Bài tiểu luận các công thức tích phân cauchy
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (241.1 KB, 17 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC
ĐỀ TÀI
CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY
ĐẮK LẮK, NĂM 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC
ĐỀ TÀI
CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG
ĐẮK LẮK, NĂM 2016
DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN
1q
2q
3q
4q
5q
6q
7q
8q
9q
Huỳnh Đậu Mai Phương
Đinh Như Mạnh Hùng
Hoàng Văn Phung
Nguyễn Hồng Quân
Mai Đức Chung
Lê Hồ Quang Minh
Bùi Nguyễn Luân
Trần Kông Long
Vi Ánh Mừng
i
MỤC LỤC
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
iii
Mở đầu
1
1 Kiến thức chuẩn bị
2
2 Các công thức tích phân Cauchy
5
Kết Luận
11
ii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
N
N0
E✝
E✶
✶
Eco
B a, r
B a, r
l1
c0
c
0
intU
U
XK
P E, F
Hb E, F
♣ q
♣ q
♣
♣
q
q
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
H ♣U q :
H ♣U, F q :
:
N♣Nq
tr.
:
✏t
✏ ❨t ✉
✉
Tập hợp các số tự nhiên N
1, 2, . . .
Tập hợp các số N0 N
0
Đối ngẫu đại số của E
Đối ngẫu topo của E
Không gian E ✶ với topo compact mở
Hình cầu mở tâm a bán kính r
Hình cầu đóng tâm a bán kính r
Không gian Banach các dãy số phức khả tổng tuyệt đối
Không gian Banach các dãy số phức hội tụ về không
Tập các dãy số thực dương hội tụ về không
Phần trong của U
Bao đóng của U
Không gian Banach sinh bởi K X
Không gian các đa thức từ E vào F
Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập
bị chặn của E giá trị trong F
Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng
Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F
Tập các đa chỉ số
Trang
⑨
iii
Mở đầu
Trong tiểu luận này chúng ta sẽ được biết cách xây dựng công thức tích
phân Cauchy và một số hệ quả của nó.
1
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả cần thiết, liên quan
đến nội dung chính của tiểu luận.
Định nghĩa 1.0.1. Giả sử E, F là các không gian Banach còn m N. Ánh
F gọi là m- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến. Nghĩa
xạ A : E m
là với mọi a
a1 , a2 , ..., am
E m và mọi 1 j m, các ánh xạ
Ñ
✏♣
↕ ↕
q
Ej ◗ xj Ñ A♣a1 , ..., aj ✁1 , xj , aj 1 , ..., am q
là tuyến tính.
q
♣
♣
q
Kí hiệu: La m E, F và L m E, F lần lượt là các không gian vectơ các ánh
xạ m- tuyến tính và m- tuyến tính liên tục từ E m vào F tương ứng. Với
A La m E, F , xác định
♣
q
⑥A⑥ ✏ sup ⑥A♣x1, ..., xmq⑥ : xj E, ⑥xj ⑥ ↕ 1, 1 ↕ j ↕ m
và gọi là chuẩn (suy rộng) của A.
Khi m 1, ta viết La 1 E, F
La E, F và L 1 E, F
L E, F . Khi F
K
m
m
m
m
viết La E, K
La E và L E, K
L E . Cuối cùng khi m 1, sẽ
#
viết như thông thường La E
E ,L E
E ✝.
✏
♣
♣ q✏ ♣ q ♣ q✏ ♣ q
✏
q✏ ♣ q ♣
q✏ ♣ q
✏
♣ q✏
♣ q✏
Định nghĩa 1.0.2. Ánh xạ P : E Ñ F gọi là đa thức m-thuần nhất (thuần
nhất bậc m)nếu tồn tại A La ♣m E, F q sao cho
P ♣xq ✏ Axm ❅x E
.
♣
q
Kí hiệu: Pa m E, F không gian vec tơ các đa thức m- thuần nhất từ E
tới F và P m E, F là không gian con gồm các đa thức m- thuần nhất liên tục
♣
q
2
của Pa
♣mE, F q. Đối với mỗi P Pa♣mE, F q, đặt
⑥P ⑥ ✏ sup ⑥P ♣xq⑥ : x E, ⑥x⑥ ↕ 1
và gọi là chuẩn ( suy rộng) của P .
