Bài tập bất đẳng thức hay nhất

hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .

50 Bài tập về bất đẳng thức:
1
a
1 8a a 1
24
a 1 10
Giải: S = a + = + ( + ) ≥
+2 . =
a 9
9 a
9
9 a 3
1
Bài 2: Cho a ≥ 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của S = a + 2
a
1 6a a a 1
12
a a 1 12 3 9
Giải: S = a + 2 =
+ ( + + 2 ) ≥ + 33 . . 2 = + =
a
8
8 8 a
8
8 8 a
8 4 4
1
Bài 3: Cho a,b >0 và a + b ≤ 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab +

ab
1
1
15
1
15
17
S = ab +
= (ab +
)+
≥ 2 ab
+
=
2
Giải:
ab
16ab 16ab
16ab
4
 a+b 
16 
÷
 2 
3
Bài 4: Cho a,b,c>0 và a + b + c ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
1
1
1
S = a 2 + 2 + b2 + 2 + c 2 + 2

b
c
a
Giải:
Cách 1:
Bài 1: Cho a ≥ 3 , tìm giá trị nhỏ nhất của S = a +

Cách 2:
S = a2 +

1
1
1
+ b2 + 2 + c 2 + 2
2
b
c
a

(12 + 42 )(a 2 +

1
1
1
1
4
) ≥ (1.a + 4. ) 2⇒ a 2 + 2 ≥
(a + )
2
b

b
b
b
17

Tương tự
1
1
4
1
1
4
b2 + 2 ≥
(b + ); c 2 + 2 ≥
(c + )
c
c
a
a
17
17
Do đó:

1


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
1
4 4 4

1
36
(a + b + c + + + ) ≥
(a + b + c +
)
a b c
a +b+c
17
17

S≥

 3 17
1 
9
135
(a + b + c + 4(a + b + c) ) + 4(a + b + c)  ≥ 2
17 

x
+
y
+
z ≤ 1 . Chứng minh rằng:
Bài 5: Cho x,y,z là ba số thực dương và
=

x2 +

1

1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
2
y
z
x

Giải:
1
1
1
1
9
(1.x + 9. ) 2 ≤ (12 + 92 )( x 2 + 2 ) ⇒ x 2 + 2 ≥
(x + )
y
y
y
y
82
1
1
9
1
1
9
≥
( y + ); z 2 + 2 ≥
(z + )

2
z
z
x
x
82
82
1
9 9 9
1
81
S≥
(x + y + z + + + ) ≥
(x + y + z +
)
x y z
x+ y+z
82
82

TT : y 2 +

=

1
82


1
80 

( x + y + z + x + y + z ) + x + y + z  ≥ 82



Bài 6: Cho a,b,c>0 và a + 2b + 3c ≥ 20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
3 9 4
S = a+b+c+ +
+
a 2b c
Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4
12 18 16
12  
18   16 

4 S = 4a + 4b + 4c + + + = a + 2b + 3c +  3a + ÷+  2b + ÷+  c + ÷ ≥
a b c
a 
b 
c 

20 + 3.2.2 + 2.2.3 + 2.4 = 52 ⇒ S ≥ 13
1 1 1
Bài 7: Cho x,y,z> 0 và + + = 4 . Tìm giá trị lớn nhất của
x y z
1
1
1
P=
+
+

2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z
Giải:
Ta có
1 1
4 1 1
4
+ ≥
; + ≥
x y x+ y y z y+z
1 1 1 1
4
4
16
1
1 1 2 1
⇒ + + + ≥
+
≥
⇒
≤  + + ÷
x y y z x + y y + z x + 2y + z
x + 2 y + z 16  x y z 

2


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
TT :
1

1 2 1 1
1
1 1 1 2
≤  + + ÷;
≤  + + ÷
2 x + y + z 16  x y z  x + y + 2 z 16  x y z 
1 4 4 4
S ≤  + + ÷= 1
16  x y z 
Bài 8
x

x

x

 12   15   20 
Chứng minh rằng với mọi x ∈ R , ta có  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ 3x + 4 x + 5 x
 5  4  3 
Giải:
x

x

x

x

x

x

x

x

 12   15 
 12   15 
 15 
 12 
x  20 
x  20 
x
 ÷ +  ÷ ≥ 2  ÷ .  ÷ = 2.3 ;  ÷ +  ÷ ≥ 2.5 ;  ÷ +  ÷ ≥ 2.4
5
4
5
4
3
4
3
5
   
