Tính đặt chỉnh, đặt không chỉnh của bài toán thuận và bài toán ngược

✶

▼Ö❈ ▲Ö❈
❚r❛♥❣

▼Ö❈ ▲Ö❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ →♥❤ ①↕ ❦❤↔ ✈✐ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✸ ❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥

✶✻
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ❚➼♥❤ ✤➦t ❝❤➾♥❤✱ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥
✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷ñ❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✷✳✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❝❤➾♥❤✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ❝→❝ ✈➼
❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✷ ▼è✐ q✉❛♥ ❤➺ ✈➲ t➼♥❤ ✤➦t ❝❤➾♥❤✱ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

✷✹
✷✳✸ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷ñ❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
❑➌❚ ▲❯❾◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵

t❤✉➟♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷ñ❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳


✷

▼❐❚ ❙➮ ❑Þ ❍■➏❯ ❉Ò◆● ❚❘❖◆● ❑❍➶❆ ▲❯❾◆

R✿ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t❤ü❝

Rn ✿ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞ n✲❝❤✐➲✉
C✿ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝

✿ ♣❤➛♥ t❤ü❝ ❝õ❛ ♠ët sè ♣❤ù❝
Ω✿ ♠✐➲♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn
·, · ✿ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H
· ✿ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H



t ữủ ữỡ tr r tữớ t
tr ỹ ừ ổ t ỵ từ ở
ồ ồ ỷ ỵ õ ỳ t ỳ ừ q
tr t ỵ ổ ữủ trỹ t t ú tứ
ỳ ỳ t r õ ú tổ
tợ t t t ổ ừ t t t ữủ
r ữớ t ữỡ tr
r t t t t t ổ
ởt t ữủ ồ t õ tọ
õ õ t ử tở tử t
ởt tổổ õ t ỳ ừ t t t ởt tr
ổ tọ t t õ r t t ổ
õ õ trú ữ s
ử ử
ớ

ữỡ ởt số tự ờ trủ
ữỡ t ừ t t t ữủ
t

t
r ữỡ ú tổ tr ởt số tự ờ trủ ở
ữỡ ử t tr ởt số tự t
ỳ ổ t tỷ t t
t tỷ t t ổ
r ữỡ ú tổ tr t t



✹

❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ✈➲ t➼♥❤ ✤➦t ❝❤➾♥❤✱ ✤➦t ❦❤æ♥❣
❝❤➾♥❤ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷ñ❝✱ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛✱ t➼♥❤ ê♥
✤à♥❤ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷ñ❝✳
❱➻ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❦❤æ♥❣ ♥❤✐➲✉ ✈➔ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥
❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝❤➢❝ ❤➥♥ s➩ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✱ t→❝ ❣✐↔ r➜t
♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü ❣â♣ þ ❝õ❛ q✉þ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥✳
❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ♥❤✐➺t t➻♥❤✱ t➟♥
t➙♠ ❝õ❛ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ✣ù❝ ✈➔ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ
❣✐→♦ tr♦♥❣ tê ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱✐♥❤ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❣✐❛
✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❚❙✳
◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ✣ù❝ ✲ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❞➔♥❤ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ sü q✉❛♥ t➙♠ ❣✐ó♣ ✤ï t➟♥
t➻♥❤ ✈➔ ❝❤✉ ✤→♦ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤
❦❤â❛ ❧✉➟♥✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱

❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱✐♥❤ ✤➣ tr❛♥❣ ❜à ♥❤ú♥❣
❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➔ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❜ê ➼❝❤ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt ✹ ♥➠♠ ❤å❝✱ ①✐♥
❝↔♠ ì♥ t➟♣ t❤➸ ❧î♣ ✹✾❆ ✲ ❚♦→♥ ✤➣ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣
q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳
❱✐♥❤✱ ♥➠♠ ✷✵✶✷
❚→❝ ❣✐↔


ì

ẹ


ởt số tự t

ổ
ổ t t tỹ


u

: X R ữủ ồ

ã

0, u X

u = 0 u = 0
u = || u , u X, R
u + v

u + v , u, v X

ổ t t tr ữủ ồ ổ t
t
ổ ổ t t ừ

ỵ ỗ t õ
E F ổ t E ì F ụ ổ
ợ
(x, y) = x + y .

sỷ E

F ổ

f : E F tứ E F ồ t
Gf = {(x, f (x)) E ì F : x E}




ỗ t ừ f

ờ f tử t Gf t õ tr E ì F
ự sỷ {(xn , f (xn )} Gf , (xn , f (xn )) (x, y) E ì F.

