TÍNH TOÁN TỐC ĐỘ HỦY POSITRON TRONG OXIT SiO2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN ANH TUẤN

TÍNH TOÁN TỐC ĐỘ HỦY POSITRON TRONG
OXIT SiO2
Chuyên ngành: Vật lý Nguyên tử, Hạt nhân và Năng lượng cao
Mã số:
60 44 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. CHÂU VĂN TẠO

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012


MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ...........................4
DANH MỤC CÁC BẢNG..........................................................................................5
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .....................................................................6
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................7
CHƯƠNG 1 ................................................................................................................9
LÝ THUYẾT HỦY POSITRON ................................................................................9
1.1. Tổng quan lý thuyết và ứng dụng quá trình hủy positron ................................9
1.1.1. Thời gian sống của positron trong chất rắn ...............................................9
1.1.2. Quá trình hủy .............................................................................................9
1.1.3. Các ứng dụng kỹ thuật hủy positron ........................................................11

1.2. Lý thuyết positron trong môi trường khí electron đồng nhất .........................12
1.2.1. Phương trình xấp xỉ Kahana ....................................................................13
1.2.2. Biểu đồ thuyết nhiễu loạn ........................................................................14
1.2.3. Lý thuyết biến phân và phương pháp chuỗi mạng Fermi nhiều thành phần
...........................................................................................................................14
1.3. Phép xấp xỉ Monte – Carlo .............................................................................15
1.3.1. Hàm sóng .................................................................................................15
1.3.2. Năng lượng positron tương tác với hệ số tăng cường [13] ......................16
1.3.3. Hàm tương quan ......................................................................................23
1.3.4. Cực tiểu hóa phương sai ..........................................................................24
1.3.5. Tương quan mẫu ......................................................................................26
CHƯƠNG 2 ..............................................................................................................29
LÝ THUYẾT HÀM MẬT ĐỘ CHO PHÂN TỬ SiO2 .............................................29
2.1. Lý thuyết Hohenberg – Kohn .........................................................................29
2.2. Lý thuyết hàm mật độ .....................................................................................31
2.2.1. Lý thuyết hàm mật độ một thành phần ....................................................31


2

2.2.2. Lý thuyết hàm mật độ hai thành phần .....................................................33
2.3. Lý thuyết Kohn – Sham..................................................................................35
2.3.1. Hệ không tương tác..................................................................................35
2.3.2. Dạng tiệm cận của mật độ và thế năng ....................................................37
2.4. Xấp xỉ mật độ địa phương (Local density approximation - LDA) cho hàm
năng lượng tương quan – trao đổi Exc(ρ)...............................................................38
2.5. Áp dụng DFT cho phân tử SiO2 .....................................................................40
2.5.1. Cấu trúc electron trong SiO2 ....................................................................40
2.5.2. Điện tích, bán kính hiệu dụng của nguyên tử ..........................................42
2.5.3. Mật độ electron và tốc độ hủy positron ...................................................43

CHƯƠNG 3 ..............................................................................................................44
PHƯƠNG PHÁP DFT VÀ CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN .................................44
3.1. Nguyên lý biến phân hàm mật độ ...................................................................44
3.2. Xây dựng các mô hình hủy .............................................................................46
3.2.1. Phân tử SiO2 hoàn hảo .............................................................................46
3.2.2. Khuyết tật dạng sai hỏng liên kết Si – O (sai hỏng Frenken) [4] ............47
3.3. Thực hiện biến phân hàm mật độ ...................................................................48
3.3.1. Thiết lập các thế năng tương tác ..............................................................49
3.3.1.1. Mô hình SiO2 hoàn hảo .....................................................................49
3.3.1.2. Mô hình SiO2 có khuyết tật Frenken.................................................50
3.3.2. Số hóa phương trình Kohn – Sham bằng phương pháp Runge – Kutta bậc
4 .........................................................................................................................50
3.3.3. Cấu trúc và chức năng của chương trình biến phân hàm mật độ ............52
3.4. Làm khớp hàm tăng cường hủy g0(re ) ...........................................................54
3.4.1. Chia lớp mật độ điện tích.........................................................................54
3.4.2. Làm khớp hệ số tăng cường g0(re) ...........................................................55
CHƯƠNG 4 ..............................................................................................................59
KẾT QUẢ TÍNH TOÁN ...........................................................................................59
4.1. Mật độ electron trong SiO2 hoàn hảo .............................................................59


3

4.2. Mật độ electron trong mô hình khuyết tật Frenken ........................................60
4.3. Hệ số tăng cường hủy .....................................................................................61
4.4. Tốc độ hủy positron trong SiO2 ......................................................................66
4.4.1. Mô hình hoàn hảo ....................................................................................66
4.4.2. Mô hình khuyết tật Frenken.....................................................................67
KẾT LUẬN ...............................................................................................................71
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................74

PHỤ LỤC A ..............................................................................................................76
PHỤ LỤC B ..............................................................................................................78
B.1. Chương trình thực hiện biến phân hàm mật độ cho SiO2 ..............................78
B.2. Chương trình xác định hệ số tăng cường hủy ................................................83
PHỤ LỤC C ..............................................................................................................85
Bảng C.1: Kết quả biến phân hàm mật độ cho phân tử SiO2 hoàn hảo.................85
Bảng C.2: Kết quả biến phân hàm mật độ cho mô hình khuyết tật Frenken ........88


4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
α: Hằng số cấu trúc tinh tế

ε ij : Hệ số nhân Lagrangrian

re: Bán kính cổ điển của electron

me: Khối lượng electron

σ2γ: Tiết diện hủy sinh hai gamma

ρe: Mật độ electron

λ: Tốc độ hủy positron

g0(rs): Hệ số tăng cường hủy

rs: Tham số mật độ electron

kF: Vector sóng Fermi

χ(p,k): Hệ số khai triển Fourier

Ds: Định thức Slater

ψ(R): Hàm sóng Slater

Dp(R): Định thức Slater cho positron

ψep(R): Hàm tương quan e--e+

E[ρ]: Năng lượng toàn phần

Vxc: Thế năng tương quan – trao đổi

Vext: Thế năng bên ngoài

T0[ρ]: Động năng

VH[ρ]: Thế năng Hartree

Zα: Điện tích của hạt nhân α

Rα: Vị trí của hạt nhân α

εxc: Năng lượng tương quan – trao đổi

εc: Năng lượng tương quan

εx: Năng lượng trao đổi

Zeff: Điện tích hiệu dụng

n: Số lượng tử chính

l: số lượng tử quỹ đạo

s: Hệ số che chắn

a0: Bán kính Bohr

rSi: Bán kính nguyên tử silic

rO: Bán kính nguyên tử oxy

ZSi: Điện tích hiệu dụng của silic

ZO: Điện tích hiệu dụng của oxy

Ti(x): Chuỗi Chebyshev

P(r): Mật độ xác suất

f(re): Hàm thế năng toàn phần trong mô F(re): Hàm thế năng toàn phần trong mô
hình SiO2 hoàn hảo

hình SiO2 khuyết tật Frenken

ˆ : Hamintol Kohn – Sham

H
KS

φ(r): Hàm sóng đơn hạt

STOs: Slater – Type Orbitals

LDA: Xấp xỉ mật độ địa phương (Local
density approximation)

