MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ M- PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE N- CHIỀU

LỜI CẢM ƠN

Đề tài: MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ m- PHẲNG TRONG KHÔNG
Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo Đinh Thị Văn đã nhiệt
GIAN EUCLIDE n CHIỀU.
tình hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt kinh nghiệm và gợi mở
những ý tưởng giúp tôi hoàn thành khóa luận này.
ĐỀ CƯƠNG KHÓA LUẬN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa toán
Chương 0: MỞ ĐẦU
Trường Đai Học Sư Phạm đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ,
I).Lý
do
chọn
đề
đóng góp ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành tốt khóa luận tốt
tài…………………………………………………………..........
nghiệp của mình.
II).Phạm
vi
nguyên
Tôi xin cảm ơn phòng thư viện Trường Đại Học Sư Phạm
cứu……………………………………………………………
Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có được nguồn tài liệu
III).Mục
đích
chọn
đề
làm khóa luận.
tài……………………………………………………..........
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
những người luôn ủng hộ tôi, cung cấp cho tôi những thông tin
1. không gian afin
cần thiết, những lời động viên, khích lệ chân thành cùng các ý
1.1.
Định
nghĩa
kiến quí báu trong thời gian tôi làm khóa luận.
……………………………………………………………..
1.2.

Ví

dụ……………………………………………………………………
Đà Nẵng, tháng 05 năm
2. không gian Euclide
2012
2.1.
Định
Sinh viên thực hiện
nghĩa……………………………………………………………..
Nguyễn Thị Hoài Thương
2.2.
Ví
dụ…………………………………………………………………...
2.3.
hướng………………………………………………………….

Tích

vô


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
1.3.1.

Định

nghĩa………………………………………………………..
1.3.2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ trong V En
……..
2.4.

Tích

có

hướng…………………………………………………….........
2.4.1.

Định

nghĩa………………………………………………………..
2.4.2. Biểu thức tọa độ của tích có hướng trong V En
……………………
2.5. Biểu thức tọa độ của tích hổn hợp trong V En
………………………….
2.6.

Mục

tiêu

trực

dộ

trực

chuẩn…………………………………………………..
2.7.

Tọa

chuẩn…………………………………………………….
3. Khái niệm về m - phẳng
3.1.

Định

nghĩa…………………………………………………………….
3.2.

Ví

dụ…………………………………………………………………..
4. Phương trình m - phẳng
4.1.phương

trình

tham

số…………………………………………………
4.2.

Phương

trình

tổng

quát……………………………………………….
Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

5. Vị trí tương đối của các phẳng trong En
5.1.

Định

5.2.

Định

nghĩa……………………………………………………….......
lý………………………………………………………………..
5.1.1.

Hệ

quả

5.1.2.

Hệ

quả

1………………………………………………………….
2…………………………………………………………..
5.3.

Định

lí…………………………………………………………….......
5.4. Định lý về số chiều của giao và tổng của hai cái phẳng.
5.4.1.

Định

5.5.

Định

lý…………………………………………………………….
lý…………………………………………………………………
5.6.

Định

5.7.

Định

nghĩa…………………………………………………………….
lý…………………………………………………………………
5.7.1.

Hệ

quả

Hệ

quả

1…………………………………………………………...
5.7.2.
2…………………………………………………………...
5.8.

Định

lý…………………………………………………………………

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
5.8.1.

Hệ

quả……………………………………………………….........
5.9.

Định

lí…………………………………………………………………
5.9.1

Hệ

Các

ví

quả……………………………………………………………..
5.10.
dụ……………………………………………………………..
6. Khoảng cách giữa các phẳng
6.1.

Khoảng

cách

giữa

2

điểm……………………………………………...
6.2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 siêu
phẳng……………………………...
6.2.1.

Vectơ

pháp

tuyến

của

siêu

phẳng………………………………….

6.2.2. Tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 siêu
phẳng………………..........
6.2.3.

Các

ví

dụ…………………………………………………………..
6.3. Khoảng cách từ một điểm đến một m – phẳng.
6.3.1.

Định

thức

Gram……………………………………………….......
6.3.2. Khoảng cách từ một điểm đến một m –
phẳng……………………
6.4.

