Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN HÙNG CƯỜNG

MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN HÙNG CƯỜNG

MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2015

i

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán
sơ cấp với đề tài “Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng”
là của tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ.
Tác giả
Nguyễn Hùng Cường


ii

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên. Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến
các thầy cô giáo của khoa sau Đại học, Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên đã trang bị kiến thức cơ bản, tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả
trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Trần
Nguyên An, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả
có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn
thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả
Nguyễn Hùng Cường

iii

Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh sách ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Các phép biến hình trong mặt phẳng . . . . . . . . .

2

1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Phép tịnh tiến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Phép đối xứng qua đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. Phép quay xung quanh một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5. Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6. Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7. Phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.8. Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Chương 2. Các phép biến hình trong không gian . . . . . . . .

25

2.1. Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3. Phép quay xung quanh một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4. Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5. Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.6. Phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.7. Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50


iv

Danh sách ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng một số ký hiệu sau.

⊥
//
∩
≡
|v|
∆ABC
Tv
D∆
DP
QαO
Qα∆
D
VIk
D(k)
NIk

Vuông góc.
Song song.
Giao nhau.

Trùng nhau.
Độ dài véc tơ v.
Tam giác ABC.
Phép tịnh tiến theo véc tơ v.
Phép đối xứng qua đường thẳng ∆.
Phép đối xứng qua mặt phẳng P.
Phép quay tâm O, góc quay α.
Phép quay xung quanh đường thẳng ∆, góc quay α.
Phép dời hình.
Phép vị tự tâm I, tỉ số k.
Phép đồng dạng tỉ số k.
Phép nghịch đảo cực I, phương tích k.


1

Mở đầu
Các phép biến hình là công cụ hữu hiệu và quan trọng trong việc
nghiên cứu Hình học sơ cấp. Ở chương trình phổ thông, học sinh đã
được làm quen với một số phép biến hình trong mặt phẳng như phép
tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự,.... Các phép biến
hình giúp ta giải quyết được một số dạng toán: Chứng minh, quĩ tích,
dựng hình, cực trị,.... Một cách tự nhiên ta có thể mở rộng các phép biến
hình trong mặt phẳng sang các phép biến hình trong không gian. Mục
đích chính của luận văn là trình bày một số phép biến hình trong không
gian và đưa ra một số ví dụ áp dụng. Để thấy được sự mở rộng từ các
phép biến hình trong mặt phẳng sang các phép biến hình trong không
gian luận văn trình bày hệ thống lại một số kết quả của phép biến hình
trong mặt phẳng.
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Phép biến hình trong mặt phẳng. Trong Chương 1, chúng
tôi trình bày một số phép biến hình trong mặt phẳng và 24 bài toán sử
dụng phép biến hình để giải.
Chương 2 Phép biến hình trong không gian.Trong Chương 2, chúng
tôi trình bày một số phép biến hình trong không gian và mở rộng 24 bài
toán hình học phẳng sang bài toán hình học trong không gian.


2

Chương 1
Các phép biến hình trong mặt
phẳng
Chương này trình bày một số phép biến hình cơ bản trong mặt phẳng
và một số ví dụ áp dụng. Mục đích của việc trình bày chương này là hệ
thống lại các phép biến hình trong mặt phẳng để từ đó mở rộng tương
ứng sang các phép biến hình trong không gian.

1.1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Định nghĩa (Phép biến hình). Trong mặt phẳng (không gian) cho
một quy tắc f . Với mỗi điểm M bất kì, theo quy tắc f ta xác định được
duy nhất điểm M . Khi đó ta nói M là ảnh của M qua quy tắc f và
được kí hiệu f : M → M . Điểm M được gọi là tạo ảnh của M , f được
gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng (phép biến hình trong không
gian).
1.2. Định nghĩa (Phép biến hình 1-1). Ta biết rằng mỗi ảnh của một
điểm M qua phép biến hình f có thể có nhiều tạo ảnh khác M . Nếu mỗi
ảnh của M chỉ có duy nhất một tạo ảnh ứng với nó, thì ta nói f là phép
biến hình 1 − 1.
1.3. Định nghĩa (Phép biến hình đồng nhất). Ta nói f là phép biến

hình đồng nhất, nếu f biến mọi điểm M thành chính M .
1.4. Định nghĩa (Phép biến hình ngược). Giả sử f : M → M với mọi
điểm M trong mặt phẳng (không gian). Nếu tồn tại một phép biến hình
g biến M thành M , thì ta nói g là phép biến hình ngược của f và f là
phép biến hình có ngược.
1.5. Định nghĩa (Tích của phép biến hình). Tích của hai (hoặc nhiều)


