Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯƠNG MINH TUYÊN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN
CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG
KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS. TS. Nguyễn Bường
2. GS. TS. Jong Kyu Kim
THÁI NGUYÊN-NĂM 2013
ii
LỜI CAM ĐOAN
Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi,
được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường và GS.
TS. Jong Kyu Kim. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa
từng được công bố trong các công trình của người khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình.
Tác giả
Trương Minh Tuyên
iii
LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm, Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Nguyễn Bường và
GS. TS. Jong Kyu Kim. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các
Thầy.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng và
seminar tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến

đóng góp quý báu của GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, PGS. TS. Phạm Ngọc
Anh, PGS. TS. Phạm Hiến Bằng, PGS. TS. Phạm Việt Đức, TS. Đào Thị
Liên, GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu, TS. Hà Trần Phương, TS. Vũ Vinh
Quang, PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, GS.
TSKH. Đỗ Đức Thái, GS. TS. Trần Vũ Thiệu, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy,
TS. Vũ Mạnh Xuân. Từ đáy lòng mình tác giả xin được bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến các Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa sau
đại học và Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên
đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận án của
mình.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy cô trong Khoa Toán, trường
Đại học Sư phạm và các Thầy cô trong Khoa Toán-Tin, trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên, cùng toàn thể anh chị em nghiên cứu
sinh chuyên ngành Toán Giải tích, bạn bè đồng nghiệp đã luôn quan tâm,
động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong
suốt quá trình học tập, seminar, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình
niềm vinh hạnh to lớn này.
Tác giả
Mục lục
Trang bìa phụ i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục iv
Một số ký hiệu và viết tắt vi
Mở đầu 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 7
1.1. Một số vấn đề về hình học các không gian Banach, toán tử
đơn điệu và ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . 17
1.2.1. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . 18
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . 18
1.3. Phương pháp điểm gần kề quán tính . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh . . . . . . . 25
1.5. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các
ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2. Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh
xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chương 2. Phương pháp điểm gần kề 40
2.1. Phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm điểm bất động
chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn . . . . . . 40
v
2.2. Tính ổn định của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3. Phương pháp điểm gần kề và bài toán xác định không điểm
của toán tử m-j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu
hạn các ánh xạ giả co chặt . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.2. Bài toán chấp nhận lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Chương 3. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp
điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 75
3.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm
gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất
động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn . . . 75
3.2. Tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . 82
3.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu

hạn các ánh xạ giả co chặt . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.2. Bài toán chấp nhận lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Kết luận chung 95
Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo 96
Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 97
Tài liệu tham khảo 98
Một số ký hiệu và viết tắt
E không gian Banach
E
∗
không gian đối ngẫu của E
θ phần tử không của không gian Banach E
dim(E) số chiều của không gian Banach E
R tập hợp các số thực
R
+
tập các số thực không âm
∩ phép giao
inf M cận dưới đúng của tập hợp số M
sup M cận trên đúng của tập hợp số M
max M số lớn nhất trong tập hợp số M
min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M
argmin
x∈X
F (x) tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X
∅ tập rỗng
∀x với mọi x
D(A) miền xác định của toán tử A
R(A) miền ảnh của toán tử A
A

−1
toán tử ngược của toán tử A
I toán tử đồng nhất
L
p
(Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω
l
p
không gian các dãy số khả tổng bậc p
d(x, M) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M
H(C
1
, C
2
) khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp C
1
và C
2
lim sup
n→∞
x
n
giới hạn trên của dãy số {x
n
}
lim inf
n→∞
x
n
giới hạn dưới của dãy số {x

n
}
vii
α
n
 α
0
dãy số thực {α
n
} hội tụ giảm về α
0
x
n
−→ x
0
dãy {x
n
} hội tụ mạnh về x
0
x
n
 x
0
dãy {x
n
} hội tụ yếu về x
0
J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị
δ

