Ánh xạ bậc brouwer trong không gian banach

nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa TOáN
**********

INH TH KIM THOA

NH X BC BROWER TRONG
KHễNG GIAN BANACH

khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành:Gii tớch

Hà Nội - 2012

inh Th Kim Thoa

1

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach

Lời cảm ơn!
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa toán, tổ giải tích
đã giúp đỡ em trong thời gian vừa qua. Đặc biệt, em xin được bày tỏ lòng biết
ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo-Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người đã
tận tình hướng dẫn và chỉ bảo em trong quá trình học tập và hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp.

Hà Nội, ngày 13 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đinh Thị Kim Thoa

inh Th Kim Thoa

2

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach

Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp là kết quả của em trong thời gian thực tập và nghiên
cứu vừa qua dưới sự hướng dẫn của thầy giáo-Tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Em xin cam đoan đề tài ánh xạ bậc Brouwer trong không gian Banach
không trùng với bất kì đề tài nào khác.
Hà Nội, ngày 13 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đinh Thị Kim Thoa

inh Th Kim Thoa

3

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach

Mục lục
Trang
Mở đầu............................................................................................................... 5
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị......................................................................... 7
1.1 Các khái niệm ........................................................................................ 7
1.1.1 Không gian định chuẩn .................................................................... 7
1.1.2 Không gian Banach ......................................................................... 7
1.1.3 Phiếm h m...................................................................................... 8
1.1.4 Phép đồng phôi................................................................................. 8
1.1.5 Phủ của tập hợp, tập compact......................................................... 8
1.1.6 Hàm giải tích phức ........................................................................... 8
1.1.7 Tích phân phức ................................................................................. 9
1.1.8 Đồng luân ......................................................................................... 9
1.2 Một số kết quả..................................................................................... 10
1.2.1 Định lí Stokes ................................................................................ 10
1.2.2 Công thức tích phân Cauchy ......................................................... 10
1.3 Phép tính vi phân trên

................................................................... 10

1.3.1 Khái niệm ánh xạ khả vi................................................................ 10
1.3.2 Đạo hàm riêng ............................................................................... 11
1.3.3 Quy tắc dây xích............................................................................. 12
1.3.4 Hàm ngược và hàm ẩn.................................................................... 12
Chương 2: Phép tính vi-tích phân trong không gian Banach........................... 13
2.1 Đạo hàm và tích phân trong không gian Banach................................ 13

inh Th Kim Thoa

4

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
2.1.1 Đạo hàm trong không gian Banach .............................................. 13
2.1.2 Tích phân trong không gian Banach............................................. 17
2.2 Các nguyên lí co rút ........................................................................... 18
2.2.1 Định nghĩa ánh xạ co ................................................................... 18
2.2.2 Nguyên lí ánh xạ co .................................................................... 18
2.2.3 Nguyên lí ánh xạ co đều............................................................... 19
2.2.4 Hàm ẩn và hàm ngược.................................................................. 21
2.3 Phương trình vi phân thường .............................................................. 22
Chương 3: ánh xạ bậc Brouwer ...................................................................... 25
3.1 Lời giới thiệu ...................................................................................... 25
3.2 Định nghĩa ánh xạ bậc và công thức định thức .................................. 27
3.2.1 Kí hiệu .......................................................................................... 27
3.2.2 Định nghĩa ánh xạ bậc.................................................................. 27
3.2.3 Tính chất của bậc ........................................................................ 28
3.2.4 Bậc của ma trận không suy biến................................................... 31
3.2.5 Công thức định thức ..................................................................... 31
3.3 Sự mở rộng của công thức định thức .................................................. 33
3.3.1 Bước 1: Thừa nhận giá trị tới hạn ................................................. 34
3.3.2 Bước 2: Thừa nhận các hàm liên tục ........................................... 38
3.4 Định lí điểm bất động Brouwer.......................................................... 41
3.5 Định lí điểm bất động Kakutani ........................................................ 44
3.6 Các tính chất khác của bậc................................................................. 45
Kết luận ........................................................................................................... 48
Tài liệu tham khảo........................................................................................... 49

