Tìm hiểu phương trình schrodinger cho hệ một electron và áp dụng vào giảng dạy hoá học phổ thông

Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Trng i hc s phm H Ni 2
Khoa hoỏ hc
-------------***-------------

Dng Th Hnh

TèM HIU PHNG TRèNH
SCHRODINGER CHO H MT
ELECTRON V P DNG VO
GING DY HO HC PH THễNG

KHO LUN TT NGHIP I HC
Chuyờn ngnh: Hoỏ i cng

H Ni - 2012

D-ơng Thị Hạnh

1

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Trng i hc s phm H Ni 2
Khoa hoỏ hc
-------------***-------------

Dng Th Hnh

TèM HIU PHNG TRèNH
SCHRODINGER CHO H MT
ELECTRON V P DNG VO
GING DY HO HC PH THễNG

KHO LUN TT NGHIP I HC
Chuyờn ngnh: Hoỏ i cng

Ngi hng dn khoa hc
THS. NG TH THU HUYN

H Ni - 2012

D-ơng Thị Hạnh

2

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LI CM N
Sau mt thi gian nghiờn cu, tụi ó hon thnh khoỏ lun ca mỡnh vi tờn ti
Tỡm hiu phng trỡnh Schrodinger cho h mt electron v ỏp dng vo ging dy hoỏ hc
ph thụng . Trong quỏ trỡnh thc hin khoỏ lun tụi ó nhn c rt nhiu s giỳp ca
cỏc thy cụ, bn bố v nhng ngi thõn yờu.
Trc ht, tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti cụ giỏo Th.S ng Th Thu Huyn,
ngi ó tn tỡnh giỳp tụi trong sut quỏ trỡnh xõy dng v hon thin ti.
Tụi xin cm n sõu sc ti cỏc thy giỏo, cụ giỏo trong khoa Húa hc Trng i
hc S phm H Ni 2, ó tn tỡnh dy d tụi trong sut 4 nm i hc.
Tụi cng cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn tụi trong sut quỏ trỡnh thc hin
khoỏ lun.
Mc dự ó rt c gng nhng do thi gian cú hn nờn khúa lun ca tụi khụng trỏnh
khi nhng thiu sút. Tụi rt mong nhn c ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ v cỏc bn
ti cng hon thin v mang li hiu qu cao hn.
Tụi xin chõn thnh cm n!
H Ni, thỏng 05 nm 2012
Sinh viờn
Dng Th Hnh

MC LC
M U
Lớ do chn ti ................................................................................................................ 1
CHNG 1: TNG QUAN ............................................................................................. 3

D-ơng Thị Hạnh

3

K34B SP Hóa học

Tr-êng §H S- ph¹m Hµ Néi 2

Khãa luËn tèt nghiÖp

1.1. PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TỔNG QUÁT .................................................. 3
1.1.1. Đôi nét về Schrodinger ........................................................................................... 3
1.1.2. Sơ lƣợc về phƣơng trình Schrodinger ....................................................................... 4
1.1.2.1. Một số khái niệm ................................................................................................... 4
1.1.2.2. Phƣơng trình Schrodinger tổng quát ...................................................................... 6
1.1.2.3. Phƣơng trình Schrodinger ở trạng thái dừng ......................................................... 8
1.1.3. Một số hệ thức quan trọng trong hệ tọa độ cầu ........................................................ 10
1.2. PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER ĐỐI VỚI HỆ MỘT ELECTRON...................................14
1.2.1. Mô hình hệ ................................................................................................................ 14
1.2.2. Phƣơng trình Schrodinger ......................................................................................... 15
1.2.3. Các bƣớc giải ............................................................................................................ 15
1.2.4. Kết quả ...................................................................................................................... 33
1.2.4.1. Trị riêng ................................................................................................................. 33
1.2.4.2. Hàm riêng .............................................................................................................. 34
1.2.5. Ý nghĩa của các số lƣợng tử...................................................................................... 36
1.2.5.1. Số lƣợng tử chính................................................................................................... 37
1.2.5.2. Số lƣợng tử obitan.................................................................................................. 38
1.2.5.3. Số lƣợng tử từ obitan ............................................................................................. 40
CHƢƠNG 2: ĐỐI TƢỢNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .................................. 41
1. Đối tƣợng nghiên cứu ..................................................................................................... 41
2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................................... 41
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................................... 41
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................................ 41
CHƢƠNG 3: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ THẢO LUẬN............................................ 42
3.1. Dạng 1: Xác định năng lƣợng nguyên tử ..................................................................... 42