Khoảng

cách

giữa

2

cái

phẳng………………………………………...

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
6.4.1.

Định

nghĩa…………………………………………………………
6.4.2. Đường vuông góc chung của 2 cái
phẳng…………………………
6.4.3.

Định

lí

Định

lí

1……………………………………………………………
6.4.4.

2……………………………………………………………
6.4.4.1.

Hệ

quả

6.4.4.2.

Hệ

quả

6.4.5.

Ví

1……………………………………………………….
2………………………………………………….........
dụ………………………………………………………….........

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Khoa Toán

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

CHƯƠNG 0hương 0: MỞ ĐẦU
I.) Lý do chọn đề tài:
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống và khoa học kỹ thuật. Toán
học là nền tảng cho tất cả các nghành khoa học tự nhiên khác. Có thể nói rằng
không có toán học sẽ không có ngành khoa học nào cả. Toán học giúp chúng
ta rèn luyện phương pháp suy luận, giải quyết vấn đề, trí thông minh sáng tạo.
Đồng thời rèn luyện đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh. Nói đến toán
học là nói đến sự gọn gàng và logic.
Ở phổ thông, môn toán là một môn khá là quan trọng, khá hay hay, đòi
hỏi nhiều tư duy, kĩ năng. Đặc biệt đây là môn học hình học, đây là môn học
khá trừu tượng khiến học sinh hơi vất vả.
Hình học là môn học xuất hiện rất sớm. Hàng trăm năm trước công
nguyên, con người đã đo đạc các thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch,
xây dựng những kim tự tháp khổng lồ. Môn hình học lúc đầu ra đời với ý
nghĩa là môn khoa học về đo đạct. Nhưng rồi con người không chỉ cần đo đất,
mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp hơn. Tuy nhiên hình học chỉ trở thành
môn khoa học thực sự khi con người nên lên các tính chất hình học bằng con
đường suy diễn chặt chẽ, chứ không phải từ đo đạc trực tiếp.

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Hình học là một nghành học nghiên cứu các mô hình trong không gian.
Hệ tiên đề hình học đầu tiên lấy mô hình từ không gian vật lý theo nhận thức
là khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Từ ba khái niệm này Euclide đã
xây dựng thành nội dung toàn bộ môn hình học ở phổ thông hiện nay. Sau này
gọi là hình học Euclide.
Hình học Euclide được giới thiệu ở trung học với việc khảo sát các
hình đa giác, hình tròn, hình cầu, hình đa diện, hình nón…Hơn hai nghìn năm
qua hình học Euclide đã có tác dụng lớn đối với nền văn minh nhân loại, từ
việc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án, xây dựng nhà cửa, chế tạo các vật dụng
và máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời đến
cấu trúc của nguyên tử.
Hình học Euclide là môn học khá hay, quan trọng đối với học sinh.
Trong môn này chúng ta sẽ biết được cách xác định cách lập phương trình và
xét vị trí tương đối của các phẳng như là khoảng cách giữa các phẳng và ứng
dụng vào giải 1 số bài toán hình học. Vì vậy chúng tôi xây dựng đề tài này
nhằm nghiên cứu vấn đề xây quanh một số dạng bài toán về m- phẳng trong
không gian Euclide n -chiều như là: Viết phương trình tham số, phương trình
tổng quát, tìm vị trí tương đối của các phẳng và khoảng cách giữa các phẳng
trong En
.
II. Phạm vi ngughiyên cứu:
Đề tài nghiênguyên cứu về các dạng bài toán m- phẳng trong không gian
Euclide n-- chiều đó là:

1) Các bài toán về phương trình m- phẳng trong không gian n –- chiều.
a) Phương trình tham số.