Khi F
K ta viết Pa m E, K
Pa
✏
♣
q ✏ ♣mE q và P ♣mE, Kq ✏ P ♣mE q.
Định nghĩa 1.0.3. Chuỗi lũy thừa từ E tới F tại điểm a E là chuỗi có
✽
➦
dạng
Pm ♣x ✁ aq, ở đây Pm Pa ♣m E, F q với mọi m N0 .
m✏ 0
Chú ý rằng chuỗi lũy thừa
đây Am
♣
Lsa m E, F
✽
➦
m✏ 0
♣ ✁ aq có thể viết như
Pm x
q, A♣m ✏ Pm.
✽
➦
m✏ 0
♣ ✁ aqm, ở
Am x
Ñ
♣ q⑨
Định nghĩa 1.0.4. Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U
F gọi là
chỉnh hình hay giải tích nếu với mọi a U tồn tại trong hình cầu B a, r
U
và một dãy các đa thức Pm P m E, F sao cho
♣
♣ q✏
f x
q
✽
➳
m✏0
♣ ✁ aq
Pm x
B♣a, rq.
Kí hiệu: H♣U, F q là không gian véc tơ các ánh xạ chỉnh hình từ U vào F .
Khi F ✏ C ta viết H♣U, Cq ✏ H♣U q. Dãy ♣Pm q trong định nghĩa là được xác
định duy nhất bởi f và a, ta kí hiệu Pm ✏ P m f ♣aq với mọi m N0 . Chuỗi
✽
➦
P m f ♣aq♣x ✁ aq như thông thường gọi là chuỗi Taylor của f tại a. Ta kí hiệu
m✏ 0
m f ♣aq ✏ P m f ♣aq.
Am f ♣aq là phần tử duy nhất thuộc Ls ♣m E, F q thỏa mãn A④
➦✽
Định lí 1.0.5. Cho R là một bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa m✏0 Pm ♣x ✁
aq. khi đó:
hội tụ đều với x
(a) R xác định bởi công thức Cauchy- Hadamard
✏ mlim
sup ⑥Pm ⑥
Ñ✽
¯ ♣a; rq khi 0 ↕ r ➔ R.
(b) Chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên B
Bổ đề 1.0.6. Cho ♣cm q✽
m✏0 là một dãy trong F . Nếu có r → 0 thỏa mản
➦✽
m
m✏0 cm λ ✏ 0 với mọi λ K với ⑤λ⑤ ↕ r thì cm ✏ 0 với mọi m N0
1
R
1
m
3
➦✽
♣ q ✏ ➦✽
m
Mệnh đề 1.0.7. Cho m✏0 Pm x
m✏0 Am x là một chuỗi lũy thừa từ E
vào F với bán kính hội tụ R 0. Lấy e1 , . . . , en E với e1
...
en
1,
tập hợp
m!
Am eα1 1 . . . eαnn
cα
α!
với mỗi α
α1 , . . . , αn
Nn0 với α
m. khi đó ta có
→
✏♣
✽
➳
m✏0
✏
q
♣
Pm ξ1 e1
⑤ ⑤✏
. . . ξnenq ✏
➳
⑥ ⑥✏
✏⑥ ⑥✏
cα ξ1α1 . . . ξnαn
α
⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ➔ R④e. Cả hai chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều với
⑤ ⑤ ⑤ ⑤↕
↕ r ➔ R ④e
Bổ đề 1.0.8. Cho Cα F cho mổi bộ α ✏ ♣α1 , . . . , αn q Nn0 . Nếu có
➦
r → 0 thỏa mản chuỗi α cα λα1 . . . λαn hội tụ tuyệt đối tại không khi ⑤λ1 ⑤ ↕
r, . . . , ⑤λn ⑤ ➔ r, thì cα ✏ 0 vơi mọi α
Mệnh đề 1.0.9. P ♣E; F q ⑨ H ♣E; F q
Mệnh đề 1.0.10. Cho ♣fm q là một dãy trong E ✶ hội tụ đến không. nếu chúng
mỗi khi ξ1
...
