MỘT số bài TOÁN về KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN
Giáo viên: Phùng Thế Bằng
Đơn vị: Trường THPT Tam Dương II.
Môn: Toán

Phần I

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán THPT bài toán về khoảng cách trong không gian
giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại
học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần
đây. Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có
trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đây là mảng
kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên.
Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh phương pháp giải một số
bài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian nên tôi đã lựa chọn
chuyên đề: “Một số bài toán về khoảng cách trong không gian”. Hi vọng đề tài
sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và cũng là tài liệu tham khảo tốt
cho bạn bè, đồng nghiệp.

1


Phần II
NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm M và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của M trên ∆. Khi đó
khoảng cách giữa hai điểm M và H được gọi là khoảng cách từ điểm M đến

đường thẳng ∆. Kí hiệu d (M , D)

M

H
* Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ ta có thể
+ Xác định hình chiếu H của M trên ∆ và tính MH
+ Áp dụng công thức
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm M và mặt phẳng (α). Gọi H là hình chiếu của M trên (α). Khi đó
khoảng cách giữa hai điểm M và H được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng (α). Kí hiệu d (M ,(a))
M

H
(α)

* Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) ta có thể sử dụng
một trong các cách sau:
Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của M
trên (α) và tính MH
(β)
* Phương pháp chung.
M
- Dựng mặt phẳng (P) chứa M và vuông góc với
(α)
- Tìm giao tuyến ∆ của (P) và (α)
H
(α)
- Kẻ MH ⊥ ∆ (H Î D ). Khi đó d (M ,( a)) = MH .

2


* Đặc biệt:
+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy.
+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc
hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy.
+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao
tuyến của hai mặt bên này.
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng
nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân
đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.
Cách 2. Sử dụng công thức thể tích
1
3V
. Theo cách này, để tính
S .h Û h =
3
S
khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Thể tích của khối chóp V =

Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh
Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh M trên một đường
thẳng đến một vị trí thuận lợi M ' , ta quy việc tính d (M ,(a)) về việc tính
d (M ',(a)) . Ta thường sử dụng những kết quả sau:
Kết quả 1. Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈ ∆ thì
d (M ;( a)) = d (N ;( a))
M

N

M'

N'

(α)

Kết quả 2. Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N
không trùng với I) thì
d (M ;( a)) MI
=
d (N ;(a))
NI
M
N
I
(α)

3


1
* Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì d (M ;( a)) = d (N ;( a)) , nếu I
2
là trung điểm của MN thì d (M ;( a)) = d (N ;( a))
Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O
(OA ^ OB ,OB ^ OC ,OC ^ OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng

(ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức
1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA
OB
OC 2
Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các
công thức sau:
A x 0 + By 0 + Cz 0 + D
d (M ;( a)) =
với M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ,
2
2
2
A + B +C
(a) : A x + By + Cz + D = 0
uuur r
é
ù
MA

ê ,uú
r
d (M , D) = ë r û với ∆ là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u
u
r ur uuur
é ù
êu , u 'ú.A A '
d ( D, D ') = ë r ûur
với D, D ' lần lượt là đường thẳng đi qua A , A ' và có vtcp
é ù
êu, u 'ú
ë û
r ur
u, u '
3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó.
Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng ( α). Khoảng cách giữa
đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đến
mặt phẳng (α). Kí hiệu d ( D,(a))
* Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) được
quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm
bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu d ((a);( b))
* Nhận xét: Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về
việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng ∆ cắt cả a và b đồng
thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
4

Đường vuông góc chung ∆ cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi
là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu d (a, b) .
* Nhận xét: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như
sau:
+ Tìm H và K từ đó suy ra d (a, b) = HK
+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó
d (a, b) = d (b,(P ))
+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó
d (a, b) = d ((P ),(Q ))
+ Sử dụng phương pháp tọa độ
* Đặc biệt
- Nếu a ^ b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta
tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó
d (a, b) = IH
- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung
điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

5


B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ
I. Phương pháp tính trực tiếp
Ví dụ 1: Cho hình chóp S .A BCD có đáy A BCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính A D = 2a và có cạnh SA vuông góc mp ( A BCD ) ,
với SA = a 6 . Tính khoảng cách từ A đến mp ( SCD ) .
Lời giải:
Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có
AD//BC, AB = BC = CD = a

