Bài tiểu luận tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
————oOo————

TIỂU LUẬN

TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ
BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG
CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

Thực hiện : Nhóm 4
Lớp

: Giải tích K09

Khóa học

: 2014 - 2016

Đắk Lắk, 09/2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

TIỂU LUẬN

TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ
BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG
CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

Học viên thực hiện : Nhóm 4
Lớp

: Giải tích K09

NGƯỜI HƯỚNG DẪN
PGS. TS. Thái Thuần Quang

Đắk Lắk, 09/2015


DANH SÁCH HỌC VIÊN LÀM TIỂU LUẬN
1. Huỳnh Thị Thanh Hương
2. Hách Thị Hồng Hoa
3. Phạm Thị Yên Ly
4. Bùi Thị Phương Thảo
5. Nguyễn Thị Thu Hiền
6. Lê Vũ Nhất
7. Trịnh Thanh Hùng
8. Nguyễn Minh Phát
9. Đinh Hoài Lưu

i


MỤC LỤC

MỤC LỤC

ii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

iii

MỞ ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các
ánh xạ chỉnh hình.

7

2.1

Tính chất đồng liên tục của họ các ánh xạ chỉnh hình . . .

7

2.2

Tính bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình . .

10

KẾT LUẬN

16

TÀI LIỆU THAM KHẢO

17

ii


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

R

: Tập các số thực.

H (U ; F ) : Không gian vectơ của tất cả ánh xạ chỉnh hình từ U → F .
(E, . )

: Không gian định chuẩn.

(X, τ )

: Không gian tôpô.

iii


MỞ ĐẦU
Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức, là một nhánh
của toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số
đều là số phức (các ánh xạ giữa C n và C m ). Khoảng hơn 50 năm trước,
dựa trên sự phát triển của Giải tích hàm, Giải tích phức đã nghiên cứu
các ánh xạ giữa các không gian vector tôpô phức vô hạn chiều, đặc biệt là
các không gian định chuẩn. Giải tích phức có nhiều ứng dụng trong nhiều
ngành khác của toán học, trong đó có lý thuyết số và toán ứng dụng.
Một trong những đối tượng chính của giải tích phức là các ánh xạ giải
tích phức, thường gọi là các ánh xạ chỉnh hình. Vì phần thực và phần ảo
của một hàm giải tích một biến thỏa mãn phương trình Laplace, nên giải
tích phức được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán vật lý hai chiều.
Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình là một trong những hướng nghiên cứu
quan trọng của Giải tích phức. Các kết quả đạt được theo hướng nghiên
cứu này ngày càng nhiều và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Tiểu luận trình bày và làm sáng tỏ một vài vấn đề về Tính chất đồng
liên lục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình mong sẽ là
tài liệu tham khảo đối với những học viên quan tâm đến Giải tích phức
mà cụ thể là hàm chỉnh hình.
Nội dung của tiểu luận được trình bày trong hai chương:
1


Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương này dành cho việc trình bày các khái niệm, kiến thức cơ sở

cần cho việc trình bày và chứng minh trong chương 2.
Chương 2: Tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các
ánh xạ chỉnh hình.
Chương này giới thiệu về tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương
của họ các ánh xạ chỉnh hình trong không gian Banach phức. Bên cạnh
đó giới thiệu một số ví dụ và bài tập liên quan.

2


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sơ cần cho
những trình bày và chứng minh trong chương 2.
1.1

Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E là không gian tuyến tính trên trường K
(thực hoặc phức). Hàm ||.|| : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu
nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ E và x = 0 ⇔ x = 0.
(2) kx = |k| x , ∀k ∈ K, ∀x ∈ E.
(3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ E.
Không gian tuyến tính E cùng một chuẩn trên đó được gọi là không gian
tuyến tính định chuẩn, hay nói gọn là không gian định chuẩn và ký hiệu
là (E, . ) hay đơn giản là E.
Nhận xét 1.1.2 Cho không gian định chuẩn (X, . ). Với mọi x, y ∈ X,
đặt d(x, y) = x − y thì d là metric trên X. Do đó mọi không gian định

chuẩn đều là không gian metric với metric xác định như trên.
Các tính chất và mệnh đề trong không gian metric đều đúng cho không
3


gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn } ⊂ X gọi là
dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu lim d(xn , xm ) = 0.
n,m→∞