3.2. Dạng 2: Bài tập về các số lƣợng tử .............................................................................. 46
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................................................ 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 60

D-¬ng ThÞ H¹nh

4

K34B – SP Hãa häc


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp
M U

Lớ do chn ti
Cú th núi s ra i ca c hc lng t l mt cuc cỏch mng trong cỏc
lnh vc khoa hc t nhiờn núi chung v vt lớ núi riờng.
C hc lng t cho phộp kho sỏt bng lớ thuyt cỏc h húa hc vi mụ t
electron, nguyờn t cho ti phõn t hay tp hp ln hn mt cỏch chi tit. Kt
qu ca s kho sỏt ú l c s nh lng gii thớch kt qu thc nghim v
tng bc hng dn thc nghim.
Mt trong nhng c s quan trng hng u ca c hc lng t l phng
trỡnh Schrodinger trng thỏi dng. Ch cú th gii c gn ỳng phng trỡnh
ny khi xột h 1electron, 1 ht nhõn (h n gin). Trờn c s kt qu ny, mt
s khỏi nim quan trng ca húa hc c hỡnh thnh. Nhng khỏi nim ú
khụng ch giỳp chỳng ta hiu sõu m cũn gúp phn quan trng trong vic cung
cp kin thc c bn phc v cho vic hc húa hc c tt hn.
Khụng ging nh mụ hỡnh ca nguyờn t Bo. Cỏc in t trong mụ hỡnh

súng l cỏc ỏm mõy in t chuyn ng trờn qu o v v trớ ca chỳng c
c trng bi phõn b xỏc xut ch khụng phi l mt im ri rc. im mnh
ca mụ hỡnh ny l nú tiờn oỏn c cỏc dóy nguyờn t cú tớnh cht tng t
nhau v mt hoỏ hc trong bng tun hon cỏc nguyờn t hoỏ hc. Vi chuyờn
ngnh hoỏ hc c bit l hoỏ hc vụ c ú l nhng kin thc c bn gii
thớch cu to v tớnh cht lý hoỏ hc ca cỏc nguyờn t
C hc lng t v phng trỡnh Schrodinger l mt lớ thuyt khú, tru
tng v phc tp. Trong trng i hc do iu kin thi gian, sinh viờn ngnh
húa hc cha cú iu kin tỡm hiu sõu v phng trỡnh Schrodinger i vi h
D-ơng Thị Hạnh

5

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

mt electron. gúp phn lm tng hiu qu hc tp ca mỡnh v giỳp cỏc bn
sinh viờn yờu thớch lnh vc ny hiu bit sõu sc, tụi mnh dn nghiờn cu ti:
Tỡm hiu phng trỡnh Schrodinger cho h mt electron v ỏp dng
vo ging dy hoỏ hc ph thụng .

CHNG 1: TNG QUAN
D-ơng Thị Hạnh

6

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1.1. S lc v phng trỡnh Schrodinger
1.1.1. ụi nột v Schrodinger
Erwin Schrodinger (1887 1961), nh vt lý lý thuyt o thiờn ti ca th
k XX, l ngi ó gúp phn tớch cc trong vic xõy dng nn vt lý hc hin i
trờn c s toỏn hc vng chc. úng gúp ca ụng l ó cựng vi nhiu nh vt lý
ng thi gúp phn gii quyt cuc khng hong m vt lý lý thuyt tri qua t
nm 1900, m u t khỏi nim lng t Plank, sau cỏc cụng trỡnh Niels Bohr,
Poincare, Esintein v Louis de Broglie, dn n s tng hp rng rói gia ht v
hm súng. Schrodinger ó ra hỡnh thc toỏn hc gi l ba ng vi phng
trỡnh mang tờn ụng, l phng trỡnh c bn ca c hc lng t phi tng i
ngy nay.
Schrodinger sinh ngy 12-8-1887 ti Vienna trong mt gia ỡnh tri thc.
Nm 11 tui ụng vo hc trng trung hc Vienna, ú ụng hc rt xut sc c
v toỏn lý ln vn hc, trit hc, ngh thut, õm nhc. Nm 1906, ụng vo trng
i hc tng hp Vienna, tt nghip i hc 4 nm sau ri lm vic ti vin vt
lý Vienna. nht th chin bựng n, ụng lm s quan phỏo binh cho n nm
1918 mi tr v vi s nghip. Nm 1920, ụng ci v v bt u ging dy i
hc ti Jena, Stuttgart, Breslau. Nm sau ụng c c lm giỏo s thc th
Zurich. Nm 1926, phỏt trin sỏng kin tng hp ca Louis de Broglie v ht v
súng, ụng ó ra mt cỏch biu din mi v cu trỳc ca nguyờn t vi phng
trỡnh ngy nay mang tờn ụng khin cho gii vt lý ht sc chỳ ý. Nm sau,
trng i hc Tng hp Berlin mi ụng k nghip Max Planck, õy ụng cú