ξn
ξ1
...
ξn
r khi 0
1
ta đặt
♣ q✏
f x
thì f
H ♣E q
✽
➳
n
♣ϕm♣xqqm
với mọi x
m✏ 0
E
♣q✏ ♣ q
Mệnh đề 1.0.11. Cho U là một tập con mở của E và a
E. Với mổi
f H U ; F cho fa : U a
F được định nghĩa bằng fa t
f a t với
mọi t U a ta có:
(a) fa H U a; F và P m fa t
P m f a t với mọi t U a và
m N0
(b) ánh xạ f
fa là một vectơ không gian đẳng cấu giữa H U ; F và
U a; F
♣ ✁
♣ q
✁ Ñ
✁
♣ ✁ q
♣q✏
♣ q
Ñ
q
✁
♣
q
Hệ quả 1.0.12. Cho µ là một độ đo Borel hữu hạn trên một không gian
Hausdorff compact X. Cho fn là một dãy ánh xạ liên tục từ X vào Y mà
hội tụ đều trên X đến một ánh xạ f . Khi đó f liên tục và
♣ q
➺
f dµ
với mổi A
➦
A
✏ nlim
Ñ✽
4
➺
fn dµ
A
Chương 2
Các công thức tích phân Cauchy
♣
q
♣ q
Định lí 2.0.13. Cho U là tập con mở của E, f H U, F , a U, t E và
r 0 sao cho a ζt U với mọi ζ ¯ 0, r khi đó, với mổi λ
0; r ta
có công thức tích phân Cauchy
→
♣ q
➺
♣ ζtq dζ
✁λ
Chứng minh. Nếu ψ F ✶ thì hàm g ♣ζ q ✏ ψ✆ f ♣a ζtq là hàm chỉnh hình trên
một lân cận của đỉa đóng ¯ ♣0; rq. Bằng công thức tích phân Cauchy đối với
♣ λtq ✏
f a
1
f a
2πi ⑤ζ ⑤✏r ζ
hàm chỉnh hình một biến phức ta có:
ψ
✆ f ♣a λtq ✏ g♣λq➺
1
✏ 2πi
✏
với mổi λ
♣q
✁
✆ ♣ q
✁
g ζ
dζ
λ
⑤
ζ ⑤✏r ζ
➺
1
ψ f a ζt
dζ
2πi ⑤ζ ⑤✏r
ζ λ
♣0; rq. Vì F ✶ tách điểm của F đòi hỏi kết luận sau
♣
q
Hệ quả 2.0.14. Cho U là một tập con mở của E, và cho f
H U; F .
¯ 0; r . Với mỗi
Cho a U, t E và r
0 sao cho a ζt U với mọi ζ
λ
0; r ta có khai triển chuổi dạng
♣ q
→
♣ λtq ✏
f a
Ở đây
✏
➺
✽
➳
m✏ 0
cm λm
♣ q
1
f a λt
cm
dζ
2πi ⑤ζ ⑤✏r ζ m 1
Chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều với λ
S r
⑤ ⑤↕ ➔
5
♣ q
⑤ ⑤ ➔ ⑤ζ ⑤ ✏ r ta có
f ♣a ζtq
✽
➳
f ♣a ζtq
f ♣a ζtq
ζ
✏
✏
λm
ζ
✁
λ
ζ ✁λ
ζ m 1
ζ
m✏ 0
và vì f là bị chặn trên ta ζt : ⑤ζ ⑤ ✏ r✉, chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều đối với
⑤ζ ⑤ ✏ r và ⑤λ⑤ ↕ s ➔ r. Bằng hệ quả (1.0.12) ta có thể tích phân từng số hạng
Chứng minh. Với λ
để nhận được:
➺
➺
✽
♣ ζtq dζ ✏ ➳
f ♣a ζtq
λm
dζ
m 1
✁λ
ζ
⑤
ζ
⑤✏
r
m✏ 0
f a
⑤ζ ⑤✏r ζ
⑤ ⑤ ↕ s. Áp dụng định lí
Chuỗi cuối cùng hội tụ tuyệt đối và đều đối với λ
(2.0.13) ta có điều phải chứng minh.