3

phép biến hình là một phép biến hình nhận được từ việc thực hiện liên
tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến hình đã cho.
1.6. Định nghĩa (Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng
bất động của một phép biến hình). Ta nói O là một điểm bất động (hoặc
điểm kép) của một phép biến hình f , nếu f biến O thành O.
Ta nói đường thẳng d là bất động (hoặc kép hoàn toàn) của một phép
biến hình f , nếu mọi điểm thuộc d là điểm bất động của f .
Ta nói mặt phẳng (P ) là bất động (hoặc kép hoàn toàn) của một
phép biến hình f , nếu mọi điểm thuộc (P ) là điểm bất động của f .
Ta nói đường thẳng d (mặt phẳng (P )) là bất biến của một phép biến
hình f , nếu f biến đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P )) thành chính
nó. Khi đó đường thẳng d (mặt phẳng (P )) còn được gọi là đường thẳng
kép (hoặc mặt phẳng kép).
1.7. Định nghĩa (Phép biến hình đối hợp). Phép biến hình f được gọi
là phép biến hình có tính chất đối hợp nếu f (M ) = M , f (M ) = M thì
M ≡ M.
1.8. Định nghĩa (Góc định hướng). Góc tạo bởi hai tia Ox, Oy có phân
biệt thứ tự tia đầu và tia cuối được gọi là góc định hướng. Nếu tia Ox
là tia đầu, tia Oy là tia cuối thì người ta kí hiệu góc định hướng là
(Ox, Oy). Thường người ta chọn chiều dương là chiều quay ngược chiều

kim đồng hồ.
1.9. Định nghĩa (Chiều quay của tam giác). Chiều quay của tam giác
ABC là chiều quay từ A đến B, tiếp đó đến C. Nếu chiều quay của tam
giác ABC ngược chiều kim đồng hồ thì tam giác ABC có chiều thuận
(hay chiều dương).
1.10. Định nghĩa (Chiều của tứ diện). Tứ diện ABCD được gọi là có
chiều dương nếu trong nửa không gian với biên là mặt phẳng (BCD)
chứa đỉnh A, tam giác BCD có chiều âm. Nếu tam giác BCD xét trong
nửa không gian trên có chiều dương thì tứ diện ABCD có chiều âm.

1.2. Phép tịnh tiến
1.2.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một véc tơ v = 0, một phép biến hình f : M →
−−−→
M sao cho M M = v thì f được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ v, kí
hiệu Tv : M → M .


4

1.2.2. Tính chất
1. Phép tịnh tiến là một phép biến hình 1 - 1.
2. Phép tịnh tiến không có điểm kép.
−
3. Mọi đường thẳng a//→
v thì a là đường thẳng kép.
4. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
5. Phép tịnh tiến biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A , B , C
thẳng hàng, do đó nó biến đường thẳng d thành đường thẳng d song
song hoặc trùng với d.

6. Phép tịnh tiến biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm
A , B , C không thẳng hàng, do đó nó biến tam giác ABC thành
tam giác A B C bằng với nó.
−
7. Phép tịnh tiến bảo toàn số đo góc. T→
v : α → α = α.

8. Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
1.2.3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.2.1. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng ∆ cố định, một
đường tròn (O , R ) luôn tiếp xúc với (O, R), trong đó R không đổi. Ở
mỗi vị trí của (O , R ) kẻ tiếp tuyến M x//∆. Tìm tập hợp tiếp điểm M
khi (O , R ) chuyển động.
Giải. a. Trường hợp đường tròn (O , R ) tiếp xúc ngoài với (O, R). Vì
O M ⊥ M X mà ∆//M X nên ta suy ra O M ⊥ ∆, do đó ∃Tv : O → M ,
trong đó |v| = R và v ⊥ ∆.
Tập hợp điểm O là đường tròn
W (O, R+R ), nên từ đó ta suy ra
tập hợp điểm M là W (O1 , R+R )
−
là ảnh của đường tròn W qua T→
v.
Vì có hai v (ngược hướng nhau)
cùng thỏa mãn điều kiện trên nên
bài toán có hai nghiệm hình.
b. Trường hợp đường tròn
Hình 1.1
(O , R ) tiếp xúc trong với (O, R).
Tương tự như trên, ta có hai tập hợp điểm M và tập hợp điểm M cũng
là hai đường tròn. Vì tập hợp O là đường tròn λ(O, |R − R |) nên tập

5
−
hợp M là đường tròn λ (O2 , |R − R |), trong đó λ = T→
v (λ). Tập hợp M
là đường tròn λ1 (O2 , |R − R |), trong đó λ1 là ảnh của λ qua T−v .
Ví dụ 1.2.2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B bất kì không thuộc
d. Tìm trên d hai điểm M, N sao cho M N = m và M A = N B.
Giải. a. Phân tích. Giả sử đã dựng được M, N thỏa mãn điều kiện đầu
bài. Chọn v sao cho |v| = m, v//d, A = Tv (A), N = Tv (M ) từ đó ta có
M A = N A = N B, nên ta suy ra N là giao của d và d . (d là đường trung
trực của A B).
b. Cách dựng.

• Dựng A; B; m; d.
• Dựng v//d; |v| = m.
• Dựng A = Tv (A).
• Dựng d là đường trung trực của
A B.

Hình 1.2

• Dựng N ≡ d ∩ d .
• Dựng M = T−v (N ).
c. Biện luận. Nếu A B ⊥ d thì bài toán vô nghiệm.
Ví dụ 1.2.3. Cho đường tròn (O, R), điểm A cố định thuộc (O, R) và
một điểm I cố định không thuộc (O, R). Một đường thẳng d chuyển
động qua I, đường thẳng d cắt (O, R) ở B và C. Chứng minh rằng trực
tâm H luôn thuộc một đường tròn cố định.

Giải. Do H là trực tâm của ∆ABC nên ta suy ra AH = 2OM.
(OM là khoảng cách từ O đến BC).
Gọi O là điểm đối xứng của O qua
−−→ −−→
BC khi đó OO = AH do đó ta có
−−→ −→
→ : O → H.
O H = OA cho nên T−
OA
Vì O I = OI nên ta suy ra O thuộc
đường tròn tâm I bán kính IO từ
đó ta suy ra H thuộc đường tròn
tâm I’ bán kính I M = IO = IO,
Hình 1.3
→ (I).
trong đó I = T−
OA
Ví dụ 1.2.4. Cho hai đường tròn (O, R) và (O , R ). Dựng M ∈ (O) và
N ∈ (O ) sao cho M N = m và M N//OO . (m là độ dài cho trước).
−−→
Giải. Dễ thấy điểm N ≡ Tv (M ), trong đó véc tơ v//OO , |v| = m,


6

mà điểm M ∈ (O, R) nên ta suy ra
N ∈ (O1 , R) là ảnh của (O, R) qua
Tv . Vậy N ≡ (O1 ) ∩ (O) từ đó ta suy
ra M = Tv (N ). (hình 1.4)
Chú ý: Bài toán có thể vô nghiệm, 1

nghiệm, 2 nghiệm hình.
Ví dụ 1.2.5. Cho hai đường tròn
Hình 1.4
(O, R), (O , R ) và một đường thẳng
∆. Dựng đường thẳng d//∆, d cắt (O) và (O ) theo hai dây M N = M N .
(M, N ∈ (O) và M , N ∈ (O )).
Giải. Gọi H, K là hình chiếu của O, O trên ∆. Vì HK không đổi cho nên
−−−→
−−→
−−→
M M = N N = HK do đó ta
suy ra M ≡ Tv (M ), trong đó
v//∆, |v| = HK từ đó ta suy
ra M = (O , R ) ∩ (O1 , R). (hình
1.5). (O1 , R) = Tv [(O, R)], nên ta
suy ra đường thẳng d qua M và
d//∆ thì d là đường thẳng cần
dựng.
Chú ý: Bài toán có thể vô nghiệm
Hình 1.5
hoặc có một nghiệm.