Nhận xét 1.1.4 Mọi dãy hội tụ trong không gian metric đều là dãy
Cauchy.
Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric (X, d) gọi là không gian đầy đủ
nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Không gian định chuẩn đầy đủ
gọi là không gian Banach.
Điều này nghĩa là một không gian Banach là một không gian định
chuẩn E trên trường số thực hay số phức với một chuẩn . sao cho mọi
dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = x − y có giới hạn trong
E).
Định nghĩa 1.1.6 Cho tập X. Một họ τ các tập con của X gọi là một
tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:
(1) X và ∅ thuộc τ .
(2) Hợp của họ tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ .
(3) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ .
Một tập X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô. Để chỉ rõ
τ là tôpô của không gian X ta viết (X, τ ).
Định nghĩa 1.1.7 Cho U là tập mở của E. Ánh xạ f : U → F là ánh
xạ chỉnh hình nếu với mỗi a ∈ U tồn tại một hình cầu mở B (a; r) ⊂ U
và chuỗi đa thức Pm ∈ P (m E, F ) sao cho f (x) =

n

Pm (x − a), ∀x ∈
m

B (a, r).
Chúng ta sẽ biểu thị H (U ; F ) không gian vectơ của tất cả ánh xạ chỉnh
hình từ U → F .
4


Khi F = C ta có thể viết H (U ; C) = H (U ).
Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian metric (X, d) .
a) Với mỗi r < 0, x ∈ X. Tập S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} (hay
S [x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}) được gọi là hình cầu mở (đóng) tâm x,
bán kính r.
b) Điểm x gọi là điểm dính của tập hợp A nếu với mọi r > 0 sao cho
S(x, r) A = ∅. Tập các điểm dính của A gọi là bao đóng của A, kí hiệu
là A¯ hay [A].
c) Điểm x gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại r(x) > 0 sao
cho S(x, r) ⊂ A. Tập các điểm trong của A gọi là phần trong của A, kí
hiệu là Ao hay int A.
d) Điểm x gọi là điểm biên của tập hợp A nếu x là điểm dính của A
và X A, tức là mọi r > 0 ta có S(x, r)

A = ∅và S(x, r) (X A) = ∅.

Tập hợp các điểm biên của A gọi là biên của A và kí hiệu là ∂A .
Định nghĩa 1.1.9 Cho không gian metric (X, d) và K ⊂ X. Tập K gọi
là compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ K đều có một dãy con hội tụ tới một

¯ là tập
phần tử của K. Tập K gọi là compact tương đối nếu bao đóng K
compact.
Ví dụ 1.1.10
+ Trong không gian Rn , tập compact tương đối là tập bị chặn.
+ Trong không gian metric, tập compact tương đối là tập hoàn toàn
bị chặn (tức là có thể phủ nó bằng một số hữu hạn các hình cầu có bán
kính nhỏ tùy ý ↔ mọi dãy trong đó đều rút ra được một dãy Cauchy).
Định lí 1.1.11 Cho U là tập mở của E. Khi đó với mỗi f : U → F thì
các mệnh đề sau là tương đương:
5


(a) f là hàm chỉnh hình
(b) f là hàm liên tục và G – chỉnh hình
(c) f là hàm liên tục và f |U ∩ M là hàm chỉnh hình hạn chế trên không
gian định chuẩn hữu hạn chiều M của E.
Định lí 1.1.12 Cho U là tập mở của E, f : U → F.
(a) f là G – chỉnh hình khi và chỉ khi f là G – chỉnh hình yếu.
(b) f là hàm chỉnh hình khi và chỉ khi f là hàm chỉnh hình yếu.

6


Chương 2

Tính chất đồng liên tục và bị chặn
địa phương của họ các ánh xạ chỉnh
hình.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu về tính chất đồng liên tục và bị

chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình trong không gian banach
phức.Trong suốt chương này hầu như các không gian là không gian Banach
phức. Đặc biệt, các chữ E và F sẽ luôn luôn đại diện cho không gian
Banach phức.
2.1

Tính chất đồng liên tục của họ các ánh xạ chỉnh hình

Định nghĩa 2.1.1 Cho X là không gian tôpô và F là không gian banach.
1. Họ F ⊂ F x được gọi là đồng liên tục nếu với mỗi a ∈ X và

>0

tồn tại một lân cận V của a trong x sao cho: f (x) − f (a) ≤ , ∀x ∈
V, f ∈ F.
2. Họ F ⊂ F x được gọi là bị chặn địa phương nếu với mỗi a ∈ X tồn

7


tại một lân cận V của a trong X và hằng số c > 0 sao cho:
f (x) ≤ c, ∀x ∈ V, f ∈ F
Định nghĩa 2.1.2 Một không gian tôpô X được gọi là k-không gian nếu
một tập A ⊂ X là mở khi A ∩ K là mở trong K với mỗi tập con compact
K của X.
Ví dụ 2.1.3 Mỗi không gian đếm được là một k-không gian. Mỗi không
gian compact địa phương là một k-không gian.
Bổ đề 2.1.4 Cho X là một k-không gian và Y là một không gian tôpô
tùy ý. Khi đó ánh xạ f : X → Y là liên tục nếu và chỉ nếu f /K là liên
tục với mỗi tập con compact K của X.