ự (x, y) Gf tự ự y = f (x)
õ

xn x
f (xn ) y

(xn , f (xn )) (x, y)



f tử xn x n
f (xn ) f (x) khi n .



t ởt tr ổ tr ở tử t ở tử tợ
ởt t tứ (1.1), (1.2) s r y = f (x)
õ (x, y) Gf Gf õ tr E ì F

ỵ ỵ ỗ t õ sỷ E, F ổ

f : E F t t õ f tử
ỗ t ừ õ t õ tr E ì F
ự ừ ỵ trữớ ủ t ừ ờ

1.3.
ừ sỷ E, F ổ f : E F
t t Gf t õ tr E ì F t ự f tử
tự ự tỗ t số k s f (x) k x
õ q sỷ . 1 , .

2

x E

tr ổ t

t E õ (E, . 1 ), (E, . 2 ) ổ .
s s ữủ ợ .

2

t .

1

1

. 2

tr E . tt (E, . ) ổ
ớ t s ỹ .

1

tr E s (E, . 1 ) ụ

ổ .
x

1

1

: E R ổ tự

= x + f (x) , x E.






t (1.3) ởt tr E
ó r . . 1
sỷ {xn } ởt tr (E, . 1 ) ự {xn }
ở tử tr (E, . 1 ) tự ự
xE
xn x theo

.



1

{xn } tr ổ E ợ .

1

xn xm

1

0

n, m . tữỡ ữỡ ợ xn xm + f (xn xm ) 0
n, m õ t õ
xn xm 0,
f (xn ) f (xm ) 0



n, m ứ s r {xn } tr ổ
(E, . ) {f (xn )} tr ổ
(F, . ) tỗ t x E y F s xn x E



f (xn ) y F.

õ (xn , f (xn )) (x, y) E ì F t {xn , f (xn )} Gf õ
tr E ì F (x, y) Gf y = f (x)
t ủ ợ (1.6) t õ xn x 0 f (xn ) f (x) 0 õ
xn x

1

= xn x + f (xn ) f (x) 0.

r xn x (E, . 1 ) (E, . 1 ) ổ t
. .

1

t õ .

số c s x

1

1

. r .

1

. , tỗ t

c x , x E õ x + f (x) c x

ự f (x) (c 1) x , x E. f tử ỵ ữủ
ự

ổ rt
ổ t t tỹ






ã, ã : H ì H R ữủ ồ t ổ ữợ

u, v = v, u , u, v H

u u, v t t ợ ồ v H
u, u

0

u, u = 0 u = 0
ổ rt ởt ổ ợ ữủ s r

ởt t ổ ữợ
tỷ u, v H trỹ u, v = 0
ởt ỡ s ữủ {wk }k
wk , wl
wk

u H {wk }k

1

= 0,
= 1,

1

H ởt ỡ s trỹ

(k, l = 1, 2, ..., k = l)
(k = 1, 2, ...).

H ởt ỡ s trỹ t
+

u=

u, wk wk
n=1
+



u

2

u, wk 2 .

=
n=1

ỳ ổ



f : F t tr ổ

E ỏ F ổ õ f t x0 tr
tỗ t S L(E, F ) s
f (x0 + h) f (x0 ) S(h) = o( h ).

õ ợ > 0 > 0 h <
f (x0 + h) f (x0 ) S(h) ( h )




✾

✭✶✳✼✮ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❞÷î✐ ❞↕♥❣ q✉❡♥ t❤✉ë❝
lim

h →0

f (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)
= 0.
h

✭✶✳✽✮

⑩♥❤ ①↕ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛ Ω ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ Ω✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✼✳