QMC: Monte Carlo lượng tử (Quantum DFT: Lý thuyết hàm mật độ (Density
Monte Carlo)

Function Theory)


5

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1: Điện tích hiệu dụng của hạt nhân theo STOs…………………………...42
Bảng 2.2: Điện tích và bán kính hiệu dụng của Si và O…………………………...43
Bảng 4.1: Hệ số tăng cường hủy g0(rs) theo rs……………………………………..64
Bảng 4.2: Giá trị hàm g0(rs) từ các phương pháp và tác giả khác nhau…………....65
Bảng 4.3: Kết quả tính hệ số tăng cường và tốc độ hủy trong SiO2 hoàn hảo…….66
Bảng 4.4: Kết quả tính hệ số tăng cường và tốc độ hủy trong SiO2 có khuyết tật
Frenken…………………………………………………………………67
Bảng 4.5: Tham số mật độ, hệ số tăng cường và tốc độ hủy của một số chất……..69
Bảng 4.6: So sánh kết quả tính toán trong SiO2 hoàn hảo và có khuyết tật
Frenken…………………………………………………………………70
Bảng C.1: Kết quả biến phân hàm mật độ cho phân tử SiO2 hoàn hảo……………84

Bảng C.2: Kết quả biến phân hàm mật độ cho mô hình khuyết tật Frenken……...87


6

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1: Một positron hủy với một electron sinh ra một, hai hoặc ba tia gamma .10
Hình 2.1: Nguyên tử silic (Si)……………………………………………………..41
Hình 2.2: Nguyên tử oxy (O)……………………………………………………...41
Hình 2.3: Phân tử SiO2…………………………………………………………….42
Hình 3.1: Sơ đồ nguyên lý biến phân hàm mật độ………………………………...45
Hình 3.2: Mô hình hóa phân tử SiO2………………………………………………47
Hình 3.3: Mô hình hóa khuyết tật Frenken trong SiO2……………………………48
Hình 3.4: Sơ đồ khối chương trình biến phân hàm mật độ………………………..53
Hình 4.1: Đồ thị biểu diễn mật độ electron theo số lần biến phân trong phân tử SiO2
hoàn hảo………………………………………………………………...59
Hình 4.2: Đồ thị biểu diễn mật độ electron theo số lần biến phân trong khuyết tật
Frenken của SiO2……………………………………………………….60
Hình 4.3: Mật độ xác suất P(r) của electron quanh positron với rs = 1 a0, 2 a0,
3 a0………………………………………………………………………61
Hình 4.4: Hệ số tăng cường hủy g(r) theo vị trí các electron quanh positron với
rs = 1 a0, 2 a0, 3 a0………………………………………………...……62
Hình 4.5: Mật độ xác suất P(r) của electron quanh positron với rs = 4 a0, 6 a0,
8 a0………………………………………………………………………63
Hình 4.6: Hệ số tăng cường hủy g(r) theo vị trí các electron quanh positron với
rs = 4 a0, 6 a0, 8 a0……………………………………………………...63
Hình 4.7: Đường cong g0(rs) theo rs……………………………………………….64

7

MỞ ĐẦU
Nghiên cứu quá trình hủy positron trong vật chất là một đề tài đầy thú vị và
nhận được sự quan tâm của các tác giả trên khắp thế giới bởi tính ứng dụng của nó.
Hiện nay, hai phương pháp tiếp cận vẫn luôn song hành đó là phương pháp thực
nghiệm và phương pháp tính toán lý thuyết. Phương pháp thực nghiệm dựa vào đặc
điểm của của quá trình hủy positron sinh hai gamma để xác định thời gian sống của
positron trong vật chất, bằng kĩ thuật đo trùng phùng. Phương pháp đo trùng phùng
sử dụng đồng vị (thường là Na22) phát đồng thời gamma và positron để làm nguồn
phát positron. Khi đó, hệ đo ghi nhận gamma từ nguồn phát tại thời điểm ban đầu,
sau một khoảng thời gian ghi nhận thêm một gamma tiếp theo. Khoảng thời gian
liên tiếp của hai gamma chính là thời gian sống của positron trong vật chất. Kỹ
thuật này được ứng dụng trong việc phân tích, phát hiện khuyết tật của vật chất ở
cấp độ phân tử. Trong vật lý Y khoa, kỹ thuật trùng phùng được ứng dụng vào công
nghệ máy PET (Positron Emission Tomography), một thiết bị dùng để chụp cắt lớp
và tái tạo ảnh rất chi tiết.
Phương pháp thực nghiệm có ưu điểm là cho kết quả chính xác và mang tính
ứng dụng cao, nhưng nó không thể lý giải quá trình hủy diễn ra như thế nào, các đặc
trưng quan trọng ảnh hưởng đến quá trình hủy là gì. Do vậy, các nhà nghiên cứu lý
thuyết phải vào cuộc để nghiên cứu và đưa ra các giả thiết, các phương pháp tính
chủ yếu dựa trên nền tảng của vật lý lượng tử. Phương pháp Monte Carlo lượng tử
(QMC) được sử dụng rộng rãi nhất bởi tính ưu việt của nó. Phương pháp QMC đã
được áp dụng để tính toán năng lượng tương quan electron – positron và hệ số tăng
cường trong kim loại Cu (cấu trúc FCC [3]), luận văn Thạc sỹ của ThS. Trịnh Hoa
Lăng. Phương pháp QMC cũng được tính trong ZnO, TiO2, …trong khóa luận tốt
nghiệp và luận văn Thạc sỹ của các thành viên nhóm nghiên cứu tính toán positron
tại bộ môn Vật lý Hạt nhân, khoa Vật lý – Vật lý kỹ thuật, trường Đại học Khoa
Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Tuy nhiên, phương pháp QMC thường rất phức