inh Th Kim Thoa

5

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lí thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của bộ môn giải tích
hàm phi tuyến. Những định lí điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế
kỉ XX, trong đó phải kể đến Nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và
Nguyên lí ánh xạ co Banach(1922). Lí thuyết này gắn với tên tuổi nhiều nhà
toán học lớn như: Brouwer, Banach, Kakutani... Bậc Brouwer là một khái niệm
mới, đề cập đến bậc của ánh xạ trong không gian hữu hạn chiều. Đặc biệt,
định lí điểm bất động Brouwer nổi tiếng là hệ quả đơn giản của tính chất bậc.
Nhiều ứng dụng dẫn đến bài toán tìm tất cả các không điểm của ánh xạ
, trong đó

là không gian Banach nào đó. ánh xạ bậc cùng

những tính chất của nó là một công cụ giúp ta giải quyết bài toán như thế.
Không những thế chúng còn giúp ta xây dựng và mở rộng công thức định
thức. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự hướng dẫn, giúp
đỡ tận tình của thầy giáo-Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài
ánh xạ bậc Brouwer trong không gian Banach.
2. Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy
logic đặc thù của bộ môn.
Nghiên cứu: khái niệm bậc, các tính chất và hệ quả.
3. Phương pháp nghiên cứu
inh Th Kim Thoa

6

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
-

Phương pháp nghiên cứu giải tích hàm

-

Phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp

4. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khóa luận gồm 3 chương chính
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Giải tích trong không gian Banach
Chương 3: ánh xạ bậc Brouwer

inh Th Kim Thoa

7

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các khái niệm
1.1.1 Không gian định chuẩn
1. Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)
là không gian tuyến tính
từ

vào tập số thực

trên trường

, kí hiệu là

(

hoặc ) cùng với một ánh xạ

và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên

đề sau:
(i)

;

(ii)

;

(iii)
Số

;
gọi là chuẩn của vector . Ta cũng kí hiệu không gian định

chuẩn là .
2. Hội tụ theo chuẩn
Dãy điểm
nếu
Kí hiệu

của không gian định chuẩn

gọi là hội tụ tới điểm

.
hay

.

3. Dãy cơ bản
Cho không gian định chuẩn

, dãy điểm

trong

gọi là dãy

cơ bản nếu
.

inh Th Kim Thoa

8

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
1.1.2 Không gian Banach
Không gian định chuẩn
trong

gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản

đều hội tụ(trong ).

1.1.3 Phiếm hàm
* Trong không gian vector
hoặc

, một phiếm hàm là một ánh xạ

.

được gọi là tuyến tính nếu

thỏa mãn các điều kiện:

(i)
(ii)
Khi đó ta nói

.

là phiếm hàm tuyến tính trên .

1.1.4 Phép đồng phôi
* Cho hai không gian định chuẩn
tục

ánh xạ không gian

toán tử

và . Nếu toán tử (tuyến tính) liên

lên không gian

có toán tử ngược

gọi là phép đồng phôi (tuyến tính) từ không gian

liên tục thì
lên không gian

.
* Hai không gian định chuẩn gọi là đồng phôi (tuyến tính) nếu tồn tại
phép đồng phôi (tuyến tính) từ không gian này lên không gian kia.
1.1.5 Phủ của tập hợp, tập compact
Giả sử

là một họ tập con của tập hợp ,

gọi là một phủ của
Giả sử
các

nếu

là tập con của .

.

là không gian topo. Phủ

của tập

gọi là mở nếu tất cả

đều là những tập mở trong .
Tập

được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của

đều có phủ

con hữu hạn phủ .
1.1.6 Hàm giải tích phức

inh Th Kim Thoa

9

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
Hàm

xác định trong miền

nếu tồn tại

để

tích tại mọi điểm thuộc

với giá trị trong

gọi là giải tích tại

-khả vi tại mọi

. Nếu

giải

thì được gọi là giải tích trên miền .