1.3. Phép đối xứng qua đường thẳng
1.3.1. Định nghĩa
Cho một đường thẳng ∆ cố định, một phép biến hình f biến M thành
M sao cho ∆ là đường trung trực của M M thì f được gọi là phép đối
xứng trục qua đường thẳng ∆, ký hiệu D∆ : M → M .
1.3.2. Tính chất
1. D∆ là một phép biến hình 1 - 1.
2. ∆ là đường thẳng kép hoàn toàn.

3. D∆ là một phép biến hình có tính chất đối hợp.
4. D∆ bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
5. D∆ bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của 3 điểm A, B, C.


7

6. D∆ biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm A’, B’, C’
không thẳng hàng, biến ABC thành A B C = ABC.
7. D∆ bảo toàn độ lớn góc.
8. D∆ biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
1.3.3. Trục đối xứng của hình F
Nếu D∆ : F → F và F ≡ F thì ∆ là trục đối xứng của F .
1.3.4. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.3.1. Cho một đường tròn (O, R), đường thẳng ∆ và một điểm
A, B ∈ (O). Tìm tập hợp điểm C sao cho AB = AC và BC//∆.
Giải. Qua điểm A kẻ đường
thẳng d ⊥ ∆. Do điểm A, đường
thẳng ∆ cho trước nên d cố định,
vì BC//∆ nên d ⊥ BC do đó d là
đường trung trực của đoạn thẳng
BC, từ đó ta suy ra Dd : B → C.
Vì B ∈ (O, R) nên ta suy ra
C ∈ (O , R), trong đó đường tròn
(O , R) là ảnh của đường tròn
(O, R) qua Dd . (hình 1.6)

Hình 1.6

Ví dụ 1.3.2. Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B nằm cùng phía bờ

∆. Tìm trên đường thẳng ∆ một điểm M sao cho M A + M B nhỏ nhất.
Giải.

Hình 1.7

Lấy A là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục D∆ , điểm M là giao


8

của A B và đường thẳng ∆ khi đó M A + M B nhỏ nhất. Thật vậy, lấy
điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng ∆, ta suy ra
M A + M B = M A + M B > BA = M B + M A .
Hay
M A + M B > M A + M B.
Ví dụ 1.3.3. Cho góc xOy và hai điểm A, B nằm trong góc xOy. Tìm
hai điểm M ∈ Ox, N ∈ Oy sao cho AM + M N + N B nhỏ nhất.
Giải. Nếu A, B nằm ngoài góc xOy thì M, N là giao của AB với Ox, Oy.
Nếu A, B cùng nằm trong góc Ox, Oy thì M ≡ Ox∩A B ; N ≡ Oy∩A B ,
trong đó A = DOx (A), B = DOy (B).
Cách dựng.
• Dựng xOy; A, B ở trong góc
xOy.
• Dựng A = DOx (A).
• Dựng B = DOy (B).
• Dựng A B .
• Dựng M ≡ Ox ∩ A B .

Hình 1.8

• Dựng N ≡ Oy ∩ A B .
Chứng minh. Lấy M ∈ Ox, N ∈ Oy ta chứng minh
AM + M N + N B < AM + M N + N B.
Ta có
AM + M N + N B = A B < A M + M N + N B = AM + M N + N B.

1.4. Phép quay xung quanh một điểm
1.4.1. Định nghĩa


9

Cho một điểm O và một góc α có hướng.
Một phép biến hình f biến M thành M sao
−−→ −−→
cho: OM = OM , (OM , OM ) = α + k2π thì f
được gọi là phép quay tâm O, góc quay α, ký
hiệu: QαO : M → M . Đặc biệt.
α = 2kπ : Qk2π
O ≡ E. (phép đồng nhất)
(2k+1)π
α = (2k + 1)π : QO
≡ DO .