D-ơng Thị Hạnh

7

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

dp thng xuyờn tip xỳc v trao i ý kin vi nhng nh vt lý ln nht trờn
th gii thi by gi nh Einstein, Max von Laue, Hertz v Meitner.
úng gúp to ln ca ụng cho vt lý hin i ó mang li cho ụng gii thng
Nobel nm 1933 cựng vi Paul Dirac. Cng nm y ụng nhn li mi sang dy
nhiu trng i hc Anh nh Edinburgh, Oxford. Nm 1936, ụng tr v nc
nhng do tỡnh hỡnh chớnh tr nghiờm trng ụng buc phi ra i. Nm 1938, ụng
li tr v ging dy Ganto v Hc vin Hong gia Dublin ri nm 1940 lm
giỏm c Vin nghiờn cu m chớnh ph Ireland c bit lp ra mi ụng. T
ú ụng sng lu vong nc ngoi 17 nm, cho n nm 1956 mi tr v
Vienna v sng thnh ph quờ hng cho n cui i. Schrodinger mt ngy
4-4-1961 hng th 74 tui, an tỏng Anphbach.
1.1.2.Phng trỡnh Schrodinger
1.1.2.1. Mt s khỏi nim
a, Hm súng:
* Ni dung:
Mi mt h lng t c c trng bi mt hm xỏc nh ph thuc vo ta
v thi gian (q, t ) c gi l hm súng hay hm trng thỏi. Mi thụng tin v
h lng t ch cú th thu c t hm súng (q, t ) mụ t trng thỏi ca h.
Trong trng hp h lng t trng thỏi dng l trng thỏi m nng lng

ca h khụng phi l mt hm s ca thi gian hm súng hay hm trng thỏi
ca h lng t ch l hm s ca mt bin s ta q nờn c vit l hm
(q ) t õy ta ch xột trng thỏi dng.

D-ơng Thị Hạnh

8

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

* Cỏc c im v tớnh cht v hm súng (q ) :
+ Hm (q ) núi chung l mt hm s phc, tc l trong biu thc ca (q ) cha
n v o i.
+ Hm (q ) phi l hm n tr: ng vi mi v trớ ca h lng t trong khụng
gian tc l ng vi mi giỏ tr ca bin s q ch cú mt kh nng tỡm thy h
v trớ ú, khụng th tỡm thy v trớ khỏc m li cú cựng ta q. Vy hm mt
xỏc xut (q ) phi n tr. Mun cú kt qu ú thỡ hm (q ) phi n tr.
2

+ Hm (q ) phi hu hn hay gii ni, ngha l nú phi cú khong xỏc nh

a, b trong khong xỏc nh ny, hm (q) phi n tr.
+ Hm (q ) phi l hm liờn tc: H lng t l mt thc th vt cht luụn
luụn vn ng, bin i liờn tc trong khụng gian nờn hm (q ) phi l mt hm
liờn tc.

+ Hm (q ) phi l mt hm kh vi, tc l ly c o hm.
b, Toỏn t:
* nh ngha: Toỏn t l mt thc th toỏn hc tỏc dng lờn mt hm bt kỡ
chuyn nú thnh mt hm khỏc.


A (q) ( q)


Ta núi toỏn t A tỏc dng lờn hm (q ) cho hm (q) .
* Cỏc phộp tớnh trờn toỏn t.




+ Cho 2 toỏn t A v B nu vi mt hm bt kỡ ta cú.

D-ơng Thị Hạnh

9

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

S (A B)






D (A B)






P A(B )

Thỡ toỏn t S : c gi l tng ca 2 toỏn t A v B .
Toỏn t D : c gi l hiu ca 2 toỏn t A v B .






Toỏn t P : c gi l tớch ca 2 toỏn t A v B .
Tng (hiu) ca 2 toỏn t cú tớnh cht nh tng (hiu) ca 2 s: tớnh cht giao
hoỏn, kt hp.