AC ^ CD, AB ^ BD , AC = BD = a 3
ïï
CD ^ A C ü
Ta có
ý Þ CD ^ mp(SAC)
CD ^ SA ïï
ïþ
Kẻ AH ^ SC tại H ta có AH ^ CD
Nên AH ^ mp(SCD). Vậy AH = d ( A ;(SCD ))

S

H
A

Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao

D

F

E

1
1
1
1
1
1
=

+
=
+
= 2
Do đó
2
2
2
2
2
AH
SA
AC
(a 6)
(a 3)
2a

B

C

Þ A H 2 = 2a 2 Þ A H = a 2
Ví dụ 2: (Đề thi ĐH khối D - 2012) Cho hình hộp đứng A BCD .A ' B 'C ' D ' có
đáy là hình vuông, tam giác A ' A C vuông cân, A 'C = a. Tính thể tích khối tứ
diện A BB 'C ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCD ') theo a.
Lời giải:
* Tích thể tích: V = a

3

D'

2

18
* Tính khoảng cách: Gọi H là chân đường cao kẻ từ
A của D A ' A B . Ta có
A H ^ A ' B Þ A H ^ ( A ' BC ) , nghĩa là
AH ^

( B CD ') . Do đó A H

(

1
1
1
6
=
+
= 2 . Do đó
2
2
2
AH
AB
AA '
a
a 6
d A , ( BCD ') = A H =

6

(

A'

)

= d A, ( BCD ') .

Ta có

C'

B'

D

A

H
C

B

)

Ví dụ 3. (Đề thi ĐH khối A - 2010).
6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng DM và SC theo a.
Lời giải:
·
Ta có: D MA D = D NCD Þ A· DM = DCN
Þ MD ^ NC
Do SH ^ ( A BCD ) Þ MD ^ SH
MD ^

( SHC )

S

Kẻ HK ^ SC ( K Î SC )
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung
của DM và SC nên
d ( DM , SC ) = HK
K

Ta có:
CD 2
2a
HC =
=
CN
5
HK =

SH ×HC
2

SH + HC

Vậyd ( DM , SC ) =

N

A

2

=

2 3a
19

D
H

M

×

C

B

2 3a
19

II. Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích.
Ví dụ 4. (Đề thi ĐH khối A – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác
vuông tại A, A· BC = 30o , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông
góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C
đến mặt phẳng (SAB).
S

Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC, suy ra
SH ^ BC . Mà (SBC) vuông góc với
(ABC) theo giao tuyến BC, nên
SH ^ ( A BC ) .
Ta có BC = a, suy ra SH = a 3 ;
2
a
A C = BC sin 30o = ;
2

I

B

A

H
C

7


1
a3
a 3 . Do đó
.
V S .A BC = SH .A B .A C =
A C = BC cos 30 =
6
16
2
Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên HA = HB. Mà
SH ^ ( A BC ) , nên SA = SB = a. Gọi I là trung điểm của AB, suy ra SI ^ A B .
o

2
3V
a 39
Do đó SI = SB 2 - A B = a 13 . Từ đó d C , ( SA B ) = S .A BC =
.
S
13
4
4
D SA B
Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SAB) được tính thông qua thể
tích V S .A BC được tính ở phần trước và diện tích của tma giác SAB.

(

)

Ví dụ 5. (Đề thi KSCLĐH khối A lần 2 – Vĩnh Phúc năm 2014).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, A D = BC =

a 13
,
4

3a
, mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam
2
giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng
(ABCD) một góc 30o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
giữa SI và CD.
A B = 2a, CD =

Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của S trên CD, khi đó SH là
đường cao của hình chóp S.ABCD. Gọi M là
trung điểm của AI khi đó SM ^ A B mà
SH ^ A B , từ đó suy ra MH ^ A B . Ta có:
A B - DC
a
AE =
=
2
4
a 3

Þ MH = DE = A D 2 - A E 2 =
2
3a
Mặt khác: MB =
, từ đó
2
HB = MB 2 + MH 2 = a 3 .
·
Theo giả thiết ta có SBH
= 30o , do vậy
SH = BH t an 30o = a .
Diện tích hình thang ABCD là
( A B + CD ) MH 7a 2 3 .
S A BCD =
=
2
8

S

I

A

30°

M
D

A

H

E M

D

H

B

C

I

B

C

1
7a 3 3
Do đó thể tích khối chóp S.ABCD là V = S A BCD .SH =
.
3
24
8


(

)

(

)

Do CD//AB Þ d ( CD , SI ) = d CD , ( SA B ) = d C , ( SA B ) =

3V SA BC
S D A BC

.