Hình 1.9

1.4.2. Tính chất
1. QαO là một phép biến hình 1-1.
2. O là điểm kép.
3. QαO Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

QαO (A) = A , QαO (B) = B ⇒ AB = A B .
4. QαO Bảo toàn tính thẳng hàng của 3 điểm và thứ tự của chúng, do
đó phép quay biến đường thẳng d thành d sao cho (d, d ) = α.

Hình 1.10

5. Phép quay biến ABC →
biến góc α → α = α.

ABC =

ABC, do đó phép quay

6. Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
1.4.3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.4.1. Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. Điểm C ∈
−−→ −−→
AB, dựng hình vuông CBEF sao cho (BC, BE) = −900 . Tìm tập hợp
điểm E.
0

−90
Giải. Qua QB
: C → E, vì C thuộc nửa đường tròn đường kính AB,


10

nên điểm E thuộc nửa đường tròn đường kính
A B là ảnh của nửa đường tròn đường kính AB

0
qua phép quay Q−90
. (hình 1.11)
B

1.5. Phép dời hình
1.5.1. Định nghĩa
Hình 1.11

Một phép biến hình D được gọi là một phép
dời hình nếu D(M ) = M và D(N ) = N thì M N = M N .
1.5.2. Tính chất

• Phép dời hình biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A’,
B’, C’ thẳng hàng, biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.
• Phép dời hình biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm
A’, B’, C’ không thẳng hàng, biến tam giác thành tam giác bằng
nó.
• Phép dời hình bảo toàn độ lớn góc.
• Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
1.5.3. Sự liên hệ giữa các phép tịnh tiến, đối xứng và phép quay
Ta có một số kết quả sau:
1. Tv2 .Tv1 = Tv ; v = v1 + v2 .
2. Nếu ∆1 //∆2 . thì D∆2 .D∆1 = Tv .
Ngược lại Tv = D∆2 .D∆1 . (Sự phân tích trên là vô số cách)
3. Nếu ∆1 ∩ ∆2 ≡ O. thì D∆2 .D∆1 = QαO .
4. QαO2 .QαO1 = QαO , trong đó α = α1 + α2 .
α2
α1
α

−
5. QαO22 .QαO11 = T→
v , hoặc QO2 .QO1 = QO .
α

6. QO .Tv = QαO .
7. Một phép dời hình có thể xem là tích không quá 3 phép đối xứng
trục.


11

1.5.4. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.5.1. Cho 2 điểm O và O , hãy xét tích DO .DO ?
Giải. Lấy điểm M bất kỳ, qua DO : M → M , DO : M → M ,
−−−→
do đó qua DO .DO : M → M ⇔ M M ” =
−−→
−→ : M → M .
2OO . Từ đó ta suy ra qua T2−
OO
−→ . (Hình 1.12).
Vậy DO .DO = T2−
OO
Ví dụ 1.5.2. Cho 3 đường thẳng a, b, c. Hãy
xác định tích: Dc .Db .Da trong hai trường hợp
sau:
a. a//b//c.
b. a ∩ b ∩ c ≡ O.

Hình 1.12

Giải. a. Dựng d sao cho: a//b//c//d, khoảng cách từ d đến c

Hình 1.13

bằng khoảng cách từ a đến b và chiều d → c là chiều a → b. (hình 1.13)
Vì a//b//c//d nên Dc .Db .Da = Dc .Tv = Dc .Dc .Dd = Dd .
b. Dựng đường thẳng d sao cho d qua O, góc (d, c) = (a, b) = α.

Hình 1.14

Ta có Dc .Db .Da = Dc .Q2α
o = Dc .Dc .Dd = Dd .
Ví dụ 1.5.3. Cho một hình F có diện tích S. Chứng minh rằng F không
thể có quá một tâm đối xứng.