   
   
   
Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 . Chứng minh rằng 8 x + 8 y + 8 z ≥ 4 x +1 + 4 y +1 + 4 z +1
Giải: Dự đoán x=y=z = 2 và 3 8x.8 x = 3 64 x = 4 x nên :

8 x + 8 x + 82 ≥ 3 3 8x.8 x.82 = 12.4 x ;
8 y + 8 y + 82 ≥ 3 3 8 y.8 y.82 = 12.4 y ;
8 z + 8 z + 82 ≥ 3 3 8 z.8z.82 = 12.4 z
8 x + 8 y + 8 z ≥ 3 3 8x.8 y.8 z = 3 3 82.82.82 = 192
Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 10:
Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng
1 + x3 + y3
1 + y3 + z 3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx
Giải:
x 3 + y 3 ≥ xy ( x + y ) ⇒ 1 + x3 + y 3 ≥ xyz + xy ( x + y ) = xy ( x + y + z ) ≥ 3xy 3 xyz = 3xy
1 + x3 + y3
3 xy
=
=
xy
xy

3 yz
3 1 + y3 + z3
;
=
=

xy
yz
yz

 1
1
1 
S = 3
+
+
÷≥ 3 3
 xy
yz
zx ÷



1
2

x y2 z2

Bài 11

3

=3 3

3 1 + z 3 + x3
3zx

;
=
=
yz
zx
zx

3
zx


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
( x − y ) ( 1 − xy )
của biểu thức P =
2
2
( 1+ x) ( 1+ y)
Giải:
2

 x + y + 1 + xy 
÷ 1
x − y ) ( 1 − xy )
x + y ) ( 1 + xy ) 
(
(
2
 = ⇒ −1 ≤ P ≤ 1

P =
≤
≤
2
2
2
2
2
4
( 1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + x ) ( 1 + y ) ( x + y + 1 + xy ) 4 4
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.hoctoancapba.com
Bài 12
a 3 b3 c 3
Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng:
+ + ≥ ab + bc + ca
b c a
Giải:
2
3
3
3
4
4
4
2
2
2 2
ab + bc + ac )

Cách 1: a + b + c = a + b + c ≥ ( a + b + c ) ≥ (
= ab + bc + ac
b c a ab bc ca
ab + bc + ac
ab + bc + ac
a3
b3
c3
Cách 2:
+ ab ≥ 2a 2 ; + bc ≥ 2b 2 ; + ca ≥ 2a 2
b
c
a
a 3 b3 c 3
+ + ≥ 2(a 2 + b 2 + c 2 ) − ab − bc − ac ≥ ab + bc + ac
b c a
Bài 13
Cho x,y >0 và x + y ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

3x 2 + 4 2 + y 3
+
4x
y2

Giải: Dự đoán x=y=2
3x 2 + 4 2 + y 3 3x 1 2
1 x  2 y y  x+ y 9
A=
+
=

+ + 2 + y =  + ÷+  2 + + ÷+ 
÷≥
2
4x
y
4 x y
4 4  2  2
 x 4  y
1
1
+
≥ 4+ 2 3
Bài 14: Cho x,y>0 và x+y = 1. Chứng minh rằng P = 3
3
x +y
xy
Giải: Ta có
3
( x + y ) = x3 + y 3 + 3xy(x+y) ⇒ x3 + y 3 + 3xy=1
x 3 + y 3 + 3xy x 3 + y 3 + 3xy
3xy
x3 + y 3
+
=
4
+
+
≥ 4+2 3
x3 + y 3
xy

x3 + y3
xy
1
1
1
1
+
+
= 2 . Chứng minh rằng xyz ≤
Bài 15: Cho x,y,z >0 và
1+ x 1+ y 1+ z
8
Giải:
P=