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

b) Phương trình tổng quát.
2) Các bài toán xét vị trí tương đối của các phẳng trong không gian
Euclide En.
3) Tính khoảng cách giữa các phẳng.
Với mỗi dạng bài toán tôi đưa ra lời giảphương pháp giải, các ví dụ và
bài tập minh họa có lời giải để học sinh nắm vững, vận dụng được vào quá
trình giải toán hình học.
III. Mục đích chọn đề tài:
Đề tài nghiênuyên cứu về các dạng bài toán m - phẳng trong không gian
Euclide n - chiều. Đây là những nội dung quan trọng trong không gian
Euclide, đưa ra lờiphương pháp giải 1 số bài toán liên quan đến m - phẳng
trong không gian Euclide n - chiều nhằm giúp ích phần nào cho học sinh
THPT giải các bài toán hình học không gian được nhanh hơn, ngắn gọn hơn,
nhằm nâng cao hiệu quả học tập.

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 9

Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Khoa Toán

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

CHƯƠNGhương I: I:

CƠ SỞ LÝ LUẬN

I. BỔ SUNG CÁC PHÉP TOÁN TRÊN KHÔNG GIAN VECTƠ
1. Tích vô hướng
1.1. Định nghĩa:
Cho V là không gian vectơ trên trường số thực trên đó xác định một phép
toán f sao cho với mỗi cặp vectơ có thứ tự a , b ∈ V ta đặt tương ứng với
một số thực xác định gọi là tích vô hướng của hai vectơ a , b , Kí hiệu là a .

b hay a b nếu thỏa mãn 4 tiêu đề sau đây:
1) a . b = b . a
2) a ( b + c ) = a . b + a . c với a , b , c ∈ V

()

( )

3) λ a ..b = λ a.b với λ ∈ R
4) a . a ≥ 0, dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0
CHÚ Ý: Tương ứng f nói trên là một ánh xạ f: V x V → R thỏa mãn 4 điều
kiện nêu trên. Một không gian vectơ được trang bị thêm tích vô hướng đối với
mọi hai vectơ bất kì của nó sẽ trở thành một không gian vectơ Euclide. Không
gian vectơ Euclide n chiều được kí hiệu là V nE hoặc E n .
Các định nghĩa liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ.

( )

. a . b = a . b cos a, b
. a

2

2

=a ⇒ a =

a

2

. a ⊥ b ⇔ a .b = 0

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

1.2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ trong VEn
Trong không gian Euclide E n với mục tiêu trực chuẩn cho trước, giả sử:

a = ( a1 , a 2 ,..., a n ) , b = ( b1 , b2 ,..., bn ) .
n

n

i =1

j =1

Ta có : a.b = ∑ ai ei . ∑ b j e j =

n

∑a b
i =1

i i
n

n

|a|=

∑a
i =1

2
i

, cos( a, b) =

a.b
a .b

∑a b
=

i =1

n

i i
n

∑a . ∑b
i =1

2
i

i =1

2
i

2. Tích có hướng của hai vectơ trong V 3E
2.1. Định nghĩa:
Trong V 3E tích có hướng của hai vectơ a và b là một vectơ c thỏa mãn
các điều kiện sau đây:
1) c ⊥ a và c ⊥ b

( )

2) c = a . b . sin a, b = dt hình bình hành dựng trên các vectơ a , b .
3) Tam diện tạo bởi ba vectơ a , b , c là tam

c

b

diện thuận (nếu vặn nút chai theo chiều từ a đến

a

b thì nút chai chuyển động theo hướng của vectơ

Hình 6

c - xem hình 6).

Ta thường kí hiệu tích có hướng của hai vectơ a và b là: a ∧ b = c

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

2.2. Tính chất:
. a ∧ b = - b ∧ a (phản giao hoán)
. p.( a ∧ b ) = p. a ∧ b = a ∧ p. b với p ∈ R
. ( a + b )∧ c = a ∧ c + b ∧ c
. a ∧ ( b + c ) = a ∧ b +a ∧ c .
2.3. Biểu thức tọa độ của tích có hướng trong VE3
. Trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hai vectơ a = ( a1 , a2 , a3 ) ,

b = ( b1 , b2 , b3 ) Hãy tìm tọa độ của vectơ a ∧ b = c . Ta dễ dàng tính được
tọa độ của vectơ c như sau:

 a2
c = a ∧ b = 
 b2
. Nếu

a3 a3
,
b3 b3

a1 a1
,
b1 b1

a2
b2






ϕ là góc giữa hai vectơ a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 ) ta có công

thức:
sin ϕ = ±

a ∧b
a .b

a2

a3

= b2

b3

2

+

a3

a1

b3

b1

2

+

a1 a 2
b1

2

b2

a12 + a 22 + a32 . b12 + b22 + b32

. Gọi S là diện tích hình bình hành được

a

dựng trên các vectơ a, b (H.8)
(H.8)