12

Hình 1.15

Giải. Giả sử hình F có hai tâm đối xứng là O1 và O2 . Lấy một điểm
M bất kỳ, qua DO1 : M → M , qua DO2 : M → M từ đó ta suy ra
−−→ : M → M . Xây dựng hệ trục tọa độ vuông góc xO1 y
DO2 .DO1 = T2−
O1 O2
sao cho O1 O2 ≡ O1 x, O1 y ⊥ O1 O2 . Giả sử M có hoành độ lớn nhất mà
−−−→
−−−→

M M = 2O1 O2 từ đó ta suy ra hoành độ M ” lớn hơn hoành độ của M
tức là M ∈
/ F . Trái giả thiết O2 là tâm đối xứng của F nên ta suy ra
O2 ≡ O1 . Vậy F chỉ có một tâm đối xứng.
Ví dụ 1.5.4. Cho một hình F có diện tích S, chứng minh rằng nếu F
có từ hai trục đối xứng trở lên thì các trục đối xứng phải cắt nhau tại
một điểm.
Giải. a) Giả sử F có hai trục đối xứng là a và b trong đó a//b. (hình 1.16).

Hình 1.16

−−−→
Lấy M ∈ F , khi đó qua Db .Da (M ) = M = Tv (M ) ta suy ra M M = v,
trong đó |v| = 2h và h = ρ(a, b). (ρ(a, b) là khoảng cách từ a đến b). Qua
−−−−→
−−−−→
Db .Da : M → M suy ra |M M | = 2h do đó |M M | = 4h, cứ tiếp
tục như vậy thì ảnh của M là Mx sẽ không thuộc F . Vậy a phải cắt b.
b) Giả sử F có 3 trục đối xứng a, b, c ta chứng minh a, b, c đồng quy


13

tại O. (hình 1.17).

Hình 1.17

Thật vậy, giả sử a, b, c không đồng quy tại một điểm, chúng tạo thành
∆ABC. Gọi M là một điểm nằm trong ∆ABC, I ∈ F và M I lớn nhất.
Gọi I = Da (I), N ≡ M I ∩ a ta suy ra N I = N I và M N + N I =

M I = M N + N I > M I. Vậy I có khoảng cách tới M lớn hơn khoảng
cách từ I tới M từ đó ta suy ra I không thuộc F , (điều đó vô lí vì a là
trục đối xứng của F ). Do đó a, b, c phải cắt nhau tại một điểm.Vậy nếu
F có quá 2 trục đối xứng trở lên thì chúng phải đồng quy.

1.6. Phép vị tự
1.6.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một điểm I cố định và một số thực k = 0. Một
−−→
−−→
phép biến hình f biến M → M sao cho IM = k.IM thì f được gọi là
phép vị tự tâm I, tỷ số k, ký hiệu là VIk : M → M .
Chú ý:
0

1. Nếu k = 1 thì VI1 ≡ E ≡ Q360
.
I
0

2. Nếu k = −1 thì VI1 ≡ DI ≡ Q180
.
I
3. Nếu k > 0 thì M và M cùng phía đối với I.
4. Nếu k < 0 thì M và M khác phía đối với I.
5. Nếu |k| > 1 thì IM > IM .
6. Nếu |k| < 1 thì IM < IM .


14

1.6.2. Tính chất
1. Phép vị tự là phép biến hình 1 − 1.
2. Phép vị tự có điểm I là điểm kép.
3. Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, biến
đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
4. Phép vị tự biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng
hàng, do đó nó biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó.
5. Phép vị tự bảo toàn số đo góc.
6. Phép vị tự biến đường tròn (O, R) thành đường tròn (O , R ) sao
−→
−→
cho IO = k.IO, và R = |k|.R.
Chú ý: Hai đường tròn (O, R) và (O , R ) có thể coi là vị tự của nhau
k= RR

bằng phép vị tự VI
(O , R ).

k=− RR

: (O, R) → (O , R ) và VJ

: (O, R) →

Hình 1.18

Trong đó I là tâm vị tự ngoài, J là tâm vị tự trong.
7. Trục vị tự của 3 đường tròn.
Cho 3 đường tròn (O1 , R1 ), (O2 , R2 ) và (O3 , R3 ) có 3 tâm O1 , O2 , O3

không thẳng hàng; sẽ có 6 tâm vị tự, cứ 3 tâm (trong 6 tâm đó)
thẳng hàng; đường thẳng chứa 3 tâm gọi là trục vị tự của 3 đường
tròn, có 4 trục vị tự.
8. Tích hai phép vị tự:
a. Tích hai phép vị tự cùng tâm:
VIk2 .VIk1 = VIk , k = k1 .k2 .