4


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
1
1
1
1
1
y
z
= 2−
−
= 1−

+1−
=
+
≥2
1+ x
1+ y 1+ z
1+ y
1+ z 1+ y 1+ z
TT :

1
≥2
1+ y

xz
1
;
≥2
( 1+ x) ( 1+ z ) 1+ z

yz
( 1+ y ) (1+ z )

xy
( 1+ x) ( 1+ y)

Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm
Bài 16: Cho x,y,z>0 và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S =

x

y
z
+
+
x +1 y +1 z +1

Giải:
 1
x
y
z
1
1 
9
9 3
+
+
= 3−
+
+
= 3− =
÷≤ 3 −
x +1 y +1 z +1
x+ y+ z+3
4 4
 x +1 y +1 z +1
Bài 17:
4a 2 5b 2 3c 2
Cho a,b,c >1. Chứng minh rằng:
+

+
≥ 48
a −1 b −1 c −1
Giải:
2
4a 2 4 ( a − 1) + 4
4
4
=
= 4 ( a + 1) +
= 4 ( a − 1) +
+ 8 ≥ 8 + 8 = 16
a −1
a −1
a −1
a −1
5b 2
5
3c 2
3
= 5 ( b − 1) +
+ 10 ≥ 20;
= 3 ( c − 1) +
+ 6 ≥ 12⇒ dpcm
b −1
b −1
c −1
c −1
Bài 18
Cho a,b,c >0, chứng ming rằng :

1 1 1
1
1 
 1
+ + ≥ 3
+
+
÷
a b c
 a + 2b b + 2c c + 2a 
Giải:
1 1 1
9
1 1 1
9
1 1 1
9
+ + ≥
; + + ≥
; + + ≥
cộng ba bất đẳng thức =>đpcm
a b b a + 2b b c c b + 2c c a a c + 2a
Bài 19
Với a,b,c >0 chứng minh rằng:
1 4 9
36
+ + ≥
a b c a+b+c
Giải:
2

1 4 9 ( 1 + 2 + 3)
36
+ + ≥
=
a b c
a+b+c
a+b+c
Bài 20:
Cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng :
1 1 4 16
64
+ + + ≥
a b c d a+b+c+d
Giải:
1 1 4
16
16
16
64
+ + ≥
;
+ ≥
a b c a +b+c a +b+c d a+b+c+d
S=

5


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .

Cần nhớ:
a 2 b2 c2 ( a + b + c )
+ + ≥
x
y z
x+ y+z

2

Bài 21
Với a,b,c>0 chứng minh rằng:

4 5 3
2
1 
 3
+ + ≥ 4
+
+
÷
a b c
 a+b b+c c+a 

Giải.
1 1
4
3 3
3 1 1
4
2 2

8 1 1
4
+ ≥
⇒ + ≥
; + ≥
⇒ + ≥
; + ≥
a b a+b
a b a +b b c b+c
b c b+c c a c+a
Bài 22
Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2 + + ÷
Chứng minh rằng
p −a p −b p −c
a b c
Giải:
1
1
1
2
2
2
+

+
=
+
+
p − a p − b p − c −a + b + c a − b + c a + b − c
1
1
1
1
1
1
1 1 1
+
+
+
+
+
≥ 2 + + ÷
− a + b + c a − b + c a + b − c −a + b + c a − b + c a + b − c
a b c
Bài 23
x2
y2
z2
x
+
y
+
x
≥

4
+
+
Cho x,y,z>0 và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
y+z z+x x+ y
hoctoancapba.com
Giải:
2
x + y + z)
(
x2
y2
z2
x+ y+z 4
+
+
≥
=
= = 2.
Cách1: P =
y + z z + x x + y 2( x + y + z)
2
2
Cách 2:
x2
y+z
y2
z+x
z2

x+ y
+
≥ x;
+
≥ y;
+
≥z
y+z
4
z+x
4
x+ y
4
x+ y+z x+ y+z 4
⇒ P ≥ x+ y+x−
=
= = 2.
2
2
2
Bài 24
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng
2 y + 3z + 5 3 z + x + 5 x + 2 y + 5 51
+
+
≥
1+ x
1+ 2 y
1 + 3z
7