1.1.7 Tích phân phức
Cho

là đường cong trong mặt phẳng

xác định trên

không khép kín và hàm

với điểm đầu A và điểm cuối B. Chia

bởi các điểm chia lần lượt

thành các phần nhỏ

và lập tổng tích phân
(1.1)

trong đó

là các điểm của đường cong

nằm trên

và

.
Nếu khi max

, tồn tại giới hạn của họ tổng (1) thì giới hạn đó

gọi là tích phân của hàm

theo đường cong .

Kí hiệu:
Nếu

.

là đường cong khép kín (không tự cắt) trước hết định hướng

chiều dương sau đó chọn tùy ý hai điểm khác nhau A và B thuộc
chiều từ A đến B cùng chiều với . Khi đó với

là hàm bất kì trên

theo

sao cho
ta có

(Nếu vế phải tồn tại).
Nếu

là đường cong kín tự cắt ta phân ra một số hữu hạn các đường cong

khép kín và xác định như ở phần đường cong khép kín không tự cắt.
1.1.8 Đồng luân
Trong toán học topo, hai ánh xạ liên tục từ không gian topo này vào
không gian topo khác được gọi là đồng luân với nhau nếu ánh xạ này có thể
biến đổi liên tục thành ánh xạ kia. Một phép biến đổi như vậy gọi là một phép
biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ.
inh Th Kim Thoa

10

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục
pô

vào không gian tô pô

từ không gian tô

được định nghĩa là ánh xạ liên tục

H : X 0,1 Y từ tích của không gian

cho với mọi điểm

và

với đoạn đơn vị [0,1] vào

sao

ta có H x,0 f x và H x,1 g x .

thuộc

Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của
một "biến đổi liên tục" ánh xạ

như là "thời gian", khi đó

mô tả

thành : tại thời điểm 0 ta có ánh xạ , tại

thời điểm 1 ta có ánh xạ .
1.2 Một số kết quả
1.2.1 Định lí Stokes
Định lí 1.1. (Định lí Stokes)
Giả sử

là mặt cong hai phía, trơn hay trơn từng mảnh nằm trong miền

, được định hướng dương bởi pháp tuyến

là biên của mặt

được định chiều dương phù hợp với hướng dương của của mặt
và

là các hàm khả vi liên tục trong

.

. Khi

đó ta có công thức:

.

(1.2)
Trong đó tích phân mặt lấy theo hương dương của mặt .

1.2.2 Công thức tích phân Cauchy
Định lí 1.2. Giả sử

là hàm giải tích trên miền

mọi chu tuyến

sao cho

và

ta có công thức tích phân Cauchy
.

Nếu thêm

liên tục trên

và

là một chu tuyến thì với mọi
.

inh Th Kim Thoa

. Khi đó với

11

(1.3)
ta có
(1.4)

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
1.3 Phép tính vi phân trên
1.3.1 Khái niệm về ánh xạ khả vi
Định nghĩa. Hàm

được gọi là khả vi tại điểm

nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính

sao cho

hay là

trong đó

là vô cùng bé khi
khi

.

ánh xạ tuyến tính
tại điểm

được gọi là đạo ánh hay đạo hàm của hàm vector

và thường được kí hiệu là

Nếu

, tức là

khả vi tại mọi điểm

hay
thì ta nói

.
khả vi trong .

1.3.2 Đạo hàm riêng
Giả sử
mở trong

là cơ sở chính tắc trong không gian
và

là một hàm số của

.

là một tập hợp

biến số,

.

Định nghĩa. Giới hạn

nếu tồn tại thì được gọi là đạo hàm riêng thứ
hay
Nếu hàm

của hàm

tại

. Kí hiệu

.
có tất cả các đạo hàm riêng

và các đạo hàm riêng này liên tục trên
trên . Kí hiệu là

tại mọi điểm
thì ta nói rằng

thuộc lớp

.

