Bài giảng Thủy động lực học môi trường

Mở đầu

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Định nghĩa môn học. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
1.1. Chất lưu là gì:
Người ta thường phân biệt vật chất ở 4 trạng thái: vật rắn, chất lỏng, chất khí v à
plasma. Chất lỏng và chất khí có cùng chung một tính chất là tính liên tục và tính chảy
được. Chính vì có tính chất này mà ta có thể gọi chung chúng là lưu chất và có thể nghiên
cứu chúng bởi cùng một lí thuyết.
Về mặt cơ học chất lưu có thể quan niệm rằng chúng đ ược tạo thành bởi các chất
điểm liên kết với nhau bằng những nội lực tương tác (nói chung là l ực hút) rất yếu và
thường chúng không có hình dạng nhất định như một vật rắn và chuyển động liên tục
trong khối chất lưu.
Để nghiên cứu lưu chất, người ta không đi sâu vào mô tả từng phân tử này mà quan
niệm rằng cả khối lưu chất là một môi trường liên tục với các đại lượng được trung bình
hóa. Trong môi trường liên tục đó, ta có thể lấy ra một phần tử l ưu chất nhỏ tùy ý để mô
tả mà không gặp trở ngại do kích thước phân tử. Phần tử lưu chất luôn luôn chứa một số
lượng rất lớn các phân tử. Quan niệm n ày cho phép ta mô tả các đặc trưng của lưu chất tại
một điểm (x, y, z) bất kì, ở thời điểm t tùy ý: áp suất p, khối lượng riêng , nhiệt độ T, độ


nhớt… và vận tốc u như là các hàm liên tục theo các biến x, y, z, t.
Với cơ học chất lưu, một cách tương đối có thể chia thành hai nhóm:
Nhóm 1: Nghiên cứu chất thể (nước, dầu, rượu ...) có thể tích thay đổi rất ít khi có tác
động của áp suất và nhiệt độ (còn gọi là chất lưu không nén).
Nhóm 2: Nghiên cứu các hiện tượng vật lý của chất thể khí v à hơi, dễ bị thay đổi thể
tích dưới tác động của áp suất và nhiệt độ (còn gọi là chất lưu nén).
Khi chất lưu chuyển động các lớp của nó chuyển động với các vận tốc khác nhau,
nên giữa chúng có những lực t ương tác gọi là lực nội ma sát hay lực nhớt.

GV: Nguyễn Đức Vinh

3


Mở đầu
Chất lỏng thực: Là chất lỏng có đầy đủ các tính chất c ơ lý như: tính cắt kéo, tính
nhớt, sức căng bề mặt, sự sôi, tính nén ép …
Chất lưu lý tưởng: là chất lưu hoàn toàn không nén đư ợc và trong chất ấy không có
các lực nhớt. Chất lưu không lý tưởng còn gọi là chất lưu thực.
Theo định nghĩa trên thì mọi chất lưu đều là các chất lưu thực. Tuy nhiên một chất
lỏng rất lưu động (không nhớt) có thể tạm coi nh ư một chất lưu lý tưởng. Ngoài ra ta biết
là lực nội ma sát chỉ xuất hiện trong chất lưu chuyển động, vậy một chất lưu ở trạng thái
nằm yên có gần đầy đủ các tính chất của chất l ưu lý tưởng.
1.2. Ðặc điểm của chất lưu:
Chất lưu gồm chất lỏng và khí giống như các môi trường liên tục được cấu tạo từ
nhiều chất điểm gọi là hệ chất điểm. Khác với vật rắn, các phân tử của chất l ưu có thể
chuyển động hỗn loạn bên trong khối chất lưu điều này giải thích tại sao chất lưu luôn có
hình dạng thay đổi mà không phải cố định như vật rắn.
Chất khí khác với chất lỏng bởi v ì thể tích của một khối khí biến đổi không ngừng. Ở
điều kiện bình thường, các phân tử của chất lỏng luôn giữ khoảng cách trung b ình cố định
ngay cả trong quá trình chuyển động hỗn loạn vì vậy chất lỏng được xem là không chịu
nén dưới tác động của ngoại lực. Trong chất khí, lực đẩy của các phân tử chỉ xuất hiện khi
các phân tử bị nén đến một khoảng cách khá nhỏ, cho n ên ở điều kiện bình thường chất
khí bị nén dễ dàng.
1.3. Phương pháp nghiên cứu:
Tổng quát, chúng ta có hai ph ương pháp nghiên cứu cơ bản là: phương pháp giải tích
và phương pháp thực nghiệm.
Do môn học này là một nhánh rẽ của cơ học và chúng đi sâu nghiên cứu loại vật thể

đặc biệt là lưu chất nên thừa hưởng các định lí, định luật của môn học, đó l à:
Các định luật cơ học của Newton.
Các định luật về bảo toàn và chuyển hóa trong cơ học: bảo toàn khối lượng, bảo toàn
động lượng,…
Khi áp dụng các định luật, định lí n ày cho “ vật thể lưu chất, ta sẽ rút ra được các
phương trình vi phân, tích phân mô t ả trạng thái của nó. Việc giải quyết các ph ương trình
GV: Nguyễn Đức Vinh

4


Mở đầu
đó sẽ cho ta các mô tả vận tốc, áp suất…tại các thời điểm khác nhau của thể tích l ưu chất
đang được nghiên cứu.
Phương pháp giải tích: Ứng dụng các tiến bộ của lý thuyết tr ường, lý thuyết số phức,
lý thuyết về các phương trình vi phân, tích phân,… đóng vai trò quan trọng.
Phương pháp thực nghiệm: Đáp ứng kịp thới các nhu cầu đặt ra trong thực tế sản
xuất. Từ các kết quả thực nghiệm, ng ười ta phân tích, tổng hợp v à cho ra các quy luật mô
tả trạng thái lưu chất. Có hai phương pháp giải quyết: phương pháp đồng dạng và phương
pháp tương tự.
Hai phương pháp trên là hai cách ti ếp cận khác nhau của c ùng một vấn đề. Chúng
phát triển song song và bổ sung lẫn nhau. Kết quả thực nghiệm giúp chúng ta giải quyết
vấn đề nhanh chóng các vấn đề thực h ành đồng thời giúp hoàn thiện các mô hình mô tả
lưu chất. Còn phương pháp giải tích cho ta các kết quả có tính tổng quát, lí luận.