E
(ε) mô đun lồi của không gian Banach E
ρ
E
(τ) mô đun trơn của không gian Banach E
F ix(T ) hoặc F (T) tập điểm bất động của ánh xạ T
∂f dưới vi phân của hàm lồi f
M bao đóng của tập hợp M
d(a, M) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M
W
m
p
(Ω) không gian Sobolev
o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t
n
[a,b]
số điểm chia cách đều trên đoạn [a, b]
n
max
số bước lặp
tg thời gian tính toán
err sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác
int(C) phần trong của tập hợp C
Mở đầu
Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không
giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường hợp
riêng của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng
của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {C
i
}

i∈I
của không
gian Hilbert H hay không gian Banach E". Bài toán này có nhiều ứng
dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử lí ảnh,
khôi phục tín hiệu, vật lý, y học (xem [27], [28], [29], [43], [58], [59], [71],
[72], [81] ).
Khi C
i
= F ix(T
i
), với F ix(T
i
) là tập điểm bất động của ánh xạ không
giãn T
i
, i = 1, 2, , N, thì đã có nhiều phương pháp được đề xuất dựa
trên các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng. Đó là các phương pháp lặp
Kranoselskii [56], Mann [62], Ishikawa [45] và Halpern [42], phương pháp
xấp xỉ mềm [65]. Chẳng hạn, tương tự như phương pháp chiếu xoay vòng để
giải bài toán chấp nhận lồi trong không gian Hilbert, năm 1996 Bauschke
H. H. [16] đã đề xuất phương pháp lặp xoay vòng dựa trên phương pháp
lặp Halpern cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn
các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Các kết quả nghiên cứu
theo những hướng này có thể tra khảo trong các tài liệu [16], [30], [46],
[69], [70] và sẽ được trình bày cụ thể hơn trong Chương 1 của luận án.
Ta biết rằng, nếu T là một ánh xạ không giãn trong không gian Banach
E, thì toán tử A = I −T là một toán tử j-đơn điệu, với I là toán tử đồng
nhất trên E. Như vậy, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu
hạn các ánh xạ không giãn T
i

trong không gian Banach E có thể đưa về
bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử j-đơn
điệu A
i
= I − T
i
với i = 1, 2, , N.
Khi A : H −→ 2
H
một toán tử đơn điệu cực đại trên không gian
Hilbert H (trong không gian Hilbert khái niệm j-đơn điệu và đơn điệu là
trùng nhau), thì Rockafellar R. T. [77] đã đề xuất phương pháp điểm gần
2
kề để xác định dãy {x
n
} như sau:
c
n
Ax
n+1
+ x
n+1
 x
n
, x
0
∈ H, (0.1)
ở đây c
n
> c

0
> 0. Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp lặp (0.1) chỉ thu
được sự hội tụ yếu của dãy {x
n
} về một không điểm của A.
Năm 2001, Attouch H. và Alvarez F. [14] đã xét một mở rộng của
phương pháp điểm gần kề (0.1) ở dạng
c
n
A(x
n+1
) + x
n+1
− x
n
 γ
n
(x
n
− x
n−1
), x
0
, x
1
∈ H (0.2)
và gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính, ở đây {c
n
} và {γ
n

} là hai
dãy số không âm. Đối với thuật toán mở rộng này thì người ta cũng chỉ
thu được sự hội tụ yếu của dãy lặp {x
n
} về một không điểm của toán tử
đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert.
Khi A : E −→ E là một toán tử m−j−đơn điệu từ không gian Banach
E vào chính nó, năm 2002 Ryazantseva I. P. [78] đã kết hợp phương pháp
điểm gần kề với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh
ở dạng
c
n
(A(x
n+1
) + α
n
x
n+1
) + x
n+1
= x
n
, x
0
∈ E. (0.3)
Ryazantseva I. P. đã chỉ ra sự sự hội tụ mạnh của dãy lặp {x
n
} xác định
bởi (0.3) về một không điểm của A khi không gian Banach E và các dãy
số dương {c