8

tạp vì phải giải phương trình Schrodinger cho hệ nhiều hạt, do đó kết quả thường có
sai số rất lớn, thời gian chương trình chạy trên máy tính cũng rất lâu.
Một phương pháp có tính khả thi hơn được áp dụng rất tốt cho việc nghiên
cứu quá trình hủy positron trong vật chất đó chính là lý thuyết hàm mật độ (DFT)
của Hohenberg – Kohn. Theo DFT, năng lượng của hệ và năng lượng tương quan
electron – positron đều được viết dưới dạng hàm của mật độ electron và mật độ
positron, hệ số tăng cường và tốc độ hủy positron phụ thuộc vào tham số mật độ
electron. Trong luận văn này, tác giả đã sử dụng phương pháp DFT để xây dựng
một chương trình biến phân hàm mật độ nhằm xác định tham số mật độ electron
trong SiO2 hoàn hảo và có khuyết tật. Bên cạnh đó, tác giả cũng đã áp dụng phương
pháp Monte Carlo để tính toán và tìm ra công thức xấp xỉ cho hệ số tăng cường hủy.
Công thức xấp xỉ có thể áp dụng cho tất cả các môi trường hủy khác nhau nếu biết
được tham số mật độ electron của môi trường đó. Hệ số tăng cường ảnh hưởng rất
lớn đến tốc độ hủy positron trong môi trường. Tốc độ hủy đã được tính toán trong
mô hình SiO2 hoàn hảo và SiO2 có khuyết tật để so sánh và đưa ra kết luận quan
trọng về sự ảnh hưởng của khuyết tật đến thời gian sống của positron.
Toàn bộ nội dung của luận văn được chia làm 4 chương:
Chương 1: Lý thuyết hủy positron
Chương 2: Lý thuyết hàm mật độ cho phân tử SiO2
Chương 3: Phương pháp DFT và chương trình tính toán
Chương 4: Kết quả tính toán.


9

CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT HỦY POSITRON

1.1. Tổng quan lý thuyết và ứng dụng quá trình hủy positron
1.1.1. Thời gian sống của positron trong chất rắn
Khi một positron được đưa vào bên trong chất rắn nó có năng lượng khá cao
(từ vài eV – vài keV). Năng lượng này nhanh chóng bị mất trong chất rắn qua các
quá trình tương tác khác nhau. Khởi đầu là quá trình iôn hóa chiếm ưu thế và sau đó
với sự suy giảm năng lượng positron, cặp electron – lỗ trống được tạo ra. Với
positron năng lượng thấp, tương tác positron – phonon là quan trọng nhất, cuối cùng
positron bị nhiệt hóa với môi trường.
Trong trạng thái cân bằng nhiệt, positron tương tác với phonon. Trong không
gian thực, trạng thái của positron được phát triển lên như là một quá trình khuếch
tán. Nếu có một sai hỏng trong chất rắn thì positron còn có thể tương tác với chúng,
có thể trở thành các bẫy positron trong trạng thái cục bộ.
Cuối cùng, positron hủy với một electron và phát ra các tia gamma. Việc đo
đạc các tia gamma này có thể biết được thông tin về khuyết tật tồn tại trong chất
rắn. Thời gian sống của positron lớn hơn 2 bậc độ lớn so với thời gian nhiệt hóa.
1.1.2. Quá trình hủy
Khi positron và electron lại gần nhau chúng hủy và các tia gamma (bức xạ
hủy) được phát ra. Quá trình hủy positron có thể phát ra số các tia gamma khác
nhau [2], như trong hình 1.1. Trường hợp chỉ một gamma được phát ra nếu có ba
thành phần tham gia tương tác và chúng phải được bảo toàn động lượng. Nếu
positron và electron có spin đối song thì khi hủy sẽ phát hai gamma để bảo toàn
moment góc. Nếu positron và electron có spin song song thì khi hủy sinh ra ba
gamma, cũng với lý do là để bảo toàn moment góc.


10

Hình 1.1: Một positron hủy với một electron sinh ra một, hai hoặc ba tia gamma
Đặc trưng của các quá trình trên được diễn ra theo tỷ lệ tiết diện. Nếu σ nγ

được ký hiệu cho tiết diện hủy ứng với n gamma phát ra trong quá trình hủy, ta có
σ 3γ
σ 2γ
σ1γ
σ 2γ

~α

(1.1)

~ α3

(1.2)

ở đây, α = 1/137 là hằng số cấu trúc hoàn hảo. Do vậy, sự hủy trong trường hợp
sinh hai gamma là quá trình chủ yếu và từ đây ta chỉ xem có quá trình hủy sinh hai
gamma.
Tiết diện hủy của electron với một positron tự do sinh ra hai gamma được
cho bởi,
σ 2γ =

(

)

γ + 3 ⎞⎟
πre2 ⎛⎜ γ 2 + 4γ + 1
2
ln
γ

+
γ
−
1
−
γ +1 ⎜ γ2 −1
γ 2 − 1 ⎟⎠
⎝

(1.3)

ở đây re là bán kính cổ điển của electron,
re =

và

γ=

e2
mec2

1
1 − v 2 /c 2

(1.4)
(1.5)


11

với v là vận tốc của positron. Khi vận tốc của positron chậm, tiết diện còn được viết
gọn,
σ 2γ =

πre2 c
v

(1.6)

Trong mẫu hạt độc lập, tốc độ hủy của electron và positron trường hợp phát 2
gamma là
λ = σ 2γ vρ e = πre2 cρ e

(1.7)

ở đây ρe là mật độ electron. Trong trường hợp electron xem như khí đồng nhất thì
tham số mật độ rs và mật độ có mối quan hệ,
ρe =

3
4πrs3

(1.8)

Thay (1.4) và (1.8) vào (1.7) và gộp chung các hằng số lại được
λ=

12
x10 9 (s −1 )
3

rs

(1.9)

