một số ứng dụng của toán trong kinh tế

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ
1.1. Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu:
Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một
năm, h là chi phí lưu kho cho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí
cho mỗi chuyến đặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng
( kích thước của mỗi lô hàng ). Ta xem n, h, p là những hằng số, còn Q là
biến số, lúc này tổng chi phí trong một năm của cửa hàng đối với loại hàng
hóa trên là hàm số C ( Q ) bao gồm 2 loại chi phí: chi phí lưu kho và chi phí
cho các chuyến hàng.
Q
.h
■ Chi phí lưu kho:
2
n
.p
■ Chi phí cho các chuyến hàng:
Q
Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gởi trong
kho là $ 10 một cái trong một năm. Để đặt hàng, chi phí cố định là $20, cộng
thêm $9 mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và
mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ?
Giải
Ta có: n = 2500, h = 10.
Gọi Q là số tivi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần. Khi đó: Q ∈ [ 1;2500 ] .
Q
Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là . Do đó, chi phí lưu kho
2
Q
mỗi năm là 10. = 5Q
(1)
2

2500
Số lần đặt hàng mỗi năm là:
. Do đó, chi phí đặt hàng mỗi năm là:
Q
2500 50000
(20 + 9Q)
=
+ 22500
(2)
Q
Q
Từ (1) và (2) suy ra chi phí của cửa hàng là:
50000
C(Q) = 5Q +
+ 22500
Q
50000
Ta có : C′ ( Q ) = 5 −
Q2


 Q = 100
C′ ( Q ) = 0 ⇔ 5Q 2 = 50000 ⇔ Q 2 = 10000 ⇔ 
 Q = −100
Vì Q∈ [ 1;2500 ] nên ta loại Q = - 100
100000
C ( Q ) = C ( 100 ) = 23500
C′′ ( Q ) =
> 0 với Q>0 nên Q∈min
3

1;2500]
[
Q
2500
= 25 .
Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là
100
Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi
năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi.
Ví dụ: Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000
sản phẩm, chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là $2, chi phí cho mỗi
chuyến đặt hàng là $10. Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của
cửa hàng là nhỏ nhất.
1.2. Ý nghĩa của đạo hàm:
Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm y = f(x) ( chẳng hạn x là
giá của một loại hàng hóa và y là số lượng hàng đó bán ra ). Trong
thực tế người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến y tại x 0 khi
x thay đổi một lượng nhỏ ∆x .
Lượng thay đổi của y khi x thay đổi một lượng ∆x là:
∆y = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x trong khoảng từ x0 đến x0 + ∆x là:
∆y
∆x
Tốc độ thay đổi tức thời của y theo x tại điểm x0 là:
f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )
∆y
lim
=
lim
= f ′( x 0 )

∆x → 0
∆x ∆x →0
∆x
∆y
≈ f ′ ( x 0 ) hay ∆y ≈ f ′ ( x 0 ) ∆x
Khi ∆x khá nhỏ thì
∆x
Vậy x thay đổi một lượng ∆x thì y thay đổi một lượng xấp xỉ bằng
f ′ ( x 0 ) ∆x ( chẳng hạn giá thay đổi một lượng ∆x thì số hàng bán ra thay
đổi một lượng là f ′ ( x 0 ) ∆x )
Ví dụ: Hàm cầu của một loại sản phẩm là P = 50 − Q 2 . Tìm tốc độ thay đổi
giá khi lượng cầu Q thay đổi. Giá thay đổi như thế nào khi Q = 1 ?


Giải
Tốc độ thay đổi của giá P theo Q là: P′ = −2Q . Do đó: P′(1) = −2.1 = −2 .
Điều này có nghĩa là khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì giá
giảm trên một đơn vị sản phẩm là 2 đơn vị tiền.
Ý nghĩa của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ
giảm, ngược lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sản
phẩm đó sẽ tăng lên.
Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 là 1,25% / tháng thì có nhiều người mua
đất cất nhà hơn. Đến tháng 5 năm 2008 lãi suất ngân hàng là 1,75% / tháng
thì số người mua đất cất nhà sẽ giảm đi.
1.3. Giá trị cận biên:
Trong kinh tế, đại lượng đo tốc độ thay đổi của biến phụ thuộc y khi biến
độc lập x thay đổi một lượng nhỏ gọi là giá trị cận biên của y đối với x, ký
hiệu: My(x).
dy
Từ định nghĩa của đạo hàm ta có: My ( x ) = y′ ( x ) =

dx
Ta thường chọn xấp xỉ My ( x ) ≈ ∆y tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi
∆y của y khi x tăng lên một đơn vị. ( ∆x = 1)
1.3.1. Giá trị cận biên của chi phí:
Cho hàm chi phí C = C(Q). Khi đó ta gọi MC(Q) là giá trị cận biên của chi
phí. Giá trị này có thể coi là lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên một
đơn vị.
Ví dụ: Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là:
500
C = 0,0001Q 2 − 0,02Q + 5 +
Q
Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với Q sản phẩm. Áp dụng Q = 50.
Giải
Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là:
C = Q.C = 0,0001Q3 − 0,02Q 2 + 5Q + 500
dC
= 0,0003Q 2 − 0,04Q + 5
Giá trị cận biên của chi phí là: MC(Q) =
dQ