ý th t cỏc toỏn t ú. Vớ d:












A B A(B )
BA B(A )

+ Giao hoỏn t: A, B A B B A





Nu A, B 0 thỡ 2 toỏn t A v B giao hoỏn.





Nu A, B 0 thỡ 2 toỏn t A v B khụng giao hoỏn.



1.1.2.2. Phng trỡnh Schrodinger tng quỏt
Trong c hc lng t, s bin i trng thỏi ca h vt lý vi mụ theo thi
gian c xỏc nh bi phng trỡnh Schrodinger:
ih

D-ơng Thị Hạnh

(q, t )
H (q, t )
t

(1.1)

10

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Trng hp th nng ca h khụng ph thuc vo thi gian: U=U(q) (h kớn,
hoc h chuyn ng trong mt trng ngoi khụng i), thỡ toỏn t Haminton


H khụng ph thuc vo thi gian v trựng vi toỏn t nng lng ton phn


H ( q ) , cũn trng thỏi ca h l trng thỏi dng: (q, t ) (q) . Khi ú nghim ca

phng trỡnh Schrodinger cú th tỏch thnh hai tha s: mt tha s ch ph
thuc vo ta (q ) v mt tha s ch ph thuc vo thi gian: f (t )
(q, t ) (q). f (t )

(1.2)

Thay (1.2) vo (1.1) ta cú:
ih



(q). f (t ) H (q). f (t )
t

ih (q).

ih


df (t )
f (t ). H (q)
dt

1 df (t )
1
.

. H (q)
f (t ) dt
(q )

(1.3)

Vỡ hai v ca (1.3) ph thuc vo hai bin s q v t khỏc nhau nờn chỳng ch
cú th cú nghim ỳng khi c hai v bng mt hng s E. Khi ú ta cú:





ih

H (q) E (q)

(1.4)

1 df (t )
.
E
f (t ) dt

(1.5)

Phng trỡnh (1.4) trựng vi phng trỡnh tr riờng ca toỏn t nng lng
à (E l nng lng ton phn ca h lng t khi H
à khụng cha bin s t)
H

D-ơng Thị Hạnh

11

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Gii (1.5)
df (t ) 1
.Edt
f (t ) ih

df (t )
i

.Edt
f (t )
h


i
ln f (t ) .E.t ln C
h
i

f (t ) c.e h

. Et

c: l hng s
Vy nghim tng quỏt ca (1.2) l:
(q, t ) (q ).e

iEt
h

Nhng trng thỏi (1.2) trong ú nng lng ca h cú giỏ tr xỏc nh gi l
nhng trng thỏi dng v phng trỡnh (1.4) l phng trỡnh Srodinger cho trng
thỏi dng.
1.1.2.3. Phng trỡnh Schrodinger trng thỏi dng
Khi mt h lng t trng thỏi dng l trng thỏi m toỏn t Haminton

H ca h khụng ph thuc tng minh vo thi gian gia hm súng mụ t

trng thỏi ca h vi nng lng ton phn E v toỏn t Haminton ca h cú liờn
h:


H (q) E (q)

(1.6)

õy l mt phng trỡnh hm riờng, tr riờng, trong ú (q ) l hm riờng ca




H , E l tr riờng ca H tng ng vi hm riờng ( q ) .

Ta cú toỏn t Haminton cú dng:

D-ơng Thị Hạnh

12

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp




H = T U


Trong ú, T l toỏn t ng nng. Trong h to ecac :


T

Vi 2 (

h 2 2
2
2
h2 2
( 2 2 2)

2m x y z
2m

2
2
2


) : l toỏn t Laplace, c l nabla bỡnh phng.

x 2 y 2 z 2



U l toỏn t th nng tng ng l U (x,y,z).


H

h 2 2
2
2
( 2 2 2 ) U ( x, y, z )
2m x y z

(1.7)

Thay (1.7) vo (1.6) ta cú:
h 2 2

2
2


U ( x, y, z ) ( x, y, z ) E ( x, y, z )

2
2
2
2m x y z

2
2
2
2
h



2 2 2 ( x, y, z ) E U ( x, y, z ) ( x, y, z) 0
2m x y z

Nhõn c 2 v ca phng trỡnh vi

2m
ta c:
h2

2
2
2
2m
2 2 2 ( x, y, z ) 2 E U ( x, y, z ) ( x, y, z ) 0
h
x y z

Hay: 2 ( x, y, z )

2m
E U ( x, y, z) ( x, y, z ) 0

h2

2

2m
( E U ) 0
h2

Vy phng trỡnh Schrodinger l mt phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp
hai (hay l mt phng trỡnh o hm riờng cp hai).