♣
q
Hệ quả 2.0.15. Cho U là tập con mở của E, f H U ; F , a U, t E và
r 0 sao cho a ζt U với mọi ζ ¯ 0; r . Khi đó với mỗi m N0 ta có
công thức tích phân Cauchy:
→
♣ q
♣ q♣ q ✏
P mf a t
➺
♣ q
f a ζt
1
dζ
2πi ⑤ζ ⑤✏r ζ m 1
Chứng minh. Vì f là chỉnh hình ta có khai triển chuổi dạng
♣ λtq ✏
f a
⑤ ⑤↕
→
✽
➳
m✏0
m
♣ q♣ q ✏
P f a λt
✽
➳
m✏ 0
♣ q♣ q
λm P m f a t
với λ
,
0 đủ nhỏ. Bằng cách so sánh khai triển chuỗi này với khai
triển chuỗi có được từ hệ quả (2.0.14) và áp dụng bổ đề (1.0.6) có bất đẳng
thức Cauchy.
♣
q
Hệ quả 2.0.16. Cho L là tập con mở của E, f H U ; F , a U, t E và
r 0 sao cho a ζt U với mọi ζ ¯ 0; r . Khi đó với mỗi m N0 ta có
bất đẳng thức Cauchy:
→
♣ q
⑥P mf ♣aq♣tq⑥ ↕ r✁m sup ⑥f ♣a ζtq⑥
⑤ζ ⑤✏r
Hệ quả 2.0.17. Nếu P
tích phân
P ♣mE; F q thì với a, t E chúng ta có công thức
♣q✏
P t
➺
♣ q
1
P a ζt
dζ
2πi ⑤ζ ⑤✏1 ζ m 1
6
♣ q♣ q ✏ P ♣tq. Áp dụng hệ quả (2.0.15)
Chứng minh. Từ mệnh đề (1.0.9), P m P a t
ta có điều cần chứng minh
♣
q
Hệ quả 2.0.18. Cho P P m E; F . Nếu P bị chặn bởi c trên một hình cầu
mở B a; r thì P đồng thời bị chặn bởi c trên hình cầu B 0; r .
♣ q
♣ q
Bây giờ ta sẽ áp dụng các kết quả trên vào việc nghiên cứu hạn chế của
ánh xạ chỉnh hình trên không gian con n- chiều. Trước hết ta đưa vào một số
khái niệm sau:
Một đa đĩa trong Cn là tích các đĩa trong C. Một đa đĩa mở với tâm
a
a1 , . . . , an và đa bán kính r
r1 , . . . , rn sẽ được kí hiệu là n a; r .
Đa đĩa đóng sẽ được kí hiệu là ¯ n a; r và được xác định
✏♣
q
✏♣
q
♣ q
♣ q
n
♣a; rq ✏ tz Cn : ⑤zj ✁ aj ⑤ ➔ rj với j ✏ 1, . . . , n✉
¯ n ♣a; rq ✏ tz Cn : ⑤zj ✁ aj ⑤ ↕ rj với j ✏ 1, . . . , n✉
nếu a ✏ 0 ✏ ♣0, . . . , 0q và r ✏ 1 ✏ ♣1, . . . , 1q thì chúng ta viết đơn giản
n
♣0; 1q ✏ n và ¯ n♣0; 1q ✏ ¯ n. Tập hợp
tz Cn : ⑤zj ✁ aj ⑤ ✏ rj với j ✏ 1, . . . , n✉
thì chứa trong biên ❇ n ♣a; rq của n ♣a; rq và được kí hiệu là ❇o n ♣a; rq và
được gọi là biên đóng của đa đĩa n ♣a; rq
Định lí 2.0.19. Cho U là một tập con mở của E, và cho f H ♣U ; F q. cho
a U, t1 , . . . , tn E và r1 , . . . , rn → 0 sao cho a ζ1 t1 . . . ζn tn U với mọi
ζ ¯ n ♣0; rq. Khi đó với mỗi λ n ♣0; rq ta có công thức tích phân Cauchy