15

b. tích hai phép vị tự khác tâm:
VIk22 .VIk11 = VIk , k = k1 .k2 .
−→
Trong đó I1 , I2 , I thẳng hàng và I thỏa mãn I2 I =

−→
k2 (1−k1 ) −
1−k1 k2 I2 I1 .

1.6.3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.6.1. Cho hai đường tròn (O, R) và (O , R ) tiếp xúc với nhau
tại A. Đường thẳng OO cắt (O) và (O ) ở B và B . Một đường thẳng d
qua A, d cắt (O) và (O ) ở C và C . Tìm tập hợp điểm M là giao của
BC và CB .
Giải. a. Trường hợp (O, R) và (O , R ) tiếp xúc ngoài ở A. (hình 1.19)

Hình 1.19

Vì BCA = AC B = 900 nên ta suy ra BB //CC , do đó
MB

BC
AB
2R
R
=
=
=
=
MC
BC
AB
2R
R
Ta suy ra
MB
R
MB
=
=
(Giả sử R > R )
MB − MC
BC
R−R
Từ đó ta có

−−→
BM =

R −−→
.BC .

R−R

R

Vậy VBR−R : C → M . Vì tập hợp C là đường tròn (O ), nên tập hợp M
R
−−→
−−→
R
là đường tròn (O , R ) = VBR−R [(O , R )], trong đó: BO = R−R
.BO và
R
R = | R−R
|.R .
b. Trường hợp (O, R) và (O , R ) tiếp xúc trong ở A. (hình 1.20)


16

Hình 1.20

Tương tự trường hợp a, BC//B C . Ta suy ra
BC
AB
2R
R
BM
=
=
=

= .
MC
BC
AB
2R
R
Từ đó, ta suy ra
BM
R
=
=k,
BC
R+R
Do đó ta có

R −−→
BC .
R+R
Từ đó ta suy ra, qua VBk : C → M.
Vậy tập hợp M là (O , R ) = VBk [(O , R )].
−−→
BM =

Ví dụ 1.6.2. Cho hình thang ABCD có AB//CD, AB cố định; CD =
a; AD = m. Gọi M là giao của AC và BD. Tìm tập hợp M khi CD
chuyển động.
Giải. Vì AB//CD nên

BM
MD

=

AB
CD

⇒

BM
BM +M D

=

AB
a+AB

= k từ đó ta

Hình 1.21

−−→
−−→
suy ra BM = k BD, do đó VBk : D → M . Vì tập hợp D là đường tròn


17

(A, m) nên tập hợp M là đường tròn (A , m ), trong đó A = VBk (A), m =
k.m .
Ví dụ 1.6.3. Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định, một cát tuyến

d đi qua A, d cắt (O) ở B và C. Kẻ phân giác góc BOA, gọi I là giao
của phân giác với AB. Tìm tập hợp điểm I.
Giải. Theo tính chất của phân giác

IA
IB

=

OA
OB

nên

AI
AI+IB

=

OA
R+OA

= k,

Hình 1.22

−
→
−→
ta suy ra AI = k.AB do đó VAk : B → I. Vì tập hợp điểm B là đường tròn

−−→
−→
(O, R) nên tập hợp điểm I là đường tròn (O , R ) sao cho AO = k.AO
và R = k.R.
Ví dụ 1.6.4. Cho đường tròn (O, R) và một điểm P nằm trong đường
tròn. Một góc vuông quay quanh P , hai cạnh của góc cắt (O) ở A và B.
Gọi M là trung điểm của AB. Tìm tập hợp điểm M là điểm đối xứng
của P qua M .
Giải.

Hình 1.23

−−→
−−→
Vì P M = M M nên ta suy ra P M = 2P M , do đó VP2 : M → M .


