr✐s✐❡r❡r✮✳ ❲✐r ❜❡③❡✐❝❤♥❡♥ ♠✐t Sˆ : V (d) → VS(d) ❞❡♥ ❙②♠♠❡✲
(d)

tr✐s✐❡r❡r ✉♥❞ ♠✐t Aˆ : V (d) → VA ❞❡♥ ❆♥t✐s②♠♠❡tr✐s✐❡r❡r✳ ❙✐❡ ❞❡✜♥✐❡r❡♥ s✐❝❤ ✇✐❡ ❢♦❧❣t ✐♥
✐❤r❡r ❲✐r❦✉♥❣ ❛✉❢ ❡✐♥❡ ❋✉♥❦t✐♦♥ f ∈ V (d)
ˆ (x1 , . . . , xd ) := 1
Sf
d!

ˆ (x1 , . . . , xd ) := 1
Af
d!

σ∈S d

ˆ ) ∈ V (d)
f (xσ(1) , . . . , xσ(d) ) ♠✐t (Sf
S

✭✷✳✶✳✺❛✮

ˆ )∈V ,
(−1)s❣♥(σ) f (xσ(1) , . . . , xσ(d) ) ♠✐t (Af
A
(d)

σ∈S d

✭✷✳✶✳✺❜✮

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s❣♥(σ) ❞❛s ❱♦r③❡✐❝❤❡♥ ❞❡r P❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❜❡③❡✐❝❤♥❡t✳
❉✐❡ ❲♦❤❧❞❡✜♥✐❡rt❤❡✐t ❢♦❧❣t ♦✛❡♥s✐❝❤t❧✐❝❤ ❛✉s ❞❡r ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❞❡r s②♠♠❡tr✐s❝❤❡♥ ●r✉♣♣❡✳
❙②♠♠❡tr✐s✐❡r❡r ✉♥❞ ❆♥t✐s②♠♠❡tr✐s✐❡r❡r ❡r③❡✉❣❡♥ ❛❧s♦ s❝❤❧✐❝❤t ❛❧❧❡ ♠ö❣❧✐❝❤❡♥ P❡r♠✉t❛✲
t✐♦♥❡♥✱ s✉♠♠✐❡r❡♥ ❞✐❡s ♠✐t ❣❡✇ü♥s❝❤t❡♠ ❱♦r③❡✐❝❤❡♥ ❛✉❢ ✉♥❞ ♥♦r♠❛❧✐s✐❡r❡♥✱ ✉♥❞ s♦r❣❡♥
s♦ ❢ür ❞❛s ❣❡✇ü♥s❝❤t❡ ❱❡r❤❛❧t❡♥✳

✷✳✶✳✷✳ ❑♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✉♥❞ Pr♦❞✉❦t❢✉♥❦t✐♦♥❡♥
❑♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✐st ❞❛s ▼❛ÿ✱ ♠✐t ❞❡♠ ✇✐r ❞✐❡ ❑♦♠♣❧❡①✐tät ❡✐♥❡r ❤♦❝❤❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧❡♥ ❋✉♥❦t✐♦♥
❛✉s❞rü❝❦❡♥ ♠ö❝❤t❡♥✳ ▼❛❝❤❡♥ ✇✐r ③✉♥ä❝❤st ❡✐♥❡ s❡❤r ❛❧❧❣❡♠❡✐♥❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹ ✭❯♥❦♦rr❡❧✐❡rt✮✳ ■♥ ❡✐♥❡r ❋✉♥❦t✐♦♥ f (x1 , . . . , xd ) ∈ V (d) ❤❡✐ÿ❡♥ ❞✐❡ ❱❛r✐❛❜❧❡♥

xi ✉♥❞ xj ♠✐t i = j ✉♥❦♦rr❡❧✐❡rt✱ ✇❡♥♥ ❡s ③✇❡✐ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ f1 (x1 , . . . , xd−1 ) ∈ V (d−1) ✉♥❞
f2 (x1 , . . . , xd−1 ) ∈ V (d−1) ❣✐❜t✱ s♦ ❞❛ss
f (x1 , . . . , xd ) = f1 (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xd ) · f2 (x1 , . . . , xj−1 , xj+1 , . . . , xd )

✭✷✳✶✳✻✮

❣✐❧t✳

❲✐r ✇♦❧❧❡♥ ❛❧s♦ ❑♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❜③✇✳ ❞❡r❡♥ ❋❡❤❧❡♥ ♠✐t ❞❡r ❊①✐st❡♥③ ❡✐♥❡r Pr♦❞✉❦tstr✉❦t✉r
✈❡r❦♥ü♣❢❡♥✳