2

2

a a
a a
a a
S= a∧b = 2 3 + 3 1 + 1 2
b2 b3 b3 b1 b1 b2

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

b

2

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

3. Tích hỗn hợp của 3 vectơ trong VE3
3.1. Định nghĩa.
Tích hỗn hợp của ba vectơ a, b, c trong V E3 là một số, bằng cách nhân có
hướng hai vectơ a, b ta được a ∧ b rồi nhân vô hướng vectơ ấy với c .
Tích hỗn hợp của ba vectơ a, b, c được kí hiệu như sau:
( a, b, c ) = ( a ∧ b ). c

g = a ∧b

3.2. Ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp
Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng (H.7).

c

Gọi V là thể tích của hình hộp dựng
trên các vectơ a, b, c . Khi đó V = S.h

h

trong dó S là diện tích của hình bình
hành dựng trên hai vectơ a và b còn

b
a

h là chiều cao của hình hộp. Đặt g = a ∧ b

S
Hình 7

thì theo định nghĩa tích có hướng, ta có g = S .
Vectơ g vuông góc với mặt đáy tạo nên bởi hai vectơ a và b . Ba vectơ
a, b, g tạo thành một tam diện thuận. Hai vectơ c và g có chung gốc và
nằm về một phía đối với mặt phẳng đáy và gọi ϕ = ( g , c) s

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

π
. Giả sử ϕ〈 nghĩa là cos ϕ〉0 nên ta có h = | c | cos ϕ . Vậy ( a ∧ b ). c =
2

π
g.c = g c cos ϕ = S .h = V . Với ϕ〈 nghĩa là ba vectơ a, b, c tạo nên một
2

V = ( a , b, c )

tam diện thuận, khi đó:
. Với ϕ 〉

π
nghĩa là ba vectơ a, b, c tạo nên một tam diện nghịch ta có
2

cos ϕ là một số âm, khi đó h = -| c |cos ϕ và ta có

( a, b, c) =

−V

KẾT LUẬN: Tích hỗn hợp của ba vectơ a, b, c không đồng phẳng là một số,
có trị tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng trên ba vectơ a, b, c tạo nên một
tam diện thuận, âm nếu ba vectơ ấy tạo nên một tam diện nghịch.
3.3. Biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp trong V En
Trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc, cho ba vectơ không đồng phẳng:

a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 ) , c = ( c1 , c 2 , c3 ) .
Gọi V là thể tích của hình hộp dựng trên các vectơ a, b, c thì

(

)

±V = a, b, c .

(a, b, c ) = (a ∧ b).c = ab

2

2

Vậy

a3
a
c1 + 3
b3
b3

a1

a, b, c = b1

a2
b2

a3
b3 = ±V

c1

c2

c3

(

)

4. Mục tiêu trực chuẩn:

{

Mục tiêu afin 0; e1 , e2 ,..., en

a1
a
c2 + 1
b1
b1

a2
c3
b2

} của không gian Euclide n chiều trong E

n

được gọi là mục tiêu trực chuẩn (hay còn gọi là hệ tọa độ đề các vuông góc)
Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

{

Khoa Toán

}

nếu cơ sở e1 , e2 ,..., en của không gian vectơ Euclide E n là cơ sở trực chuẩn
nghĩa là:

0 khi i ≠ j

ei .e j = δ

ii

=

với i, j = 1,2,…,n
1 khi i = j

5. Tọa độ trực chuẩn:
Tọa độ của một điểm thuộc E n đối với một mục tiêu trực chuẩn gọi là tọa
độ trực chuẩn của điểm đó đối với mục tiêu đã cho (hay còn gọi là tọa độ Đề các vuông góc của điểm đó).
Ta biết rằng mọi không gian vectơ Euclide n chiều với n ≥ 1 đều có cơ sở
trực chuẩn, do đó ta suy ra trong không gian Euclide n chiều E n luôn luôn có
thể tìm thấy những mục tiêu trực chuẩn.
II. KHÔNG GIAN AFIN
1. Định nghĩa:
Cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là một
không gian vectơ trên trường K và cho ánh xạ f: A × A → V được kí hiệu là
f(M,N) = MN với các điểm M, N thuộc A và vectơ MN thuộc V.
Bộ ba (A ,f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiêu đề sau đây được thỏa
mãn:
i)Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ u thuộc V có duy nhất điểm N
thuộc A sao cho MN = u .
ii) Với mọi ba điểm M,N,P thuộc A ta luôn có MN + NP = MP .

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Khi đó ta nói rằng không gian afin (A, f, V) liên kết với không gian vectơ
V trên trường K và được gọi tắt là không gian afin A trên trường K. Không
gian vectơ liên kết V còn được kí hiệu là A’, được gọi là nền của không gian
afin A.
Nếu V là không gian vectơ thực nghĩa là K = R ta nói A là một không gian
afin thực, nếu V là không gian vectơ phức nghĩa là K = C ta nói A là một
không gian afin phức. Trong giáo trình này chủ yếu ta nói về không gian afin
thực.
Không gian afin A gọi là n chiều nếu dimV = n và được kí hiệu dimA = n
hay An (liên kết với không gian vectơ Vn).
2. Các ví dụ:
a) Không gian Euclide hai chiều E 2 và ba chiều E3 đã học ở trường trung
học phổ thông trung học là những không gian afin theo thứ tự liên kết với các
không gian vectơ (tự do) hai chiều V2 và ba chiều V3 với định nghĩa vectơ,
phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số thực đã được trình bày trong
sách giáo khoa phổ thông trung học. Khi đó rõ ràng ánh xạ f thỏa mãn hai tiêu
đề i) và ii) nói trên.
b) Cho V là một không gian vectơ. Ta dùng V làm tập hợp A. Khi đó các
vectơ của V được gọi là các điểm của A. Với hai vectơ a , b thuộc V ta có ánh
xạ f: V × V → V cho bởi : f( a , b ) = b - a thuộc V (vectơ b - a được hoàn
toàn xác định).
Rõ ràng ánh xạ f được xác định như trên thỏa mãn hai tiêu đề i) và ii) nên
V trở thành không gian afin liên kết với V.
c) Cho tập hợp Rn trong đó mỗi phần tử của nó là một bộ số thực có thứ tự
mà ta sẽ gọi là những điểm và không gian vectơ V n mà mỗi vectơ x của nó sẽ
tương ứng với một bộ số thực (x 1,x2,…,xn) với xi ∈ R. Ánh xạ f được xác định
Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

như sau: với hai điểm A = (a 1,a2,…,an) và B = (b1,b2,…,bn) của Rn ta cho đặt
tương ứng với một vectơ (b1 – a1,b2 – a2,…,bn – an) của Vn thì ta dễ dàng chứng
minh được Rn là một không gian afin n – chiều.
III. KHÔNG GIAN EUCLIDE
1. Định nghĩa:
Không gian Euclide là không gian afin liên kết với không gian vectơ
Euclide hữu hạn chiều. Không gian Euclide thường được ký hiệu là E.
. Không gian vectơ Euclide liên kết với nó thường được ký hiệu là VE
hoặc là E .
. Không gian Euclide được gọi là n chiều kí hiệu là E n nếu không gian
vectơ Euclide liên kết với nó có số chiều bằng n.
2. Các ví dụ:
1. Không gian Euclide ba chiều thông thường được học trong chương trình
toán ở phổ thông được ký hiệu là E 3. Trong không gian này, mặt phẳng
Euclide là không gian Euclide hai chiều được ký hiệu là E2. Các không gian
E 3 và E 2 là các không gian vectơ tự do ba chiều và hai chiều. Tích vô hướng

trong không gian E 3 và E 2 được định nghĩa như sau:

a . b =| a |.| b |.cos( a , b )
Trong đó | a |, | b | là độ dài các vectơ a , b còn ( a , b ) là góc giữa 2 vectơ
a ,b .
2. Trong mô hình số thực của V n nếu ta định nghĩa tích vô hướng của 2

vectơ a =( a1,a2,…,an) và b =(b1,b2,…,bn) là số thực a1b1+a2b2 + …+ anbn thì

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

mô hình đó trở thành không gian vectơ Euclide n chiều. khi đó không gian
afin liên kết với không gian vectơ Euclide V En đó là không gian En.
3. Nếu En là không gian Euclide liên kết với không gian vectơ Euclide E n
thì mỗi cái phẳng α của nó cũng là 1 không gian Euclide liên kết với không
gian vectơ Euclide α E mà tích vô hướng trong α E được cảm sinh bởi tích vô
hướng của E n .
4. Xét không gian con n-chiều của Rn+1.
n
* Đặt R 0 = {( a1 , a 2 ,..., a n ,0) / ai ∈ R, i = 1, n} .
n
n
n
Xét ánh xạ f : R 0 × R 0 → R 0
n

( x , y )  f( x , y ) = x . y = ∑a i bi
i =1

n

n
x =(a1,a2,…,an,0)∈ R 0 , y =(b1,b2,…,bn,0)∈ R 0 .

Chứng minh:
n

R 0 là 1 không gian vectơ Euclide n-chiều.
∀

x = (a1 , a2 ,..., an ,0), y = (b1 , b2 ,..., bn ,0), z = (c1 , c2 ,..., cn ,0) ∈ R0n
n

. f( x, y ) = a1b1 + a2b2 + … + anbn = b1a1 + b2a2 + … + bnan =

∑b a
i =1

i

i

= f( y, x )

.

( ( ))

. f x y+ z =

n

n

n

∑ a (b + c ) = ∑ a b + ∑ a c
i

i =1

i

i

i =1

n

n

i =1

i =1

i i

i =1

i i

( ) ( )

= f x, y + f x, z

. f ((λ( x) y ) = ∑λai bi = λ∑ ai bi = λf (a, b)

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

n

n

i =1

i =1

2
. f ( x, x) = ∑ ai ai = ∑ ai ≥ 0 dấu “ = ” xảy ra khi ai = 0 ∀i = 1, n

⇒ x = (a1 , a 2 ,..., a n ) = (0,0,…,0) = 0 .
⇒ f(

x , y ) là tích vô hướng.

⇒ R 0n là 1 không gian vectơ Euclide n – chiều.

* Đặt R 1n = {( a1 , a 2 ,..., a n ,1) / ai ∈ R, i = 1, n}
n

R 1n liên kết với R 0 qua ánh xạ:

ϕ :

n
R 1n × R 1n → R 0

( a1,a2,…,an,1),(b1,b2,…,bn,1)  ( b1-a1,b2-a2,…,bn-an,0)
Chứng minh:
R 1n cùng với ϕ là một không gian Euclide n chiều.
n
1) ∀ M = (a1,a2,…,an,1) ∈ R1n , x = (x1,x2,…,xn,0) ∈ R0 thì ∃ N( x1+a1,x2+a2,…,

( )

xn+an,1 ) ∈ R1n sao cho ϕ MN = ( x1 , x2 ,..., xn ) = x .
2) Lấy M = (a1,a2,…,an,1) ∈ R1n , N = (b1,b2,…,bn,1) ∈ R1n , P = (c1,c2,…, cn,1)

∈ R1n .
Tacó : ϕ ( MN ) + ϕ ( NP ) = (b1 − a1 , b2 − a2 ,..., bn − a n ,0) + (c1 − b1 , c2 − b2 ,..., cn − bn ,0)
= (c1 − a1 , c2 − a 2 ,..., cn − a n ,0) = ϕ ( MP)
⇒ ϕ là ánh xạ afin ⇒ R1n cùng với ϕ là 1 không gian afin n chiều.