Khi

Q

=

50

thì:

dC
= 0,0003(50) 2 − 0,04(50) + 5 = 0,75 − 2 + 5 = 3,75 .
dQ
Như vậy nếu Q tăng lên một đơn vị từ 50 lên 51 thì chi phí tăng lên 3,75 đơn
vị.
MC(50) =

1.3.2. Giá trị cận biên của doanh thu:
Cho hàm doanh thu R = R(Q). Khi đó ta gọi MR(Q) là giá trị cận biên của
doanh thu.
Ví dụ: Số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe bus có quan hệ
Q = 10000 − 125P. Tìm doanh thu cận biên khi P = 30, P = 42.
Giải
−
Theo giả thiết: Q = 10000 125P
(1)
10000 − Q
⇔ 125P = 10000 − Q ⇔ P =
(2)
125
Ta có doanh thu: R = Q.P
(3)
1
10000Q − Q 2 )
Thế (2) vào (3) ⇒ R = Q.P =
(
125
1
( 10000 − 2Q )

Nên MR(Q) =
(4)
125
■ Khi P = 30. Từ (1) ⇒ Q = 10000 − 125.30 = 10000 − 3750 = 6250
1
2500
= −20
( 10000 − 2.6250 ) = −
Từ (4) ⇒ MR(6250) =
125
125
■ Khi P = 42. Từ (1) ⇒ Q = 10000 − 125.42 = 10000 − 5250 = 4750
1
500
=4
( 10000 − 2.4750 ) =
Từ (4) ⇒ MR(4750) =
125
125
1.4.

Hàm cầu và tính co giãn của cầu:

Ta gọi P là giá bán một sản phẩm và Q là số lượng sản phẩm bán được ( hay
nhu cầu về loại sản phẩm đó ). Khi đó ta có thể coi Q là hàm số với biến
số là P, và nhìn chung đây là hàm số nghịch biến vì giá bán càng cao thì
nhu cầu càng thấp và ngược lại.
Khi ta có hàm cầu: Q = f(P) ⇒ P = g(Q)
Hàm tổng doanh thu: R = PQ = g(Q).Q

Ta lấy đạo hàm của R theo biến Q và gọi nó là hàm doanh thu biên tế, ký
hiệu: MR.
Hệ số co giãn của đại lượng Q theo đại lượng P được A. Marshall đặt là:
P dQ
P
η=−
= − .Q′(P) . ( η đọc là eta) η được gọi là độ co giãn của
Q dP
Q
cầu.
Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 30 − 4P − P 2 . Tìm hệ số co giãn của cầu tại P = 3.
Giải
Hệ số co giãn của cầu là:
P
P
4P + 2P 2
′
η = −Q (P). = − ( −4 − 2P ) .
=
Q
30 − 4P − P 2 30 − 4P − P 2
30
≈ 3,3
Tại P = 3, η =
9
1.5. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế:
Nhiều bài toán về kinh tế được đưa về tìm cực trị của một hàm y = f(x).
Ta gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = PQ, hàm
chi phí

C = C(Q), hàm lợi nhuận N = R – C
Trong kinh tế ta thường gặp các bài toán sau:
■ Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa (cực đại)
■ Tìm P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa.
■ Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)
Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa
Giả sử hàm cầu theo giá bán trong một đơn vị thời gian Q = Qd = Q(P) và
hàm tổng chi phí là: C = C(Q). Tìm sản lượng Q trong một đơn vị thời gian
để lợi nhuận tối đa.
Phương pháp giải: Để hàng bán hết xí nghiệp chỉ có thể bán với giá P sao
cho Q = Q(P) ⇔ P = P(Q) . Từ đó doanh thu của xí nghiệp là
R(Q) = P(Q).Q và lợi nhuận của xí nghiệp là: N = R – C. Sản lượng Q
muốn tìm chính là Q > 0 để N đạt giá trị lớn nhất.
Q = 300 − P
Ví
dụ:
Cho hàm cầu
và
hàm
3
2
C = Q − 19Q + 333Q + 10 . Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất.

chi

phí


Giải

Ta có: P = 300 − Q
2
Doanh thu: R = PQ = (300 − Q)Q = 300Q − Q
2
3
2
Lợi nhuận: N = R − C = 300Q − Q − ( Q − 19Q + 333Q + 10 )
⇔ N = −Q3 + 18Q 2 − 33Q − 10
Q = 1
N′ = −3Q 2 + 36Q − 33 = 0 ⇔ 
Q = 11
Q
N’
N