❇❡✐s♣✐❡❧ ✷ ❇❡tr❛❝❤t❡♥ ✇✐r ❞❛③✉ ❡✐♥❡ ❋✉♥❦t✐♦♥ ♠✐t ③✇❡✐ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥

f (x1 , x2 )✳ ●❧❡✐❝❤✉♥❣ ✭✷✳✶✳✻✮ ❜❡❞❡✉t❡t✱ ❞❛ss ③✇❡✐ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ ♠✐t ❥❡ ❡✐♥❡r ❊✐♥✲
❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡ f1 (x) ✉♥❞ f2 (x) ❡①✐st✐❡r❡♥✱ s♦ ❞❛ss f (x1 , x2 ) = f1 (x1 ) · f2 (x2 )
❣✐❧t✱ s♣r✐❝❤ ❡✐♥ ❙❡♣❛r❛t✐♦♥s❛♥s❛t③ ❣❡❧✐♥❣t✳ ❲✐r ❦ö♥♥❡♥ ❛❧s♦ ❡✐♥❡ ❋✉♥❦t✐♦♥ ♠✐t
③✇❡✐ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ ✐♥ ❡✐♥❡♠ Pr♦❞✉❦t❛♥s❛t③ ❣❡♥❛✉ ❞❛♥♥ ③❡r❧❡❣❡♥✱ ✇❡♥♥
✐❤r❡ ❜❡✐❞❡♥ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ x1 ✉♥❞ x2 ✉♥❦♦rr❡❧✐❡rt s✐♥❞✳
♦
❱❡r❛❧❧❣❡♠❡✐♥❡r♥ ✇✐r ❞✐❡s❡s ❇❡✐s♣✐❡❧✱ ♥ä♠❧✐❝❤ ❞❛ss ❛❧❧❡ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ ✉♥❦♦rr❡❧✐❡rt
s✐♥❞✿

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✺ ✭❯♥❦♦rr❡❧✐❡rt❡ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥✮✳ ❲✐r ❜❡③❡✐❝❤♥❡♥ ❞✐❡ ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥

x1 , . . . , xd ❡✐♥❡r ❋✉♥❦t✐♦♥ f ∈ V (d) ❛❧s ✉♥❦♦rr❡❧✐❡rt✱ ✇❡♥♥ ❡s d ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ fi ∈ V (1) ❣✐❜t✱
s♦ ❞❛ss ❢ür ❛❧❧❡ x1 , . . . , xd
❣✐❧t✳

f (x1 , . . . , xd ) = f1 (x1 ) · . . . · fd (xd )

✭✷✳✶✳✼✮

✶✺


✷✳ ❚❡♥s♦r③❡r❧❡❣✉♥❣
❉❡r ❣❡❣❡♥t❡✐❧✐❣❡ ❋❛❧❧ ✈♦♥ ❦♦rr❡❧✐❡rt❡♥ ❱❛r✐❛❜❧❡♥ ✐st ❞❛♥♥ ❡✐♥❢❛❝❤ ✇✐❡ ❢♦❧❣t ❢♦r♠✉❧✐❡r❜❛r✿

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✻ ✭❑♦rr❡❧✐❡rt✮✳ ■♥ ❡✐♥❡r ❋✉♥❦t✐♦♥ f (x1 , . . . , xd ) ∈ V (d) ❤❡✐ÿ❡♥ ❞✐❡ ❱❛r✐❛❜❧❡♥
xi ✉♥❞ xj ♠✐t i = j ❦♦rr❡❧✐❡rt✱ ✇❡♥♥ ❡s ❦❡✐♥❡ ③✇❡✐ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ ♥❛❝❤ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹ ❣✐❜t✳