2. Các tính chất vật lý cơ bản của lưu chất
2.1. Khối lượng riêng và áp suất:
Khi nghiên cứu về vật rắn, chúng ta chỉ xét đến các loại vật li ệu đặc biệt, chẳng hạn
như các khối gỗ, quả bóng chày hoặc thanh kim loại. Các đại l ượng vật lý mà ta thấy
thông dụng, và chúng ta có thể diễn đạt các định luật Newton về chuyển động, l à khối

lượng và lực.
Ðối với chất lưu chúng ta quan tâm nhi ều đến các tính chất thay đổi từ điểm này đến
điểm khác, trong cả chất đó h ơn là đến các tính chất của một cục ri êng biệt nào của chất
đó. Ở đây chúng ta nói đến khối l ượng riêng và áp suất hơn là nói đến khối lượng và lực.
2.1.1 Khối lượng riêng:
Trong môi trường chất lưu liên tục và đồng nhất, khối lượng riêng của chất lưu định
nghĩa tương tự khối lượng riêng của vật rắn đó là khối lượng của một đơn vị thể tích chất
lưu đó
Ta có:
=

m
V

GV: Nguyễn Đức Vinh

(1.1)

5


Mở đầu
Với  là khối lượng riêng cuả chất lưu, m là khối lượng của chất lưu có trong thể
tích V trong cùng một điều kiện nhiệt độ, áp suất:
Đơn vị của khối lượng riêng là kg/m 3, thứ nguyên [] = [M].[L] -3
Bảng sau đây ghi khối lượng riêng cuả một số chất phổ biến ở nhiệt độ 20 0C:
Khối lượng riêng

Vật liệu

Vật liệu

(kg/dm3)

Khối lượng riêng
(kg/dm3)

Nhôm

2,7

Nước nguyên chất

0,999~1

Đồng

8,7

Sữa

1,05

Sắt

7,8

Thủy ngân

13,55

Vàng

19,31

Rượu Etylic

0,79

Chì

11,35

Dầu mỏ

0,76 – 0,85

Bạc

10,5

Không khí

1,29.10-3

Kẽm

7,15

Oxi

1,429.10 -3

Gỗ

0,7 – 0,9

Cacbonic

1,977.10 -3

Tre

0,4

Hydro

0,0898.10 -3

Nước đá

0,917

Hơi nước

0,005.10 -3

Xăng

0,68 – 0,72

Hơi rượu etylic

0,0333.10 -3

Ðối với chất lỏng người ta còn dùng khái niệm tỷ trọng.
Tỷ trọng của một chất lỏng n ào đó là tỷ số giữa khối lượng riêng của chất lỏng đó đối
với khố lượng riêng của nước nguyên chất ở cùng điều kiện nhiệt độ và áp suất. Tỷ trọng
là một đại lượng không có đơn vị.
2.1.2. Áp suất – Nguyên nhân tạo ra áp suất:
Áp suất:
Tỉ số của áp lực f do chất lưu với toàn bộ diện tích tiếp xúc với vật rắn S được goị
là áp suất. Áp suất p chính là áp lực trung bình cuả chất lưu lên trên một đơn vị diện tích
tiếp xúc.
Ta có:

p=

f
S

GV: Nguyễn Đức Vinh

(1.2)
6


Mở đầu
Từ công thức, nếu chúng ta lấy giới hạn khi S  0 (diện tích mặt tiếp xúc co lại
thành một điểm), khi đó ta định nghĩa áp suất tại một điểm M tr ên mặt tiếp xúc là:

pM =

df
dS

(1.3)

Áp suất trong chất khí cũng áp dụng t ương tự như áp suất trong chất lỏng. Đơn vị đo
áp suất là N/m2 còn được gọi là Pascal (Pa), thứ nguyên:
[p] = [M].[T] -2.[L]-4
Ngoài ra để đo áp suất người ta còn sử dụng một số đơn vị khác như:

dyn 1 N

 0,1Pa
cm 2 10 m 2
Atmosphere kĩ thuật (at) = 9,81.10 4 N/m2 = 9,81.10 4 Pa
Tor = 1mmHg là áp suất gây nên bởi một cột thủy ngân cao1mm.
Milimet thủy ngân (mmHg)=10 -3m 13,6kg/m 3.9,81m/s 2=133N/m2= 133Pa
Nguyên nhân tạo ra áp suất
Vì phân tử của chất lưu luôn luôn chuyển động hỗn loạn nên khi nó va chạm vào bề
mặt tiếp xúc với vật rắn, nó truyền xung l ượng cho vật rắn. Vậy sự biến thiên xung lượng
của các phân tử chất lưu là nguyên nhân tạo ra áp lực lên mặt tiếp xúc.
2.2. Áp suất hơi:
Là áp suất hơi trên bề mặt chất lỏng kín. Khi tốc độ bốc h ơi của các phân tử lưu chất
bằng tốc độ ngưng tụ thì trên bề mặt lưu chất đạt tới áp suất hơi bão hoà.
2.3. Sức căng bề mặt và hiện tượng mao dẫn:
Xét lực hút giữa các phân tử
chất lỏng và khí trên bề mặt thoáng:

Vì Fkhí < Fnước

nên còn lực

bằng hiệu hai lực trên hướng vào
trong chất lỏng, làm bề mặt chất
lỏng như màng mỏng bị căng ra.
Sức căng bề mặt σ: lực căng
trên 1 đơn vị chiều dài nằm trong bề

GV: Nguyễn Đức Vinh

Hình 1.1 Biểu diễn sức căng bề mặt
7


Mở đầu
mặt cong vuông góc với đường bất kỳ trên bề mặt.
Sức căng bề mặt gắn liền với hiện t ượng mao dẫn:

Hình 1.2 Hiện tượng mao dẫn
2.4. Tính nhớt
Độ nhớt: Khi chất lỏng thực chuyển động sẽ xảy ra quá tr ình trượt giữa các lớp chất
lỏng vì có lực ma sát nội. Lực ma sát n ày gây ra sức cản của chất lỏng đối với chuyển
động tương đối của các phần tử chất lỏng. Tính chất n ày của chất lỏng được gọi là độ
nhớt.
Vì độ nhớt phụ thuộc vào lực ma sát giữa các phân
tử của chất lỏng khi chuyển động n ên phụ thuộc vào cấu
tạo và sự phân bố giữa các phân tử. Do đó sự thay đổi
nhiệt độ và áp suất có ảnh hưởng trực tiếp đến độ nhớt.



Với chất lỏng thì độ nhớt giảm



Với chất khí thì độ nhớt tăng lên
Hình 1.3. Miêu tả tính nhớt

2.5. Tính nén và tính giản nở

Khả năng thay đổi thể tích của chất lỏng khi có sự thay đổi áp suất l à tính nén của
chất lỏng, còn do sự thay đổi nhiệt độ gọi l à tính giản nở.
2.5.1. Tính nén ép
Là sự thay đổi thể tích tương đối của chất lỏng khi áp suất tăng một đ ơn vị. Đặc
trưng cho tính nén là h ệ số nén βp.

hay

(1.4)

Vì sự thay đổi thể tích và áp suất ngược nhau nên trước biểu thức có dấu trừ.
Từ biểu thức trên có thể suy ra:
GV: Nguyễn Đức Vinh

8


Mở đầu
(1.5)

Trong đó:
dV: biến thiên thể tích
dp: biến thiên áp suất
Vo: Thể tích ban đầu của chất lỏng
ρ, ρo: Khối lượng riêng của chất lỏng (sau nén và ban đầu)
2.5.2. Tính dãn nở.
Khi nhiệt dộ thay đổi thì thể tích lưu chất đều thay đổi. Sự thay đổi này được biểu
diễn một cách tổng quát bằng h àm số mũ theo nhiệt độ.
Đối với chất lỏng hàm số biểu diễn theo quan hệ bậc nhất:
V= Vo(1+βt.∆t)

(1.6)

βt: là hệ số dãn nở của chất lỏng. Đó là sư tăng thể tích tương đối khi nhiệt độ của
chất lỏng tăng lên 1 oC. Đơn vị của hệ số dản nở là đô-1
3. Lực tác dụng lên chất lỏng
Lực tác dụng lên chất lỏng thông thường phân làm hai dạng: Nội lực và ngoại lực.
Nội lực: là lực tương tác giữa những phần tử lưu chất với nhau, lực này có giá trị phụ
thuộc vào bản chất của lưu chất.
Ngoại lực tác dụng lên chất lỏng đều có thể phân ra l àm hai loại là lực khối và lực
mặt.
Lực khối tỷ lệ với khối lượng (thể tích) chất lỏng (còn gọi là lực thể tích). Lực khối
gồm có trọng lượng, lực quán tính,... Nó đ ược biểu diễn bằng biểu thức :

(1.7)
Trong đó:
V: là thể tích hữu hạn của chất lỏng chịu tác dụng bởi lực khối .
ρ: là khối lượng riêng của chất lỏng.
R là gia tốc khối (hay lực khối đơn vị).

GV: Nguyễn Đức Vinh

9


Mở đầu
Nếu chất lỏng chỉ chịu tác dụng bởi trọng lực th ì gia tốc khối là gia tốc trọng trường.
Nếu chất lỏng chuyển động với gia tốc th ì gia tốc lực khối gồm gia tốc trọng tr ường và
gia tốc quán tính của chuyển động.
Lực mặt tỷ lệ với diện tích bề mặt chất lỏng. Lực mặt gồm các lực nh ư lực áp, lực
ma sát, ... Lực mặt được tính theo công thức:
(1.8)
Trong đó: P là lực mặt tính trên một đơn vị diện tích.
Áp suất là lực trên một đơn vị diện tích. Nếu chất lỏng cân bằng gọi l à áp suất thuỷ
tĩnh còn chất lỏng chuyển động thì gọi là áp suất thuỷ động. Áp suất tại một điểm được
tính theo :
(1.9)
Đơn vị đo áp suất trong hệ đo l ường cơ bản là Pa, tương đương N/m 2.