❛✮ ❚➼♥❤ ❦❤↔ ✈✐ ❝õ❛ f t↕✐ x0 ❦❤æ♥❣ t❤❛② ✤ê✐ ♥➳✉ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ E ✤÷ñ❝

t❤❛② ❜ð✐ ❝❤✉➞♥ ❦❤→❝ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳
❜✮ S ∈ L(E, F ) t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✼✮ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❑þ ❤✐➺✉ S ❧➔ f (x0 ) ❤❛②
Df (x0 ) ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ f t↕✐ x0 ✳ ❚❤➟② ✈➟②✱ ♥➳✉ T ∈ L(E, F ) ❝ô♥❣

t❤ä❛ ♠➣♥ (1.7) t❤➻ T ≡ S ✳

❱➻ S ✈➔ T ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ f t↕✐ x0 ∈ Ω ♥➯♥ t❛ ❝â
f (x0 + h) − f (x0 ) − S(h) = o( h )

✈➔
f (x0 + h) − f (x0 ) − T (h) = o( h ).

❉♦ ✤â
S(h) − T (h)
= (f (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)) − (f (x0 + h) − f (x0 ) − T (h))
= o( h ) + o( h ) = o( h ).

❙✉② r❛ lim

h →0

S(h) − T (h)
= 0✳ ▲➜② h ∈ E ❜➜t ❦➻✱ h = 0 t❛ ❝â
h

S(th) − T (th)
tS(h) − tT (h)
S(h) − T (h)
=
=
th
|t| h
h

✈î✐ ∀t ∈ R, t = 0✳ ❙✉② r❛
S(th) − T (th)

S(h) − T (h)
= lim
= 0.
t→0
h
th

❉♦ ✤â S(h) − T (h) = 0. ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ S(h) = T (h), ∀h = 0✳
❙✉② r❛ S(h) = T (h), ∀h ∈ E ✳ ❱➟② S ≡ T ✳


✶✵

◆❤÷ ✈➟② ♥➳✉ f ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ Ω t❛ ❝â →♥❤ ①↕ f : Ω → L(E, F ) ❝❤♦ ❜ð✐
Ω

x → f (x) ∈ L(E, F ).

◆❣♦➔✐ r❛ ♥➳✉ f ❧✐➯♥ tö❝ t❤➻ f ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ❤❛② t❤✉ë❝ ❧î♣ C 1
✭✈✐➳t f ∈ C 1 ✮ tr➯♥ Ω.
❝✮ ❉♦ f (x0 ) ∈ L(E, F )✱ tø ✭✶✳✼✮ s✉② r❛ f ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ x0 ✳
❞✮ ❳➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ E = R✳ ❚r÷î❝ ❤➳t ❝æ♥❣ t❤ù❝
Ψ(T ) = T (1),

T ∈ L(R, F )

①→❝ ✤à♥❤ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❣✐ú ♥❣✉②➯♥ ❝❤✉➞♥ ❣✐ú❛ L(R, F ) ✈➔ F ✳ ◗✉❛ ✤➥♥❣ ❝➜✉
♥➔② t❛ ✤ç♥❣ ♥❤➜t T ∈ L(R, F ) ✈î✐ T (1)✳
●✐↔ sû f : (a, b) → F ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ∈ (a, b)✳
❚❛ ❝â

f (x0 + h) − f (x0 )
− f (x0 )(1)]
h→0
h
f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)
= lim
= 0.
h→0
h
◆❤÷ ✈➟② ♥➳✉ ✤ç♥❣ ♥❤➜t f (x0 ) ✈î✐ f (x0 )(1) t❛ ❝â t❤➸ ✈✐➳t
lim [

f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h

f (x0 ) = lim

✈➔ ✤â ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤↕♦ ❤➔♠ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✳

❱➼ ❞ö ✶✳✽✳

❛✮ ◆➳✉ f : Ω → F, f = const, t❤➻ f = 0 tr➯♥ Ω✳
❜✮ ◆➳✉ f ∈ L(E, F ) t❤➻ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ x0 ∈ E ✈➔ f (x0 ) = f.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ x0 ∈ E ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

lim

h →0

⇔ lim

h →0

f (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)
=0
h
f (x0 ) + f (h) − f (x0 ) − S(h)
= 0.
h


✶✶

▲➜② f = S ∈ L(E, F )✱ ❦❤✐ ✤â
lim

h →0

f (x0 ) + f (h) − f (x0 ) − S(h)
0
= lim
= 0.
h →0 h
h

❙✉② r❛ f (x0 ) = f ✳
◆❤÷ ✈➟② ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ E