D-ơng Thị Hạnh

13

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

i vi bt c mt h lng t no, ion, nguyờn t, phõn t li gii
phng trỡnh Schrodinger cho h phi bao gm ng thi 2 kt qu: hm riờng


v tr riờng nng lng ton phn E ng vi hm riờng ú ca H .

V nguyờn tc, phng trỡnh Schrodinge mt phng trỡnh vi phõn tuyn
tớnh cp 2 ch gii c chớnh xỏc i vi mt s ớt h lng t, cỏc trng hp

h lng t cú nhiu e ch gii c gn ỳng.
1.1.3. Mt s h thc quan trng trong h ta cu
a, Gii thiu h to cu:
: Gúc to bi trc Oz vi
r
vect r l gúc kinh tuyn.

z

: Gúc to bi hỡnh chiu ca



M

r

vect r trong mt phng xOy


vi trc Ox l gúc v tuyn.

y

x

: 0

Trong ú: : 0 2
r

r

r
0


M

z
r

Liờn h gia to ecac v to cu cos z r.cos
cos

x
x OM .cos r.sin .cos
OM

sin

y
y OM .sin r.sin .sin
OM

b, Biu thc ca mt s toỏn t trong h to cu:
+ Toỏn t Laplace: 2

D-ơng Thị Hạnh

1 2 1
r

r 2 r r r 2

14

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

: l phn ph thuc gúc ca toỏn t Laplace



1

1 2
(sin
) 2
sin
sin 2

+ Toỏn t momen ng lng.


M ih

+ Toỏn t bỡnh phng momen ng lng:


M 2 h 2

+ Mt s h thc giao hoỏn quan trng:

H ; M z 0 ;




2
M
;
M
z

0;



2
H ; M 0

M Mx i M y;M Mx i M y


M
;
M

2
h
M
z



M
;
M

h
M

z





M
;
M

h
M

z








M 2 M M M z2 h.M z

* Tr riờng ca toỏn t momen ng lng:

- Xột phng trỡnh tr riờng ca toỏn t M z .


M z u M z .u
u u (r , , ) l hm riờng.

D-ơng Thị Hạnh

15

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

u
M z .u

u i

.M z .
u h
i
ln u .M z . ln C
h
ih.

u c.e

i
. M z
h

i

Trong ú: u (r , , ) c(r , ).e h

. M z

. Khi chuyn ng 2 thỡ ta tr v im

ban u. cho u l mt hm n tr khi thay i 2 , hm u phi gi nguyờn
giỏ tr.
u ( 2 ) u ( )
e
e
e

i
. M z ( 2 )
h
i
. M z
h

.e

i

. M z .2
h

e

i
. M z .2
h

i
. M z
h

e

i
. M z
h

1

p dng h thc Euler: ei cos i sin vi
i

eh

. M z .2

cos

Mz
.2
h

Mz
M
.2 i sin z .2 1
h
h

Mz
sin h .2 0
M

z .2 m.2 M z m.h
h
cos M z .2 1

h
(m 0, 1,...)

Nh vy Mz bng mt s nguyờn ln h .
i

Thay vo biu thc hm riờng: u (r , , ) c(r , ).e h

. M z .

c(r , ).eim

* Tr riờng ca toỏn t M 2 :

D-ơng Thị Hạnh

16

K34B SP Hóa học


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp



Vỡ hai toỏn t M 2 v M z giao hoỏn vi nhau nờn chỳng cú chung nhng hm
riờng. Do ú: u (r , , ) c(r , ).eim cng l hm riờng ca toỏn t bỡnh phng
momen ng lng.






Ta cú: [ M ; M z ] h. M

M M z M z M h. M






M z M M M z h. M

Cho hai v tỏc dng lờn hm Um.

M z M um M M z um h. M um


M z um M z .um m.h.um

M









M z M um m.h. M um h. M um


(m 1)h. M um




M um l hm riờng ca M z v ng vi tr riờng (m 1)h


M um c.um1

Tng t M um l hm riờng ca M z v ng vi tr riờng (m 1)h


M um c.um1


Vỡ mh l tr riờng ca toỏn t M z v ú l mt i lng vt lớ khụng th bng
nờn m phi hu hn.


Gi l l giỏ tr ln nht ca m. Khi ú ta cú: M ul c.ul 1 0
l : l giỏ tr ln nht ca m.