n
} và {α
n
} thỏa mãn các điều kiện thích hợp.
Năm 2006 tác giả Xu H. K. [88] và năm 2009 các tác giả Song Y., Yang
C. [80] đã đề xuất và nghiên cứu một cải biên của phương pháp điểm gần
kề cho bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong
không gian Hilbert, ông đã chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy lặp {x
n
} xác
định bởi
x
n+1
= J
A
r
n
(t
n
u + (1 −t
n
)x
n
+ e
n
), n = 0, 1, 2, (0.4)
với một số điều kiện thích hợp đặt lên dãy số {t
n
} và dãy sai số tính toán
trong mỗi bước lặp {e

n
}, trong đó J
A
r
n
= (I + r
n
A)
−1
.
Đối với bài toán tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn các phương
trình toán tử với các toán tử đơn điệu cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng.
[22] đã đề xuất và nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov
cho bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn
3
trị đơn điệu, thế năng, h−liên tục từ không gian Banach E vào không gian
đối ngẫu E
∗
. Ông đã quy bài toán giải hệ phương trình với các toán tử
đơn điệu cực đại về việc giải một phương trình toán tử và thu được sự hội
tụ mạnh của thuật toán về một nghiệm của hệ khi các tham số hiệu chỉnh
được chọn thích hợp.
Năm 2008, trên cơ sở kết quả nghiên cứu đạt được của mình vào năm
2006, tác giả Buong Ng. [23] lần đầu tiên nghiên cứu kết hợp phương pháp
điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm gần kề
quán tính hiệu chỉnh, cho việc giải bài toán tìm không điểm chung của
một họ hữu hạn các toán tử đơn điệu cực đại A
i
= ∂f
i

, với ∂f
i
là dưới
vi phân của các phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới yếu f
i
,
i = 1, 2, , N trong không gian Hilbert H. Ông đã chỉ ra sự hội tụ mạnh
của dãy lặp {z
n
} xác định bởi
c
n

N

j=0
α
j
n
A
n
j
(z
n+1
) + α
N+1
n
z
n+1


+ z
n+1
− z
n
 γ
n
(z
n
− z
n−1
),
trong đó z
0
, z
1
∈ H, {c
n
}, {α
n
} {γ
n
} là các dãy số thực không âm và A
n
j
là các toán tử đơn điệu cực đại xấp xỉ toán tử dưới vi phân ∂ϕ
j
của phiếm
hàm ϕ
j
theo nghĩa dưới đây

H(A
n
j
(x), ∂ϕ
j
(x)) ≤ h
n
g(x),
với g là một hàm không âm, giới nội.
Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn ánh
xạ không giãn, cùng với các bài toán liên quan như bài toán tìm nghiệm
của hệ phương trình với các toán tử loại đơn điệu, bài toán bất đẳng thức
biến phân, bài toán cân bằng cũng được nhiều nhà toán học trong nước
quan tâm nghiên cứu. Chẳng hạn như: Năm 2004 các tác giả Anh P. N.
và Muu L. D. [5] đã kết hợp nguyên lý ánh xạ co với phương pháp điểm
gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu; năm 2009 các tác
giả Anh P. K. và Chung C. V. [3] đã nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh
lặp song song ở dạng ẩn và hiện cho bài toán tìm không điểm chung của
một họ hữu hạn các toán tử xác định dương từ không gian Hilbert H vào
chính nó; tác giả Thuy N. T. T. [84] đã xây dựng phương pháp lặp mới
cho bài toán tìm nghiệm của một bất đẳng thức biến phân trên tập điểm
4
bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn; tác giả Anh
P. N. [5], [6] cũng đã nghiên cứu về bài toán cân bằng trên tập điểm bất
động của ánh xạ không giãn dựa trên phương pháp gradient tăng cường
Như vậy có thể nói rằng bài toán tìm điểm bất động chung của một họ
hữu hạn các ánh xạ không giãn mà chúng tôi đề cập trong luận án cùng
với các bài toán liên quan đã và đang là vấn đề được nhiều nhà toán học
trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
Mục đích chính của luận án này là nghiên cứu áp dụng phương pháp