Giải:
=

6


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
2 y + 3z + 5 3 z + x + 5 x + 2 y + 5
+
+
1+ x
1+ 2 y
1 + 3z
2 y + 3z + 5
3z + x + 5
x + 2y + 5
=
+1+
+1+
+1− 3
1+ x
1+ 2 y
1 + 3z
 1
1
1 
9
= ( x + 2 y + 3z + 6 ) 
+

+
−3
÷− 3 ≥ 24.
x + 2 y + 3z + 3
 1 + x 1 + 2 y 1 + 3z 
9
51
= 24. − 3 =
21
7
Bài 25
Chứng minh bất đẳng thức:
a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b
Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
p − a + p − b + p − c ≤ 3p
Giải:
Bu- nhi -a ta có :
p − a + p − b + p − c ≤ (12 + 12 + 12 )( p − a + p − b + p − c ) = 3(3 p − 2 p ) = 3 p
Bài 27
1
1
Cho hai số a, b thỏa mãn : a ≥ 1; b ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A = a + + b +
a
b
1
1 15b  b 1  15.4
1 17

21
+  + ÷≥
+ 2. = ⇒ A ≥
Giải: a + ≥ 2; b + =
a
b 16  16 b  16
4 4
4
Bài 28
Chứng minh rằng a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab3
Giải:
( a 2 ) 2 + ( b 2 ) 2  (12 + 12 ) ≥ ( a 2 + b 2 ) 2 = ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + b 2 ) ≥ 2ab ( a 2 + b 2 ) => a 4 + b 4 ≥ a3b + ab3


Bài 29
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

( x + y + 1) 2 xy + y + x
A=
+
(Với x; y là các số thực dương).
xy + y + x ( x + y + 1)2
Giải:
( x + y + 1) 2
1
= a; a > 0 ⇒ A = a + Có
Đặt
xy + y + x
a
A=a+

1 8a a 1 8
a 1 8 2 10
10
=
+ ( + ) ≥ .3 + 2. . = + = ⇒ A ≥
a 9
9 a 9
9 a 3 3 3
3

Bài 30

7


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt.
Chứng minh

a2
b2
c2
+
+
≥2
(b − c) 2 (c − a) 2 ( a − b) 2

Giải:

a
b
b
c
c
a
.
+
.
+
.
= −1
(b − c ) (c − a) (c − a) ( a − b) ( a − b) (b − c)
2

 a
b
c 
VT = 
+
+
÷ ≥0
(
b
−
c
)
(
c

−
a
)
(
a
−
b
)


(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ 3 . Chứng ming rằng
1
2009
+
≥ 670
2
2
a +b +c
ab + bc + ca
2

Giải:

1
2009
+
2
2

a + b + c ab + bc + ca
1
1
1
2007
9
2007
= 2
+
+
+
≥
+
≥ 670
2
2
2
2
a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca ( a + b + c )
( a + b + c)
3
Bài 32:
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

P = a2 + b2 + c2 +

ab + bc + ca
a 2b + b 2c + c 2a

Giải:
3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2
Mà a3 + ab2 ≥ 2a2b ;b3 + bc2 ≥ 2b2c;c3 + ca2 ≥ 2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ≥ 3(a2b + b2c + c2a) > 0

ab + bc + ca
9 − (a 2 + b 2 + c 2 )
2
2
2
⇒P≥a +b +c +
Suy ra P ≥ a + b + c + 2
a + b2 + c 2
2(a 2 + b 2 + c 2 )
2

2

2

t = a2 + b2 + c2, với t ≥ 3.
Suy ra P ≥ t +

9−t t 9 t 1
3 1
= + + − ≥ 3+ − = 4 ⇒ P ≥ 4
2t
2 2t 2 2
2 2

a=b=c=1

Bài 33
Ch x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z = 1. tìm giá trị nhỏ nhất của
1
1 1
+
+
P=
16 x 4 y z
Giải:

8


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
 1
1
1 1
1 1  y
x   z
x   z y  21
+
+ = ( x + y + z) 
+
+ ÷= 
+
+ ÷+ 
+ ÷+