GV: Nguyễn Đức Vinh

10


Tĩnh học chất lỏng

CHƯƠNG 2

TĨNH HỌC CHẤT LỎNG
Thủy tĩnh học nghiên cứu các vấn đề về chất lỏng ở trạng thái cân bằng, tức l à không

có sự chuyển động tương đối giữa các phần tử chất lỏng không có sự xuất hiện của ma
sát nhớt. Do đó những kết luận về chất lỏng lý t ưởng cũng đúng cho chất lỏng thực.
1. Áp suất thủy tĩnh
- Khối chất lỏng W đang cân bằng .
- Giả sử cắt bỏ phần trên, ta phải tác dụng
vào mặt cắt đó bằng một hệ lực t ương đương
thì phần dưới mới cân bằng như cũ.
- Trên tiết diện cắt quanh điểm 0 ta lấy một
diện tích w, goi P là lực của phần trên tác
dụng lên w.
Ta có các khái niệm sau:
- P: là áp lực thuỷ tĩnh (hoặc tổng áp lực)
tác dụng lên diện tích w(N, kN...).
- P/w = p: là áp suất thủy tĩnh trung bình

Hình 2.1. Sơ đồ biểu diển áp suất tĩnh

trên diện tích .
P
: áp suất thủy tĩnh tại 1 điểm (hay c òn gọi là áp suất thủy tĩnh).
w 0 w

- lim

Áp suất thủy tĩnh có đặc điểm :
Tác dụng theo phương pháp tuyến và hướng vào trong chất lỏng. Vì nếu theo phương
bất kì và có lực kéo ra phía ngoài thì sẽ làm chất lỏng chuyển động, trái với điều kiện cân
bằng tĩnh của chất lỏng.

GV: Nguyễn Đức Vinh

11


Tĩnh học chất lỏng
Tại một điểm bất kì trong chất lỏng có giá trị bằng nhau theo mọi ph ương.
Là hàm số của tọa độ P = (x, y, z) n ên tại những điểm khác nhau trong chất lỏng th ì có
giá trị khác nhau.
Ngoài ra áp suất thủy tĩnh còn phụ thuộc vào những tính chất vật lý của chất lỏng nh ư
khối lượng riêng và gia tốc trọng trường
2. Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng .

Xét một khối hình hộp chất lỏng vô cùng bé đứng cân bằng có các cạnh x, y, z. Tâm
M(x, y, z) chịu tác động áp suất p(x, y, z).
Hệ tọa độ như hình vẽ.
Điều kiện cân bằng: Tổng h ình chiếu lên các trục của lực mặt và lực thể tích tác dụng
lên khối phải bằng không.
Bằng khai triển Taylor, bỏ qua vi phân bậc cao, lấy số hạng thứ nhất: Khi đó áp suất
tại trọng tâm mặt trái là :
(2.1)
Áp suất tại trọng tâm mặt phải l à:
(2.2)
Lực thể tích tác dụng l ên một đơn vị khối lượng chất lỏng theo phương Ox là Fx
GV: Nguyễn Đức Vinh

12


Tĩnh học chất lỏng
Theo điều kiện cân bằng ta có:

Xét theo phương x:

(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
- Tương tự theo phương y và z ta có hệ sau:

(2.7)
Tổng hộp ba phương trình ta có:

(2.8)
Đây là hệ phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng hay hệ ph ương
trình Euler.
Dưới dạng vecto phương trình viết lại như sau:

(2.9)
Phương trình này biểu thị sự phụ thuộc của áp suất thủy tĩnh theo tọa độ: p= p(x,y,z).
Khi lực thể tích tác dụng vào chất lỏng chỉ là trọng lực thì chất lỏng được gọi là chất
lỏng trọng lực. Trong hệ tọa đ ộ vuông góc mà trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng
lên trên, thì đối với lực thể tích F tác dụng l ên một đơn vị khối lượng của chất lỏng trọng
lực, ta có: F x = 0, F y = 0, Fz = -g.
GV: Nguyễn Đức Vinh

13


Tĩnh học chất lỏng
Suy ra:

;

(2.10)
(2.11)

Lấy tích phân hai vế, ta đ ược phương trình cân bằng tĩnh lực học chất lỏng nh ư sau:
z

P
 const
gρ

(2.12)

Phương trình trên được gọi là phương trình cơ bản của tĩnh lực học chất lỏng. Nó
được dùng để xác định áp suất thủy tĩnh trong khối chất lỏng tại những điểm khác nhau và
chỉ rõ trong khối chất lỏng đồng nhất ở trạng thái tĩnh th ì mọi điểm cùng nằm trên mặt
phẳng nằm ngang đều có cùng một áp suất thủy tĩnh, gọi là mặt đẳng áp.
Tính chất của mặt đẳng áp
- Mặt đẳng áp là mặt có áp suất bằng nhau.
- Mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực là những mặt song song và thẳng góc với trục
oz. Nói cách khác chúng là nh ững mặt phẳng nằm ngang
Nhận xét:
- Những điểm cùng độ sâu thì áp suất sẽ bằng nhau đối với cùng một loại chất lỏng
- Những điểm ở sâu hơn thì áp suất thuỷ tĩnh sẽ lớn hơn và ngược lại.
Ví dụ 1:
- Trong hình vẽ sau ba điểm A, B, C có c ùng độ sâu h cùng áp suất mặt thoáng như
nhau thuộc ba hình thì có áp suất bằng nhau (trong trường hợp cùng thông với khí quyển).