❝❤➼♥❤ ❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ✤â✳
❝✮ ●✐↔ sû f = S \ Ω ✈î✐ S : E1 × E2 → F ❧➔ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝✳
❈❤♦ (x01 , x02 ) ∈ Ω✳ ❱➻
f ((x01 , x02 ) + (h1 , h2 )) − f (x01 , x02 ) − S(x01 , h2 ) − S(h1 , x02 )
= S(x01 + h1 , x02 + h2 ) − S(x01 , x02 ) − S(x01 , h2 ) − S(h1 , x02 )
= S(x01 , x02 ) + S(x01 , h2 ) + S(h1 , x02 ) + S(h1 , h2 ) − S(x01 , x02 ) − S(x01 , h2 ) −
S(h1 , x02 )
= S(h1 , h2 ) ≤ S

h1

h2 = o( (h1 , h2 ) )

♥➯♥ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ (x01 , x02 ) ✈➔
f (x01 , x02 )(h1 , h2 ) = S(x01 , h2 ) + S(h1 , x02 ) ∀(h1 , h2 ) ∈ E1 × E2 .

▼ët ❝→❝❤ tê♥❣ q✉→t ♥➳✉ f = S \ Ω✱ Ω ⊂ E1 × ... × En ❧➔ t➟♣ ♠ð ❝á♥
S ∈ L(E1 , ..., En ; F ) t❤➻ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ♠å✐ (x1 , ..., xn ) ∈ Ω ✈➔
f (x1 , ..., xn )(h1 , ...hn ) = S(h1 , x1 , ..., xn ) + ... + S(x1 , .., xn−1 , hn )
∀(h1 , ..., hn ) ∈ E1 × ... × En ✳

✶✳✷✳✷ ❈→❝ q✉② t➢❝ ✈➲ ✤↕♦ ❤➔♠
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✾✳

●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ F ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ Ω ❧➔ t➟♣
♠ð tr♦♥❣ E ✈➔ x0 ∈ Ω✳ ❑❤✐ ✤â
✭✐✮ ◆➳✉ f, g : Ω → F ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✱ t❤➻ αf + βg ❝ô♥❣ ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✈î✐
♠å✐ α✱ β ∈ R ✈➔
(αf + βg) (x0 ) = αf (x0 ) + βg (x0 )

✶✷

✭✐✐✮ ◆➳✉ f : Ω → R✱ g : Ω → R ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✱ t❤➻ gf : Ω → R ❦❤↔ ✈✐
t↕✐ x0 ✈➔
(gf ) (x0 ) = g (x0 )f (x0 ) + g(x0 )f (x0 ).

◆❣♦➔✐ r❛ ♥➳✉ g(x0 ) = 0 t❤➻ f /g ❝ô♥❣ ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✈➔
g(x0 )f (x0 ) − f (x0 )g (x0 )
f
( ) (x0 ) =
g
g 2 (x0 )
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ❚❛ ❝â

(αf + βg)(x0 + h) − (αf + βg)(x0 ) − αf (x0 )(h) − βg (x0 )(h)
h →0
h
[αf (x0 + h) − αf (x0 ) − αf (x0 )(h)]
= lim
h →0
h
[βg(x0 + h) − βg(x0 ) − βg (x0 )(h)]
+
h
|α| f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)
≤ lim
h →0
h
|β| g(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)

+ lim
h →0
h
≤ 0 ✈➻ f, g ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 .

0 ≤ lim

❙✉② r❛ (αf + βg) (x0 ) = αf (x0 ) + βg (x0 )✳
✭✐✐✮ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ gf ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✈➔ (gf ) (x0 ) = g (x0 )f (x0 )+g(x0 )f (x0 )✱
t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
A = lim

h →0

g(x0 + h)f (x0 + h) − g(x0 )f (x0 ) − g (x0 )f (x0 ) − g(x0 )f (x0 )
h

= 0.