CHÚ Ý. Theo định nghĩa, không gian Euclide cũng là 1 không gian afin nên

trong không gian Euclide vẫn có các khái niệm và các tính chất của không
gian afin. Mặt khác trong không gian Euclide còn có các tính chất và khái
niệm không có trong không gian afin, như sự vuông góc của các phẳng, độ dài
Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

các đoạn thẳng, độ lớn của góc v.v…Các khái niệm, tính chất này có liên
quan mật thiết đến khái niệm và tính chất của tích vô hướng được trang bị
thêm trong không gian vectơ Euclide liên kết với không gian afin đó.

IV. KHÁI NIỆM VỀ m-PHẲNG:
1. Định nghĩa :
Cho không gian Euclide E liên kết với không gian vectơ E . Gọi I là một
điểm của E và α là một không gian vectơ con của E là một không gian vectơ
con của E . Khi đó tập hợp.

{

α = M ∈ A | IM ∈ α

}

được gọi là cái phẳng (cùng gọi tắt là “phẳng”) qua I và có phương là α .
Nếu α có số chiều bằng m thì α gọi là phẳng m chiều hay còn gọi là

m-phẳng.
2.Ví dụ:
0- phẳng là 1 điểm.
1-phẳng (phẳng 1 chiều) còn gọi là đường thẳng.
2-phẳng (phẳng 2 chiều) còn gọi là mặt phẳng.
(n - 1)-phẳng (phẳng n-1 chiều) còn gọi là siêu phẳng.
1. Không gian Afin.
1.1. Định nghĩa:

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là
một không gian vectơ trên trường K và cho ánh xạ f: A × A → V được kí
hiệu là f(M,N) = MN với các điểm M, N thuộc A và vectơ MN thuộc V.
Bộ ba (A, f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiêu đề sau đây được thỏa
mãn:
i)Với mọi điểm M thuộc A và mọi vecto u thuộc V có duy nhất điểm N
thuộc A sao cho MN = u .
ii) Với mọi ba điểm M,N,P thuộc A ta luôn có
MN + NP = MP .

Khi đó ta nói rằng không gian afin (A, f, V) liên kết với không gian
vectơ V trên trường K và được gọi tắt là không gian afin A trên trường

K. Không gian vectơ liên kết V còn được kí hiệu là A ’, được gọi là nền
của không gian afin A.
Nếu V là không gian vectơ thực nghĩa là K = R ta nói A là một không
gian afin thực, nếu V là không gian vectơ phức nghĩa là K = C ta nói A là
một không gian afin phức. Trong giáo trình này chủ yếu ta nói về không
gian afin thực.
Không gian afin A gọi là n chiều nếu dimV = n và được kí hiệu dimA =
n hay An ( liên kết với không gian vectơ Vn).

1.2. Các ví dụ:
a) Không gian Euclide hai chiều E 2 và ba chiều E3 đã học ở trường trung
học phổ thông trung học là những không gian afin theo thứ tự liên kết
với các không gian vectơ (tự do) hai chiều V 2 và ba chiều V3 với định
nghĩa vectơ, phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số thực đã được
Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

trình bày trong sách giáo khoa phổ thông trung học. Khi đó rõ ràng ánh
xạ f thỏa mãn hai tiêu đề i) và ii) nói trên.
b) Cho V là một không gian vectơ. Ta dùng V làm tập hợp A. Khi đó các
vectơ của V được gọi là các điểm của A. Với hai vectơ a , b thuộc V ta có
ánh xạ f: V × V → V cho bởi : f( a , b ) = b - a thuộc V (vectơ b - a được
hoàn toàn xác định).
Rõ ràng ánh zạ f được xác định như trên thỏa mãn hai tiêu đề i) và ii)