3. Sự cân bằng chất lỏng trọng lực

3.1. Định luật bình thông nhau:
GV: Nguyễn Đức Vinh

14


Tĩnh học chất lỏng
Nếu hai bình thông nhau đựng chất lỏng khác
nhau có áp suất mặt thoáng bằng nhau, độ cao của
chất lỏng mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất
lỏng đến mặt thoáng sẽ tỉ lệ nghịch với trọng
lượng đơn vị của chất lỏng tức là:
Hình 2.2 Bình thông nhau
Nhận xét: Nếu chất lỏng chứa ở b ình thông nhau cùng một loại (γ1=γ2) thì mặt tự do
của chất lỏng ở hai bình cùng trên một độ cao tức h 1=h2
3.2. Định luật pascal
Ví dụ: xét một bình chứa chất lỏng.
Áp suất tại điểm A trong một b ình chứa chất lỏng là:
pa = p0 + γh

(2.13)

Nếu ta tăng áp suất tại mặt thoáng l ên ∆p thì áp suất tại điểm A đó sẽ là:
PII = (p0 + ∆p) + γh

(2.14)

Vậy tại A áp suất tăng:
PII- pa = ∆p
Phát biểu định luật pascal: “Độ biến

thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn
của một thể tích chất lỏng cho tr ước được
truyền đi nguyên vẹn đến mọi điểm của thể
tích chất lỏng đó”.
Trong chất lỏng không bị nén ép ở trạng
thái tĩnh nếu ta tăng áp suất P 0 tại mặt thoáng
lên một giá trị nào đó, thì áp suất P ở mọi vị trí
khác nhau trong chất lỏng cũng tăng lên một
giá trị như vậy.

Hình 2.3. Sơ đồ lực tác dụng

Nhiều máy móc đã được chế tạo theo định
luật Pascal như: Máy ép thủy lực, máy kích, máy tíc h năng, các bộ phận truyền động...
Xét một ứng dụng máy ép thủy lực:
GV: Nguyễn Đức Vinh

15


Tĩnh học chất lỏng
Máy gồm hai xy lanh có diện tích khác nhau thông với nhau, chứa c ùng một chất lỏng
và có pittông di chuyển. Pittông nhỏ gắn vào đòn bẩy, khi một lực F nhỏ tác dụng v à áp
suất tại xylanh lên đòn bẩy, thì lực tác dụng lên pittông nhỏ sẽ tăng lên và bằng P1, áp suất
tại xilanh nhỏ bằng p1 

P1
, trong đó w1 là diện tích mặt cắt ngang xilanh nhỏ.
w1

Theo định luật Pascal, áp suất p 1 này sẽ truyền tới mọi điểm trong môi chất lỏng, do
đó sẽ truyền lên mặt pittong lớn w2
Như vậy, tổng áp lực P tác dụng lên pittông:
(2.15)

Hình 2.4. Máy ép thủy lực
Qua (2.15) ta thấy tỷ lệ w2/w1 càng lớn thì lực P2 càng lớn. Điều này có nghĩa là nếu
tiết diện w2 lớn hơn w1 bao nhiêu lần thì lực P2 cũng lớn hơn P1 bấy nhiêu lần
3.3. Áp lực của chất lỏng lên đáy bình và thành bình
Áp suất trên thành bình thay đổi theo chiều sâu của chất lỏng chứa trong b ình và được
tính theo công thức: (xem hình 1.)
PA = P0 + ghA

(2.16)

Trong đó P o là áp suất tác dụng từ bên ngoài vào mặt thoáng chất lỏng.

GV: Nguyễn Đức Vinh

16


Tĩnh học chất lỏng

Hình 2.5: Áp suất thủy tĩnh tại điểm A
Do đó, lực tác dụng lên thành và đáy bình không phụ thuộc vào hình dáng và thể tích
của bình mà chỉ phụ thuộc vào độ sâu của mực chất lỏng trong b ình và diện tích tác dụng.
G = P.F = (P 0 + gH)F

(2.17)

Trong đó F là diện tích thành hoặc đáy bình chịu tác dụng của áp lực.
Từ công thức (2.17) ta thấy, áp lực chung của chất lỏng tác dụng l ên thành bình được
hợp bởi 2 lực:
- Lực do áp suất bên ngoài P 0 truyền vào chất lỏng đến mọi điểm trong b ình với
trị số như nhau
- Lực do áp suất của cột chất lỏng hay áp suất d ư gH gây ra thì thay đổi theo
chiều cao thành bình, càng sâu trị số càng lớn.
4. Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh.
Ta có phương trình cơ bản tĩnh lực học chất lỏng nh ư sau:

4.1. Ý nghĩa hình học:
 Z: là độ cao hình học của điểm đang xét với mặt chuẩn nằm ngang.
 p/γ: độ cao áp suất
 H: gọi là cột nước thủy tĩnh, nó là độ cao đo áp tuyệt đối (nếu p l à áp suất
tuyệt đối) hoặc dư (nếu p là áp suất dư).

GV: Nguyễn Đức Vinh

17


Tĩnh học chất lỏng
Vậy phương trình cơ bản thủy tĩnh học có nghĩa là: Trong một môi trường chất lỏng
đứng cân bằng, cột nước thủy tĩnh đối với bất kỳ một điểm nào là một hằng số.

Hình 2.6 Sơ đồ biểu diễn mức năng lượng
4.2. Ý nghĩa năng lượng (ý nghĩa vật lý):
 Z: Vị năng đơn vị, hoặc gọi tỷ vị năng.
 p/γ: Áp năng đơn vị, hoặc gọi tỷ áp năng

 H: Thế năng đơn vị, hoặc gọi tỷ thế năng.
Vậy thế năng đơn vị của chất lỏng đứng cân bằng l à một hằng số đối với mọi điểm
trong chất lỏng.
5. Áp suất chất lỏng trong tĩnh t ương đối
5.1. Bình chứa chất lỏng chuyển động tịnh tiến có gia tốc không đổi
Để xác định qui lụât phân bố áp suất
chúng ta chọn hệ toạ độ không quán tính (hệ
toạ độ được gắn vào bình chứa chất lỏng).
Thành phần gia tốc khối theo các trụ toạ độ:
Phân bố áp suất:

Với:

Fx = -a; Fy = 0; Fz = -g.