hiệu chỉnh Tikhonov và một số cải biên của phương pháp điểm gần kề bao
gồm phương pháp điểm gần kề dạng (0.4), phương pháp điểm gần kề quán
tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn
các ánh xạ không giãn trong không gian Banach, cùng với các bài toán
liên quan dựa trên tư tưởng thuật giải của tác giả Buong Ng. trong các tài
liệu [22], [23]. Ngoài ra, trong luận án chúng tôi cũng tiến hành nghiên cứu
tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh thu được theo hướng nghiên
cứu của Alber Y. [10]. Cụ thể hơn, luận án tập trung giải quyết các vấn
đề sau:
1. Nghiên cứu phương pháp điểm gần kề dạng (0.4) cho bài toán tìm
một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
trong không gian Banach và các biến thể khác nhau của nó, đồng
thời nghiên cứu tính ổn định của các phương pháp lặp thu được theo
hướng nghiên cứu của Alber Y. trong tài liệu [10]. Cụ thể, chúng tôi
nghiên cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp {x
n
} được xác định ở dạng
r
n
N

i=1
A
i
(x
n+1
) + x
n+1
= t
n

u + (1 −t
n
)x
n
, u, x
0
∈ E, n ≥ 0, (0.5)
trong đó A
i
= I −T
i
và T
i
là các ánh xạ không giãn trên không gian
Banach E với mọi i = 1, 2, , N.
2. Nghiên cứu mở rộng kết quả của Xu H. K. [88] cho bài toán xác định
không điểm của toán tử m-j-đơn điệu từ không gian Hilbert H lên
không gian Banach trơn đều E ở dạng
r
n
A(x
n+1
) + x
n+1
 t
n
u + (1 −t
n
)x
n

, n ≥ 0. (0.6)
5
3. Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm
gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm một điểm bất động chung
của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach
và các biến thể khác nhau của nó, đồng thời nghiên cứu tính ổn định
của các phương pháp hiệu chỉnh thu được. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ
đề cập đến sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và
phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh ở dạng
N

i=1
A
i
(x
n
) + α
n
(x
n
− y) = θ, (0.7)
c
n
(
N

i=1
A
i
(u

n+1
) + α
n
(u
n+1
− y))
+ u
n+1
= Q
C
(u
n
+ γ
n
(u
n
− u
n−1
)),
(0.8)
tương ứng, trong đó y, u
0
, u
1
∈ C, A
i
= I − T
i
, T
i

: C −→ C là các
ánh xạ không giãn với mọi i = 1, 2, , N và Q
C
: E −→ C là một
ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C.
Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương:
Chương 1 có tính chất bổ trợ, giới thiệu sơ lược về một số vấn đề liên
quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, bài toán đặt không
chỉnh với các toán tử loại đơn điệu, bài toán tìm điểm bất động chung của
một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, tổng quan về các phương pháp
giải đã biết cho các lớp bài toán này và cuối cùng là một số bổ đề cần sử
dụng cho việc chứng minh các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chương
sau của luận án.
Chương 2 trình bày các định lí về sự hội tụ mạnh của phương pháp
điểm gần kề theo hướng nghiên cứu của các tác giả Buong Ng. [22] và Xu
H. K. [88] cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn
các ánh xạ không giãn và cho bài toán xác định không điểm của toán tử
m-j-đơn điệu trong không gian Banach, ở đây tính ổn định của các phương
pháp lặp cũng được thiết lập và nghiên cứu. Một số ứng dụng của các kết
quả đạt được cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ
hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, bài toán chấp
nhận lồi trong không gian Banach và một số ví dụ cùng với các tính toán
6
cụ thể cũng được trình bày ở cuối chương này nhằm minh họa thêm cho
các kết quả nghiên cứu đạt được.
Chương 3 trình bày các định lí về sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài
toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
trong không gian Banach cùng với tính ổn định của các phương pháp. Mục
cuối cùng trong chương này, chúng tôi đề cập đến một số ứng dụng của các

