Đề thi học sinh giỏi tỉnh Long An lớp 12 vòng 2 năm 2011 - 2012 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
LONG AN
CẤP TỈNH VÒNG 2
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN THI : TOÁN
NGÀY THI : 10/11/2011
THỜI GIAN : 180 phút (không kể phát đề )
Bài 1 (4điểm)
a) Giải phương trình: x +

3x
x2 + 1

=1

a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3
+ 2
≥ a+b+c
b) Cho ba số thực dương a, b, c .Chứng minh: 2 2 + 2
2
2
b +c

c +a

a +b

Bài 2 (5 điểm)
 x1 = 1

3 xn + 4 ( n ∈ N * )

Cho dãy số thực ( xn ) với 
x
=
 n +1
xn + 1

*
*
Xét các dãy số thực ( un ) với un = x2 n −1 ( n ∈ N ) và ( vn ) với vn = x2 n ( n ∈ N )

a) Chứng minh các dãy số ( un ) , ( vn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞

b) Chứng minh các dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ và tìm giới hạn đó.
Bài 3 (5 điểm)
G, H , O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp.
a) Cho tam giác ABC cóuuur
uuur
Gọi K là điểm sao cho HK = 3HG .
Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ∆KBC , ∆KCA, ∆KAB .
Chứng minh: G1 A, G2 B, G3C đồng quy và G1 A = G2 B = G3C .

b) Trong mặt phẳng cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và điểm
M tùy ý.Tìm vị trí của M để MA + MB + MC + MD + ME ngắn nhất.
Bài 4 (3điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z sao cho: x 2012 + 2009 y 2012 = 2011 + 2012 z 2010
Bài 5 (3 điểm)
Trên mặt phẳng cho 2011 điểm sao cho với ba điểm bất kỳ trong số các điểm đó ta luôn tìm
được hai điểm để đoạn thẳng được tạo thành có độ dài bé hơn 1.Chứng minh luôn tồn tại một
hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 1006 điểm đã cho.

HẾT
(Thí sinh không được sử dụng tàiliệu-Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh………………………………..Số báo danh…………………
Giám thị 1 (ký,ghi rõ họ và tên)
Giám thị 2 (ký,ghi rõ họ và tên)