GV: Nguyễn Đức Vinh

Hình 2.7 Chất lỏng chuyển động tịnh
tiến
18


Tĩnh học chất lỏng
Suy ra:

(2.18)
Đối với hai điểm A và B theo phương thẳng đứng:

pA
p

 gZ A  B  gZ B


 pB  p A   hAB
 p  pa   h

(2.19)

*

Phương trình mặt đẳng áp:

 adx  gdz  0  ax  gz  C  z  

a
xC
g

(2.20)

5.2. Bình quay đều (w=const)
Chuyển động quay của bình được truyền vào chất lỏng. Phân tố lỏng ở tại r sẽ có vận
tốc u = r.w . Lực chất lỏng tác dụng l ên phân tố lỏng gồm có trọng lực v à và lực ly tâm.
chuyển động
Phân bố áp suất:
Trong trường hợp này ta có:

Theo phương trình vi phân cơ bản, thay
các giá trị lực vào ta có:

Suy ra:

(2.21)

Hình 2.8 Bình quay đều

Đối với hai điểm A và B theo phương thẳng đứng:

GV: Nguyễn Đức Vinh

19


Tĩnh học chất lỏng

p A w2 rA2
pB w2rB2
ZA 

 ZB 


2g

2g
 pB  p A   hAB
 p  pa   h

(2.22)

*

Phương trình mặt đẳng áp:

w2 r 2
w xdx  w ydy  gdz  0  z 
C
2g
2

2

w2 r 2
z
C
2g

(2.23)

Đây là phương trình của những mặt parabônlôit. Khi C=0 chún g ta có phương trình
mặt thoáng.
Từ phương trình trên ta thấy: nếu w càng lớn thì đỉnh parabôn càng tụt xuống, thậm
chí xuống dưới đáy bình. Trong bơm li tâm có vòng quay lớn thì lực ly tâm lớn hơn trọng
lực nên chúng ta có thể bỏ qua thành phần trọng lực. Mặt đẳng áp trong trường hợp này
là mặt trụ đối xứng với trục quay. Áp suất đ ược tính theo công thức sau:

(2.24)

GV: Nguyễn Đức Vinh

20


ĐỘNG HOC CHẤT LƯU

CHƯƠNG 3

ĐỘNG HỌC CHẤT LƯU

I. HAI PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT
1. HẠT CHẤT LƯU
Trong cơ học chất lưu khái niệm chất điểm vẫn được dùng, dưới tên gọi khác đi là
hạt chất lưu. Cũng như chất điểm hay điện tích điểm, hạt chất l ưu phải có kích thước
rất nhỏ so với các khoảng cách đặc tr ưng của bài toán đang xét, nhưng không nh ỏ đến
mức độ nguyên tử, phân tử. Mỗi hạt chất l ưu phải chứa một số lớn các nguy ên tử, phân
tử vật chất, để cho chất lưu vẫn có thể coi như một môi trường liên tục.
Chẳng hạn, khi xét dòng nước chảy trong một ống nước thì kích thước của hạt chất
lưu phải nhỏ hơn nhiều so với đường kính của ống nước, nhưng lại lớn hơn nhiều so
với khoảng cách trung bình giữa các phân tử nước. Nếu đường kính ống nước là cỡ
0,1m, và biết rằng khoảng cách trung b ình giữa các phân tử nước là 10-10 m, người ta
có thể chọn hạt chất lưu có kích thước khoảng 10 -6 m. Một hạt nước như thế vẫn còn
chứa đến 10 10 phân tử nước.
Để mô tả chuyển động của các hạt chất l ưu trong một dòng chảy, người ta có thể
chọn khảo sát quỹ đạo của từng hạt chất l ưu một (phương pháp Lagrange) hay dùng
khái niệm trường vận tốc (phương pháp Euler).
2. PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE
Như đã nói ở trên, cách mô tả Lagrange đòi hỏi phải biết quỹ đạo của các hạt chất
lưu, đó cũng chính là cách mô tả quen thuộc trong cơ học, dựa vào các vectơ vị trí
vận tốc

 
v (r (t ), t ) và

gia tốc

 
a (r (t ), t )


r (t ) ,

của từng hạt.

Nói một cách hình tượng, thì phương pháp Lagrange tương đương v ới việc đánh
dấu các hạt chất lưu trong một dòng chảy, bằng cách nhuộm màu chúng chẳng hạn, rồi
chụp ảnh dòng chảy với thời gian mở ống kính thật d ài để có thể thấy được đường đi
của các hạt đánh dấu. H ình 2.1 cho thấy một ảnh chụp như thế của một dòng chảy
quanh một ống trụ.
GV: Nguyễn Đức Vinh

21


ĐỘNG HOC CHẤT LƯU

Hình 3.1
Do số lượng hạt quá lớn nên phương pháp Lagrange g ặp nhiều trở ngại trong các
tính toán thực tế. Trong các ứng dụng ng ười ta hầu như chỉ dùng cách mô tả dòng chảy
bằng trường vận tốc do Euler đề ra.
3. PHƯƠNG PHÁP EULER

Chúng ta hẳn đã rất quen thuộc với cách mô tả tính chất điện v à từ của một môi
trường bằng các khái niệm điện tr ường và từ trường. Theo đó các vectơ điện trường và
từ trường được xác định tại mọi điểm của không gian cần khảo sát. Đối với điện
trường và từ trường tĩnh thì



E và B chỉ

là các hàm của vị trí, còn khi điện từ trường

biến thiên thì chúng là hàm của cả vị trí lẫn thời gian.
3.1 TRƯỜNG VẬN TỐC
Theo phương pháp Euler ngư ời ta cũng làm tương tự như vậy đối với dòng chảy.
Vận tốc tức thời của dòng chảy tại các điểm khác nhau trong d òng chảy, tức là biểu
thức

 
v (r , t ) ,

phải được xác định. Như vậy dòng chảy tương ứng với một trường vận tốc.