1
1
1
a3 3
Trong đó V SA BC = SH .S D A BC = SH . A B .MH =
,
3
3
2
6
1
1
a2 7
và S D A BC = A B .SM = A B . SH 2 + MH 2 =
2
2
2

a 21
Do vậy Þ d ( CD , SI ) =
.
7
Nhận xét: Ta có thể tính d ( CD, SI ) = d H , ( SA B ) = HK , trong đó K là hình

(

chiếu của H trên SM. Thật vậy do A B ^

)

( SMH ) Þ

A B ^ HK , suy ra

HK ^ ( SA B ) . Mà tam giác SHM vuông tại H, do vậy
1
HK 2

=

1
SH 2

+

1
MH 2

Þ HK =

a 7
a 21
.
Þ d ( CD , SI ) =
21
7

Ví dụ 6.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng
(AMN).
Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC
hay AMNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ
P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích
S
của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P
đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ
C đến (SAB).
Lời giải:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó
M
N
SO ⊥ (ABCD).
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên
1
1
a2 7 .
S A MN = S A NS = S A BS =

2
4
16
Do PC // (AMN)
Þ d ( (P ,(A MN ))) = d ( (C ,(A MN ))) .

D

P
C

A

O
B

Vậy:

9


1
1 1
S A MN .d ( (P ,(A MN ))) = . S A BS .d ( (C ,(A MN )))
3
3 4
1
1
1 1
= V C .A BS = V S .A BC = . S A BC .SO .

4
4
4 3
1
a 6.
S A BC = a 2, SO = SA 2 - A O 2 =
2
2
3
1
1
a
6 Þ d (P ,(A MN )) = 3V PA MN = a 6 .
2 a 6
Vậy V A MNP = . a .
(
) S
=
7
12 2
2
48
A MN
Nhận xét: Ta có thể tính khoảng cách từ P đến (SAB) như sau:
d P , ( SA B ) = d , ( SA B ) = 2d O , ( SA B ) = 2d .

V P .A MN =

(

)

(

)

(

)

Do OA, OB, OS đôi một vuông góc nên

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
d
OA
OB
OS 2

Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông
góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
của A trên SB, SD. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK).

Phân tích. Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một
mặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác
AHK cân nên ta tính được diện tích của nó.
Lời giải:
S
1
Cách 1: V OA HK = S A HK .d O , ( A HK )
3
Trong đó:

(

)

G

J

K

I
D

H
A
O

C

B

1
1
1
3
a 6
;
=
+
= 2 Þ AH =
2
2
2
3
AH
AB
AS
2a
a 6
D SA D = D SA B Þ A K = A H =
3
Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD.
AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên

10


HK
SG
2

2
2 2a . Tam giỏc AHK cõn tai A, G l trung
=
= ị HK = BD =
BD
SO
3
3
3
2
2 1
1
2a
im ca HK nờn AG HK v A G = A I = . SC = .2a =
3
3 2
3
3
1
1 2a 2 2a
2 2a 2
S A HK = A G .HK = . .
=
.
2
2 3
3
9
1
1

1
V OA HK = V A OHK = d A ; ( OHK ) .S DOHK = d A ; ( SBD ) .S D OHK = h .S DOHK
3
3
3
T din ASBD vuụng ti A nờn:

(

)

(

)

1
1
1
1
5
a 10
=
+
+
=
ị
h
=
5
h2

A S 2 A B 2 A D2
2a 2
Tam giỏc OHK cõn ti O nờn cú din tớch S bng
1
1 a 10 2 2a
S = OG .HK = .
.
=
2
2 6
3

(

)

ị d O ; ( A HK ) =

3V OA HK
S A HK

5a 2
1
2a 3
ị V OA HK = Sh =
9
3
27

2a 3

3ì
27 = a
=
2
2 2a 2
9

2
Cỏch 2: Ta chng minh V OA HK = V SA BD
9
2
1
Ta cú: HK = BD ;OG = SO
3
3
1
1 2
2
ị S OHK = HK ìOG = ì BD ìSO = S SBD
2
2 9
9
2
2 1
1
a3 2
ị V A OHK = V SA BD = ì SA ì A B ìA D =
9
9 3
2