Mệnh đề 2.1.5 Nếu X là một k-không gian thì C ((X; F ) , τc ) là đầy đủ
với mọi không gian Banach.
Chứng minh
Giả sử (fi ) là một dãy suy rộng Cauchy trong C ((X; F ) , τc ). Khi đó
(fi (x)) là một dãy suy rộng Cauchy trong F với mỗi x ∈ F . Nếu chúng ta
định nghĩa f : X → F bởi f (x) = lim fi (x) khi đó dễ thấy rằng dãy (fi )
hội tụ đều tới f trên mỗi tập con compact của X. Do đó f /K là liên tục với
mỗi tập con compact K của X, từ đó X là một k-không gian và chúng ta
kết luận f là liên tục.
Mệnh đề 2.1.6 Một không gian tôpô X là nửa compact hay đếm được
tại vô cùng nếu tồn tại một dãy (Kn )∞
n=1 của các tập con compact của X
là chứa trong Kn nào đó.
Ví dụ 2.1.7 Mỗi tập mở U ⊂ Cm là nửa compact. Thật vậy nó được
thỏa mãn với
8


Kn = {x ∈ U : x ≤ n, dU (x) ≥ 1/n}
Dễ dàng có kết quả sau
Mệnh đề 2.1.8 Nếu X là một không gian nửa compact thì C ((X; F ) , τc )
là metric được với mọi không gian Banach F . Giả sử X là một không gian
tôpô và F là một không gian Banach. Khi đó như thông thường ta ký
hiệu F X là không gian vec tơ của tất cả các ánh xạ từ F vào X. Không
gian tôpô hội tụ theo từng điểm là tôpô lồi địa phương τP trên F X sinh
bởi họ các nửa chuẩn f → sup f (x) , ở đây A chạy qua các tập con
x∈A

hữu hạn của X. Tôpô hội tụ theo từng điểm trên F X chính là tôpô tích
Tychonoff.

Định nghĩa 2.1.9 Cho X là một không gian tô pô và F là một không
gian Banach. (a) Một họ F ⊂ F X được gọi là liên tục đồng bậc nếu
với mỗi a ∈ X, và

> 0 , một lân cận V của a trong X thỏa mãn

[ f (x) − f (a) ≤ ε với mọi x ∈ V và f ∈ F . (b) Một họ F ⊂ F X được
gọi là bị chặn địa phương nếu với mỗi a ∈ X, một lân cận V của a trong
X và một hằng số c > 0 thỏa mãn f (x) ≤ c với mọi x ∈ V và f ∈ F .
Ví dụ 2.1.10 Nếu F là một họ hữu hạn các ánh xạ liên tục thì F là một
họ liên tục đồng bậc.
Tính chất 2.1.11 Từ định nghĩa ta thấy nếu F là họ ánh xạ liên tục
đồng bậc thì mọi ánh xạ f thuộc F là liên tục. Điều ngược lại không
đúng.
Ví dụ 2.1.12 F = {fn : (0, 1) → R|n ∈ N, fn (x) = 1/xn }. F gồm các
hàm liên tục nhưng F không liên tục đồng bậc.
9


Bổ đề 2.1.13 Cho X là không gian tôpô và F là không gian Banach.
Nếu mỗi họ F ⊂ F X thì F đồng liên tục. Khi đó, bao đóng F của F với
tôpô hội tụ theo từng điểm cũng đồng liên tục.
Mệnh đề 2.1.14 Cho X là không gian tôpô và F là không gian Banach.
Khi đó, tôpô hội tụ compact và tôpô hội tụ theo từng điểm tạo ra tôpô
tương tự trên mỗi tập con đồng liên tục của C (X; F ).
Chứng minh
Cho F là tập con đồng liên tục của tập C (X; F ). Ta luôn có τP ≤ τC
và chỉ ra được rằng 2 tôpô này trùng khớp nhau trên F . Lấy K là tập
compact của X và lấy > 0. Khi đó, F đồng liên tục tại mọi điểm a ∈ K,
lấy lân cận Vα sao cho f (x) − f (α) < ε, ∀x ∈ Vα , ∀f ∈ F .