18

Mặt khác, vì M P 2 + M O2 = M B 2 + M O2 = OB 2 = R2 nên tập
hợp M√ là đường tròn (I, ρ) trong đó I là trung điểm của OP , và
ρ = 12 2R2 − OP 2 . Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I , bán
kính ρ = 2ρ (I ≡ O), đó là đường tròn (O, 2ρ).
Ví dụ 1.6.5. (Romani 1978) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp
đường tròn (O). Gọi (W ) là đường tròn tiếp xúc với AB, AC tại D và E
và tiếp xúc trong với (O) tại K. Chứng minh rằng DE đi qua tâm nội
tiếp của tam giác ABC.
k= AH

Giải. Xét phép vị tự VA AK : (W ) → (I) ((I) nội tiếp ∆ABC).

Gọi I là trung điểm của DE, J là tâm của
(W ), ta có ∆ABK
∆ADJ(g.g) nên ta suy
AB
AD
AH
AI
ra AK = AJ ⇒ AK = AJ do đó VAk : J → I . Mà
J là tâm của (W ) nên I là tâm của (I). Vậy
DE đi qua tâm nội tiếp của tam giác ABC.
(Hình 1.24)
Ví dụ 1.6.6. (VMO 2003) Cho hai đường tròn
(O1 ) và (O2 ) tiếp xúc nhau tại M . Một điểm
A thay đổi trên đường tròn (O2 ), Từ A vẽ hai
Hình 1.24
tiếp tuyến AB, AC đến (O1 ) với B, C là hai tiếp
điểm. BM, CM lần lượt cắt (O2 ) tại D và E. DE cắt tiếp tuyến tại A
của (O2 ) tại F . Chứng minh rằng F thuộc một đường thẳng cố định khi
A di chuyển trên (O2 ) không thẳng hàng với O1 và M .
Giải.

Hình 1.25
R1

Xét phép vị tự VMR2 , khi đó ta có A → A ; E → C; D → B; DE →
BC; Ax → A y (tiếp tuyến tại A của (O1 )). Do đó F → K (giao điểm
của A y và BC). Mặt khác, theo tính chất của cực đối cực thì A y, BC
và tiếp tuyến tại M (M z) của (O1 ) đồng quy. Do đó K ∈ M z, mà M z

19

cũng là tiếp tuyến của (O2 ). Do đó F ∈ M z.
Vậy F thuộc đường thẳng M z vuông góc với O1 O2 .
Ví dụ 1.6.7. (IMO shortlist 2006) Hai đường tròn (O1 ), (O2 ) tiếp xúc
ngoài nhau tại C và tiếp xúc trong với (O) tại D và E. Gọi (d) là tiếp
tuyến chung của (O1 ) và (O2 ) tại C. AB là đường kính của (O) sao cho
A, D, O1 cùng phía đối với (d). Chứng minh rằng AO1 , BO2 , và DE đồng
quy.
R
R1

Giải. Xét phép vị tự VD : (O1 ) → (O). Vì O1 C//OB, nên ta suy ra

Hình 1.26

(O1 C) → (OB) và C → B, do đó D, C, B thẳng hàng. Hơn nữa nếu gọi
X là giao điểm của CO1 và (O1 ) thì X → A, nên ta suy ra X ∈ AD.
Tương tự ta cũng có A, C, E thẳng hàng và Y ∈ EB, trong đó Y là giao
điểm của CO2 và (O2 ), do đó AEB = ADB = 900 . Từ đó ta suy ra C là
trực tâm của tam giác ∆M AB (M là giao điểm của AD và BE) nên ta
suy ra M ∈ (d). Gọi P, H lần lượt là giao điểm của M C với ED và AB,
khi đó ta có (M CP H) = −1, nên ta suy ra (AD, AP, AC, AH) = −1.
(1) Mặt khác, xét chùm (AD, AO1 , AC, AH) đường thẳng qua O1 song
song với AH cắt AD và AC tại X và C, O1 là trung điểm của CX
nên (AD, AO1 , AC, AH) = −1 (2). Từ (1) và (2) ta có A, O1 , P thẳng
hàng. Chứng minh tương tự ta cũng có B, O2 , P thẳng hàng. Do đó ta
có AO1 , BO2 , DE đồng quy tại P .