27
Cỏch 3: Gii bng phng phỏp ta nh sau:
Chn h ta Oxyz sao cho O' A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2 ).
ổ 2a a 2 ử
ổ
ổ
2a a 2 ử
a a ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
;
0;
; ; 0ữ
ỗ
Tớnh SH, SK suy ra ta ca H ỗ0; ;
,
K
,
O
ữ
ữ
ỗ

ữ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
3 ứ
ữ ỗ
ữ ố2 2 ứ
ố 3 3 ứ
ố3
1 ộuuur uuur ựuuur
p dng cụng thc V = ờA H , A K ỳ.A O
ỷ
6 ở
Cỏch 4: SC (AHK) nờn chõn ng vuụng gúc h t O xuụng (AHK) cú th
xỏc nh c theo phng SC.
* AH SB, AH BC (do BC (SAB)) AH SC
Tng t AK SC. Vy SC (AHK)
11


* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC
⇒ OJ ⊥ (AHK).
SA = AC = a 2 ⇒ ∆SAC cân tại A ⇒ I là trung điểm của SC.
Vậy OJ =

1
1
1

a
IC = SC = .2a = .
2
4
4
2

III. Phương pháp trượt đỉnh.
Ví dụ 8. (Đề thi ĐH khối B - 2013).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ^ AB và

S

a 3 Mà (SAB) vuông góc với (ABCD)
.
2
theo giao tuyến là AB, nên SH ^ ( A BCD ) .
SH =

I
A

D

3
H

Do đó V S .A BCD = 1 SH .S A B CD = a 3 .
K
3
6
B
C
H Î AB
Do AB // CD và
nên
d A , ( SCD ) = d H , ( SCD ) . Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu

(

)

(

)

vuông
góc
của
H
trên
SK.
Ta
có
SH ^ CD Þ CD ^ ( SHK ) Þ CD ^ HI Þ HI ^ ( SCD ) .

(

)

Do đó d A , ( SCD ) = HI =

SH .HK
SH 2 + HK 2

=

HK ^ CD mà

a 21
.
7

1
Nhận xét: Có thể tính d A , ( SCD ) thông qua thể tích V SA CD = V S .A BCD và diện
2
1
tích tam giác S D SCD = SK .CD .
2
Ví dụ 9. (Đề thi ĐH khối A – 2012)
Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên
(ABC) là H nằm trên AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60.
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
theo a.
Lời giải:

(

)

12


·
Ta có SCH
là góc giữa SC và (ABC), suy ra
·
SCH
= 60o. Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Ta
có:

a
a 3
a 7
HD = , CD =
, HC = HD 2 + CD 2 =
6
2
3
a 21
SH = HC . t an 60o =
.
3
1
a3 7
V S .A BC = .SH .S D A BC =
.

3
12
Kẻ Ax // BC. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu của H trên Ax và SN. Ta có BC //
3
3
(SAN) và BA = HA Þ d ( SA , BC ) = d B , ( SA N ) = d H , ( SA N ) .
2
2
Mặt khác A x ^ ( SHN ) Þ A x ^ HK .

(

(

)

( SA N ) Þ d ( H , ( SA N ) ) = HK . Ta có:

Do đó HK ^
AH =

)

2a
a 3
SH .HN
a 42
, HN = A H sin 60o =
, HK =
=

.
3
3
12
SH 2 + HN 2

Vậy d SA , BC = a 42 .

(

)

8
2
Nhận xét: Do BA = HA và có thể xác định được hình chiếu của H trên
3
mp(SAN) (Ta thường chọn chân đường cao) nên ta tính được d B , ( SA N ) qua

(

(

)

)

d H , ( SA N ) .
Ví dụ 10. (Đề thi ĐH khối B - 2011).
Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật A B = a,
A D = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng

với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng
600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt
phẳng (A1BD) theo a.
13


Phân tích. Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 về vị trí thuận lợi C và quy việc
tính d B 1; ( A1BD ) thành tính d C ; ( A1BD )

(

)

(

)

Lời giải:
* Gọi O là giao điểm của AC và BD
Þ A1O ^ ( A BCD )

B1

Gọi E là trung điểm AD
Þ OE ^ A D & A1E ^ A D

C1

A1

D1

Þ A· 1EO = 600
a 3
A1O = OE . t an A· 1EO =
2
2
S A BCD = a 3

B

O

3a 3
=
2

V lt = A1O .S A BCD

(

C

K

H
A

E

D

)