Định lí 1.3. Nếu

khả vi tại

thì đạo hàm

được cho bởi ma trận

inh Th Kim Thoa

12

K34- CN Toỏn

nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach

và được gọi là ma trận Jacobi của ánh xạ
Định thức của ma trận

tại .

được gọi là Jacobian của ánh xạ

tại . Kí

hiệu
1.3.3 Quy tắc dây xích
Định lí 1.4. Giả sử

là một tập mở trong

là tập mở chứa

khả vi tại

khả vi tại
khả vi tại

. Khi đó ánh xạ

và
.

1.3.4 Hàm ngược và hàm ẩn
Định lí 1.5. (Hàm ngược)
Cho

mở.

Giả

sử

và

. Khi đó tồn tại một tập mở
sao cho ánh xạ
với mọi

chứa

và một tập mở

chứa

có ánh xạ ngược liên tục

khả vi

và thỏa mãn hệ thức
.

Định lí 1.6. (Hàm ẩn)

Giả

sử

là

tập

mở

trong

,

và
và

.
Giả sử

là ma trận vuông cấp m

Khi đó nếu

.

thì tồn tại một tập mở

chứa b sao cho đối với bất kì
điều kiện

inh Th Kim Thoa

. Hàm

chứa a và một tập mở

có duy nhất

thỏa mãn

là khả vi.

13

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach

Chương 2

Phép tính vi-tích phân
trong không gian Banach
Trong chương này ta sẽ mở rộng các khái niệm và kết quả đã biết về các
phép tính giải tích trong

lên không gian Banach tổng quát.

2.1 Đạo hàm và tích phân trong không gian Banach

2.1.1 Đạo hàm trong không gian Banach
a) Khái niệm ánh xạ khả vi
Cho hai không gian Banach
số liên tục từ
chặn). Cho

vào

và , kí hiệu

và

là tập hợp các hàm

là tập các hàm tuyến tính (bị

là một tập con mở của . Khi đó hàm

khả vi tại

được gọi là

nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính

sao cho
(2.1)

trong đó

(

l

vô cùng bé bậc cao hơn . ánh xạ tuyến tính

gọi là đạo hàm của
Nếu

tại

được

.

khả vi với mọi

thuộc , ta nói

khả vi. Trong trường hợp này

ta có một ánh xạ

(2.2)

inh Th Kim Thoa

14

K34- CN Toỏn

nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
Nếu

liên tục ta nói

khả vi liên tục và viết

.

b) Đạo hàm riêng
Cho

và

được cho bởi

. Khi đó

khi và chỉ khi

và trong trường hợp này

,

,

. Tương tự nếu

đó có thể định nghĩa đạo hàm riêng

biến

với

khi

, là đạo hàm của F đối với

và ta xem các biến khác là hằng số. Ta có
, và

,

khi và chỉ khi tất cả các đạo hàm riêng

tồn tại và liên tục.
Trường hợp

và

chính tắc trong

và

, biểu diễn ma trận của

về cơ sở

được xác định bởi các đạo hàm riêng

được gọi là ma trận Jacobi của

tại

như trình bày tại định lí 1.3.

Ta có thể lặp lại cách tính đạo hàm và viết
đạo hàm cấp r của ,

,

( tức là đạo hàm của đạo hàm cấp

tại và liên tục. Cuối cùng ta lấy
và

và

nếu
của

) tồn

và quy ước

.

Việc cần thiết là trang bị cho

một chuẩn. Một lựa chọn phù

hợp là
.

(2.3)

Để đơn giản, trong không gian Banach ta kí hiệu

thay cho

Tập tất cả các hàm số khả vi liên tục r lần mà có chuẩn hữu hạn tạo
thành một không gian Banach, kí hiệu
Nếu

là song ánh và ,

gọi là vi phôi của lớp
Chú ý rằng nếu
,

.

cùng thuộc lớp

,

, khi đó

được

(độc lập với

) và

.
, khi đó

.

inh Th Kim Thoa

15

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
Bổ đề 2.1. (Quy tắc dây xích)
Cho

và

,

. Khi đó

và

,
Đặc biệt, nếu

.