Nếu positron và electron hoàn toàn độc lập thì trong quá trình tương tác
electron – positron không có sự tham gia của các electron khác. Tuy nhiên, chính
các electron tới gần nhau giữa chúng sẽ có lực đẩy do tương tác Coulomb, và một
positron trong chất rắn hút các electron. Lực hút electron của positron tạo ra ngày
càng gia tăng theo mật độ electron bao quanh positron tạo nên hố thế tăng cường.
Chiều cao của hố thế tăng cường được xác định thông qua tốc độ hủy positron, được
trình bày trong chương sau.
1.1.3. Các ứng dụng kỹ thuật hủy positron
Bằng đo đạc thực nghiệm tốc độ hủy khi positron được cấy vào trong vật liệu
như kim loại hay chất bán dẫn, nó có thể cung cấp thông tin chi tiết về sai hỏng. Ví
dụ như nếu positron bị bẫy trong khuyết tật, vì mật độ electron tại chỗ khuyết tật
thấp làm giảm xác suất hủy của electron với positron, cuối cùng làm tăng thời gian
sống của positron lên.
Hơn nữa, phân bố động lượng của electron trong sự hiện diện của sai hỏng
rất khác so với phân bố động lượng của electron trong vật liệu hoàn hảo. Sự khác


12

biệt này có nghĩa là các thí nghiệm về tương quan góc có thể được sử dụng để thu
thập thông tin về sai hỏng trong chất rắn.
Ưu điểm chính của việc áp dụng kỹ thuật hủy positron trong nghiên cứu chất
rắn là không hủy mẫu. Hiển nhiên nó chỉ cần thiết khi nghiên cứu các chất rắn phục
vụ cho công nghiệp. Trong thiết bị bán dẫn, ví dụ như đơn tinh thể silic được sử
dụng rất rộng rãi. Mặc dù kính hiển vi electron và nhiễu xạ tia X có thể sử dụng để
nhận biết khuyết tật, nhưng các phương pháp này không dò được điểm khuyết tật

nhỏ như kỹ thuật hủy positron. Hủy positron được sử dụng như một kỹ thuật không
hủy mẫu và có thể xác định sai hỏng tinh thể silic, đặc biệt thành công khi nghiên
cứu sai hỏng điểm.
Phổ thời gian sống của positron được sử dụng để nghiên cứu sai hỏng trong
kim loại. Gần đây, một đề tài thú vị là nghiên cứu tương tác khí – lỗ trống. Ví dụ,
Linderoth [21] đưa ra kết quả của sự tương tác giữa hydro với lỗ trống trong các
kim loại khác nhau cũng giống tương tác giữa khí hiếm với kim loại. Kết quả cho
thấy thời gian sống trung bình của positron phụ thuộc như thế nào vào sự nung nhiệt
của mẫu. Sai số trong phép đo thời gian sống của positron được xác định là nhỏ hơn
10-12 s, ở đây thời gian sống của positron xác định được là 10-10 s. Để giải thích cho
kết quả thực nghiệm về hủy positron thì nó cần được so sánh với kết quả tính toán
lý thuyết trong chất rắn. Tính toán lý thuyết đã được thực hiện trên nhiều kim loại,
oxit khác nhau.
1.2. Lý thuyết positron trong môi trường khí electron đồng nhất
Xấp xỉ mật độ địa phương cho năng lượng tương quan electron – positron,
ε ec −p , và thời gian sống của positron, τ, nó gồm kết quả tính toán hệ electron đồng

nhất chứa positron. Các tính toán đã thực hiện cho positron trong hệ khí electron
đồng nhất nhưng hạn chế trong các mật độ positron đặc biệt. Để bổ xung cho vấn đề
này và đặc biệt là áp dụng cho các kết quả thực nghiệm thì giới hạn mật độ positron
cho tiến về 0 (xem positron đứng yên tại gốc tọa độ).


13

1.2.1. Phương trình xấp xỉ Kahana
Lý thuyết Kahana [20] là cơ sở cho rất nhiều tính toán một positron trong
môi trường khí electron đồng nhất. Tuy nhiên, có một vấn đề lớn trong thực tế mà
xấp xỉ Kahana đưa ra là sự phân kỳ cho tốc độ hủy positron với rs ≥ 4. Xấp xỉ
Kahana [7] hàm sóng cặp electron – positron, được cho bởi

ψ p (x e , x p ) =

eipx e 1
i(p − k)x p
+ ∑ χ(p, k)eikx e e
V
V k >1
=

=

e

e

ipx p

⎛ e ipr
1
⎜⎜
+
V ⎝ V
V

∑ χ(p, k)e
k

ikr

⎞

⎟⎟
⎠

ipx p

V

(1.10)

φ p1 (r)

ở đây xe và xp là tọa độ của electron và positron và r = xe – xp. Số hạng đầu tiên bên
phải là hàm sóng của electron có động lượng p tương ứng với positron, và số hạng
thứ hai là sóng cầu được mô tả cho tán xạ cầu của electron với positron có động
lượng p. Hệ số khai triển Fourier χ(p,k) được xác định theo phương trình Bethe –
Goldstone
χ(p, k) =

Av( k − p )
k + (k − p) − p
2

2

2

+

A
k + (k − p) 2 − p 2

2

∫ v( k − p) χ(p, q)d q
3

(1.11)

q >1

ở đây, v(q) là biến đổi Fourier của thế năng tương tác electron – positron, p là động
lượng ban đầu của electron, V là thể tích của mẫu và A được xác định từ
A=

1
4π k F a 0

(1.12)

3

với kF là vector sóng Fermi
Hàm sóng ψ p được dùng để xây dựng hàm sóng Slater, Ψ(x 1 , x 2 ...x N , x p ) . Do
quá trình nhiệt hóa, hàm sóng của positron độc lập với vị trí, ta có thể thay biến xi
bởi ri = xi – xp với xi là vị trí của electron thứ i,
Ψ(x 1 , x 2 ...x N , x p ) =

1
V

Φ(r1 , r2 ,...rN )

(1.13)


14

Hàm sóng ψ là một định thức Slater tạo bởi các hàm φp mô tả một electron tự do với
động lượng p tán xạ trên một positron.
Sự phân bố electron quanh positron được xác định từ công thức
ρ(r1 ) = N

∫ Φ(r , r ,...r
∫ Φ(r , r ,...r
1

2

N

dr2 ...drN

1

2

N

dr1 ...drN

(1.14)

với ri là tọa độ của electron thứ i, N là tổng số electron quanh positron.
Rubaszek và Stachowiak đã cải tiến xấp xỉ Kahana bằng cách sử dụng tốt
hơn thế năng tương tác. Bằng việc xác định thế năng tương tác trường tự hợp và
thống kê tương quan electron – electron, có thể xóa bỏ sự phân kỳ của tốc độ hủy.
Bằng việc sử dụng trường tự hợp để giải phương trình Kahana thu được hệ số tăng
cường hủy, g0(rs), là một dạng hàm làm khớp theo tham số mật độ rs [7]
g 0 (rs ) = 1,01906 + 1,33696rs + 0,13651rs2 + 0,08112rs3 + 0,00863rs4
− 3,2491x10 − 4 rs5 + 4,41454x10 −6 rs6