phương pháp lặp thu được cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung
của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, bài
toán chấp nhận lồi trong không gian Banach, cùng với các ví dụ số nhằm
minh họa thêm cho các kết quả nghiên cứu đạt được.
Các kết quả của luận án được báo cáo tại:
• Proceding "Methods of modern mathematical analysis and applica-
tions", Hanoi-Thainguyen, 28/03-02/09/2010.
• Hội thảo Quốc gia lần thứ XV "Một số vấn đề chọn lọc về công nghệ
thông tin và truyền thông", Hà Nội 03-04/12/2012.
• Seminar của Bộ môn Giải tích, khoa Toán-trường Đại học Sư phạm,
Đại học Thái Nguyên.
• Các hội nghị nghiên cứu sinh của khoa Toán-trường Đại học Sư phạm,
Đại học Thái Nguyên.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trước hết chúng tôi giới thiệu sơ lược về cấu trúc hình
học các không gian Banach, toán tử đơn điệu, toán tử j−đơn điệu, ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc và ánh xạ không giãn, nhằm trang bị những kiến thức
cần thiết cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận án ở
các chương sau. Tiếp đó, chúng tôi trình bày về bài toán đặt không chỉnh
phi tuyến với toán tử loại đơn điệu, các phương pháp giải nổi tiếng cho lớp
bài toán loại này (phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm
gần kề, phương pháp điểm gần kề quán tính và phương pháp điểm gần kề
quán tính hiệu chỉnh). Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày tổng quan về bài
toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
cùng với một số phương pháp giải cũng như một số kết quả điển hình đã
biết.
1.1. Một số vấn đề về hình học các không gian Banach, toán tử
đơn điệu và ánh xạ không giãn
Cho E là một không gian Banach và E

∗
là không gian đối ngẫu của nó,
tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Để cho đơn
giản và thuận tiện hơn, chúng tôi thống nhất sử dụng kí hiệu . để chỉ
chuẩn trên E và E
∗
; Sự hội tụ mạnh và yếu của dãy {x
n
} về phần tử x
trong E lần lượt được kí hiệu là x
n
→ x và x
n
 x trong toàn bộ luận án.
Trước hết, ta nhắc lại rằng một không gian Banach E được gọi là không
gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x
∗∗
của không gian liên hợp thứ hai
E
∗∗
của E, đều tồn tại phần tử x ∈ E sao cho
x
∗
(x) = x
∗∗
(x
∗
) với mọi x
∗
∈ E

∗
.
Trong luận án này, chúng tôi thường xuyên sử dụng tính chất dưới đây
của không gian Banach phản xạ:
8
Mệnh đề 1.1 [7] Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng
định sau là tương đương:
i) E là không gian phản xạ.
ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu.
Tiếp theo, trong mục này chúng tôi đề cập đến một số vấn đề cơ bản
về cấu trúc hình học các không gian Banach, như: tính lồi, tính trơn, mô
đun lồi, mô đun trơn
Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi
x, y ∈ E, x = y mà x = 1, y = 1 ta có




x + y
2




< 1.
Chú ý 1.1 Định nghĩa 1.1 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương
sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ S
E
thỏa
mãn

x + y
2
= 1, suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ S
E
và x = y ta có
tx + (1 −t)y < 1 với mọi t ∈ (0, 1), trong đó
S
E
= {x ∈ X : x = 1}.
Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi
ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà x = 1, y =
1, x − y ≥ ε ta luôn có




x + y
2




≤ 1 − δ(ε).
Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gian
Banach lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ dưới đây chỉ
ra điều đó.
Ví dụ 1.1 [7] Xét X = c
0
(không gian các dãy số hội tụ về không) với
chuẩn .

β
xác định bởi
x
β
= x
c
0
+ β

∞

i=1
|x
i
|
2
i
2

1/2
, x = (x
i
) ∈ c
0
.
9
Khi đó, (X, .
β
), β > 0 là một không gian lồi chặt nhưng không là không
gian lồi đều.

Để đo tính lồi của không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm
sau: Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số
δ
E
(ε) = inf

1 −




x + y
2




: x ≤ 1, y ≤ 1, x −y ≥ ε

.
Nhận xét 1.1 Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định,
liên tục và tăng trên đoạn [0; 2]. Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ
khi δ
E
(2) = 1. Ngoài ra, không gian Banach E là lồi đều khi và chỉ khi
δ
E
(ε) > 0, ∀ε > 0 [7], [37].
Mệnh đề 1.2 [7] Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian phản
xạ.

Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈
S
E
, tồn tại duy nhất f
x
∈ E
∗
sao cho x, f
x
 = x và f
x
 = 1.
Định nghĩa 1.4 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn
trên E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x
0
∈ S
E
nếu với mỗi y ∈ S
E
,
tồn tại giới hạn
d
dt
(x
0
+ ty)
t=0
= lim
t→0
x

0
+ ty − x
0

t
. (1.1)
Định nghĩa 1.5 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi
đó:
a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại
mọi x ∈ S
E
.
b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ S
E
giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ S
E
.
c) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mọi x ∈ S
E
, giới
hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ S
E
.
d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn
tại đều với mọi x, y ∈ S
E
.
10
Định lí 1.1 [7] Cho E là một không gian Banach. Khi đó, ta có các khẳng
định sau:

a) Nếu E
∗
là không gian lồi chặt thì E là không gian trơn.
b) Nếu E
∗
là không gian trơn thì E là không gian lồi chặt.
Định nghĩa 1.6 Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác
định bởi
ρ
E
(τ) = sup{2
−1

x + y + x −y

− 1 : x = 1, y = τ}.
Nhận xét 1.2 Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định,
liên tục và tăng trên khoảng [0; +∞) [7], [37].
Ví dụ 1.2 [61] Nếu E là không gian l
p
hoặc L
p
(Ω), thì ta có
ρ
E
(τ) =






(1 + τ
p
)
1/p
− 1 <
1
p
τ
p
, 1 < p < 2,
p − 1
2
τ
2
+ o(τ
2
) <
p − 1
2
τ
2
, p ≥ 2.
(1.2)
Định lí dưới đây cho ta biết về mối liên hệ giữa mô đun trơn của không
gian Banach E với mô đun lồi của E
∗
và ngược lại.
Định lí 1.2 [7, 37] Cho E là một không gian Banach. Khi đó ta có
a) ρ

X
∗
(τ) = sup{
τε
2
− δ
X
(ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0.
b) ρ
X
(τ) = sup{
τε
2
− δ
X
∗
(ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0.
Nhận xét 1.3 Từ Định lí 1.2, suy ra
ρ
0
(E) =
ε
0
(E
∗
)
2
và ρ
0
(E

∗
) =
ε
0
(E)
2
,
trong đó ε
0
(E) = sup{ε : δ
E
(ε) = 0}, ρ
0
(E) = lim
τ→0
ρ
E
(τ)
τ
.
Định nghĩa 1.7 Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
lim
τ→0
ρ
E
(τ)
τ
= 0.
Từ Nhận xét 1.3, ta có định lý dưới đây:
11

Định lí 1.3 [7, 37] Cho E là một không gian Banach. Khi đó ta có các
khẳng định sau:
a) Nếu E là không gian trơn đều thì E
∗
là không gian lồi đều;
b) Nếu E là không gian lồi đều thì E
∗
là không gian trơn đều.
Ví dụ 1.3 Mọi không gian Hilbert và không gian l
p
, L
p
(Ω) (1 < p < +∞)
đều là không gian Banach lồi đều và trơn đều [35].
Định nghĩa 1.8 Không gian Banach E được gọi là q-trơn đều, nếu tồn
tại hằng số c > 0 sao cho ρ
E
(t) ≤ ct
q
với mọi t > 0.
Định nghĩa 1.9 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ
đa trị J : E −→ 2
E
∗
xác định bởi
J(x) = {f ∈ E
∗
: x, f = x
2
, x = f}