▲❡✐❞❡r ✐st ❞✐❡s❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ♥✐❝❤t s❡❤r ❤✐❧❢r❡✐❝❤✱ ❞❡♥♥ ♠❛♥ ✇ür❞❡ s✐❝❤❡r❧✐❝❤ ❣❡r♥❡ ❞✐❡
❑♦rr❡❧❛t✐♦♥ ③✇✐s❝❤❡♥ ❱❛r✐❛❜❧❡♥ ♠❡ss❡♥ ❦ö♥♥❡♥✳ ❉❛③✉ ♠ö❝❤t❡ ♠❛♥ ❜s♣✇✳ ❛❧s ▼❛ÿ ❞❡♥
❇❡tr❛❣ ❞❡r ❉✐✛❡r❡♥③ |f (x1 , x2 ) − f1 (x1 ) · f2 (x2 )| ❜❡♥✉t③❡♥✳ ❉✐❡ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ f1 ✉♥❞ f2 s✐♥❞
❛❜❡r ♥✉r ❢ür ❞❡♥ ✉♥❦♦rr❡❧✐❡rt❡♥ ❋❛❧❧ ✇♦❤❧❞❡✜♥✐❡rt✱ ❣❡♥❛✉ ❞❛♥♥ ✇❡♥♥ ❞✐❡ ❉✐✛❡r❡♥③ ❣❡r❛❞❡
◆✉❧❧ ✐st✳
■♥ ❞❡r ❲❛❤rs❝❤❡✐♥❧✐❝❤❦❡✐tst❤❡♦r✐❡ ✇✐r❞ ❞✐❡ ❑♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❡✐♥❡r ❋✉♥❦t✐♦♥ ③✇✐s❝❤❡♥ ③✇❡✐
❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ ❞✉r❝❤ ❞✐❡ ❑♦✈❛r✐❛♥③ ❜❡st✐♠♠t✳ ❉✐❡ ❑♦✈❛r✐❛♥③ ✐st ❣❡♥❛✉ ❞❛♥♥ ◆✉❧❧✱
✇❡♥♥ ❞❡r ❊r✇❛rt✉♥❣s✇❡rt ❞❡r ❋✉♥❦t✐♦♥ f (x1 , x2 ) ❣❧❡✐❝❤ ❞❡♠ Pr♦❞✉❦t ❞❡r ❊r✇❛rt✉♥❣s✲
✇❡rt❡ ✈♦♥ f1 (x1 ) ✉♥❞ f2 (x2 ) ✐st✳ ❉✐❡s❡ ❊r✇❛rt✉♥❣s✇❡rt❡ s✐♥❞ ❛❧s ■♥t❡❣r❛❧❡ ♠✐t ❡♥ts♣r❡✲
❝❤❡♥❞❡♠ ❲❛❤rs❝❤❡✐♥❧✐❝❤❦❡✐ts♠❛ÿ ü❜❡r ❞✐❡ ❱❡rt❡✐❧✉♥❣ ❡✐♥❡r ❩✉❢❛❧❧s✈❛r✐❛❜❧❡ ❞❡✜♥✐❡rt✱ s✐❡❤❡
❬✶✶✼✱ ❑❛♣✳ ✺✳✶❪✳
◆❛tür❧✐❝❤ s❝❤rä♥❦t ❞❛s ❣❡✇ä❤❧t❡ ▼❛ÿ ❞✐❡ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥❦❧❛ss❡ V (d) ❡✐♥✳ ❲ä❤❧❡♥ ✇✐r ❞❛s
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❆❧❧❣❡♠❡✐♥❡r ❣❡s❛❣t s✐♥❞ ❊r✇❛rt✉♥❣s✇❡rt❡ ❆❜❜✐❧❞✉♥❣❡♥ ✈♦♠ ❘❛✉♠ ❞❡r ❲❛❤rs❝❤❡✐♥✲
❧✐❝❤❦❡✐ts✈❡rt❡✐❧✉♥❣❡♥ ❛✉❢ r❡❡❧❧❡ ❩❛❤❧❡♥✳ ❊✐♥❡ s♦❧❝❤❡ ❆❜❜✐❧❞✉♥❣ ❜❡♥öt✐❣❡♥ ✇✐r ❡❜❡♥❢❛❧❧s✱
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❡♥t❢❡r♥❡♥ ✉♥❞ ❞✐❡ ✇✐r ❞❡s✇❡❣❡♥ s♣ät❡r ❉❡❦♦rr❡❧❛t♦r❡♥ ♥❡♥♥❡♥ ✇❡r❞❡♥✱ ♠üss❡♥ ✇✐r ✉♥s
③✉♥ä❝❤st ♠✐t ❘ä✉♠❡♥ ❜❡s❝❤ä❢t✐❣❡♥✱ ❞✐❡ ❡✐♥❡ Pr♦❞✉❦tstr✉❦t✉r ❛✉❢✇❡✐s❡♥✱ ❣❡♥❛✉ ✇✐❡ s✐❡
❛✉❝❤ ✐♥ ✭✷✳✶✳✻✮ ❜❡♥✉t③t ✇✐r❞✳ ❉❛③✉ ❜❡tr❛❝❤t❡♥ ✇✐r ✐♥ ❞❡♥ ❢♦❧❣❡♥❞❡♥ ❆❜s❝❤♥✐tt❡♥ ③✉♥ä❝❤st
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✷✳✷✳ ❚❡♥s♦r❡♥
■♥ ❞✐❡s❡♠ ❚❡✐❧ ❢♦❧❣❡♥ ✇✐r ❍❛❝❦❜✉s❝❤ ❬✽✵✱ ❆❜s❝❤♥✳ ✶✳✶❪ ✐♥ s❡✐♥❡r ❡✐♥❢ü❤r❡♥❞❡♥ ❉❛rst❡❧❧✉♥❣
✈♦♥ ❚❡♥s♦r❡♥ ❛❧s ❊r✇❡✐t❡r✉♥❣ ❞❡r ❑♦♥③❡♣t❡ ❞❡s ❱❡❦t♦rs ✉♥❞ ❞❡r ▼❛tr✐① ❛✉s ❞❡r ❧✐♥❡❛r❡♥
❆❧❣❡❜r❛ ③✉r ♠✉❧t✐❧✐♥❡❛r❡♥ ❆❧❣❡❜r❛✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✼ ✭❚❡♥s♦r✮✳ ❊✐♥ ❚❡♥s♦r v ✐st ❡✐♥ ❖❜❥❡❦t ✐♠ Rn1 ×...×nd ❞❡r ❖r❞♥✉♥❣ d✳ ▼✐t
❞❡♠ ▼✉❧t✐✐♥❞❡①

i = (i1 , . . . , id ) ∈ I := I1 × . . . × Id

✭✷✳✷✳✶✮

vi = v[i] = v[i1 , . . . , id ] ∈ R

✭✷✳✷✳✷✮

♠✐t Ij = {1, . . . , dj } ❦ö♥♥❡♥ ✇✐r ❞❛♥♥ ❡✐♥❡ r❡❡❧❧✇❡rt✐❣❡ ❑♦♠♣♦♥❡♥t❡
❞❡s ❚❡♥s♦rs v ❜❡s❝❤r❡✐❜❡♥✹ ✳
✹