Khi đó K là tập compact, lấy tập hữu hạn A ⊂ K sao cho K ⊂
{Vα : α ∈ A}, từ đó ta có: sup f (x) ≤ sup f (x) + ε ∀f ∈ F .
x∈K

x∈A

Tương tự cách lập luận này ta chỉ ra tập F − F cũng đồng liên tục. Ta có
thể lấy tập hữu hạn B ⊂ K để sup f (x) − g(x) ≤ sup f (x) − g(x) +
x∈K

x∈B

ε, ∀f, g ∈ F .
Vì vậy

f ∈ F : sup f (x) − f0 (x) ≤ 2ε

⊃

x∈K

2.2

sup f (x) − f0 (x) ≤ ε ∀f ∈ F
x∈B

Tính bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình

Định nghĩa 2.2.1 Một hàm f ∈ H (D, F ) gọi là bị chặn địa phương nếu
với mọi z ∈ D, tồn tại một lân cận U của z trong D sao cho f (U ) bị chặn.

10


Ví dụ 2.2.2 Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục với miền xác định hay miền
giá trị là không gian banach là bị chặn địa phương.
Định lí 2.2.3 Cho E là một không gian metric, F là không gian banach,
nếu f bị chặn địa phương trên mọi tập compact của E thì f bị chặn địa
phương trên E.
Chứng minh.
Ta chứng minh phản chứng. Giả sử f bị chăn địa phương trên mọi tập
compact và tồn tại một điểm x0 ∈ E sao cho f không bị chặn trên mọi
lân cận của x0 ∈ E . Chọn một dãy xn → x0 , f (xn ) ≥ n, ∀n ∈ N.. Khi đó
tập x0 .x1 ,.... là một tập compac. Do đó f bị chặn trên E. (vô lý) Vậy f bị
chặn địa phương trên E.
Định lí 2.2.4 Cho X là một không gian tôpô, khi đó mỗi đồng liên tục,
tập bị chặn theo theo từng điểm của C(X) là compact tương đối trong
C(X) với tôpô compact mở.
Chứng minh
Cho F là một đồng liên tục, tập bị chặn theo từng điểm trong C(X), và
cho F là bao đóng của F trong C X . Khi đó, F rõ ràng bị chặn theo từng
điểm, và do đó nó compact trong C X bởi định lí tích số Tychonoff. Bây
giờ, tập F là đồng liên tục theo bổ đề 9.10 và do đó tôpô tích và tôpô mở
compact trùng nhau trên F bởi mệnh đề 9.11. Do đó F là tập compact của
(C(X), TC ) và chứng minh được hoàn thành.
Ví dụ 2.2.5 Cho I = [a, b], hiển nhiên I là tập compact trong R.
Xét ánh xạ h : I → R, kí hiệu không gian các hàm h đo được, bị chặn
trên I và có giá trị trong R là B(I, R) = B(I). Dễ thấy B(I) là không
11

gian Banach với chuẩn ||h||B(I) = sup|h(x)|.
x∈I

Cho α, C1 , C2 là các số dương. Kí hiệu K là tập hợp các hàm đo được bị
chặn h : I → sao cho |h (a)| ≤ C1 và |h (x) − h (y)| ≤ C2 |x − y|α , ∀x, y ∈
I = [a, b].
Ta sẽ chứng minh được K bị chặn trên đoạn [a, b] và K đồng liên tục
trên [a, b].
Vậy K là tập compact trong B(I).
Sau đây thiết lập một số tính chất tôpô của không gian các ánh xạ
liên tục, chúng ta chú ý đến ánh xạ chỉnh hình.
Mệnh đề 2.2.6 Nếu U là một tập mở của E. Khi đó H(U ; F ) là một
không gian vectơ đóng của (C(U ; F ), TC ).(H(U ; F ), TC ) nói riêng là đầy
đủ.
Chứng minh
Cho (fi ) là một lưới trong H (U ; F ) hội tụ về một ánh xạ f ∈ C (U ; F )
với tôpô compact mở. Cho a ∈ U, b ∈ E và ψ ∈ F tập gi (λ) =
ψo fi (a + λb) và g (λ) = ψo f (a + λb), với mỗi λ ∈ Λ = {λ ∈ C : a + λb ∈ U }.
Khi đó mỗi gi là chỉnh hình trong
tập compact của

và lưới (gi ) hội tụ về g đã cho trên mỗi

. Theo định lí Weierstrass về hàm chỉnh hình của một

biến phức, hàm g là chỉnh hình trên

. Khi đó theo định lí 1.1.11, 1.1.12

thì f ∈ H(U ; F ).