Lưu ý là ở đây


r là

vị trí của các điểm trong dòng chảy, chứ không phải là vị trí của

các hạt chất lưu, vì thế r và t là các biến số độc lập. Một cách h ình tượng thì cách mô

tả Euler tương ứng với việc chụp hình nhanh dòng chảy ở các thời điểm khác nhau.

Hình 3.2
GV: Nguyễn Đức Vinh

22


ĐỘNG HOC CHẤT LƯU

Hình 3.2 cho ta thấy một ví dụ về trường vận tốc; đó là kết quả mô phỏng trên máy
tính cho trường vận tốc tại tâm một c ơn lốc.
3.3 GIA TỐC CỦA HẠT CHẤT LƯU
Theo cách mô tả Euler, mặc dù không dùng biểu thức tường minh của vận tốc hạt,
người ta vẫn có thể xác định được gia tốc hạt chất lưu.
Thật vậy, xét một hạt chất l ưu ở vị trí
chuyển tới vị trí



r  dr .


r vào

thời điểm t, tới lúc t+dt thì hạt di

Vậy vận tốc của hạt lúc t và t+dt là

 

 

v (r , t ) và v (r  dr , t  dt ) .

Độ

biến thiên vận tốc của hạt sẽ là:

v
  

 
 
dv  v (r  dr , t  dt )  v (r , t )  dt
 (dr . )v
t

(3.1)

Chia biểu thức trên cho dt ta thu được gia tốc của hạt chất lưu:

 v   
a
 (v . )v
t

(3.2)

Về mặt hình thức, biểu thức trên cũng giống như đạo hàm toàn phần của vận tốc
theo thời gian, nếu coi vị trí là hàm của thời gian. Nhưng sự thật là chúng ta đã không

lấy đạo hàm toàn phần của vận tốc, vì vị trí ở đây không phụ thuộc v ào thời gian. Để
chỉ rõ rằng đấy không phải là đạo hàm toàn phần theo thời gian, một số tác giả đ ã dùng
khái niệm đạo hàm theo hạt, định nghĩa như sau:
D


  (v . )
Dt t

(3.3)

Như vậy theo cách mô tả của Euler th ì gia tốc của hạt chất lưu ở một vị trí nào đó là
đạo hàm theo hạt của trường vận tốc tại vị trí đó:

 Dv
a
Dt

(3.4)

Có tên gọi đạo hàm theo hạt là vì, như trình bày trên đây, chúng ta đã đi theo hạt
chất lưu trong quá trình tính toán độ biến thiên của vận tốc. Trong cách mô tả của
Euler, nếu muốn tính tốc độ biến thi ên của một đại lượng nào đó dọc theo đường đi
của một hạt, thì nhất thiết phải dùng đạo hàm theo hạt.
II. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TH ƯỜNG DÙNG
Trong nghiêng cứu chuyển động của chất lỏng ng ười ta thường tiến hành cho dòng
nguyên tố, sau đó áp dụng cho t òan dòng chảy. Một số khái niệm cơ bản về dòng
chuyển động của chất lỏng là:
1. Đường dòng

GV: Nguyễn Đức Vinh

23


ĐỘNG HOC CHẤT LƯU

Đường dòng là đường cong mà tiếp tuyến của nó tại mỗi điểm tr ên đường này
trùng với vectơ vận tốc chuyển động của chất lỏng, nghĩa l à vectơ quảng đường trùng
với vectơ vận tốc.
2. Dòng nguyên tố
Tập hợp các đường dòng tựa trên một vòng kín vô cùng nhỏ tạo nên một ống dòng.
Dòng chất lỏng chảy trong ống d òng gọi là dòng nguyên tố.

Hình 3.3
Ý nghĩa vật lý của dòng nguyên tố: Biểu diễn phương chuyển động của chất lỏng
tại một thời điểm và thể hiện sự phân bố các vect ơ vận tốc trong một khoảnh khắc.
Các tính chất của dòng nguyên tố là:
 Dòng nguyên tố của chuyển động không dừng thay đổi h ình dạng theo thời
gian.
 Chất lỏng chuyển động dọc theo d òng nguyên tố mà không chuyển động xiên
 Trên tiết diện ngang của dòng nguyên tố thì sự phân bố các yếu tố thủy động
giống nhau
 Trong chuyển động dừng thì quỹ đạo và đường dòng trùng nhau
Đường dòng trong quỹ đạo phẳng được biểu diển bởi hàm dòng ψ(x,y).

(3.5)
Hay

(3.6)

3. Các yếu tố thủy lực của dòng chảy
Mặt cắt ướt A: là mặt cắt vuông góc với vect ơ của dòng chảy.

GV: Nguyễn Đức Vinh

24


ĐỘNG HOC CHẤT LƯU

Chu vi ướt χ: Là phần chu vi của mặt ướt tiếp xúc với thành rắn giới hạn dòng
chảy.
Bán kính thủy lực R: là tỉ số giữa mặt cắt ướt và chu vi uớt. R = A/ χ

Lưu ý: bán kính thủy lực không phải là bán kính trong của ống trụ tròn
III. Phân loại chuyển động.
Trong thực tế, người ta có thể phân lọai chuyển động của chất l ưu theo nhiều cách
khác nhau, thông thường thì phân chia theo tính chất chuyển động của chất l ưu.
Theo tính chất chuyển động thì phân thành hai loại: chuyển động không dừng v à
chuyển động dừng.
Nếu các đại lượng đặc trưng cho chuyển động của chất lỏng phụ thuộc v ào không
gian và thời gian thì chuyển động đó được gọi là chuyển động không dừng.
(3.7)
Nếu các đại lượng đặc trưng cho chuyển động của chất lỏng không phụ thuộc v ào
thời gian thì chuyển động đó được gọi là chuyển động dừng.