❚❛ ❝â
0 ≤ A ≤ lim

h →0

f (x0 + h)[g(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)]
h


✶✸

+ lim

g(x0 )[f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)]
h

+ lim

f (x0 + h)g (x0 )(h) − f (x0 )g (x0 )(h)
h

h →0

h →0

≤ A1 + A2 + A3 ✳

❚❛ ❝â
0 ≤ A1 = |f (x0 )| lim

h →0

g(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)
h

= |f (x0 )|.0 = 0 ❞♦ g ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✳

❙✉② r❛ A1 = 0✳
❚❛ ❝â
0 ≤ A2 = |g(x0 )| lim

h →0

f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)
h

= |g(x0 )|.0 = 0 ❞♦ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✳

❙✉② r❛ A2 = 0✳
❚❛ ❝â
0 ≤ A3 = lim

h →0

[f (x0 + h) − f (x0 )]g (x0 )(h)
h

= lim |f (x0 + h) − f (x0 )|

g (x0 )(h)
h

≤ lim |f (x0 + h) − f (x0 )|

g (x0 ) (h)
h

h →0

h →0

✶✹

= lim |f (x0 + h) − f (x0 )| g (x0 )
h →0

= |f (x0 ) − f (x0 )| g (x0 ) ✳

❙✉② r❛ A3 = 0✳
❱➻ ✈➟② 0 ≤ A ≤ 0 ♥➯♥ A = 0✳
1
◆➳✉ g(x0 ) = 0 t❤➻ ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✈➻
g
lim

h →0

1
1
g (x0 )(h)
−
+ 2
g(x0 + h) g(x0 )
g (x0 )
g(x0 + h) − g(x0 ) g (x0 )(h)
− 2
g(x0 + h)g(x0 )
g (x0 )

= lim

1
h

= lim

g(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)
= 0.
g(x0 + h)g(x0 )

h →0

h →0

❙✉② r❛

1
h

f
1
= f. ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✈➔
g
g
g(x0 )f (x0 ) − f (x0 )g (x0 )
f
.
( ) (x0 ) =
g
g 2 (x0 )

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵✳✭✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ❤ñ♣✮
●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ F ✱ G ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ U ⊂ E ✱
V ⊂ F ❧➔ ♠ð✳ ●✐↔ sû x0 ∈ U ✈➔ f : U → V ✈➔ g : V → G ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0

✈➔ y0 = f (x0 )✱ t❤➻ gf : U → G ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✈➔
(gf ) (x0 ) = g (f (x0 ))f (x0 ).
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ♥➯♥ t❛ ❝â

lim

h →0

f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)
= 0.
h


✶✺

✣➦t x = x0 + h✱ t❛ ✤÷ñ❝
lim

x−x0 →0

f (x) − f (x0 ) − f (x0 )(x − x0 )
= 0.
x − x0

✣➦t

ϕ(x − x0 ) = f (x) − f (x0 ) − f (x0 )(x − x0 ),

t❛ ❝â
f (x) − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) + ϕ(x − x0 )

✈î✐
lim

x→x0

ϕ(x − x0 )
= 0.
x − x0

❚÷ì♥❣ tü✱ ✈➻ g ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ y0 ♥➯♥ t❛ ❝â
g(y) − g(y0 ) = g (y0 )(y − y0 ) + Ψ(y − y0 )

✈î✐
lim

y→y0

Ψ(y − y0 )
= 0.
y − y0

❚❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐
gf (x) − gf (x0 ) = g(f (x)) − g(f (x0 )) = g (y0 )(y − y0 ) + Ψ(y − y0 )
= g (f (x0 ))(f (x) − f (x0 )) + Ψ(f (x) − f (x0 ))
= g (f (x0 ))[f (x0 )(x − x0 ) + ϕ(x − x0 )] + Ψ(f (x) − f (x0 ))

= g (f (x0 ))f (x0 )(x − x0 ) + g (f (x0 ))ϕ(x − x0 ) + Ψ(f (x) − f (x0 ))✳

✣➸ gf ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
A = lim

x→x0

g (f (x0 ))ϕ(x − x0 ) + Ψ(f (x) − f (x0 ))
= 0.
x − x0

❚❛ ❝â
g (f (x0 ))ϕ(x − x0 )
ψ(f (x) − f (x0 ))
+ lim
x→x0
x→x0
x − x0
x − x0
ϕ(x − x0 )
Ψ(f (x) − f (x0 )) f (x) − f (x0 )
≤ lim g (f (x0 ))
+ lim
x→x0
x→x0
x − x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
≤0

0 ≤ A ≤ lim


✶✻

❉♦ ✤â A = 0✳
❱➟② gf ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✈➔ (gf ) (x0 ) = g (f (x0 ))f (x0 )✳

✶✳✸

❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥✱ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤
❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥

✶✳✸✳✶ ❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥
❛✳ ❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
❈❤♦ X ✈➔ Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✶✳

✭✐✮ ⑩♥❤ ①↕ A : X → Y ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➳✉
A(λu + µv) = λAu + µAv, ∀u, v ∈ X, λ, µ ∈ R.