❲✐r ❤❛❧t❡♥ ✉♥s ❤✐❡r ❛♥ ❞✐❡ ◆♦t❛t✐♦♥ ❛✉s ❬✽✵❪ ✉♥❞ ❜❧❡✐❜❡♥ ✐♠ ❑ör♣❡r
2
✐s♦♠♦r♣❤ ③✉ R ✐st✳

✶✻

R

❛♥st❡❧❧❡ ✈♦♥

C✱

❞❛ ❧❡t③t❡r❡r


✷✳✷✳ ❚❡♥s♦r❡♥
❉❛♠✐t ✐st ❡✐♥ ❚❡♥s♦r ❞❡r ❖r❞♥✉♥❣ 1 ❡✐♥ ❱❡❦t♦r ✉♥❞ ❡✐♥ ❚❡♥s♦r ❞❡r ❖r❞♥✉♥❣ 2 ❡✐♥❡
▼❛tr✐①✱ s✐❡❤❡ ❞❛③✉ ❛✉❝❤ ❬✽✵✱ ❆❜s❝❤♥✳ ✶✳✷✳✶❪✳✺
❊✐♥ ❩✉s❛♠♠❡♥❤❛♥❣ ③✇✐s❝❤❡♥ ❞❡♠ RIj ✉♥❞ RI ❡r❣✐❜t s✐❝❤ ü❜❡r ❞❛s ❚❡♥s♦r♣r♦❞✉❦t✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✽ ✭❚❡♥s♦r♣r♦❞✉❦t✮✳ ❋ür d ❣❡❣❡❜❡♥❡ ❱❡❦t♦r❡♥ v (j) ∈ RIj s❡✐
d

v := v (1) ⊗ . . . ⊗ v (d) =

v (j)

✭✷✳✷✳✸✮

j=1

❞❛s ❚❡♥s♦r♣r♦❞✉❦t ♠✐t ❞❡♥ ❊✐♥trä❣❡♥ ♥❛❝❤ ✭✷✳✷✳✷✮✿
(1)

(d)

vi = v[i1 , . . . , vd ] = vi1 · . . . · vid

✭✷✳✷✳✹✮

▼❛♥ ❦❛♥♥ s✐❝❤ ❚❡♥s♦r♣r♦❞✉❦t❡ ❛❧s ❱❡r❛❧❧❣❡♠❡✐♥❡r✉♥❣ ❞❡s ä✉ÿ❡r❡♥ Pr♦❞✉❦ts v1 · v2T
③✇❡✐❡r ❱❡❦t♦r❡♥ v1 , v2 ✈♦rst❡❧❧❡♥✳ ❉❛❜❡✐ ✇❡✐st ❞❛s ❤♦❝❤❣❡st❡❧❧t❡ T ✱ ❞✐❡ ❚r❛♥s♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡s
③✇❡✐t❡♥ ❱❡❦t♦rs✱ ❛✉❢ ❞✐❡ ❜❡s♦♥❞❡r❡ ❆rt ❞❡r ❊❧❡♠❡♥t♠✉❧t✐♣❧✐❦❛t✐♦♥ ❤✐♥✳ ❲✐r ✇❡r❞❡♥ ❞❛③✉
❞❛s ❙②♠❜♦❧ ⊗ ❛✉❝❤ ❡❧❡♠❡♥t✇❡✐s❡ ✈❡r✇❡♥❞❡♥✱ s✐❡❤❡ ✭✷✳✷✳✸✮✱ ✉♠ ❞✐❡s❡s ✈❡r❛❧❧❣❡♠❡✐♥❡rt❡
ä✉ÿ❡r❡ Pr♦❞✉❦t ③✇✐s❝❤❡♥ ❱❡❦t♦r❡♥ ❦❡♥♥t❧✐❝❤ ③✉ ♠❛❝❤❡♥✳
❉✐❡s❡ ❚❡♥s♦r♣r♦❞✉❦t❡✱ ❛✉❝❤ ③❡r❧❡❣❜❛r❡ ❚❡♥s♦r❡♥ ❣❡♥❛♥♥t✱ ❡r③❡✉❣❡♥ ❡✐♥❡♥ ❘❛✉♠✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✾ ✭❚❡♥s♦rr❛✉♠✮✳ ❉❡r ❚❡♥s♦rr❛✉♠✱ ❣❡s❝❤r✐❡❜❡♥ ❛❧s
d
j=1

RIj = RI1 ⊗ . . . ⊗ RId ,

✭✷✳✷✳✺✮

✐st ❞❡✜♥✐❡rt ❞✉r❝❤ ❞❛s ❊r③❡✉❣❡♥❞❡♥s②st❡♠ ❞✐❡s❡r ③❡r❧❡❣❜❛r❡♥ ❚❡♥s♦r❡♥
d
j=1

RIj = s♣❛♥{v (1) ⊗ . . . ⊗ v (d) : v (j) ∈ RIj }.