➺
1
f ♣a ζ1 t1 . . . ζn tn q
f ♣a λ1 t1 . . . λn tn q ✏
♣2πiqn ❇ ♣0;rq ♣ζ1 ✁ λ1q . . . ♣ζn ✁ λnq dζ1 . . . ζn
Chứng minh. Vì đa đĩa ¯ n ♣0; rq là compact, nếu tồn tại R1 → r1 , . . . , Rn → rn
sao cho a ζ1 t1 . . . ζn tn U với mọi ζ n ♣0; Rq. Nếu ψ F ✶ thì hàm số
g ♣ζ1 , . . . , ζn q ✏ ψ ✆ f ♣a ζ1 t1 . . . ζn tn q với ζ n ♣0; Rq
n
o
là chỉnh hình theo từng biến ζ1 , . . . , ζn khi cố định các biến còn lại. Áp dụng
liên tiếp công thức tích phân Cauchy cho hàm chỉnh hình của một biến phức
ta được công thức
7
ψ
✆ f ♣a λ1t1 . . . λntnq ✏
✏ ♣ qn
1
2πi
➺
➺
➺
dζ2
dζ1
ψ
⑤ζ1 ⑤✏r1 ζ1 λ1 ⑤ζ2 ⑤✏r2 ζ2 λ2 ⑤ζn ⑤✏rn
✆ f ♣a ζ1t1 . . . ζntnq dζ
n
ζn ✁ λn
✁
✁
vơi mổi λ n ♣0; rq. Vì hàm số
♣ζ1, . . . , ζnq Ñ ψ ✆♣ζf ♣a✁ λ ζq1t. 1. . ♣ζ. . ✁. λζnqtnq
1
1
n
n
là liên tục trên tập compact ❇o n ♣a; rq, định lí Fubini cho phép chúng ta thay
thế tích phân lặp bằng một đa tích phân. Và vì F ✶ tách điểm, ta có kết quả
sau
♣
q
Hệ quả 2.0.20. Cho U là một tập con mở của E, f
H U; F , a
U, t1 , . . . , tn
E và r1 , . . . , rn
0 sao cho a ζ1 t1 . . . ζn tn
U với
n
0; r tồn tại khai triển chuỗi có dạng
mọi ζ ¯ n 0; r . Khi đó với mọi λ
♣ q
→
♣ q
➳ α
f ♣a λ1 t1 . . . λn tn q ✏
cα λ1
1
. . . λαnn
α
trong đó
✏ ♣ qn
1
2πi
➺
♣ ζ1t1 . . . ζntnq dζ
f a
1 . . . dζn
ζ1α1 1 . . . ζnαn 1
chuỗi bội này tụ tuyệt đối và đều với λ ¯ n 0; s trong đó 0
sj
mọi j.
cα
❇o
n
♣0;rq
♣ q
↕ ➔ rj với
⑤ ⑤ ➔ ⑤ζj ⑤ ✏
Chứng minh. Chứng minh tương tự hệ quả (2.0.14). Thật vậy nếu λj
rj với j 1, . . . , n thì chúng ta có thể viết
✏
f ♣a λ1 t1 . . . λn tn q ➳ α
♣ζ1 ✁ λ1q . . . ♣ζn ✁ λnq ✏ α λ1
1
. . . λαnn
♣ ζ1t1 . . . ζntnq
f a
⑤⑤ ⑤ ✏
ζ1α1 1 . . . ζnαn 1
⑤ ⑤↕ ➔
và chuỗi bội này hội tụ tuyệt đối và đều với ζj
rj và λj
sj rj . Bằng
cách lấy tích phân từng số hạng của chuỗi này, ta có được kết luận sau từ định
lí (2.0.19)
♣
q
q
Định lí 2.0.21. Cho U là một tập con mở của E, F
H U; F , a
U, t1 , . . . , tn
E và r1 , . . . , rn
0 sao cho a ζ1 t1 . . . ζn tn
U với
mọi ζ ¯ n 0; r . Khi đó với mỗi m No và mỗi đa chỉ số α Nno với α
m
chúng ta có công thức tích phân Cauchy
➺
α!