✭✐✐✮ N (A) = {u ∈ X : Au = 0} ❣å✐ ❧➔ ♥❤➙♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû A✳
R(A) = {Au : u ∈ X} ❣å✐ ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ tû A.

❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ A : X → Y ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ →♥❤ ♥➳✉ N (A) = {0}✳
❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ A : X → Y ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ ♥➳✉ R(A) = Y ✳
✭✐✐✐✮ ❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ A : X → Y ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ♥➳✉
A := sup{ Au

Y|

u

X

1} < ∞.

❜✳ ❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
❈❤♦ H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈î✐ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ., . ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✷✳

✭✐✮ ◆➳✉ A : H → H ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥✱ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣

❝õ❛ ♥â ❧➔ A∗ : H → H t❤ä❛ ♠➣♥
Au, v = u, A∗ v , ∀u, v ∈ H.

✭✐✐✮ A ❧➔ tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ♥➳✉ A∗ = A.




tỷ t t A : H H t tỷ t õ
ộ t tr H t ởt t t tữỡ ố tr H
ởt t tỷ t t t t tử t
ởt t tỷ t t tử A õ tr ỳ t
A t

ỵ sỷ A : H H t tỷ tỹ ủ t

tr r ừ A số tỹ

tỡ r ự ợ tr r trỹ

tỷ t t ổ
ởt tr ỳ ừ t tỷ ổ s s
ợ t tỷ õ ú ổ tr t ở ổ
t tỷ t t ổ
A : D(A) H H

ỗ D(A) ú t tt r ừ A
trũ t tr ổ t t H
tỷ A ữủ ồ rở ừ A A t ừ A
D(A) Ax
= Ax ợ x D(A). õ ữủ t
D(A)
A A A A A t tỷ tr trũ t D(A)
tr ổ H t A õ t ởt t tỷ rở
ừ A tr H
ủ ừ t tỷ ổ A : D(A) H H t tỷ
A : D(A ) H H.

s
Ax, y = x, A y

x D(A), y D(A ),



ợ D(A ) ổ ợ t ừ H tt ỡ y H

t y (x) = y, Ax t t y : D(A) C ú t




õ r y D(A ) y tr D(A) r trữớ ủ tứ
D(A) trũ t tr H y õ ởt rở t t ởt

t t tr H ứ õ t ỵ
s tỗ t t ởt tỡ z H s y (x) = z, x õ
y, Ax = z, x ợ x D(A) ú t A y = z

sỷ r A : D(A) H H t tỷ ổ
tr trũ t tr ổ rt H tỷ
A : D(A ) H H t tỷ ợ
D(A ) = {y H\ z H, Ax, y = x, z , x D(A)}

y D(A ) t ú t A y = z ợ z tỷ t
s Ax, y = x, z x D(A)
ú t ú ỵ r D(A ) õ t ổ trũ t tr ổ
rt H D(A) trũ t r trữớ ủ õ t ụ
ổ ữủ A



tỷ ổ A ữủ ồ ố ự A rở

ừ A õ D(A ) D(A) A (x) = Ax
tỷ ổ A ữủ ồ tỹ ủ A = A õ
D(A ) = D(A) A (x) = Ax ợ x D(A)

tỷ A : D(A) H H õ ồ
(xn ) D(A) s xn x Axn y t x D(A) Ax = y

A : D(A) H H s t ú t t tỷ
ữủ A1 : H H A1 y = x Ax = y ừ A1
ợ ừ A A õ t A1 t tỷ

A : D(A) H H t tỷ tr
trũ t tr ổ rt H ợ t tỷ ữủ A1 : H H
t (A )1 = (A1 )
ự ứ A1 s r õ õ t tỷ ủ t tỷ


✶✾

❜à ❝❤➦♥✳ ◆➳✉ x ∈ D(A∗ ) ✈➔ y ∈ H ✱ t❤➻
(A−1 )∗ A∗ x, y = A∗ x, A−1 y = x, AA−1 y = x, y .

