các công thức tích phân

CÔNG THỨC TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC CƠ BẢN CÔNG THỨC MỞ RỘNG
∫
+=
Cxdx
C
x
dxx
+
+
=
∫
+
1
1
α
α
α
∫
+=
Cx
x
dx
ln
( )
C
n
bax
a
dxbax
n

n
+
+
+
=+
+
∫
1
1
)(
1
∫
+=
Cedxe
xx
∫
+=
C
a
a
dxa
x
x
ln
∫
+=
Cxdxx sin.cos
;
∫
+=

Cnx
n
dxnx sin
1
).(cos
∫
+−=
Cxdxx cos.sin
;
∫
+−=
Cnx
n
dxnx cos
1
.sin
∫ ∫
+=+=
Ctgxxtgdx
x
)1(
cos
1
2
2
∫ ∫
+−=+=
Cgxgxdx
x
cot)cot1(

sin
1
2
2
∫
+=
Cudu
C
u
duu
+
+
=
∫
+
1
1
α
α
α
∫
++=
+
Cbax
a
dx
bax
ln
1
)(

1
C
un
dxudx
u
n
n
n
+
−
−==
−
−
∫ ∫
1
).1(
11
∫
+=
++
Ce
a
dxe
baxbax
1
;
C
u
a
dua

u
u
+=
∫
ln
∫
++−=+
Cbax
a
dxbax )cos(
1
)sin(
∫
++=+
Cbax
a
dxbax )sin(
1
)cos(
∫ ∫
+==
Cu
u
du
dx
u
u
ln
'
;

∫
+=
Cudx
u
u
2
'
;
∫
+−=
C
u
dx
u
u 1'
2
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I/ CÔNG THỨC NEWTON –LEPNIC:
)()()()( aFbFxFxf
b
a
b
a
−==
∫
II/ PP ĐỔI BIẾN :
DẠNG I :
∫ ∫
=
b

a
dxxxfdxxf
β
α
ϕϕ
).(')).(().(
; Với
βϕαϕ
==
)(;)( ba
* Cách làm : Đặt t =
)(x
ϕ
. Đổi cận .
+ Lấy vi phân 2 vế để tính dx theo t & tính dt .
+ Biểu thò : f(x).dx theo t & dt .(f(x)dx= g(t) dt )
DẠNG II : Đặt x =
)(t
ϕ
. (Tương tự trên ).
III/ PP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN :
* Cách làm :biểu diễn f(x)dx về dạng tích u.dv = u.v’dx.
+ chọn u sao cho du dễ tính .
+ chon dv sao cho dễ tính v =
∫
dv
.
+ áp dụng ct .
I =
∫∫

=
β
α
dttgdxxf
b
a
).().(

∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
duvvudvu ...
DẠNG I :
∫















b
a
ax
dx
e
tgax
ax
ax
xp
cos
sin
).(
; Thì đặt u = p(x) : đa thức ; dv =















ax
e
tgax
ax
ax
cos
sin
dx suy ra v .
DẠNG II :
∫
b
a
dxxxp .ln).(
; Thì đặt u = lnx ; dv = p(x).dx
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP
I/ Tích Phân hàm Hữu Tỉ :
I =
∫
b
a
dx
xQ
xP
)(
)(
; * Cách làm :
Lưu ý CT:
∫
+=
+

bax
a
dx
bax
ln
1
)(
1
 Nếu bậc tử nhỏ hỏn bậc mẫu :

1
).1(
11
−
−
−=
∫
nn
un
dx
u
+ Phân tích:
cbxax
DCx
x
B
x
A
xQ
xP

++
+
+
−
+
−
=
22
)(
)(
)(
β
α
+ Đồng nhất 2 vế đẳng thức tìm A,B,C,D và đưa về t/phân cơ bản
 Nếu bậc tử lớn hơn mẫu thì chia đa thức và đưa về dạng trên .
II/ Tích Phân Hàm Lượng Giác :
1.
∫
b
a
xdxxf cos).(sin
; Đổi biến t = sinx . 2.
∫
b
a
xdxxf sin).(cos
; Đổi biến t
= cosx .
3.
∫

b
a
dxtgxf )(
; Đổi biến t = tgx .
4.
∫
b
a
nn
dxxxf )cos,(sin
22
; Dùng CT hạ bậc :







−
=
+
=
2
2cos1
sin
2
2cos1
cos
2

2
x
x
x
x
5.
∫
b
a
dxbxax .cos.sin
; Dùng CT :
( ) ( )
[ ]
BABABA
−++=
sinsin
2
1
cos.sin

∫
b
a
dxbxax .sin.sin
;
( ) ( )
[ ]
BABABA
+−−=
coscos

2
1
sin.sin

∫
b
a
dxbxax .cos.cos
;
( ) ( )
[ ]
BABABA
−++=
coscos
2
1
cos.cos
6.
∫
+
b
a
xbxa
dx
sincos
; Đổi biến t =
2
x
tg
. Thì sinx =

2
1
2
t
t
+
; cosx =
2
2
1
1
t
t
+
−
.
III/ Tích Phân Hàm Vô Tỉ :
Dạng 1.
∫
+
+
b
a
n
dx
dcx
bax
xf ).,(
;Đổi biến t =
n

dcx
bax
+
+
giải tìm x =
)(t
ϕ
.Tính dx theo
dt
Dạng 2.
∫
−
b
a
dxxaxf ).,(
22
; Đổi biến x= asint ; Tính dx theo dt .
Dạng 3.
∫
−
b
a
dxaxxf ).,(
22
; Đổi biến x =
t
a
sin
; Tính dx theo dt .
Dạng 4.

∫
+
b
a
ax
dx
22
; Hoặc :
∫
+
b
a
ax
dx
22
; Đổi biến x = atgt ; Tính dx theo dt .
IV/ Tích Phân Truy Hồi : ( 1 + tg
2
x =
x
2
cos
1
)
Cho I
n
=
∫
b
a

dxxnf );(
.Với n∈N.Tính I
1
; I
2
.Lập công thức liên hệ giữa I
n
& I
n + 1
. Suy ra
I
n