(1.15)

1.2.2. Biểu đồ thuyết nhiễu loạn
Arponen và Pajanne đưa ra một phương pháp để giải quyết vấn đề của một
điện tích nhiễu trong hệ khí electron đồng nhất. Phương pháp này thay thế sự kích
thích trong khí electron đồng nhất bằng tương tác boson. Bằng cách này, các thành
phần tương tác electron – electron từ xa được xấp xỉ pha một cách ngẫu nhiên và
xóa bỏ sự phân kỳ trong tốc độ hủy trong phương trình xấp xỉ Kahana.
Các toán tử Boson được khuếch đại trong tập hợp các trạng thái ở xa và kết
quả bằng số nhận được khi sử dụng một số ít các trạng thái này. Hàm tương quan
cặp nhận được khi sử dụng phương pháp này thu được hàm tính hệ số tăng cường,
g0(rs), dưới dạng công thức xấp xỉ theo tham số mật độ (rs) [10]
g 0 (rs ) = 1 + 1,23rs − 0,0742rs2 +

rs3
6

(1.16)

1.2.3. Lý thuyết biến phân và phương pháp chuỗi mạng Fermi nhiều thành

phần
Một trong những bộ tham số [9] của hàm tương quan cặp giữa electron và
positron được sử dụng rộng rãi nhất thu được từ việc sử dụng lý thuyết biến phân và


15

phương pháp chuỗi mạng Fermi nhiều thành phần [13]. Trong phương phương pháp
này hàm sóng thử Slater Jastrow được xấp xỉ sử dụng phương trình tích phân chuỗi
mạng và phương trình Euler – Lagrange. Đại lượng trạng thái cơ sở như hàm tương
quan cặp electron – positron có thể được tính toán sau.
Dạng sóng thử được sử dụng có dạng
Ψ=

⎛
⎞
Fss' ⎜⎜ ∏ D s ⎟⎟
s,s'=↑ ,↓ , p
⎝ s =↑,↓,p ⎠

∏

(1.17)

ở đây, Ds là định thức Slater của các trạng thái một hạt cho cả spin hướng lên và
spin hướng xuống của electron và cả positron. Hàm Fss’ bao gồm tương quan từng
cặp giữa các hạt và tích của các tương quan giữa các hạt s và hạt s’. Một cách dễ
hiểu rằng hàm này là một dạng tổng quát của hàm Jastrow được dùng trong tính
toán Monte – Carlo lượng tử (QMC). Kết quả hàm tính hệ số tăng cường, g0(rs), của
Lantto, Boronsky và Nieminen [19] được xấp xỉ theo công thức

g 0 (rs ) = 1 + 1,23rs + 0,8295rs3/2 − 1,26rs2 + 0,3286rs5/2 +

rs3
6

(1.18)

Sterne và Kaiser [17] tìm được một sự khác biệt nhỏ các tham số từ kết quả tương
tự này, công thức xác định hệ số tăng cường được xấp xỉ dạng hàm sau:
g 0 (rs ) = 1 + 0,1512rs + 2,414rs3/2 − 2.01rs2 + 0,4466rs5/2 + 0,1667rs3

(1.19)

1.3. Phép xấp xỉ Monte – Carlo
Phương pháp Monte – Carlo cổ điển [13] đã được ứng dụng rộng rãi tính
toán thời gian sống của positron khi nó đi vào vật chất và mất dần năng lượng cho
đến khi bị nhiệt hóa. Các kết quả của những phương pháp mô phỏng được cải tiến
rất hữu ích để tính toán đặc tính vật lý như đặc trưng cấy positron. Tuy nhiên, cho
đến nay các phương pháp lý thuyết ứng dụng vào việc nghiên cứu positron sau khi
bị nhiệt hóa chưa được thực hiện, bao gồm cả mô phỏng Monte – Carlo [13].
1.3.1. Hàm sóng
Hàm sóng khí electron đồng nhất đã được dùng là dạng hệ số Jastrow nhân
với định thức Slater xác định cho từng trạng thái spin. Để duy trì dạng hàm sóng
này khi positron xâm nhập vào hệ xem như có một electron với spin thư ba. Bằng


16

cách này thì tính toán đơn giản nhưng không mô tả đúng với thực tế của positron.
Có nghĩa là hàm sóng sử dụng cho hệ khí electron đồng nhất với một positron là

Ψ(R) = D ↑ (R)D ↓ (R)D p (R)Ψ J (R)Ψ ep (R)

(1.20)

ở đây Dp(R) là một định thức của hàm sóng đơn hạt cho positron và Ψep (R ) tương tự
hệ số Jastrow thể hiện mô hình tương tác Coulomb giữa positron và các electron.
Trong trường hợp này, tại nơi chỉ có duy nhất một positron trong hệ, thì định thức
positron bằng 1 cho hệ ở trạng thái cơ bản. Động năng của cả electron và positron
được tính từ hàm sóng đơn hạt.
1.3.2. Năng lượng positron tương tác với hệ số tăng cường [13]
Tương tự như năng lượng tương tác của các electron trong khí electron đồng
nhất có thể viết như tương tác của electron với thế tương quan – trao đổi, nó có thể
biểu diễn tương tác của positron với các thành phần của khí electron đồng nhất như
một sự tương tác của positron với bẫy tăng cường của nó. Hệ này được xem như
đậm đặc hoàn toàn với N electron và Np positron trên một ô mô phỏng. Mật độ điện
tích của hệ là
ρ(r) = −ρ e (r) + ρ p (r) + ρ bg (r )

(1.21)

ở đây, ρe(r) là mật độ điện tích của electron, ρp(r) là mật độ điện tích của positron và
ρbg(r) là mật độ điện tích nền đồng nhất.
Năng lượng Hartree cho một ô là
Hartree
E cell
=

1
ρ(r)ρ(r' )U(r, r' )d 3 rd 3 r'
∫∫

2 cell

(1.22)