❉♦ ✤â (A−1 )∗ A∗ x = x, ∀x ∈ D(A∗ )✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ♥➳✉ x ∈ H, y ∈ D(A) t❤➻
A∗ (A−1 )∗ x, y = (A−1 )∗ x, Ay = x, A−1 Ay = x, y .

❚ø D(A) ❧➔ trò ♠➟t tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H ✱ s✉② r❛ (A−1 )∗ x ∈ D(A∗ ) ✈➔
A∗ (A−1 )∗ x = x✳ ❉♦ ✤â (A−1 )∗ x = (A∗ )−1 x✳ ❍❛② (A−1 )∗ = (A∗ )−1 ✳


ì

ế
ìẹ

sỷ A t tỷ õ trũ t tr ổ rt
H t t tr
u (t) = Au(t), 0 < t < T,



u(0) = f,



v (t) = Av(t), 0 < t < T,



v(T ) = g.



t tr ố

A t tỷ H ổ ỳ t
t tr t tr ố tỹ t t
ữỡ tr t t ú t ú
tọ tỗ t t ử
tở tử ỳ
u (t) = Au(t) t ữỡ tr r t
t q t r trữớ ủ A t tỷ ổ
tr ổ rt H ổ ú tổ ự tọ r
t tr t tr H t t
tr ố t ổ t ợ ỳ g t

tr D(A) ừ A.






t t t ổ
ử ồ

t t t t ổ
H ổ rt A t tỷ t t tr H c [a, b]
f H. ừ t
u (t) = Au(t), a < t < b,



u(c) = f,



tử u : [a, b] H õ tr (a, b) s
u(t) D(A) ợ t (a, b) ữủ tọ

V t t t tr H t ữủ ồ t
tr V s ữủ tọ

(A) ỗ t ợ ộ f V t tỗ t u.
(B) t ợ ộ f V õ t u.
(C) Pử tở tử ỳ ợ ộ t [a, b] t tỗ t

số Mt s ợ ộ f V u ừ t tọ
u(t) Mt f .

t t ởt tr ổ tọ t t õ r
t t ổ
ú ỵ r t t V t tỷ õ t
số Mt tr (C) õ t ở ợ t. ỹ
(A) (C) ữủ tọ t ừ t ợ ỳ
f õ t ữủ t u(t) = U (t)f, ợ U (t) : V H t tỷ

t [a, b]. ứ ỳ u tử tr [a, b] tỗ t
số Mf s U (t)f Mf , a t b, ợ ộ f V. õ
ỵ [3, p46] tỗ t số M s U (t) M
ợ a t b.




ỗ t G(A) ừ A s ữủ tr
[u, Au] = u + Au ;

A t tỷ õ t G(A) ổ
t ủ t s tr ử ú tổ tr
ờ õ t t ổ

sỷ t ữỡ tr
Au = f

ợ A t tỷ t t t tứ ổ X

ổ Y õ ỏ f ỳ tở ổ Y
t t ổ t ổ ợ ỳ f t
ụ õ tữớ ừ t tỗ t t ởt
õ t ớ ổ ử tở tử t ởt tr
õ ỳ f t ổ ờ ừ t
số õ õ ỵ ởt s số ọ tr ỳ ừ
t õ t ởt s số ợ t ý tr ớ ử ừ
ỵ tt t t ổ ữ r ữỡ số ỳ
t ởt ờ t ữủ ử
õ trữợ t ự t ờ õ ừ t
r ởt ợ M õ ừ ổ X ớ ừ
t tở ợ ử tở tử ỳ ừ t
ổ õ t t t ừ t
ỏ ú t tr t tr ữỡ số t
s số ừ ữỡ ỡ t tt r X
Y ổ ợ tữỡ ự

ã

X



ã

Y

sỷ r t ồ ữủ ởt t ủ M t ữủ u M
t õ s ử tở tử f tỗ t ởt ởt

tỹ tử ợ (0) = 0 s
u

X

( f

Y ).