D-ơng Thị Hạnh

17

K34B SP Hóa học


Tr-êng §H S- ph¹m Hµ Néi 2

Khãa luËn tèt nghiÖp

l +1: hàm triệt tiêu.








M 2  M  M   M z2  h.M z

Ta có:











 M 2 ul  M  M  ul  M z2 .ul  h. M  ul


M  ul  0

Mà



M z ul  l h.ul



 M 2 ul  l 2 .h 2 .ul  l.h 2 .ul

 l (l  1).h2 .ul
 M 2  l (l  1).h2
 M  l (l  1).h

Ứng với mỗi một giá trị của l thì m có nhiều giá trị vì l là giá trị lớn nhất
của m. Mặt khác hai hƣớng của trục z là tƣơng đƣơng nhau về mặt vật lí.
Nên ứng với mỗi một giá trị của m có một giá trị khác trái dấu với nó. Do đó m
nhận các giá trị l  m  l  có 2 l +1 giá trị.
1.2. Phƣơng trình Schrodinger đối với hệ một electron
1.2.1. Mô hình hệ
e
r
r

Zeo

D-¬ng ThÞ H¹nh

18

K34B – SP Hãa häc


Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

- H gm mt ht nhõn tớch in dng vi s n v in tớch bng Z e0 ( e0 l
in tớch nguyờn t), mt e cú in tớch l: e0 , c kớ hiu l e, chuyn ng
quanh ht nhõn.
Biu thc th nng ca e trong trng hp ny l:
Ze0 2 1
U U (r )
r 4

l hng s in mụi trong chõn khụng, 8,854.1012 C 2 / N .m2

Vy thc cht ca h lng t ny l xột mt e chuyn ng trong trng lc
ht nhõn cú s n v in tớch dng l Ze0 .
1.2.2. Phng trỡnh Schrodinger


Phng trỡnh Srodinger: H (q) E (q)
Trong to ecac toỏn t Haminton cú dng:






H T U

Ze2
h 2 2
2
2

( 2 2 2) 0
2m x y z
r

Vỡ trng th cú i xng cu, nờn mt cỏch tin li ta kho sỏt chuyn ng
ca ht trong h ta cu (r , , ) .Toỏn t Haminton cú dng:
h 2 1 2
Ze02
H
(r
)

2m r 2 r
r r 2 r


Phng trỡnh Srodinger:


H (r , , ) E (r , , )

1.2.3. Cỏc bc gii
Gii phng trỡnh Schrodinger gm 3 bc sau:
* Bc 1:Hm súng (r , , ) mụ t trng thỏi chuyn ng ca electron trong
trng lc i xng xuyờn tõm c tỏch thnh 2 phn.
D-ơng Thị Hạnh

19

K34B SP Hóa học

Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

(r , , ) R(r ).Y ( , )

+ R(r): c gi l hm bỏn kớnh, ch ph thuc vo r.
+ Y ( , ) : c gi l hm cu hay hm gúc, ph thuc vo , .
* Bc 2: Gii phng trỡnh bỏn kớnh c cỏc hm bỏn kớnh ph thuc vo 2
s nguyờn n v l l Rnl (r )
Gii phng trỡnh gúc thu c hm cu ph thuc vo 2 s nguyờn l v ml l
Ylml ( , )

* Bc 3: Nhõn hm Rnl (r ) vi Ylm ( , ) thỡ ta c hm nlm (r , , ) l nghim
l

ca phng trỡnh Schrodinger.
Ta i sõu xem xột tng bc mt:
a, Bc 1:


Phng trỡnh Schrodinger: H (r , , ) E (r , , )


Hay: H R(r )Y ( , ) E.R(r ).Y ( , )


Thay toỏn t H vo biu thc:

h2 1 2

. r

2 U R(r ).Y , E.R(r ).Y ( , )

2
2m r r r r

1
2m
2 r 2 2 .R(r ).Y ( , ) 2 ( E U ).R(r ).Y ( , ) 0
h
r r r r



1 2 R(r ).Y ( , )
2m
r
2 R(r )Y ( , ) 2 ( E U ).R (r ).Y ( , ) 0
2
r r
r
h
r



1

d dR
2m
.Y ( , ) r 2
2 R(r ).Y ( , ) 2 ( E U ).R(r ).Y ( , ) 0
2
r
dr dr r
h

D-ơng Thị Hạnh

20

K34B SP Hóa học


Tr-êng §H S- ph¹m Hµ Néi 2
Chia cả 2 vế cho

Khãa luËn tèt nghiÖp

R(r ).Y ( ,  )
ta đƣợc:
r2



1 d  2 dR  Y ( ,  ) 2 2m
 r 2 (E  U )  0
r


R dr  dr  Y ( ,  )
h



1 d  2 dR  2mr 2
  Y ( ,  )
r
  2 (E U ) 
R dr  dr 
h
Y ( ,  )