f a ζ1 t1 . . . ζn tn
α1
m
αn
A f a t1 . . . tn
dζ1 . . . dζn
m! 2πi n ❇o n ♣0;rq
ζ1α1 1 . . . ζnαn 1
♣q
→
♣ q
♣
✏ ♣ q
8
⑤ ⑤✏
Chứng minh. Bởi mệnh đề (1.0.7) ta có khai triển chuỗi
♣ λ1t1 . . . λntnq ✏
f a
✏
✽
➳
m✏0
➳
♣ q♣
P m f a λ1 t1
. . . λntnq
cα λα1 1 . . . λαnn
α
trong đó
cα
⑤ ⑤✏
♣ q
Am f ♣aqtα1
✏ m!
α!
1
. . . tαnn
với mổi α Nn0 với α
m. Chuỗi bội này hội tụ tuyệt đối và đều trên một
đa đĩa phù hợp ¯ n 0; . Sau đó so sánh chuỗi mở rộng này với chuỗi mở rộng
được cho bằng hệ quả (2.0.20), áp dụng của bổ đề (1.0.8) ta có điều cần chứng
minh.
♣mE; F q và cho P ✏ A¯ P ♣mE; F q.khi đó với
Nn0 với ⑤α⑤ ✏ m chúng ta có công thức phân
Hệ quả 2.0.22. Cho A LS
mọi a, t1 , . . . , tn E và mọi α
cực
Atα1 1 . . . tαnn
✏ ♣ qn
α!
m! 2πi
➺
♣ ζ1t1 . . . ζntnq dζ
P a
⑤ζj ⑤✏1
ζ1α1 1 . . . ζnαn 1
Chứng minh. Áp dụng hệ quả (2.0.21) với f
1 . . . dζn
✏P
Ta nhắc lại điều sau một tập A trong E có chứa gốc thì gọi là cân nếu
ζx A với mổi x A và mổi ζ trong mổi đĩa đơn vị đóng ¯ . Nếu a A thì
A gọi là a-cân bằng. Nếu tập A a là cân bằng
✁
Định lí 2.0.23. Cho U là một tập con mở a-cân bằng của E, và cho f
H U ; F . khi đó với mọi tập compact K U tồn tại lân cận V của K trong
U sao cho chuỗi Taylor của f tại một hội tụ đến f đều trên V đủ nhỏ.
♣
q
Chứng minh. Cho K là một tập con compact của U . khi đó tập hợp
A
✏ ta ζ ♣x ✁ aq : x K, ζ ¯ ✉
là chứa trong U , và f hội tụ trên A. Vì K compact nên ta có thể tìm được
r l và một lân cận V của K trong U sao cho tập hợp
→
B
✏ ta ζ ♣x ✁ aq : x V, ζ ¯ ♣0; rq✉
9
cũng chứa trong U , và f hội tụ trên B. Vì thế chúng ta có thể viết
✽
r ζ ♣x ✁ aqs ✏ ➳
f ra ζ ♣x ✁ aqs
ζ ✁1
ζ m 1
m✏ 0
và chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều với x V và ⑤ζ ⑤ ✏ r sau khi tích phân qua
vòng tròn ⑤ζ ⑤ ✏ r và áp dụng công thức tích phân Cauchy (2.0.13) và (2.0.15)
f a
ta kết luận
♣ q✏
f x
✽
➳
m✏ 0
♣ q♣ ✁ aq
P mf a x
và chuỗi này là hội tụ tuyệt đối và đều với x
10
V
Kết Luận
Như vậy chúng tôi đã trình bày xong công thức tích phân Cauchy và một
số hệ quả của nó trong không gian Banach. Tuy nhiên do thời gian có hạn và
lượng kiến thức còn tương đối hẹp nên tiểu luận chắc chắn không tránh khỏi
thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý từ quý Thầy, Cô và bạn đọc.
Cuối cùng chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy, PSG. TS
Thái Thuần Quang đã tận tìn chỉ dạy cho chúng em.
11
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] J. Mujica (1986), Complex analysis in Banach spaces, North-Holland
Math. Studies, 120.
12