−∞

0

−

1
0

+

11
0
474

-10
-26

−

+∞
−∞

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi Q = 11.
1.6. Định mức đánh thuế doanh thu:
Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu
trong một đơn vị thời gian Q = Q(P) và hàm chi phí sản xuất trong một đơn
vị thời gian là C = C(Q). Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí
nghiệp để thu được nhiều thuế nhất.
Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t > 0. Ta
có: Q = Q(P) ⇔ P = P(Q) .
Lợi nhuận của xí nghiệp là:
N = P(Q).Q − C(Q) − Qt
Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức Q = Q(t) để N đạt max. Do đó thuế thu được sẽ
là T = Q(t).t. Ta cần xác định t để T m a x
2
Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí: C = Q + 100Q + 10 .
a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi
nhuận và tổng thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại.
b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 40 sản phẩm thì mức thuế thu
trên mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu?
Giải
a) Ta có: Q = 300 – P ⇔ P = 300 – Q.
Doanh thu của xí nghiệp là: R = P. Q = (300 – Q)Q = 300 Q – Q2

Thuế của xí nghiệp là: Q.t
Lợi nhuận của xí nghiệp là:
2
2
N = 300 Q – Q2 – ( Q + 100Q + 10 ) – Q.t = −2Q + (200 − t)Q − 10
200 − t
N′ = −4Q + 200 − t = 0 ⇔ Q =
4
Vậy để có lợi nhuận lớn nhất xí nghiệp phải sản xuất ở mức:
200 − t
Q=
4
200 − t
t2
.t = − + 50t
Do đó thuế thu được là: T = Q.t =
4
4
t
T′ = − + 50 = 0 ⇔ t = 100
2
Vậy để Tmax ta chọn mức thuế là t = 100.
Với mức thuế t = 100 thì xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức:
200 − 100
= 25 sản phẩm trong một đơn vị thời gian.
Q=
4
b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất 40 sản phẩm thì:
200 − t

Q=
≥ 40 ⇔ t ≤ 40 . Nghĩa là cần chọn mức thuế tối đa là 40 cho một
4
đơn vị sản phẩm.
Ví dụ: Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm biết hàm tổng
P
2
chi phí C = Q + 1000Q + 100 và hàm cầu Q = 4100 − .
2
a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi
nhuận và tổng thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại.
b) Muốn công ty sản xuất ít nhất là 200 sản phẩm thì mức thuế thu
trên mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu?
Bài tập:
1.

Tìm các giá trị cận biên:
a) C = 0,1Q 2 + 3Q + 2 tại Q = 3.
3
2
b) C = 0,04Q − 0,5Q + 4,4Q + 7500 tại Q = 5.
c) R = 250Q + 45Q 2 − Q3 tại Q = 5.
60
+ ln ( 65 − P 3 )
2. Cho hàm cầu Q =
P


a) Xác định hệ số co dãn khi P = 4.
b) Nếu giá giảm 2% ( từ 4 giảm còn 3,92) thì lượng bán ra thay

đổi bao nhiêu phần trăm?
2
3
4. Doanh thu của một loại sản phẩm cho bởi R = 240Q + 57Q − Q . Tìm Q
để doanh thu đạt tối đa.
5. Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là: P = -5Q + 30. Tìm mức giá để
doanh thu đạt tối đa.
6. Một loại sản phẩm có hàm cầu là: P = 42 - 4Q và hàm chi phí trung bình
200
C = 2Q 2 − 36Q + 210 −
Q
a) Tìm mức sản xuất Q, 2 ≤ Q ≤ 10 để có chi phí tối thiểu.
b) Tìm mức sản xuất Q, 5 ≤ Q ≤ 10 để có chi phí tối thiểu.
7. Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là P = 600 - 2Q và tổng chi phí
là: C = 0,2Q 2 + 28Q + 200
a) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa. Tìm mức giá P
và lợi nhuận lúc đó.
b) Chính quyền thành phố đặt thuế là 22 đơn vị tiền cho một
đơn vị sản phẩm. Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa, tìm mức giá và
lợi nhuận trong trường hợp này.
8. Xác định lợi nhuận tối đa, khi biết các hàm tổng doanh thu R và tổng chi
phí C.
2
a) R = 1400 − 6Q , C = 1500 − 60Q
2
3
2
b) R = 4000 − 33Q , C = 2Q − 3Q + 400Q + 500
2
3

2
c) R = 4350 − 13Q , C = Q − 5,5Q + 150Q + 675
9. Xác định chi phí trung bình nhỏ nhất, nếu biết các hàm tổng chi phí là:
3
2
a) C = Q − 5Q + 60Q
3
2
b) C = Q − 21Q + 500Q