(2.4)

là phiếm hàm tuyến tính khi đó
.

Định lí 2.2. (Giá trị trung bình)
Giả sử

và

. Nếu

lồi thì

,

.
(2.5)

Ngược lại, (với

mở bất kì) nếu
,

,

(2.6)

thì
.

(2.7)

Chứng minh :
Đặt

,

Suy ra

,

khi

đó

.

Do đó, để chứng minh phần đầu tiên ta chỉ cần chỉ ra rằng
(2.8)
với

bất kì.

Cho

. Nếu

thì

,

inh Th Kim Thoa

16

(2.9)

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
với

đủ nhỏ. Do đó

.

Để chứng minh phần thứ hai ta giả sử có một

sao cho

.
Từ đó ta có thể tìm được

sao cho

Do đó
(2.10)
vì ta có thể giả thiết

với

đủ nhỏ. Điều này không thể xảy

ra.
Vậy



.

Hệ quả 2.3. Giả sử

là một tập con liên thông của không gian Banach .

ánh xạ

là hằng khi và chỉ khi
với j=1,2 và

thì

và

. Ngoài ra nếu
chỉ khác nhau một hằng

số.
Chứng minh:
Với mọi

Do

, ta có

trên

nên

. Từ đó suy ra

hay

là

hàm hằng.
Kí hiệu

. Lúc đó

trên

và có

theo chứng minh

trên .

Từ đó



.

c) Hàm đa tuyến tính
Cho

, khi đó

được gọi là đa tuyến tính nếu nó

tuyến tính đối với mỗi đối số.
Không khó để thấy rằng

là liên tục khi và chỉ khi
(2.11)

inh Th Kim Thoa

17

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
Nếu

thì tập các hàm đa tuyến tính

kí hiệu bởi

sẽ được

. Một hàm đa tuyến tính được gọi là đối xứng nếu ta đổi

chỗ hai đối số bất kì thì giá trị của nó không thay đổi. Cùng với chuẩn ở trên
thì nó là một không gian Banach và có một phép đẳng cấu đẳng cự chính tắc
giữa

và

được
ánh xạ

mỗi

cho

. Ngoài ra chú ý rằng với

ta có thể định dạng cực
. Nếu

bởi

sử dụng

đối xứng nó có thể được xây dựng lại từ

dạng cực của nó sử dụng
.
Tuy nhiên, đạo hàm cấp của

(2.12)

là đối xứng vì
,

(2.13)

trong đó không quan tâm đến thứ tự lấy đạo hàm riêng.
2.1.2 Tích phân trong không gian Banach
Ta sẽ chỉ xét trường hợp ánh xạ
đoạn compact và
Định nghĩa. Hàm

, trong đó

là không gian Banach.
được gọi là đơn giản nếu ảnh của

, và mỗi ảnh ngược
hàm đơn giản

là

là tập hữu hạn,

là tập Borel. Tập các

lập thành một không gian tuyến tính và có thể được

trang bị chuẩn sup. Không gian Banach tương ứng thu được sau khi mở rộng
được gọi là tập các hàm điều chỉnh
Nhận

xét.

.
.

Thật

, trong đó
trưng. Vì

là liên tục đều ta suy ra

Với

vậy,

xét
và

dãy

là hàm đặc

hội tụ đều đến .

ta có thể định nghĩa một ánh xạ tuyến tính
với

inh Th Kim Thoa

18

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
,
trong đó

(2.14)

là độ đo Lebesgue trên . nh xạ này thỏa mãn
,

(2.15)

và do đó nó có thể được thác triển một cách duy nhất tới ánh xạ tuyến tính
thỏa mãn

. Thậm chí ta còn có

.

Ngoài ra, nếu

(2.16)

là phiếm hàm tuyến tính liên tục thì
.

Ta

Nếu

quy

ước:

nếu ta xem

Đặc biệt, nếu
Thật vậy,

.

và

, ta có phép đẳng cấu

thay cho

(2.17)

và nếu

là một phần tử của .

thì
sao cho

ta viết

và

.