÷+ 
16x 4 y z
 16x 4 y z   16 x 4 y   16 x z   4 y z  16
y
x 1
z y
z
x 1
+
≥ có =khi y=2x;
+ ≥ 1 khi z=2y
+ ≥ khi z=4x;
=>P ≥ 49/16
16 x 4 y 4
4y z
16 x z 2
Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
Bài 34
P=

4 5
+ ≥ 23
x y
6
7
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 8x + + 18y +
x
y
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:

Giải:

6
7 
2 
2 4 5
+ 18y + =  8x + ÷+ 18y + ÷+  + ÷≥ 8 + 12 + 23 = 43
x
y 
x 
y x y
1 1
1 1
Dấu bằng xảy ra khi ( x; y ) =  ; ÷.Vậy Min B là 43 khi ( x; y ) =  ; ÷
 2 3
 2 3
B = 8x +

Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh rằng
x2 + y2 + z2 ≤ 9
Gải:
1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x − 1 ≥ 0 và x − 2 ≤ 0 ⇒ ( x − 1)( x − 2) ≤ 0
⇒ x 2 ≤ 3x − 2
Tương tự y 2 ≤ 3y − 2 và z 2 ≤ 3z − 2
⇒ x2 + y2 + z2 ≤ 3( x + y +z) – 6 ≤ 3. 5 – 6 = 9
Bài 36
Cho a,b,c là các số thuộc [ −1; 2] thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = 6. Chứng minh rằng
a +b+c ≥ 0.
Giải:

( a + 1) ( a − 2 ) ≤ 0 ⇔ a 2 − a − 2 ≤ 0; b 2 − b − 2 ≤ 0; c 2 − c − 2 ≤ 0
⇒ a + b + c ≥ a 2 + b2 + c 2 − 6 = 0
Bài 37
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≤ 2 . Chứng minh rằng:
1
1
1
97
a 2 + 2 + b2 + 2 + c 2 + 2 ≥
b
c
a
2
Giải:
2
9 1   2 81  2 1 
1
4 
9 

2
1.
a
+
.

÷ ≤  1 + ÷ a + 2 ÷ ⇒ a + 2 ≥
 a + ÷;
4 b 
16 

b 
b
4b 
97 

cộng các vế lại
1
4 
9 
1
4 
9 
2
2
b + 2 ≥
 b + ÷; c + 2 ≥
c + ÷
c
4c 
a
4a 
97 
97 

9


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Bài 38

Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng
p
p
p
+
+
≥9
p −a p −b p −c
Giải:
p
p
p
1
1
1
9
9
+
+
≥ 9 hay
+
+
≥
=
p −a p −b p −c
p −a p −b p −c p −a + p −b + p −c p
Bài 39
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
3(a 2 + b2 + c 2 ) + 2abc ≥ 52
Giải:

8
abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (6 − 2a) ( 6 − 2b ) ( 6 − 2c ) ⇔ abc ≥ −24 + ( ab + bc + ac )
3
2
2
2
16  36 − (a + b + c ) 
8
⇔ 2abc ≥ −48 + 
⇔ (a 2 + b 2 + c 2 ) + 2abc ≥ 48 (1)

3 
2
3

a 2 + b2 + c2
≥ 4 (2)
(1)and(2) ⇒ dpcm
3
Có chứng minh được 3(a 2 + b 2 + c 2 ) + 2abc < 18 hay không?
Bài 40
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = 4(a 3 + b3 + c3 ) + 15abc .
Giải:
Có a 2 ≥ a 2 − (b − c) 2 = (a − b + c)(a + b − c ) (1) , b 2 ≥ b 2 − (c − a) 2 = (b − c + a)(b + c − a) (2)
c 2 ≥ c 2 − (a − b) 2 = (c − a + b)(c + a − b) (3) . Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ a = b = c
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1),
(2), (3) ta có : abc ≥ (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) (*) hoctoancapba.com
Từ a + b + c = 2 nên (*) ⇔ abc ≥ (2 − 2a )(2 − 2b)(2 − 2c) ⇔ 8 − 8(a + b + c) + 8(ab + bc + ca ) − 9abc ≤ 0
⇔ 8 + 9abc − 8(ab + bc + ca ) ≥ 0 ⇔ 9abc − 8(ab + bc + ca ) ≥ −8 (*)