Hệ quả 2.2.7 Nếu U là một tập mở của C , khi đó (H(U ; F ), TC ) là một
không gian Fréchet.
Mệnh đề 2.2.8 Cho U là một tập mở trong E. Với mỗi họ F ⊂ (H(U ; F ),
các mệnh đề sau đây là tương đương:
(a) F bị chặn trong (H(U ; F ), TC )
12


(b) F bị chặn địa phương
(c) F đồng liên tục và bị chặn đều
Chứng minh
(a)⇒(b)
+ Giả sử F không bị chặn địa phương
⇒ ∃a ∈ U, ∃(fn ) ⊂ F ; (an ) ⊂ U sao cho:
||an − a|| <
+ Ta đặt K = {an : n ∈ N}

1
n

và |fn (an )| > n, ∀n ∈ N

{a} là tập hợp compact của U . Khi đó, F

bị chặn đều trên K.
Thật vậy:
∀x ∈ K , F bị chặn đều trên lân cận nào đó của x nếu ∃Vx là lân
cận của x sao cho: F bị chặn đều trên Vx . Suy ra
K⊂

Vx
x∈K
n

Vì K compact ⇒ ∃x1 , ..., xn : K ⊂

xk
k=1

Mặt khác vì F bị chặn đều trên Vxk ⇒ ∃Mk : ||f (x)|| ≤ Mk ∀x ∈
Vk , ∀f ∈ F
Chọn M = max Mk > 0
1≤k≤n

Khi đó f (x) < M ∀x ∈ K, ∀f ∈ F . Suy ra, F bị chặn đều trên K
+ Vậy, dãy bị chặn đều trong (H(U ; F ), TC )
(b)⇒(a)
Vì F bị chặn địa phương nên F bị chặn đều trong lân cận nào đó của mỗi
điểm chứa trong U.
⇒ F bị chặn đều trên tập compact chứa trong U .
13


⇒ F bị chặn trong (H(U ; F ), TC )
.

(b)⇒(c)

+ Vì F bị chặn địa phương nên ∀a ∈ U , tồn tại một lân cận V của a,
∃M > 0 sao cho

||f (x)|| ≤ M ∀x ∈ M, ∀f ∈ F
Suy ra ||f (a)|| ≤ M, ∀f ∈ F
⇒F bị chặn điểm.
+ F đồng liên tục := ∀a ∈ U, r > 0, c > 0 sao cho B(a; r) ⊂ U và
sup ||f (x)|| ≤ C ∀x ∈ B(a; r), ∀f ∈ F
x∈B(a;r)

+ Ta có:
∞

P m f (a)(x − a)

f (x) =
n=0

∞

P m f (a)(x − a)

= f (a) +
n=1

∞

P m f (a)(x − a)

⇒ ||f (x) − f (a)|| =
n=1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy suy ra:

∞

P m f (a)(x − a)

||f (x) − f (a)|| ≤
n=1
∞

||x − a||
c
≤
r
n=1
≤

m

=

c ||x−a||
r
1−

||x−a||
r

c||x − a||
r − ||x − a||

Khi x → a ⇒ f (x) → f (a) Suy ra ∀ > 0 , tồn tại một lân cận V của

điểm a sao cho
f (x) − f (a) ≤ 1 ∀x ∈ V , ∀f ∈ F
14


Vậy F đồng liên tục.
(c)⇒(b)
+ Cho a ∈ U . Vì F bị chặn điểm ⇒ ∃c > 0 sao cho ||f (a)|| ≤ c ∀f ∈ F
+ Vì F đồng liên tục nên tồn tại một lân cận V của a trong U, chọn = 1
sao cho
f (x) − f (a) ≤ 1 ∀x ∈ V , ∀f ∈ F
+ Ta có
||f (x)|| = ||f (x) − f (a) + f (a)||
= ||f (x) − f (a)|| + ||f (a)||
≤ 1 + c ∀x ∈ V, ∀f ∈ F
Do đó F bị chặn địa phương.
Mệnh đề 2.2.9 Cho U là một tập mở của E. Khi đó mỗi tập con bị chặn
của (H(U ), TC ) là compact tương đối

15


KẾT LUẬN

Tiểu luận giới thiệu những kết quả lí thuyết ban đầu về tính chất đồng
liên lục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình. Ngoài ra
tiểu luận còn làm sáng tỏ việc chứng minh các định lí và bổ xung các ví
dụ minh họa.

16

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG VIỆT
[1] Hàm biến phức, Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2009), NXB Đại
học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Giải tích phức, B.V.sabat, người dịch: Hà Huy Khoái (1995),
NXB ĐH và TCCN.
TIẾNG ANH
[1] Comlex Analysis in banach spaces (1985), Jorge Mujica.

17