* Tính d B 1; ( A1BD ) :
Cách 1:
Do B1C // (A1BD)
Þ d B 1; ( A1BD ) = d C ; ( A1BD )

(

)

(

)
CH ^ BD Þ CH ^

Hạ

(

)

Þ d C ; ( A1BD ) = CH =

CB .CD
CB 2 + CD 2

=

( A BD )
1

a 3
2

Cách 2:

(

)

(

)

(

)

d B 1; ( A1BD ) = d C ; ( A1BD ) = d A ; ( A1BD ) =

3V A A BD
1

S A BD
1

3

1
a
Trong đó: V A A BD = V lt =
1
6
4
1
1 a 3
a2 3
S D A BD = A1O .BD = ×
×2a =
1
2
2 2
2
3
a
3×
4 =a 3
Þ d B 1; ( A1BD ) =
2
a2 3
2
Ví dụ 11.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a,
SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).

(

)

14


b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).
Phân tích: Do OA Ç ( SBC ) = C , nên thay vì việc tính d O , ( SBC ) ta đi tính

(

(

)

)

(

)

d A , ( SBC ) , tương tự như vậy ta có thể quy việc tính d G , ( SA C ) thông qua

(

)

(

việc tính d E , ( SA C ) hay d B , ( SA C )

)

Lời giải:
a) Ta có: OA Ç ( SBC ) = C nên:

(
) = OC = 1
AC
2
d ( A , ( SBC ) )
1
Û d ( O , ( SBC ) ) = d ( A , ( SBC ) )
2
d O , ( SBC )

S

Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:
ìï A H ^ SB
ï
Þ A H ^ ( SBC )
í
ïï A H ^ BC
î
Trong tam giác vuông SAB có:

G

H

A

D

F
E

O
C

B

1
1
1
4
a 3
=
+
=
Û
A
H
=
2
AH2
SA 2 A B 2
3a 2
1

1
a 3
Þ d O , ( SBC ) = d A , ( SBC ) = A H =
2
2
4
b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.
Do EG Ç ( SA B ) = S nên

(

)

(
) = GS
ES
d ( E , ( SA C ) )
d G , ( SA C )

(

=

)

2
2
Û d G , ( SA C ) = d E , ( SA C )
3
3

ìï BO ^ A C
ï
Þ BO ^
Ta có: í
ïï BO ^ SA
î

(

)

(

)

( SA C ) ; BE Ç ( SA C ) = A

1
1
a 2
Þ d E , ( SA C ) = d B , ( SA C ) = BO =
2
2
4
2 a 2 a 2
Þ d G , ( SA C ) = ×
=
3 4
6

(

)

(

)

(

)

IV. Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông
1. Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh
đó đều là góc vuông.
15


2. Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OA ^ OB ,OB ^ OC

,OC ^ OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó
đường cao OH được tính bằng công thức
1
1
1
1
=
+
+

OH 2 OA 2 OB 2 OC 2
A
Chứng minh:
Giả sử A H Ç BC = D ,
OH ^ (A B C ) Þ OH ^ BC (1)
H
OA ^ OB ,OA ^ OC Þ OA ^ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC ^ OD . Trong các tam
giác vuông OAD và OBC ta có
O
C
1
1
1
1
1
1
=
+
,
=
+
D
OH 2 OA 2 OD 2 OD 2 OB 2 OC 2
B
1
1
1
1
Vì vậy

=
+
+
OH 2 OA 2 OB 2 OC 2
Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh
của tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên.
Ví dụ 12. Cho lăng trụ đều A BC .A ' B 'C ' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của A A ' và B B ' . Tính khoảng cách giữa B ' M và CN
Phân tích: Để tính khoảng cách giữa B ' M và CN
ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với
B ' M , tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
về việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông.