, ta có

(2.18)
Từ đó

.

Điều này còn cho thấy

với

bất kì.

2.2 Các nguyên lí co rút
2.2.1 Định nghĩa ánh xạ co

Định nghĩa. Một điểm bất động của ánh xạ
sao cho
hằng số co

inh Th Kim Thoa

. Hơn nữa ,

là một phần tử

được gọi là một ánh xạ co nếu có một

sao cho :

19

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
.

(2.19)

Chú ý rằng một ánh xạ co là liên tục. Ta cũng nhắc lại kí hiệu
.
2.2.2 Nguyên lí ánh xạ co
Định lí 2.4. (Nguyên lí ánh xạ co)
Cho

là một tập con đóng của không gian Banach

một ánh xạ co, khi đó

có một điểm cố định duy nhất

và

là

sao cho
.

(2.20)

Chứng minh:
Nếu

và

thì

cho thấy chỉ có nhiều nhất một điểm cố định.
Xét đến sự tồn tại, cố định

và xét dãy

.Ta có
(2.21)

Từ đó theo bất đẳng thức tam giác ( với

.

)

(2.22)

Do đó

là dãy Cauchy và tiến đến giới hạn . Hơn nữa
(2.23)

chứng tỏ

là một điểm cố định và (2.20) thu được sau khi lấy giới hạn


trong (2.22).

Tiếp đến ta muốn nghiên cứu điểm cố định của các ánh xạ co biến đổi
phụ thuộc tham số.
Định nghĩa. Cho
co đều nếu có

mở, xét

. ánh xạ

được gọi là

.

(2.24)

sao cho

2.2.3 Nguyên lí ánh xạ co đều
inh Th Kim Thoa

20

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
Định lí 2.5 (Nguyên lí ánh xạ co đều)
Cho

là các tập con mở của không gian Banach

Cho

là một ánh xạ co đều và kí hiệu

duy nhất của

. Nếu

và

tương ứng.

là điểm cố định
thì

Chứng minh :
Trước tiên ta chứng tỏ

liên tục. Từ

(2.25)
ta suy ra
(2.26)
Do

liên tục theo biến

nên suy ra

phân về mặt hình thức

liên tục. Bây giờ cho

và ta lấy vi

đối với biến :
.

Xem (2.27) như là phương trình điểm cố định

(2.27)
,

trong đó
là phép co

đều vì theo định lí 2.2 ta có
tục duy nhất

. Do đó ta có một nghiệm liên

.

Ta còn phải chỉ ra
.
Đặt
điểm

(2.28)

, khi đó sử dụng (2.27) và tính chất cố định của
ta thấy

inh Th Kim Thoa

21

K34- CN Toỏn

nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
(2.29)
vì

theo giả thiết.

Hơn nữa,

và

Suy ra

(theo 2.26)

như mong muốn.
Cuối cùng, giả sử kết quả trên là cố định với

là

thì

tối thiểu là

và

. Khi đó, nếu

thỏa mãn (2.27) nghĩa là

.

2.2.4 Hàm ẩn và hàm ngược
Định lí hàm ẩn là kết quả quan trọng ta thu được
Định lí 2.6. (Hàm ẩn)
Cho
con mở của

và

là các không gian Banach và

. Cho

và cố định

Giả sử

.

là một phép đẳng cấu. Khi đó tồn tại một lân

cận mở

của

một điểm (
ánh xạ

tương ứng là các tập

sao cho với mỗi

tồn tại duy nhất

thỏa mãn

thuộc

. Hơn nữa

và thỏa mãn :
.

(2.30)

Chứng minh :
Sử dụng phép dời

ta có thể giả thiết

.

Tiếp đến các điểm cố định của
nghiệm của

. Hàm

là
có cùng tính chất trơn như

ta có thể tìm được hình cầu
. Do đó
nghĩa là

tâm

và

tâm

và vì
sao cho

là một phép co đều và đặc biệt
. Phần còn lại thu được từ nguyên lí

co đều.

inh Th Kim Thoa

22

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
Công thức (2.30) thu được từ lấy vi phân

sử dụng quy

tắc dây xích .