M2
Thay    2
h


1 d  2 dR  2mr 2
1 M 2 Y ( ,  )

r

(
E

U
)




R dr  dr 
h2
Y ( ,  )
h2

(2.1)

Vì 2 vế của phƣơng trình phụ thuộc vào 2 biến số khác nhau. Dấu bằng xảy ra
khi 2 vế bằng hằng số.
1 d  2 dR  2mr 2
r
  2 ( E  U )   : đƣợc gọi là phƣơng trình bán kính
R dr  dr 
h

( 2.2 )



1 M 2 Y ( ,  )

Y ( ,  )
h2

: đƣợc gọi là phƣơng trình góc

( 2.3 )

b, Bước 2:
b1: Giải phương trình bán kính (2.2) với   l (l  1)
1 d  2 dR  2mr 2
r
  2 ( E  U )  l (l  1)
R dr  dr 
h
1 d  2 dR  2mr 2
r
  2  E  U   l (l  1)  0
R dr  dr 
h

D-¬ng ThÞ H¹nh

21

K34B – SP Hãa häc


Tr-êng §H S- ph¹m Hµ Néi 2

Khãa luËn tèt nghiÖp

d  2 dR  2mr 2
r
  2  E  U  R  l (l  1) R  0
dr  dr 
h

dR 2 d 2 R 2 2m
 2r
r
 r 2 ( E  U ) R  l (l  1) R  0
dr
dr 2
h
2
d R
dR  2 2m

 r 2 2  2r
  r 2  E  U   l (l  1)  R  0
dr
dr  h



Chia cả 2 vế cho r2:
d 2 R 2 dR  2m
l (l  1) 
 .
  2  E U  
R0
2
dr
r dr  h
r 2 
 Ze2
Với thế năng U 

r

Thay U vào phƣơng trình ta có:
d 2 R 2 dR  2m 
Ze2  l (l  1) 

.

E


R0


dr 2 r dr  h2 
r 
r2 

(2.4)

Giải phƣơng trình (2.4) sẽ xác định đƣợc các giá trị của năng lƣợng E và hàm
bán kính R(r). Đối với electron có hai khả năng xảy ra:
Khi electron bứt ra khỏi nguyên tử, nghĩa là không tồn tại liên kết, lúc đó
E>0. Ta không quan tâm tới trƣờng hợp này.
Khi electron còn tƣơng tác với hạt nhân, nghĩa là E<0. Ta xét trƣờng hợp này.
Đặt E  

na0
nh 2
2Zr

mZ 2e4
h2
r

x

x

x

;
;
với
a

0
2mZe2
2Z
na0
2n 2 h 2
me 2

Trong đó n: tham số; x: biến số.
Khi đó ta có: dr 

nh2
n2 h4
2
dx


dr

dx 2
2
2 2 4
2mZe
4m Z e

dR 2mZe2 dR
d 2 R 4m2 Z 2e4 d 2 R

.


. 2
dr
nh2 dx
dr 2
n 2 h4
dx

D-¬ng ThÞ H¹nh

22

K34B – SP Hãa häc


Tr-êng §H S- ph¹m Hµ Néi 2
E

Khãa luËn tèt nghiÖp

Ze2
mZ 2e4
2mZe2 2mZ 2 e4  1 1 
  2 2  Ze2 .

  
r
2n h
nh2 x
nh2  4n x 

Thay vào (2.4):
4m2 Z 2 e4 d 2 R 4mZe2 dR 2mZe2  4m2 Z 2e4  1 1 
4m 2 Z 2 e 4 
. 2 
. .

    l (l  1). 2 4 2  R  0
4
n2 h4
dx
nh 2 x dx nh 2
nh x 
 x 4n 
 nh
d 2 R 2 dR  n 1  l (l  1) 
 2  .