ở đây, U(r,r’) là thế tương tác mà nó chỉ phụ thuộc vào vị trí r và r’. Trong một hệ
vô hạn tương tác này có thể xem chỉ có tương tác Coulomb, (|r – r’|)-1. Trong thực tế
U(r,r’) chỉ phụ thuộc vào khoảng cách của r và r’ do đó
U(r,r’) = U(r-r’)

(1.23)

Nếu U(r-r’) được chọn sao cho nó lấy trung bình từ 0 đến ngoài cùng của ô
mô phỏng, thì tất cả các số hạng liên quan đến hệ đồng nhất đều bằng 0. Toán tử
Hamilton đầy đủ cho hệ N-electron, Np-positron là


17

ˆ =V
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
H
bg − bg + H e + H p + Ve − bg + Vp − bg + Ve − p
ˆ +H
ˆ +V
ˆ

=H
e
p
e−p

(1.24)

Nó gồm các thành phần chỉ do các electron, các positron và các thành phần do
tương tác giữa chúng.
* Sự đóng góp chỉ do các electron
Sự tương tác giữa các electron phụ thuộc vào spin nhiều hơn là vào vị trí của
chúng, tọa độ x được sử dụng với ý nghĩa là vị trí r và spin σ. Sự đóng góp vào toán
tử Hamilton toàn phần chỉ phụ thuộc vào thành phần động năng của các electron và
năng lượng phụ thuộc vào sự tương tác giữa chúng với nhau.
N
N N
ˆ = − 1 ∑ ∇ 2 + 1 ∑∑ U(x , x )
H
e
i
i
j
2 i =1
2 i =1 j=i

(1.25)

j#i

Đến công đoạn này, sự cần thiết nhất là biết hàm sóng của hệ. Đầu tiên, toán tử mật

độ được định nghĩa: toán tử mật độ theo các vị trí electron là
N

ρˆ e (r) = ∑ δ(r − ri )

(1.26)

i =1

toán tử mật độ của electron theo vị trí và spin là
N

ρˆ e (r) = ∑ δ(x − x i )

(1.27)

i =1

và toán tử ma trận mật độ cho các electron là
N

N

ρˆ e (x, x' ) = ∑∑ δ(x − x i )δ( x '− x i )

(1.28)

i =1 i =1
j≠ i

Nếu hệ đầy đủ bất đối xứng N-electron, Np-positron hàm sóng là
Ψ(x 1 , x 2 ,...x N , y1 , y 2 ,...y N ) = Ψ(X, Y)

(1.29)

Lấy tích phân trên toàn hệ tọa độ không gian và toàn bộ spin thì ma trận mật độ
electron là
N

ρ e (x, x' ) = ∫ Ψ * (X, Y)∑∑ δ(x − x i )δ(x'− x j )Ψ(X, Y)dXdY
i =1 j=1
j≠ i

Giá trị kỳ vọng của toán tử tương tác electron – electron được cho bởi,

(1.30)


18

⎛ N N
⎞
⎜1
⎟
*
ˆ
U e −e = ∫ Ψ (X, Y)⎜ ∑∑ U(x i , x j ) ⎟Ψ(X, Y)dXdY
⎜ 2 i =1 jj=≠1i
⎟
⎝

⎠

(1.31)

Tuy nhiên, do U (x i , x j ) phụ thuộc spin nên,
U(x i , x j ) = U(ri , r j )[δ σi,↑ δ σj,↑ + δ σi,↑ δ σj,↓ + δ σi,↓ δ σj,↑ + δ σi,↓ δ σj,↓ ]

(1.32)

ˆ
có thể được viết như sau
U
e −e

U e −e =
=

1
ρ e (x, x' )U(x, x' )dxdx'
2∫

[

]

1
3
3
∫∫ U(r − r' ) ρ ↑,↑ (r, r' ) + ρ ↑,↓ (r, r' ) + ρ ↓,↑ (r, r' ) + ρ ↓,↓ (r, r' ) d rd r'
2 cell

(1.33)

Nếu những vị trí của các electron là không tương quan, nghĩa là các electron không
tương tác, thì ma trận mật độ đơn giản là
ρ e (x, x' ) = ρ e (x)ρ e (x' )

ở đây,

N

ρ e (x) = ∫ Ψ * (X, Y)∑ δ(x − x i )Ψ (X, Y)dXdY

(1.34)
(1.35)

i =1

Tuy nhiên, các vị trí electron có tương quan là khá xa và có xu hướng tránh các hạt
khác theo nguyên lý loại trừ Pauli và lực đẩy Coulomb. Điều đó có nghĩa là
ρ e (x, x' ) = ρ e (x)ρ e (x' )g e−e (x, x' )
= ρ e (x)ρ e (x' ) với |r – r’| nhỏ

(1.36)

g e−e (x, x' ) là hàm phân bố cặp electron – electron, nó có đặc điểm sau

g e−e (x, x' ) → 0 khi x − x' → 0
g e−e (x, x' ) → 1 khi x − x' → ∞

(1.37)

Lưu ý rất quan trọng rằng x và x’ là tọa của cả vị trí lẫn spin. Dĩ nhiên, các electron
có spin khác nhau vẫn giữ riêng để giảm năng lượng Coulomb, nhưng
g ↑↓ (r, r' ) → 0 khi r − r' → 0 .

Sử dụng hàm mật độ cặp


19

U e−e =

1
∫∫ U(x, x' )ρ e (x)ρ e (x' )g e−e (x, x' )dxdx'
2 cell

=

1
∫∫ U(x, x' )ρ e (x)ρ e (x' )dxdx'
2 cell

+

1
∫∫ U(x, x' )ρ e (x)ρ e (x' )[g e−e (x, x' ) − 1]dxdx'
2 cell

= E Hartry +

1
∫∫ U(x, x' )ρ e (x)ρ e (x' )[g e−e (x, x' ) − 1]dxdx '
2 cell

(1.38)

Phần năng lượng Hartree không liên quan đến spin vì vậy
E Hartree =

1
∫∫ U(x, x' )ρ e (x)ρ e (x' )dxdx'
2 cell

=

1
∫∫ U(r − r' )ρ e (r)ρ e (r' )drdr'
2 cell

(1.39)

ở đây mật độ electron đơn lẻ là đồng đều và bằng N/V. Sử dụng dịch chuyển bất
biến của hệ và trong thực tế U(r) được lấy trung bình từ 0 đến mặt ngoài của ô mô
phỏng nên,
E Hartree =