✭✷✳✷✳✻✮

❇❡♠❡r❦✉♥❣ ✷ ✭❇❡❧✐❡❜✐❣❡r ❚❡♥s♦r✮✳ ❲✐r ❜❡♠❡r❦❡♥✱ ❞❛ss ❡✐♥ ❜❡❧✐❡❜✐❣❡r ❚❡♥s♦r v ∈ dj=1 RIj
✐♠ ❆❧❧❣❡♠❡✐♥❡♥ ♥✐❝❤t ❛❧s ③❡r❧❡❣❜❛r❡r ❚❡♥s♦r ❞❛r❣❡st❡❧❧t ✇❡r❞❡♥ ❦❛♥♥✱ s♦♥❞❡r♥ ♥✉r ❛❧s ▲✐✲

♥❡❛r❦♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ s♦❧❝❤❡r✳
❇❡♠❡r❦✉♥❣ ✸ ✭➘q✉✐✈❛❧❡♥③ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥r❛✉♠ ✉♥❞ ❚❡♥s♦rr❛✉♠✮✳ ▼✐t ❞❡r Ü❜❡r❧❡❣✉♥❣ ❛✉s
❇❡♠❡r❦✉♥❣ ✷✱ ❞❛ss s✐❝❤ ❥❡❞❡r ❚❡♥s♦r ❛❧s ▲✐♥❡❛r❦♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ③❡r❧❡❣❜❛r❡r ❚❡♥s♦r❡♥ ❞❛rst❡❧✲
❧❡♥ ❧ässt✻ ✱ ❢♦❧❣t ❛✉❝❤ s♦❢♦rt dj=1 RIj = RI ✱ ❞❛ ♥❛❝❤ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✾ s❝❤♦♥ dj=1 RIj ⊂ RI
❣❡❧t❡♥ ♠✉ss✳
✺

❲✐r s❝❤❧✐❡ÿ❡♥ ✉♥s ❤✐❡r ✈♦r ❛❧❧❡♠ ❛✉❝❤ ❞❡r ❇❡♠❡r❦✉♥❣ ❛♥✱ ❞❛ss ❦♦✈❛r✐❛♥t❡ ✉♥❞ ❦♦♥tr❛✈❛r✐❛♥t❡ ❚❡♥s♦r❡♥
❡✐♥❡ ❱❡r♠✐s❝❤✉♥❣ ✈♦♥ ❞❡♥ ❞♦rt ❞❛r❣❡st❡❧❧t❡♥ ❚❡♥s♦r❡♥ ✉♥❞ ❊✐♥st❡✐♥s❝❤❡r ❙✉♠♠❡♥❦♦♥✈❡♥t✐♦♥ s✐♥❞✳
❋ür ❡✐♥❡ ❞❡r❛rt✐❣❡ ❉❛rst❡❧❧✉♥❣ ✐♥ ❇❡③✉❣ ❛✉❢ ❞❛s ❡❧❡❦tr♦♥✐s❝❤❡ ❙tr✉❦t✉r♣r♦❜❧❡♠ s✐❡❤❡ ❍❡❛❞✲●♦r❞♦♥

✻

❡t ❛❧✳ ❬✽✾❪✳
❆♥s❝❤❛✉❧✐❝❤ ✐st ❞✐❡s ③✳ ❇✳ ✐♥ ❙③❛❜♦ ✉♥❞ ❖st❧✉♥❞ ❬✶✻✽✱ ❆❜s❝❤♥✳ ✷✳✷✳✼❪ ❞❛r❣❡st❡❧❧t✳

✶✼


✷✳ ❚❡♥s♦r③❡r❧❡❣✉♥❣
▲❡♠♠❛ ✶ ✭❚❡♥s♦rr❛✉♠❞✐♠❡♥s✐♦♥✮✳ ❉✐❡ ❉✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡s ❚❡♥s♦rr❛✉♠s ✐st
d

RIj = dim RI .