A'

C'

B'
M

D

N

Lời giải:
Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì C
OACD là tứ diện vuông tại O. A MB ' N là hình
O

bình hành Þ NA / / B ' M . Mặt phẳng (ACN) chứa
B
CN và song song với B ' M nên
d (B ' M ,CN ) = d (B ' M ,(A CN )) = d (B ',(A CN )) = d (B ,(A CN ))
= 2d (O ,(A CD )) = 2h.
Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được

A

1
1
1
1
64
a 3
. Vậy d (B ' M ,CN ) = a 3
=
+
+
= 2 Û h=
2
2
2
2
8
4
h
OA
OC
OD

3a
Ví dụ 13. Cho hình lập phương A BCD .A ' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M là
trung điểm của DD ' . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A ' D .
Lời giải:
16


Gọi N là trung điểm của B B ' thì
A ' NCM là hình bình hành nên
A ' N / / CM . Mặt phẳng ( A ' ND )
chứa A ' D và song song với CM nên
d (CM , A ' D ) = d (CM ,(A ' ND ))
= d (M ,(A ' ND )) = d (M ,(A ' DE ))
với E = A B Ç A ' N . Gọi
O = A D 'Ç A ' D , G = A D 'Ç A M

D'

A'

C'

B'

M
O
G

N

D

C

thì G là trọng tâm của tam giác
A
B
A DD ' . Do đó
d (M ,(A ' DE )) GM
1
=
= .
d (A ,(A ' DE ))
GA
2
Tứ diện A A ' DE vuông tại A nên
1
1
1
1
9
2a
=
+
+
= 2 Þ d (A ,(A ' DE )) =
.
2
2
2

2
3
d (A ,(A ' DE )) A A '
AD
AE
4a

E

1
a
Vậy d (CM , A ' D ) = d (M ,(A ' DE )) = d (A ,(A ' DE )) =
2
3
V. Sử dụng phương pháp tọa độ.
* Phương pháp:
Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.
Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ
Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình
học.
Ví dụ 14.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh B’B, CD và A’D’. Tính khoảng cách giữa cặp đường
thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’ (I là tâm của đáy ABCD).
Lời giải:
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ là A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và
tia Oz chứa AA’. Khi đó:
z
A ( 0; 0; 0) , B ( 1; 0; 0) ,C ( 1;1; 0) , D ( 0;1; 0)
P

A'
D'

A ' ( 0; 0;1) , B ' ( 1; 0;1) , C ' ( 1;1;1) , D ' ( 0;1;1)

Suy ra
uuuur
uuuur
A ' B = ( 1; 0; - 1) , B ' D = ( - 1;1; - 1)
uuuur uuuur
é
ù
Þ êA ' B , B ' D ú= ( 1;2;1) .
ë uuuuur û
Lại có A ' B ' = ( 1; 0; 0) nên

C'

B'

M

D

A
I

B

y

N
C

x

17


uuuur uuuur uuuuur
ộ
ự
ờA ' B , B ' D ỳ.A ' B '
1
ỷ
d ( A ' B , B ' D ) = ở uuuur uuuu
=
.
r
ộ
ự
6
ờA ' B , B ' D ỳ
ở
ỷ
uuur ổ 1 ử
ổ1 ữ
ử ổ
ử uur ổ 1
ử uuuur

1 1 ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ.
, I ỗ ; ; 0ữ
ị IP = ỗ- ; 0;1ữ
, A C ' ( 1;1;1) , A P ỗ
ỗ0; ;1ữ
Ta li cú: P ỗ0; ;1ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ2 2 ữ
ỗ 2
ỗ 2 ữ
ố 2 ữ
ứ ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
uur uuuur uuur
ộ
ự

ờIP , A C 'ỳ.A P
14
ở
ỷ
=
.
Suy ra d ( PI , A C ') =
uur uuuur
ộ
ự
28
ờIP , A C 'ỳ
ở
ỷ
Vớ d 15.
Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh bng 1. Mt mt phng ( a ) bt kỡ i
qua ng chộo BD. Tớnh khong cỏch gia hai mt phng (ACD) v (ABC)
Phõn tớch: Vi mt hỡnh lp phng ta
luụn chn c mt h to thớch hp,
khi ú to cỏc nh ó bit nờn vic
tớnh khong cỏch gia hai mt phng
(ACD) v (ABC) tr nờn d dng. Vi
phn b, ta quy vic tớnh din tớch thit
din v vic tớnh khong cỏch t M n
ng thng DB.
Li gii.
Chn h to sao cho gc to
O D ' ( 0; 0; 0)

A

z

N

B

C

D
H
y
A'

B'

x
D'

M

C'

A ' ( 0;1; 0) , B ' ( 1;1; 0) , C ' ( 1; 0; 0) , A ( 0;1;1) , C ( 1; 0;1) Gi M l im bt kỡ trong
on thng CD, tc M ( x ; 0; 0) ; 0 Ê x Ê 1
a) D dng chng minh c (ACD) // (ABC)
ị d ( A CD ') , ( A ' BC ') = d A ', ( A CD ')

(

)

(

)

Mt phng (ACD) cú phng trỡnh: x + y - z = 0
1
ị d ( A CD ') , ( A ' BC ') = d A ', ( A CD ') =
3
Vớ d 16.
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a.
SA ^ ( A BCD ) , SA = a . Gi M l im di ng trờn cnh CD. Xỏc nh v trớ
ca M khong cỏch t im S n BM ln nht, nh nht.