   
R0
dx
x dx  x 4 
x 2 
x

Đặt R  u ( x).xl .e 2 . Bằng cách biến đổi ta đƣợc phƣơng trình:
x.

d 2u
du
 (2l  2  x).  (n  l  1).u  0
2
dx
dx

Đặt   2l  1 ; k  n  1
 x.

d 2u
du
 (  x  1).  (k   ).u  0
2
dx
dx

Đây là phƣơng trình Laguerre. Có nghiệm  k    0 và nguyên
 n  l 1  0
 n  l 1

Mà l = 0, 1, 2,... nên n = 1, 2, 3,... gọi là số lƣợng tử chính.
Nghiệm của phƣơng trình là đa thức Laguerre.
U ( x)  Lk ( x) 

d
dx

 x d k k x 
e . dx k  x .e  



x

Hàm bán kính R  c.U ( x).xl .e 2 , c: hằng số chuẩn hóa đƣợc xác định bằng điều
kiện chuẩn hóa hàm bán kính.

D-¬ng ThÞ H¹nh

23

K34B – SP Hãa häc


Tr-êng §H S- ph¹m Hµ Néi 2

Khãa luËn tèt nghiÖp



 R.R .r dr  1
*

2

0

3

4  n  l  1 !  Z  2
c
.
  cnl
3 
n 4  n  l  !  a0 
3

l

4(n  l  1)!  Z  2 2l 1  2Zr   2Zr   na0
 Rnl (r )  
.
 .Ln l 
 .
 .e
3 
n 4  n  l  !  a0 
 na0   na0 
Zr

Dấu “ –” đƣợc đặt trƣớc để hàm bán kính Rnl (r ) trở nên dƣơng khi r bé, tức là
gần hạt nhân.
Trong đó: n, l là các số lƣợng tử chính và số lƣợng tử obitan.
Z là số đơn vị điện tích dƣơng hạt nhân.
h2
h2

a0 là bán kính Bo thứ nhất, a0 
me0 4 2 me0

Với h = 6,625.10-34 J.s = 6,625.10-27 erg.s
m = 9,109.10-31 Kg = 9,109.10-28 g
e0 = 1,602.10-19 C = 4,803.10-10 uescgs
a0 

(6, 625.10 27 ) 2
 5, 29.109 cm  0,529 Ao
2
28
10 2
4. .9,109.10 .(4,803.10 )

e là cơ số logarit tự nhiên.
 2 Zr 
 là đa thức Laghe.
n l
0 

2 l 1

L  na

r là biến số, chỉ khoảng cách từ hạt nhân đến vị trí electron đang xét.
3

4  n  l  1!  Z  2
.
* Một số hằng số chuẩn hóa hàm cầu: cnl  4

3 
n  n  l !  a0 

D-¬ng ThÞ H¹nh

24

K34B – SP Hãa häc


Tr-êng §H S- ph¹m Hµ Néi 2

Khãa luËn tèt nghiÖp

3

3



 Z 2
4(1  0  1)!  Z  2
c10 
.

2.
 
 
14.(1!)3  a0 
 a0 



4.(2  0  1)!  Z  2
1  Z 2
c20 
.

. 
 
24.(2!)3  a0 
25  a0 



4.(2  1  1)!  Z  2
1  Z 2
c21 
.


. 
 
24.(2  1)!3  a0 
25.33  a0 



4.(3  0  1)!  Z  2
1  Z 2
c30 
.
  7 . 
4
3 
3 .(3  0)!  a0 
3  a0 



4.(3  1  1)!  Z  2
1  Z 2
c31 
.

. 


34.(3  1)!3  a0 
67  a0 

3

3

3

3

3

3

3



3

3
2

4.(3  2  1)!  Z 
1 Z
.
  7 3 . 
4
3 
3 .(3  2)!  a0 
6 .5  a0 

c32 

3
2

* Một số đa thức Laghe:
Lk ( x)  L2nll1 ( x) 

 2Zr 

Zr

d
dx

 x d k k x 
e . dx k  x .e  



2 Zr

u,
v
Đặt 
  u ,
ao
3ao
 a0 
n 1

 2Zr  1
d  u d
 
 L11 
u.eu   d eu. eu  u.eu   d 1  u  1
  L1u  
e
l  0

 a0 

du  

du 



du 



du

n2
 Zr 
d  u d 2 2 u  d  u d
u
2 u 
 
 L12    L12u 

u .e   
e
2 
e .  2u.e  u .e  
l  0

 a0 



du 



du

du 

du



 Zr

d u
d
2
e .  2.e u  2u.e u  2u.e u  u 2 .e u   
(2


4
u

u
)

2
u

4

2

2


 du
du 
 a0


D-¬ng ThÞ H¹nh

25

K34B – SP Hãa häc