Hơn nữa ta cũng thu được định lí hàm ngược như một hệ quả của định lí
hàm ẩn.
Định lí 2.7. (Hàm ngược)
Giả sử

và

là một phép đẳng cấu với

nào đó. Khi đó có các lân cận

của

tương ứng sao cho

là một vi phôi.
Chứng minh: áp dụng định lí hàm ẩn với



.

2.3 Phương trình vi phân thường
Như một ứng dụng đầu tiên của định lí hàm ẩn, ta chứng minh sự tồn tại
và tính duy nhất nghiệm của phương trình vi phân thường trong không gian
Banach

Bổ đề 2.8. Giả sử

là một khoảng compact và

. Khi đó

trong đó:
.

(2.31)

Chứng minh:
Cố định

và

. Với mỗi

với mọi

cùng

Hình cầu

ta có
.

phủ tập hợp

nên có một phủ con hữu hạn

sao cho

và vì

là compact

.

Cho

, thì với mỗi

sẽ có một

sao cho

Do đó

inh Th Kim Thoa

23

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
vì

.

Điều này đã giải quyết trường hợp

.

Tiếp theo ta quay về trường hợp

. Ta coi

được cho bởi

. Do đó ta cần chỉ ra rằng với mỗi
thể tìm được

ta có

sao cho
(2.32)

khi

.

Theo giả thiết ta có
(2.33)
khi

.
Ta còn phải chỉ ra

là liên tục. Để thấy điều này ta dùng ánh xạ

tuyến tính :
,

trong đó

(2.34)

.

Vì :
,
Ta suy ra

và do đó

Trường hợp

liên tục. Bây giờ nhận xét

thu được từ quy nạp.

(2.35)
.


Bây giờ ta tiến đến kết quả sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho bài
toán giá trị ban đầu trong không gian Banach.
Định lí 2.9. Cho

Banach

và

là một khoảng mở,

là một tập con mở của không gian

là tập con mở của không gian Banach khác. Giả sử
thì bài toán giá trị ban đầu
(2.36)

inh Th Kim Thoa

24

K34- CN Toỏn


nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach
có một nghiệm duy nhất
và

trong đó

tương ứng là các tập con mở của

có thể được chọn để chứa điểm

và . Các tập

và

và

tương ứng.

Chứng minh:
Nếu ta chuyển

và do đó

ta thấy không hạn chế để giả thiết
phận của tham số

,

và xét

(tức là

như một bộ

.

Hơn nữa sử dụng phép biến đổi tiêu chuẩn
giả thiết

độc lập với . Ta cũng sẽ thay thế

chặn) sao cho

liên tục đều đối với

ta còn có thể
bằng một tập con nhỏ hơn (bị

trên tập con này.

Mục đích của ta là làm cho hiện lên định lí về hàm ẩn. Để làm được
điều này , ta đưa vào tham số phụ

và xét
,

sao cho ta biết được nghiệm với

(2.37)

.

Định lí hàm ẩn cho thấy các nghiệm luôn tồn tại miễn là vẫn còn nhỏ.
Mới nhìn, điều này dường như không đủ tốt cho ta vì bài toán gốc tương ứng
với

. Nhưng vì

tương ứng với sự đếm gộp

, nghiệm với mỗi

đều thỏa mãn. Bây giờ ta đi vào chi tiết.
Bài toán (2.37) tương đương với tìm giá trị không của hàm
(2.38)

Bổ đề 2.8 đảm bảo hàm này là
, trong đó

. Cố định

. Vì

, thì

và
ta có thể áp

dụng định lí hàm ẩn để kết luận có một nghiệm duy nhất
. Đặc biệt, ánh xạ
trong

inh Th Kim Thoa

là
. Do đó nó là nghiệm

25

K34- CN Toỏn