dim

✭✷✳✷✳✼✮

j=1

❇❡✇❡✐s✳ ❉✐❡s ❢♦❧❣t ♠✐t |I| =

d
j=1 |Ij |✳

✷✳✸✳ ❙✉♠♠❡♥ ✉♥❞ Pr♦❞✉❦t❡ ✈♦♥ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥rä✉♠❡♥
■♠ ❋♦❧❣❡♥❞❡♥ ✇❡r❞❡♥ ✇✐r ❞❛s ü❜❡r ❚❡♥s♦r❡♥ ●❡s❛❣t❡ ❛✉❢ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥rä✉♠❡ ü❜❡rtr❛❣❡♥✳
❉❛③✉ ❜❡♥öt✐❣❡♥ ✇✐r ③✉♥ä❝❤st ❡✐♥❡ ❇❛s✐s✱ ❞❛♠✐t ❞✐❡ ❘ä✉♠❡ ❞❡♥ ❈❤❛r❛❦t❡r ✈♦♥ ✭✉♥❡♥❞❧✐❝❤✲
❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧❡♥✮ ❱❡❦t♦rrä✉♠❡♥ ❡r❤❛❧t❡♥✳ ❲✐r ✇♦❧❧❡♥ ✉♥s ❞❛❜❡✐ ❛❜❡r ♠✐t ❞❡♥ ❜❡s♦♥❞❡r❡♥
❙❝❤✇✐❡r✐❣❦❡✐t❡♥✼ ✈♦♥ ✉♥❡♥❞❧✐❝❤✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧❡♥ ❱❡❦t♦rrä✉♠❡♥ ♥✐❝❤t ✇❡✐t❡r ❜❡s❝❤ä❢t✐❣❡♥✱
❞❛ ✉♥s❡r ❩✐❡❧ ❞✐❡ ❇❡❤❛♥❞❧✉♥❣ ❦♦♠♣❧❡①❡r Pr♦❜❧❡♠❡ ✐♥ ❘❡❝❤♥❡r♥ ♠✐t ❡♥❞❧✐❝❤❡♠ ❙♣❡✐❝❤❡r
✐st✳
❲✐r ❜❡tr❛❝❤t❡♥ ♥✉♥ ❛❧s♦ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥rä✉♠❡✱ ❞✐❡ ✈♦♥ ❡✐♥❡r ✭❡♥❞❧✐❝❤❡♥✮ ❇❛s✐s ❛✉❢❣❡s♣❛♥♥t
✇❡r❞❡♥✳ ❉❛❜❡✐ ✇✐❞♠❡♥ ✇✐r ✉♥s ❙✉♠♠❡♥ ✉♥❞ Pr♦❞✉❦t❡♥ ❞✐❡s❡r ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥rä✉♠❡✱ ❛❜❡r
❛✉❝❤ ❞❡r❡♥ ❩❡r❧❡❣✉♥❣ ❢ür ✉♥s❡r ❩✐❡❧ ❞❡r ❆❜❜✐❧❞✉♥❣ ✐♥ ❘ä✉♠❡ ✈♦♥ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ ♠✐t ✇❡♥✐❣❡r
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✷✳✸✳✶✳ ❱♦♥ ❞❡r ❋✉♥❦t✐♦♥ ③✉♠ ❚❡♥s♦r
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V (d) ✉♥❞ ❡✐♥❡♠ ❚❡♥s♦r C ❡✐♥❣❡❤❡♥✳ ❉✐❡s❡r ❡r❣✐❜t s✐❝❤✱ ✐♥❞❡♠ ✇✐r ❞❡♥ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥r❛✉♠
V (d) ♠✐tt❡❧s ❡✐♥❡r ✭Pr♦❞✉❦t✮❇❛s✐s✱ ❡❧❡♠❡♥t✇❡✐s❡♥ ❆❞❞✐t✐♦♥ ✉♥❞ s❦❛❧❛r❡r ▼✉❧t✐♣❧✐❦❛t✐♦♥
❛❧s ❡✐♥❡♥ ❱❡❦t♦rr❛✉♠ ❛✉✛❛ss❡♥✳ ❙❡✐ ❞❛③✉ V (1) ❞❡r ❘❛✉♠ ❞❡r ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥ ♠✐t ❡✐♥❡r ❊✐♥✲
❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡ ♠✐t ❇❛s✐s {bi }ni=1 ✱ ❞❛♥♥ ❦ö♥♥❡♥ ✇✐r ❡✐♥❡ ❋✉♥❦t✐♦♥ g(x) ∈ V (1) ♠✐t ❡✐♥❡r
❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐❡ ❢♦❧❣t s❝❤r❡✐❜❡♥✿
n

g(x) =

ci bi (x).

✭✷✳✸✳✶✮

i=1

g(x) ❤❛t ❛❧s♦ ❞✐❡s❡ ❉❛rst❡❧❧✉♥❣ ✐♥ ❞❡r ❣❡❣❡❜❡♥❡♥ ❇❛s✐s ♠✐t ❑♦❡✣③✐❡♥t❡♥✈❡❦t♦r c ❞❡r
❉✐♠❡♥s✐♦♥ n✳
(1)
❙❡✐ ♥✉♥ V (d) := di=1 Vi ✳ ❊r✐♥♥❡r♥ ✇✐r ✉♥s ❛♥ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✼ ✉♥❞ ❧❡❣❡♥ ③✉♥ä❝❤st ❢❡st✱
❞❛ss ❞✐❡ ■♥❞❡①♠❡♥❣❡♥ Ii = {1, . . . , n} ❢ür ❛❧❧❡ i = 1, . . . , d ❣❧❡✐❝❤ s✐♥❞✱ ❞❛♥♥ ❦ö♥♥❡♥ ✇✐r
❥❡❞❡s f (x1 , . . . , xd ) ∈ V (d) ♠✐t ❞❡r ❚❡♥s♦r♣r♦❞✉❦t❜❛s✐s {bj1 (x1 ) · . . . · bjd (xd )}ji ∈Ii ,i=1,...,d
❞❛rst❡❧❧❡♥✿
f (x1 , . . . , xd ) =
C[j1 . . . jd ]bj1 (x1 ) . . . bjd (xd ).
✭✷✳✸✳✷✮
ji ∈Ii ,i=1,...,d