nên V trở thành không gian afin liên kết với V trở thành không gian afin
liên kết với V.
c) Cho tập hợp Rn trong đó mỗi phần tử của nó là một bộ số thực có thứ
tự mà ta sẽ gọi là những điểm và không gian vectơ V n mà mỗi vectơ x
của nó sẽ tương ứng với một bộ số thực (x 1,x2,…,xn) với xi ∈ R. Ánh xạ f
được xác định như sau: với hai điểm A = (a 1,a2,…,an) và B(b1,b2,…,bn) của
Rn ta cho đặt tương ứng với một vectơ (b 1 – a1, b2 – a2,…, bn – an) của Vn
thì ta dễ dàng chứng minh được Rn là một không gian afin n – chiều.
2. Không gian Euclide:
2.1. Định nghĩa:
Không gian Euclide là không gian afin liên kết với không gian vectơ
Euclide hữu hạn chiều. Không gian Euclide thường được ký hiệu là E.
. Không gian vectơ liên kết với nó thường được ký hiệu là VE hoặc là E .
. Không gian Euclide được gọi là n chiều kí hiệu là E n nếu không gian
vectơ
Euclide liên kết với nó có số chiều bằng n.
2.2. Các ví dụ:
1. Không gian Euclide ba chiều thông thường được học trong chương
trình toán ở phổ thông được ký hiệu là E 3. Trong không gian này, mặt
Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 23


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

phẳng Euclide là không gian Euclide 2 chiều được ký hiệu là E 2. Các
không gian E 3 và E 2 là các không gian vecto tự do ba chiều và hai

chiều. Tích vô hướng trong không gian E 3 và E 2 được định nghĩa như
sau:

a . b =| a |.| b |.cos( a , b )
Trong đó | a |, | b | là độ dài các vectơ a , b còn ( a , b ) là góc giữa 2
vectơ a , b .
2. Trong mô hình số thực của Vn nếu ta định nghĩa tích vô hướng của 2
vectơ

a =( a1,a2,…,an) và b =(b1,b2,…,bn) là số thực a1b1+a2b2 + …+ anbn

thì mô hình đó trở thành không gian vectơ Euclide n chiều. khi đó không
gian afin liên kết với không gian vectơ Euclide VnE đó là không gian En.
3. Nếu En là không gian Euclide liên kết với không gian vectơ Euclide E n
thì mỗi cái phẳng α của nó cũng là 1 không gian Euclide liên kết với
không gian vectơ Euclide α E mà tích vô hướng trong

α E được cảm sinh

bởi tích vô hướng của E n .
4. Xét không gian con n – chiều của Rn+1.
n
* Đặt R 0 = {( a1 , a 2 ,..., a n ,0) / ai ∈ R, i = 1, n} .

n
n
n
Xét ánh xạ f : R 0 × R 0 → R 0

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 24


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
n

n
( x , y )  f( x , y ) = x . y = ∑ai bi ; x =(a1,a2,…,an,0) ∈ R 0 ,
i =1

n
y =(b1,b2,…,bn,0)∈ R 0 .

n

Chứng minh: R 0 là 1 không gian vectơ Euclide n – chiều.
∀

•

x = (a1 , a 2 ,..., a n ,0), y = (b1 , b2 ,..., bn ,0), z = (c1 , c2 ,..., cn ) ∈ R0n
f( x + x ' , y ) = (a1 + a1’) b1 + (a2 + a2’)b2 + … +(an + an’) bn = a1b1 +

a1’b1 + a2b2 + a2’b2 + … + anbn + anbn’ = (a1b1 + a2b2 + … + anbn) + (a1’b1 +
a2’b2 +… +an’bn) = f( x , y ) + f( x ' , y ).
•

f( x , y + y ' ) = a1(b1 + b1’) + a2(b2+b2’) + … + an(bn + bn’) = a1b1 +

a1’b1 + a2b2 + a2’b2 + … + anbn + anbn’ = (a1b1 + a2b2 + … + anbn) + (a1’b1 +
a2’b2 +… +an’bn) = f( x , y ) + f( x ' , y ).
•

f( α x , y ) = α a1b1 + α a2b2 + … + α anbn = α (a1b1 + a2b2 + … + anbn)

= α f( x , y ).
•

f( x , α y ) = a1b1 α + a2b2 α + … + anbn α = (a1b1 + a2b2 + … + anbn) α

=
f( x , y ) α .
⇒ f( x ,

•

y ) là dạng song tuyến tính đối xứng.

f( x , x ' ) = a1a1 + a2a2 + … + anan =a12 + a22 + … + an2 〉 0.

⇒ f( x ,

y ) là tích vô hướng.

⇒ R 0n là 1 không gian vectơ Euclide n – chiều.

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 25