Ta có a 3 + b3 + c 3 = (a + b + c)3 − 3( a + b + c )(ab + bc + ca ) + 3abc = 8 − 6(ab + bc + ca ) + 3abc
3
3
3
Từ đó 4(a + b + c ) + 15abc = 27 abc − 24( ab + bc + ca) + 32 = 3 [ 9abc − 8(ab + bc + ca) ] + 32 (**)

( a − 2)

2

+ ( b − 2) + ( c − 2) ≥ 0 ⇔
2

2

Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a 3 + b3 + c3 ) + 15abc ≥ 3.(−8) + 32 = 8
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .
3
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a = b = c =

2
3

Bài 41
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
2
1
≤ a 3 + b3 + c3 + 3abc < .
9

4

10


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Giải:
*P = a3 + b3 + c 3 + 3abc
Ta có a3 + b3 + c 3 − 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac )
⇔ a3 + b3 + c3 − 3abc = (a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac ) (1)
có abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) =
−2 8
−1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc ⇔ 6abc ≥
+ ( ab + bc + ca ) (2)
3 3
2 5
(1)and(2) ⇒ a3 + b3 + c 3 + 3abc ≥ a 2 + b 2 + c 2 − + ( ab + bc + ca )
3 3
mà ab + bc + ca =
2

(

1 − a 2 + b2 + c 2
2
2

) ⇒P≥1

(a
6

2

)

+ b2 + c 2 +

1
6

2

1 
1 
1
1
1 1 1 2

2
2
2
 a − ÷ + b − ÷ + c − ÷ ≥ 0 ⇔ a + b + c ≥ ⇒ P ≥ . + =
3 
3 
3
3
6 3 6 9


*P = a3 + b3 + c 3 + 3abc
abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) = −1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc > 0
1
⇒ ab + bc + ca ) − 2abc >
(3)
4
P = a3 + b3 + c 3 + 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac ) + 6abc
= a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac + 6abc = ( a + b + c ) − 3 ( ab + bc + ca ) + 6abc
2

1 1
= 1 − 3 ( ab + bc + ca − 2abc ) < 1 − 3. =
4 4

Bài 42
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:

x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx + xyz ≥ 8
Giải:

11


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .

Chứng minh được

xyz ≥ ( − x + y + z ) ( x − y + z ) ( x + y − z )

= (6 − 2 x)(6 − 2 y )(6 − 2 z ) = 216 − 72( x + y + z ) + 24( xy + yz + zx) − 8xyz
8
⇔ xyz ≥ −24 + ( xy + yz + zx) (1)
3
mà ( x + y + z ) = 9 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2 yz + 2xz = 9
2

⇔ x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz = 36 − 3xy − 3 yz − 3xz
(2)
8
Nên xyz + x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz + ≥ −24 + ( xy + yz + zx)+ 36 − 3xy − 3 yz − 3xz
3
1
2
⇔ xyz + x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz + ≥ 12 − ( xy + yz + zx) mà ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx)
3
1 ( x + y + z)
36
⇒ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − .
= 12 −
=8
3
3
9
2

2

2

2

Bài 43
2
2
Cho a ≥ 1342; b ≥ 1342 . Chứng minh rằng a + b + ab ≥ 2013 ( a + b ) . Dấu đẳng
thức xảy ra khi nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:

( a − 1342 )

2

+ ( b − 1342 ) ≥ 0; ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ 0; a − 1342 + b − 1342 ≥ 0
2

Thật vậy:

(1)
( a − 1342 ) + ( b − 1342 ) ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 − 2.1342. ( a + b ) + 2.13422 ≥ 0
(2)
( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ 0 ⇔ ab − 1342a − 1342b + 13422 ≥ 0
⇒ a 2 + b 2 − 2.1342. ( a + b ) + 2.13422 + ab − 1342a − 1342b + 13422 ≥ 0
⇔ a 2 + b 2 + ab ≥ 3.1342. ( a + b ) − 3.13422 = 2.2013. ( a + b ) − 3.13422
= 2013. ( a + b ) + 2013. ( a + b ) − 2.2013.1342 = 2013. ( a + b ) + 2013. ( a + b − 1342 − 1342 ) ≥ 2013. ( a + b )
2

2

Bài 44
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( x − 1) + ( x − 3) + 6 ( x − 1)
4

4

2

( x − 3)

2

Giải:

Cách 1:

12


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .

Cách 2 :

A = ( x − 1) + ( x − 3) + 6 ( x − 1)
4

4

2

( x − 3)

2

2

2
2
2
2
A = ( x − 1) + ( x − 3)  + 4 ( x − 1) ( x − 3)



A =  2x 2 − 8x + 10  + 4 ( x 2 − 4x + 3 )
2

A =  2( x − 2) 2 + 2  + 4 ( ( x − 2) 2 − 1)
2

2

2

A = 4( x − 2) 4 + 8( x − 2) 2 + 4 + 4( x − 2) 4 − 8( x − 2) 2 + 4
A = 8( x − 2) 4 + 8 ≥ 8

Bài 45:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
1
+
+
≤
c +1 a +1 b +1 4

Giải:

Bài 46
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng:
13


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
1
1+ x + y
3

+

3

1
1
+

≤1
3
3
1 + y + z 1 + z 3 + x3

Giải:

x 2 + y 2 ≥ 2xy ⇒ ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) ≥ 2xy ( x + y ) ⇒ x 3 + y 3 ≥ xy ( x + y )

⇒ 1 + x 3 + y 3 ≥ xy ( x + y + z ) ⇒
⇒

1
1+ x + y
3

3

≤

1
1+ x + y
3

3

≤

1
xy ( x + y + z )

z
1
x
1
y
;
≤
;
≤
⇒ dpcm
3
3
3
3
x + y + z 1+ y + z
x + y + z 1+ z + x
x+ y+z

Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng :

( a + b)

2

+

a+b
≥ 2a b + 2b a

2

2

+

a+b
1

1 
1 

= ( a + b )  a + b + ÷ = ( a + b )   a + ÷+  b + ÷÷ ≥ 2 ab ( a + b ) = 2a b + 2b a
2
2
4 
4 



Giải:

( a + b)

Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
1
1 + 8a 3

+

1

1

+

1 + 8b 3

1 + 8c3

≥1

Giải:
1
1 + 8a 3
;

1

=

≥

1

≥

( 2a + 1) ( 4a 2 − 2a + 1)
1

1

≥

1

1 + 8c3 2c + 1
1
1
1
9
⇒ VT ≥ 2
+ 2
+ 2
≥ 2
=1
2a + 1 2b + 1 2c + 1 2a + 1 + 2b 2 + 1 + 2c 2 + 1
1 + 8b3

2b + 1

;

1
2
1
= 2
= 2
2

2a + 1 + 4a − 2a + 1 4a + 2 2a + 1
2

2

2

Bài 49
Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng :

a 3 b3 c 3
+ + ≥ a 2 + b2 + c2
b c a

Giải:
Cách 1:

2
2
2
a 2 + b2 + c 2 ) ( a 2 + b2 + c 2 )
(
a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4 ( a + b + c )
+ + =
+ + ≥
=
≥ a 2 + b2 + c 2
b c a ab bc ca
ab + bc + ca
ab + bc + ca

2

Cách 2

a3
b3
c3
+ ab ≥ 2a 2 ; + bc ≥ 2b 2 ; + ca ≥ 2c 2 ⇒ VT ≥ 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − (ab + bc + ca ) ≥ a 2 + b 2 + c 2
b
c
a

Bài 50
14


hoctoancapba.com
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
x2
y2
z2
3
+
+
≥
y +1 z +1 x +1 2

Giải:

x2
y +1
y2
z +1
z2
x +1
3
3 3
3 3
+
≥ x;
+
≥ y;
+
≥ z ⇒ VT ≥ ( x + y + z ) − ≥ .3 − =
y +1
4
z +1
4
x +1
4
4
4 4
4 2

15