✼

❇❡✐s♣✐❡❧s✇❡✐s❡ ♠✉ss ❜❡✐ ❞❡r ❉❛rst❡❧❧✉♥❣ ❡✐♥❡s ❱❡❦t♦rs ❛❧s ▲✐♥❡❛r❦♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ✈♦♥ ❇❛s✐s✈❡❦t♦r❡♥ ❞❛r❛✉❢
❣❡❛❝❤t❡t ✇❡r❞❡♥✱ ♦❜ ❞✐❡s❡ ✉♥❡♥❞❧✐❝❤❡✭✦✮ ❘❡✐❤❡ ü❜❡r❤❛✉♣t ❦♦♥✈❡r❣✐❡rt✳

✶✽


✷✳✸✳ ❙✉♠♠❡♥ ✉♥❞ Pr♦❞✉❦t❡ ✈♦♥ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥rä✉♠❡♥
❉✐❡s♠❛❧ ✐st ❛❧s♦ C[j1 . . . jd ] ✐♥ ✭✷✳✸✳✷✮ ❞❡r ❑♦❡✣③✐❡♥t ③✉ ❡✐♥❡r ❜❡st✐♠♠t❡♥ Pr♦❞✉❦t❜❛✲
s✐s❢✉♥❦t✐♦♥ bj1 (x1 ) · . . . · bjd (xd )✳ ❊r ✐st ❡✐♥❡ ❑♦♠♣♦♥❡♥t❡ ❡✐♥❡s ❚❡♥s♦rs C ❞❡r ❖r❞♥✉♥❣
d✳ ❊r ✐st ❞❛s P❡♥❞❛♥t ❞❡r ♠✉❧t✐❧✐♥❡❛r❡♥ ❆❧❣❡❜r❛ ③✉♠ ❑♦❡✣③✐❡♥t❡♥✈❡❦t♦r c ✐♥ ✭✷✳✸✳✶✮
✐♥ ❞❡r ❧✐♥❡❛r❡♥ ❆❧❣❡❜r❛✳ ▼✐t ❞❡r ❋r❛❣❡ ♥❛❝❤ ❞❡r ❉❛rst❡❧❧✉♥❣ ❜③✇✳ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✈♦♥

❋✉♥❦t✐♦♥❡♥✱ ❞✐❡ ♥✐❝❤t ♥✉r ❛✉s V (d) st❛♠♠❡♥✱ ✇❡r❞❡♥ ✉♥s ✐♠ ♥ä❝❤st❡♥ ❆❜s❝❤♥✐tt ✷✳✹ ✐♠
❩✉s❛♠♠❡♥❤❛♥❣ ♠✐t ❇❡st❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥❡♥ ❜❡s❝❤ä❢t✐❣❡♥✳

✷✳✸✳✷✳ ❙✉♠♠❡♥
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✵ ✭❉✐r❡❦t❡ ❙✉♠♠❡ ✈♦♥ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥rä✉♠❡♥✮✳ ❙❡✐❡♥ V1(d) ✉♥❞ V2(d) ❋✉♥❦t✐♦✲

♥❡♥rä✉♠❡ ♠✐t ❇❛s❡♥ {ai (x1 , . . . , xd )}i=1,...,nA ✱ {bi (x1 , . . . , xd )}i=1,...,nB ♠✐t ❣❧❡✐❝❤❡r ❆♥✲
(d)
(d)
③❛❤❧ ❞❡r ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ d✳ ❉❛♥♥ ✐st ❞✐❡ ❞✐r❡❦t❡ ❙✉♠♠❡ V1 ⊕ V2 ❞❡r❥❡♥✐❣❡ ❘❛✉♠
(d)
V ✱ ✇❡❧❝❤❡r ✈♦♥
{ai (x1 , . . . , xd )} ∪ {bi (x1 , . . . , xd )}
✭✷✳✸✳✸✮
❛✉❢❣❡s♣❛♥♥t ✇✐r❞✳ ■st ❞✐❡ ❱❡r❡✐♥✐❣✉♥❣ ❞❡r ▼❡♥❣❡ ❞❡r ❇❛s✐s❢✉♥❦t✐♦♥❡♥ {ai }i ✉♥❞ {bi }i
(d)
(d)
✇✐❡❞❡r✉♠ ❡✐♥❡ ❇❛s✐s ✕ ❞✳❤✳ ❞✐❡ ❘ä✉♠❡ V1 ✉♥❞ V2 s✐♥❞ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ③✉❡✐♥❛♥❞❡r ❜③❣❧✳ ❡✐♥❡s
❣❡❣❡❜❡♥❡♥ ❙❦❛❧❛r♣r♦❞✉❦ts ✕ s♦ ❤❡✐ÿt ❞✐❡ ❞✐r❡❦t❡ ❙✉♠♠❡ ❛✉❝❤ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✱ s✐❡❤❡ ❬✸✱ ❙✳ ✶✶❪✳
▼❛♥ ❜❡❛❝❤t❡✱ ❞❛ss ❞✐❡ ❆♥③❛❤❧ ❞❡r ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ d✱ ❛❧s♦ ❞✐❡ ❆♥③❛❤❧ ❞❡r ❆r❣✉♠❡♥t❡
❡✐♥❡r ❇❛s✐s❢✉♥❦t✐♦♥ ❜❡✐ ❞❡r ❞✐r❡❦t❡♥ ❙✉♠♠❡ ❣❧❡✐❝❤ s✐♥❞✱ s♦✇♦❤❧ ✐♥ ❞❡♥ ❜❡✐❞❡♥ ❆✉s❣❛♥❣s✲
(d)
(d)
rä✉♠❡♥ V1 ✉♥❞ V2 ✱ ❛❧s ❛✉❝❤ ✐♥ ❞❡♠ ❩✐❡❧r❛✉♠ V (d) ✳