1 N2
2 V2

=

∫∫ U(r − r' )d rd r'
3

3

cell

1 N2
2 V

∫ U(r)d r = 0
3

(1.40)

cell

* Sự đóng góp chỉ do positron
Sự tương tác giữa các positron có thể được xử lý tương tự như tương tác giữa
các electron
N

N

N

p
p

p
ˆ = − 1 ∑ ∇ 2 + 1 ∑∑ U(x , x )
H
i
j
p
i
2 i =1
2 i =1 j=i

(1.41)

j#i

Toán tử tương tác positron – positron là Uˆ p − p và giá trị kỳ vọng của toán tử tương
tác là


20

⎛ Np Np
⎞
⎜1
⎟
*
ˆ
U p − p = ∫ Ψ (X, Y)⎜ ∑∑ U(y i , y j ) ⎟Ψ(X, Y)dXdY
⎜ 2 i =1 jj=≠1i
⎟
⎝

⎠

(1.42)

Hàm phân bố cặp positron – positron là g p− p (y, y' ) và toán tử tương đương với
g e−e (x, x' ) ,
g p−p (y, y' ) → 0 khi y − y' → 0

(1.43)

g p−p (y, y' ) → 1 khi y − y' → ∞

(ở đây y và y’ chứa cả tọa độ vị trí lẫn spin)
Hàm phân bố cặp tương tự như trường hợp của các electron
U p−p =

1
∫∫ U(y, y' )ρ p (y)ρ p (y' )g p−p (y, y' )dydy'
2 cell
=

1
∫∫ U(y, y' )ρ p (y)ρ p (y' )dydy'
2 cell

+

1
∫∫ U(y, y' )ρ p (y)ρ p (y' ) g p−p (y, y' ) − 1 dydy'
2 cell

[

= E Hartry +

]

[

]

1
∫∫ U(y, y' )ρ p (y)ρ p (y' ) g p−p (y, y' ) − 1 dydy'
2 cell

(1.44)

Mật độ positron là đồng đều và bằng Np/V và hệ dịch chuyển bất biến, U(r) lấy
trung bình từ 0 đến mặt ngoài ô mô phỏng nên
E Hartree =

2
1 Np
2 V2

=

∫∫ U(r − r' )d rd r'
3

3

cell

2
1 Np
2 V

∫ U(r)d r = 0
3

(1.45)

cell

* Tương tác electron - positron
Thành phần Vˆe − p trong toán tử Hamilton của hệ là
N

Np

ˆ = −∑∑ U(r − r p )
V
e−p
i
j

(1.46)

i =1 j=1

dấu âm là do electron và positron có điện tích trái dấu. Spin không đóng góp vào
tương tác vì các hạt không đồng nhất. Toán tử ma trận mật độ được định nghĩa


21

N

Np

ρ e − p (r − r' ) = ∑∑ δ(r − ri )δ(r − r j )

(1.47)

i =1 j=1

và ma trận mật độ electron – positron là
N

Np

ρ e−p (r − r' ) = ∫ Ψ (X, Y)∑∑ δ(r − ri )(r − rj )Ψ (X, Y)dXdY
*

(1.48)

i =1 j=1

Theo các định nghĩa này giá trị kỳ vọng của toán tử tương tác Uˆ e −p là

ˆ
U
e − p = − ∫∫ U(r, r' )ρ e − p (r, r' )drdr'

(1.49)

cell

Đó chính là sự tương quan giữa electron và positron, một cách tương tự cho tương
quan giữa electron với electron và positron với positron. Tuy nhiên, vì các electron
và positron có điện tích trái dấu nên chúng hút nhau. Do đó
ρ e − p (r, r' ) = ρ e (r)ρ p (r' )g e − p (r, r' )
> ρ e (r)ρ p (r' ) khi r − r' min

và

g e−p (r, r' ) → 1 khi r − r' → ∞

(1.50)
(1.51)

Hàm phân bố cặp được viết lại như sau
e− p
ˆ
U
e − p = E Hartree − ∫∫ U(r, r' )ρ e (r)ρ p (r' )[g e − p (r, r' ) − 1]drdr'

(1.52)

cell

ở đây,

−p
E eHartree
= − ∫∫ U(r, r' )ρ e (r)ρ p (r' )drdr'
cell

=−

Np
V

∫ U(r)d r = 0
3

(1.53)

cell

* Hamilton toàn phần
Khi tất cảc các thành phần đóng góp được cộng lại với nhau được Hamilton
toàn phần cho cả hệ, từ công thức (1.24)
N

p
N
ˆ = − 1 ∑∇2 − 1 ∑∇2 + V
ˆ
H

i
i
I
2 i =1
2 i =1

(1.54)

ở đây Vˆ I là toàn bộ các tương tác còn lại. Giá trị kỳ vọng của các tương tác này là


22

VI =

1
∫∫ U(x, x' )ρ e (x)ρ e (x' )[g e−e (x, x' ) − 1]dxdx'
2 cell

+

1
∫∫ U(x, x' )ρ p (x)ρ p (x' )[g p−p (x, x' ) − 1]dxdx'
2 cell

−

1
∫∫ U(r, r' )ρ e (r)ρ p (r' )[g e−p (r, r' ) − 1]drdr'
2 cell

(1.55)

Để đơn giản hóa, ta gọi vùng có mật độ electron thấp hơn mật độ nền là một “hố”
electron, tương tự cho một “hố” positron. Vùng có mật độ electron cao hơn mật độ
nền là một “đỉnh” electron tăng cường, tương tự cho một “đỉnh” positron tăng
cường,
ρ exc−e (x, x' ) = ρ e (x' )[g e −e (x, x' ) − 1]

(1.56)

ρ pxc− p (x, x' ) = ρ p (x' )[g p − p (x, x' ) − 1]

(1.57)

ρ corr
e − p (r, r' ) = ρ p (r' )[g e − p (r, r' ) − 1]

(1.58)

ρ corr
p − e (r, r' ) = ρ e (r' )[g e − p (r, r' ) − 1]