(

)

(

)

18


Lời giải.
Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho
O º A ( 0; 0; 0) , B ( 1; 0; 0) , C ( 1;1; 0) , D ( 0;1; 0) ,

z
S

S ( 0; 0;1) .
M là điểm di động trên CD nên M ( t ;1; 0) với
uuur
0 £ t £ 1 . BM = ( t - 1;1; 0)
uur uuur
é
ù
êSB , BM ú
t 2 - 2t + 3
ë
û
d ( S , BM ) =
= 2
uuur
t - 2t + + 2
BM
Xét hàm số f ( t ) =

t 2 - 2t + 3
t 2 - 2t + 2

Ta có bảng biến thiên:
- ¥
t
f’(t)
+

trên [0;1], f ' ( t ) =

A O

D

B

C

x

- 2 ( t - 1)

(

y

)

t 2 - 2t + 2

0

2

.

+¥

1
+

2

f(t)
3
2
3
, đạt được khi t = 0
2
ê0;1û
ú
ë
max
f ( t ) = 2 , đạt được khi t = 1
é ù

f (t) =
Từ bảng biến thiên ta có min
é ù
ê
ë0;1ú
û

Do đó d ( S , MB ) lớn nhất khi M º C & d ( S , BM ) = 2
d ( S , MB ) nhỏ nhất khi M º D & d ( S , BM ) =

3
2

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. (Đề thi ĐH khối D – 2013).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
· D = 120o , M là trung điểm của cạnh BC và SMA
·
mặt phẳng đáy, BA
= 45o.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
(SBC).
Bài 2. (Đề thi ĐH khối D – 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;
mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = SB = 2a 3 và
19


·
SBC
= 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (SAC) theo a.
Bài 3.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc
· D = 600 . Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a 3 .
BA
a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD.
Bài 4. Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB
= OC = 1 . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh A B ,OA . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng OM và CN.
Bài 5. (Đề thi ĐH khối A - 2011).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a;
hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là
trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp
S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 6. (Đề thi ĐH khối D - 2008).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,
cạnh bên AA' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
Bài 7. (Đề thi ĐH khối D - 2009).
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB =
a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm
của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm
đến mặt phẳng (IBC).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
· D = 600 , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
BA
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc
với mp(ABCD), SA= a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách
từ G đến mp(SAC).
Bài 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1 B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là
trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng BM và B1C.
Bài 11. (Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm
trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết
khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a.
Bài 12. (Đề thi thử ĐH - 2012 -THPT Nguyễn Đức Cảnh -Thái Bình)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AB=BC=a, AD=2a, các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy.
Biết góc tạo bởi (SAB) và (ABCD) bằng 60. Tính thể tích khối chóp và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a.
20


Bài 13. (Đề thi thử ĐH-2013-THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh)
Cho hình chóp S.ABCD có SA = a và SA vuông góc với mặt đáy. Biết ABCD là
thang vuông tại A và B, AB=a, BC=2a và SC vuông góc với BD. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a với M
là trung điểm của BC.
Bài 14. (Đề thi thử ĐH khối D 2014 -Vĩnh phúc)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = a,
BC = a, AD = 2a. Đường thẳng SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa
mp(SCD) và mp(ABCD) bằng 60o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SCD).

21


Phần III
KẾT LUẬN
Chuyên đề đã rút ra được một số phương pháp tính khoảng cách trong hình
học không gian. Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giải
toán của học sinh THPT. Hy vọng với kết quả nhỏ này sẽ bổ sung được phần nào
kiến thức cơ bản cho học sinh, giúp các em nhận thức đầy đủ và rèn luyện tốt kỹ
năng giải các bài toán khoảng cách trong hình học không gian.
Với kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những
thiếu sót nên tác giả mong muốn nhận được nhiều ý kiến đóng góp của bạn bè

đồng nghiệp để chuyên đề hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn!

22