❩❡r❧❡❣✉♥❣

❏❡❞❡r ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥r❛✉♠ ❧ässt s✐❝❤ ✐♥ ❯♥t❡rrä✉♠❡ ③❡r❧❡❣❡♥✳ ▼❛♥ ❦❛♥♥ s✐❝❤
❞✐❡ ✭♦rt❤♦❣♦♥❛❧❡✮ ❩❡r❧❡❣✉♥❣ ❞❡r ❇❛s✐s ❡✐♥❡s ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥r❛✉♠s ❡✐♥❢❛❝❤ ❛❧s ❆✉❢tr❡♥♥❡♥ ❞❡r
▼❡♥❣❡ ❞❡r ❇❛s✐s❢✉♥❦t✐♦♥❡♥ ✐♥ ③✇❡✐ ✭❞✐s❥✉♥❦t❡✮ ▼❡♥❣❡♥ {ai }i ✉♥❞ {bi }i ✈♦rst❡❧❧❡♥✱ s♦

❞❛ss ✭✷✳✸✳✸✮ ❣✐❧t✳ ❉✐❡ ❆rt ❞❡r ❆✉❢tr❡♥♥✉♥❣ ✐st ❞❛❜❡✐ ③✉♥ä❝❤st ♥✐❝❤t ✇❡✐t❡r ❜❡s❝❤rä♥❦t✳

✷✳✸✳✸✳ Pr♦❞✉❦t❡
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✶ ✭❚❡♥s♦r♣r♦❞✉❦t ✈♦♥ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥rä✉♠❡♥✮✳ ❙❡✐❡♥ V1(d1 ) ✉♥❞ V2(d2 ) ❋✉♥❦t✐♦✲

♥❡♥rä✉♠❡ ♠✐t ❇❛s❡♥ {ai (x1 , . . . , xd1 )}i=1,...,n1 ✱ {bi (x1 , . . . , xd2 )}i=1,...,n2 ♠✐t ♥✐❝❤t ♥♦t✇❡♥✲
❞✐❣❡r✇❡✐s❡ ❣❧❡✐❝❤❡r ❆♥③❛❤❧ ❞❡r ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ d1 ❜③✇✳ d2 ✳ ❉❛♥♥ ✐st ❞❛s ❚❡♥s♦r♣r♦❞✉❦t
(d )
(d )
V1 1 ⊗ V2 2 ❞❡r❥❡♥✐❣❡ ❘❛✉♠ V (d1 +d2 ) ✱ ✇❡❧❝❤❡r ✈♦♥

{ai (x1 , . . . , xd1 ) · bj (xd1 +1 , . . . , xd1 +d2 )}i=1,...,n1 ,j=1,...,n2

✭✷✳✸✳✹✮

❛✉❢❣❡s♣❛♥♥t ✇✐r❞✳
(d )

(d )

❉✐❡ ❇❛s✐s ✈♦♥ V1 1 ⊗ V2 2 ❡♥tst❡❤t ❛❧s♦ ❞✉r❝❤ Pr♦❞✉❦t✈❡r❦♥ü♣❢✉♥❣ ❛❧❧❡r ♠ö❣❧✐❝❤❡♥
P❛❛r❡ ❡✐♥❡r ❇❛s✐s❢✉♥❦t✐♦♥ ❛✉s {ai }i ✉♥❞ ❡✐♥❡r ❇❛s✐s❢✉♥❦t✐♦♥ ❛✉s {bj }j ✳ ▼❛♥ ❜❡❛❝❤t❡✱ ❞❛ss
s✐❝❤ ❞✐❡ ❆♥③❛❤❧ ❞❡r ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ d ❜❡✐♠ ❚❡♥s♦r♣r♦❞✉❦t ✈❡rä♥❞❡rt❀ s✐❡ ❡♥ts♣r✐❝❤t
❞❡r ❙✉♠♠❡ ❞❡r ❆♥③❛❤❧❡♥ ❞❡r ❊✐♥❣❛♥❣s✈❛r✐❛❜❧❡♥ d1 ✉♥❞ d2 ❞❡r ✒✈❡rt❡♥s♦r✐❡rt❡♥✏ ❘ä✉♠❡✳

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