(1.59)

xc
Thực chất: ρ e−
e (x, x' ) là mật độ của electron trạng thái x’ xác định tại đó có một

electron trạng thái x (x trong hệ không gian nó chứa cả 3 thành phần tọa độ và một

xc
trạng thái spin). ρ p−
p (x, x' ) là mật độ positron trạng thái x’ xác định tại đó có một

positron trạng thái x. Ta có ρ corr
e− p (r, r' ) là mật độ của positron trạng thái r’ xác định tại
đó có một electron trạng thái r và ρ corr
p− e (r, r' ) là mật độ của electron trạng thái r’ xác
định tại đó có một positron trạng thái r. Hàm tương quan cặp tương ứng mô tả “hố”
mật độ electron quanh một electron, “hố” mật độ positron quanh một positron,
“đỉnh” mật độ electron quanh một positron và “đỉnh” mật độ positron quanh một
electron.
Năng lượng tương tác tổng cộng VI là tổng hợp các năng lượng tương tác của
một electron với hố tương quan – trao đổi của nó và năng lượng tương tác của một
positron với hố tương quan của nó (hoặc năng lượng tương quan của electron với
đỉnh tương quan của nó mà có giá trị tương đương). Vì có thể viết năng lượng tương
tác theo cách này tầm tương tác của các thành phần phải ngắn, U(r), là rất quan


23

trọng. Trước hết, khi dùng mô phỏng Monte Carlo, tương tác 1/Δr bị cắt cụt khi Δr
tiến tới một số rất nhỏ ε (khi đó vị trí của hai hạt xem như trùng nhau). Tương tác
này được dùng giữa tất cả các cặp hạt khác nhau, tất nhiên đảo dấu khi các hạt mang
điện tích trái dấu.
1.3.3. Hàm tương quan
Hệ số Jastrow bao gồm cả tương quan electron – positron trong hàm sóng,
đóng vai trò quan trọng nhất cho các tính toán này. Nó là ψep mà xác định sự tăng
cường electron quanh positron và còn các hệ số giới hạn trong độ chính xác của
phép tính.

Sự ước lượng hệ số Jastrow liên quan đến sự tổng hợp toàn bộ các cặp
electron mà hình ảnh yêu cầu sử dụng tổng Ewald. Tổng Ewald là số lần đóng góp
đặc biệt được sử dụng. Kết quả là nó sẽ tiết kiệm thời gian máy tính chạy nếu khử
hoàn toàn từ các tính toán.
Các dạng hàm tương quan cặp khác u(r) đã được sử dụng thành công trong
một vài tính toán [5], nhưng hầu hết các dạng đó phải tuân theo các điều kiện: Đầu
tiên, u(r) phải thỏa mãn điều kiện đỉnh cực trị; thứ 2, giả sử cặp electron ở chính
giữa ô mô phỏng (đối với tính toán ô mô phỏng là ô Uwigner-Seitz bao quanh một
electron, u(r) phải có một gradient chuẩn tới đường biên của ô mô phỏng bằng 0.
Điều kiện chuẩn gradient thường ràng buộc sự lựa chọn u(r) có dạng hàm cầu tiếp
xúc ngoài với ô mô phỏng. Lý do vì sao mà u(r) được chọn lựa để có gradient bằng
0 là để đảm bảo phù hợp với hệ thức Green, thế năng thỏa,
K = F2 = T

(1.60)

Dạng hệ số Jastrow được dùng cho các tính toán được đề xuất của Williamson [5]
u(r) =

2
2
A
B
⎛L
⎞ (r(L − r))
(
1 − e − r/F )e −(r/L0 ) + (L − r) 2 ⎜ + r ⎟ +
r
2
2

⎝2
⎠

N Cheb

∑T
i =1

i −1

⎛ 2r − L ⎞
⎜
⎟c i (1.61)
⎝ L ⎠

Trong hàm này, số hạng thứ nhất của u(r) cần phải thỏa mãn điều kiện đỉnh cực trị.
2

Tuy nhiên, có một hệ số bổ sung e − (r/L ) trong đó tham số L0 được lựa chọn để đảm
0

bảo đỉnh thành phần của u(r) suy giảm về 0 theo đường biên của ô Wigner-Seitz.
Các tham số A và F tương tự như đã trình bày trong chương 2. Số hạng thứ 2 chứa


24

hai tham số: là bán kính của quả cầu tiếp xúc ngoài của ô Wigner-Seitz, và B có thể
thay đổi được, do đó chiều cao của đỉnh có thể nâng lên hay hạ xuống được. Số
hạng này có giá trị bằng 0 và đạo hàm thỏa điều kiện biên. Nó còn có đạo hàm bằng

0 tại r = 0 vì vậy không tương phản với điều kiện đỉnh cực trị. Số hạng thứ 3 là tổng
của đa thức Chebyshev tỷ lệ trong khỏang {0, L}. Số hạng trước tổng được chọn để
đảm bảo rằng số hạng này và đạo hàm của nó có giá trị bằng 0 tại r = 0 và r = L.
Tham số B và hiệu suất ci được tối ưu tốt nhất là hàm Jastrow của dạng này. Trong
biểu thức này các tham số F, B và {ci} độc lập với spin. Các tham số A, L và L0 phụ
thuộc spin, giá trị L0 được lựa chọn trong hầu hết các tính toán là
L0 =

L
4

(1.62)

nó nhanh chóng suy giảm
Hệ số Jastrow electron – positron tương tự như trường hợp electron –
electron,
⎞
⎛ N Np
Ψ ep (R) = exp⎜⎜ ∑∑ u(r ) ⎟⎟
⎠
⎝ i =1 j=1

(1.63)

ở đây, hàm u(r) là một dạng của công thức (1.61). Các tham số L và L0 tương tự
như các hệ số Jastrow trong trường hợp electron – electron, nhưng tất cả các tham
số còn lại (A, F, B {ci}) đều khác. Tham số A và F nhất quán theo điều kiện đỉnh
cực trị electron – positron trong phụ lục A, có nghĩa là A được dùng cho tương quan
electron – positron trái dấu với A dùng cho hàm Jastrow electron – electron.
1.3.4. Cực tiểu hóa phương sai

Theo như kết quả của nguyên lý biến phân, nhiều sự lựa chọn hàm sóng cho
một giá trị kỳ vọng là năng lượng lớn hơn hay bằng năng lượng trạng thái cơ bản.
Khi tối ưu các tham số trong hệ số Jastrow và hàm tương quan electron – positron
trong mục 1.3.3, ta thu được bộ tham số và chúng được sử dụng để xác định giá trị
tối ưu của năng lượng tổng. Hàm sóng tổng, công thức (1.20) là sát nhất với giá trị
thực của hệ ở trạng thái cơ bản. Nếu đã tối ưu hàm sóng trong trạng thái cơ bản thì
chắc chắn giá trị kỳ vọng của năng lượng cũng ở trạng thái cơ bản. Hiển nhiên,