(3.8)
Trong kỹ thuật thường gặp các chuyển động không dừng, nh ưng nếu thời gian đủ
lớn mà các yếu tố chuyển động không thay đổi đáng kể th ì có thể coi dòng chuyển
động đó là chuyển động dừng trung bình theo thời gian và các yếu tố chuyển động

trung bình theo thời gian được xét như trong chuyển động dừng.
Nếu phần tử chất lỏng chuyển động và quay quanh trục tức thời đi qua chính nó th ì
chuyển động đó được gọi là chuyển động xoáy. Chuyển động n ày được mô tả bằng
phương trình.
(3.9)
Trong đó:
GV: Nguyễn Đức Vinh

25


ĐỘNG HOC CHẤT LƯU

v: là vận tốc chuyển động của phân tố chất lỏng
w: là vận tốc chuyển động quay của phân tố chất lỏng
Nếu các phân tử chuyển động m à không quay quanh trục của nó là gọi là chuyển
động không xoáy. Phương trình chuyển động không xoáy:
(3.10)
IV. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA LƯU CHẤT
1. Khái niệm
Trong thực tế, ta thường gặp các loại chuyển động nh ư chuyển động của nước,
dầu…trong ống, kênh, các máy thủy lực…tức là lưu chất chuyển động bên trong biên
rắn; hoặc chuyển động của không khí bao quanh nh à cửa, xe hơi, máy bay hay nước
bao quanh tàu thuyền,… tức là lưu chất chuyển động bên ngoài vật rắn. trong cả hai
trường hợp lưu chất được xem là một môi trường liên tục, phần tử lưu chất về mặt vật
lí được xem là khối lượng vô cùng nhỏ, về mặt toán học vị trí của từng phần tử l ưu
chất là 1 điểm trong lưu chất ấy.
Như vậy, khi việc tìm hiểu động học lưu chất là nghiên cứu chuyển động của các
phần tử mà không xét đến nguyên nhân gây ra chuyển động (các lực tác động). Các
thông số cần quan tâm ở đây gồm: vận tốc, gia tốc của các phần tử l ưu chất và sự biến

thiên của các đại lượng này theo thời gian.
Ngoài ra dựa vào kết quả giải các phương trình vi phân của chuyển động, phương
trình liên tục,… mà chúng ta có thể nghiên cứu các đặc trưng, quy luật chuyển động
của dòng chảy tự do trong một không gian vô bi ên, trong môi trường chất lỏng, chất
khí và các lực tương tác giữa chúng hay các ngành khoa học kĩ khác như: thuỷ lực học,
khí động học, động lực hàng không, lí thuyết lớp biên, lí thuyết luồng, lí thuyết cánh, lí
thuyết dòng xoáy,…
2. Phương trình liên tục (định luật bảo toàn dòng):
2.1 Chất lỏng lý tưởng:
Chất lỏng lý tưởng là chất lỏng mà ta có thể bỏ qua lực ma sát nhớt của các phần
bên trong chất lỏng khi chuyển động tương đối với nhau. Ðối với chất lỏng lý tưởng, ta
sẽ biểu diễn đường đi của một phân tử chất l ưu bằng một đường dòng mà tiếp tuyến
với nó tại mọi điểm có ph ương chiều trùng với véc tơ vận tốc của chất lưu tại điểm đó.
Tập hợp toàn bộ các đường dòng biểu diễn cho cả khối chất lưu được gọi là ống dòng.
GV: Nguyễn Đức Vinh

26


ĐỘNG HOC CHẤT LƯU

Nếu chúng ta cắt ống dòng bằng một mặt phẳng S vuông góc đồng thời với các
đường dòng, thì tại mọi điểm trên diện tích S nầy vận tốc các phân tử sẽ có độ lớn
bằng nhau.
2.2 Phương trình liên tục:
Theo định luật bảo toàn khối lượng, khối lượng của một hệ thống không thay đổi

dm
0
dt

theo thời gian:

Áp dụng phương trình vận chuyển với X là khối lượng của hệ thống lưu chất:
X=



w

x dW  m    dW
w

vậy x = 1


dm
m

   u .ndA  0
S
dt HT t CV
hay :



W

(3.11)



dW   u .ndA  0
S
t

(đây là dạng tích phân của phương trình liên tục)
Bằng phép biến đổi Gauss biến từ tích phân diện tích sang tích phân thể tích ta có:



dW   div ( u )dW  0
W t
W
hay :



(3.12)


 

div
(

u
)dW  0
W  t






Tích phân trên áp dụng cho thể tích W bất k ì nên ta có dạng vi phân của phương
trình liên tục là:



 div (  u )  0
t

(3.13)

 Trường hợp lưu chất không nén được (ρ = const), chuyển động ổn định phương


trình liên tục có dạng: div u = 0

(3.14)

Trên hệ tọa độ vuông góc phương trình trên có dạng:

u x u y u z


0
x y z

(3.15)

Trong hệ tọa độ trụ phương trình (5) có dạng:
l 
l u u z
( ru r ) 

0
r r
r 
z
GV: Nguyễn Đức Vinh

(9)
27