ữủ ồ ờ tr trữớ ủ
t ữủ ồ ờ õ ờ t
ữớ t ữ r t

M tữớ ỳ t õ ớ ừ t õ
ỵ t ỵ ữ õ t õ ớ t
ở tố ừ ởt q tr t ỵ t ợ ở õ ởt
t ỗ t ổ t ỡ (t) = ct
ợ > 0 õ t t õ ờ r t õ ởt
t tốt ởt rt t t õ ờ
rt t ỏ t ổ õ ởt

tố ở t tợ ừ (t) t 0 t t õ ởt
t rt

ử t t ổ
ữỡ tr số t t

t tỹ t ữủ q số t t tr õ
õ ởt sỹ t ờ ọ số ừ ữỡ tr t ờ ợ
ừ t tr ổ ổ
ỳ ữỡ tr số t t õ t t ữ ữủ ồ
ữỡ tr tr t số ừ ữỡ
tr ữủ ồ tr

ử ữỡ tr

2x1 + x2 = 2
2x1 + 1, 01x2 = 2, 01
1
õ x1 = x2 = 1 tr õ ữỡ tr
2
2x1 + x2 = 2
2, 01x1 + x2 = 2, 05








õ x1 = 5 x2 = 8 t t ởt sỹ t ờ ọ ừ số
tr ữỡ tr tự t ỳ t ờ ừ
ữỡ tr õ ữủ ồ

ừ ởt số

ử sỷ õ t

f (x + h) f (x)
số t
h0
h
ố t ồ {hk } s hk 0 k t số s
f (x + hk ) f (x)
Dk =
k = 0, 1, . . . , N õ ừ ợ
hk
tự hN ừ ọ DN s ừ f (x) t hN ọ t
f (x) = lim

s ữủ tốt hN ọ õ t tốt ỡ
ổ? tr ớ ọ t t ử s
f (x) = ex f (1) ợ hk = 10k t t q
k = 10 t Dk = 0 f (1) 2, 718282 k = 5 t Dk = 2, 7183
f (1) 2, 718282 ữ k = 5 t t số s t
tốt ỡ ứ t tr t õ t Dk ú DN +1 DN
DN DN 1 t tổ

ố q t t t ổ
ừ t t t ữủ
r ử ú tổ sỷ r H ởt ổ rt ổ
A ởt t tỷ t t ổ õ
trũ t tr H

ỵ t tr
u (t) = Au(t), 0 < t < T,

u(0) = f,







t tr X t t tr ố

v (t) = Av(t), 0 < t < T,



v(T ) = g,



t ổ tr D(A)
ự sỷ t t tr H

U (t) : H H t tỷ u(t) = U (t)f U (t) t

tỷ t t tử ợ ồ t [0, T ] ừ U (t) ữủ ự
tr D(A) ợ ồ t (0, T ) ú t õ t ởt
J(t) : H G(A)
J(t)f = [U (t)f, AU (t)f ], 0 < t < T.

ú t r ợ ộ t (0, T ) ố J(t) t tỷ
t sỷ fn f tr H J(t)fn [v, Av] tr G(A)

õ U (t)fn v tr H AU (t)fn Av tr H U (t) t
tỷ t t tử U (t)fn U (t)f õ v = U (t)f
[v, Av] = J(t)f t J(t) õ õ J(t) t tỷ


sỷ r t tỗ t t tr
D(A) v ừ ợ ỳ ố g D(A)
0 < t < T t u(s) = v(s + t) õ u tọ u (s) = Au(s)
u(0) = v(t) ứ t t u ữủ

u(s) = U (s)v(t) rữớ ủ t g = u(T t) = U (T t)v(t)
õ ợ t (0, T ) U (T t) õ ữủ tr D(A)
v(t) = U (T t)1 g ú t r U (T t)1 ổ
tr D(A) ợ t (0, T ) õ t t ổ
tr D(A) t t t tỷ P : G(A) D(A)
P [u, Au] = u A t tỷ ổ tỗ t (gn )
tr D(A) s gn 0 ữ P 1 gn ó r U (T t) =