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.
Chú ý 1.2 Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng
với ánh xạ đồng nhất I.
Nhận xét 1.4 Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì E, ta luôn
có J(x) = ∅ với mọi x ∈ E, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định
lý Hahn - Banach.
Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E.
Mệnh đề 1.3 [7] Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn và J
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó,
i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x), ∀x ∈ E;
ii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ E;
iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J(D) là
một tập hợp bị chặn trong E
∗
;
iv) Nếu E
∗
là lồi chặt thì J là đơn trị;
12
v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ
khi E là không gian Banach trơn đều.
Ví dụ 1.4 Xét không gian l
p
, với p > 1. Vì không gian đối ngẫu l
q
của
không gian l
p
là lồi đều, nên ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của l

p
là đơn trị
và dễ thấy nó được xác định như sau:
J(x) =



θ nếu x = θ
{η
n
} ∈ l
q
nếu x = {ξ
n
} = θ,
trong đó η
k
= |ξ
k
|
p−1
sgn(ξ
k
)
1
x
p−2
với mọi k ≥ 1.
Định nghĩa 1.10 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E
được gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và nếu {x

n
} ⊂ E
thỏa mãn x
n
 x, thì J(x
n
) hội tụ *yếu về J(x).
Chú ý 1.3 Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta
kí hiệu nó bởi j.
Ví dụ 1.5 Các không gian l
p
với p > 1 có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên
tục yếu theo dãy, nhưng các không gian L
p
(Ω) lại không có tính chất này
[33].
Bổ đề 1.1 [10] Cho E là một không gian Banach trơn đều. Khi đó, với
mọi x, y ∈ E, ta có
x + y
2
≤ x
2
+ 2y, j(x) + cρ
E
(y), (1.3)
trong đó c = 48 max(L, x, y) và L là hằng số Figiel, 1 < L < 1.7.
Tiếp theo, trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính
chất cơ bản của toán tử đơn điệu, j−đơn điệu.
Định nghĩa 1.11 Cho E là một không gian Banach, toán tử A : D(A) ⊂
E −→ 2

E
∗
được gọi là đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) ta luôn có
x − y, u − v ≥ 0, ∀u ∈ A(x), ∀v ∈ A(y). (1.4)
13
Định nghĩa 1.12 Một toán tử đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2
E
∗
được gọi
là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(u, x) : x ∈ D(A), u ∈ A(x)} của
nó không thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác
trên E.
Ví dụ 1.6 [76] Cho f : E −→ R là một hàm lồi chính thường nửa liên
tục dưới. Khi đó, toán tử dưới vi phân
∂f(x) = {x
∗
∈ E
∗
: f(y) − f(x) ≥ y −x, x
∗
, ∀y ∈ E}
là một toán tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.13 Cho E là một không gian Banach, toán tử A : D(A) ⊂
E −→ 2
E
được gọi là j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x−y) ∈
J(x −y) sao cho
u − v, j(x − y) ≥ 0, ∀u ∈ A(x), v ∈ A(y). (1.5)
Chú ý 1.4 Trong không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu và toán
tử j-đơn điệu trùng nhau.

Định nghĩa 1.14 Toán tử j-đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2
E
được gọi là
m-j-đơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền
ảnh của toán tử I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E.
Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơn điệu
trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại.
Chú ý 1.5 Trong trường hợp E là một không gian Banach với ánh xạ đối
ngẫu liên tục yếu theo dãy thì mọi toán tử m-j-đơn điệu A : D(A) ⊂
E −→ 2
E
đều là toán tử demi-đóng, tức là nếu dãy {x
n
} ⊂ D(A) hội tụ
yếu về x và dãy A(x
n
)  y
n
−→ f, thì A(x) = f [11].
Định nghĩa 1.15 Cho E là một không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) −→
E được gọi là không giãn nếu
T (x) − T (y) ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(T ).
Phần tử x ∈ D(T ) được gọi là một điểm bất động của T nếu x = Tx.
Tập các điểm bất động của T thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F(T ).
14
Chú ý 1.6 Trong trường hợp E là không gian lồi chặt và tập các điểm
bất động của T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E.
Chú ý 1.7 Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của
không gian Banach E vào E thì toán tử I −T là j-đơn điệu. Trong trường
hợp C trùng với E thì I −T là một toán tử m-j-đơn điệu. Tổng quát hơn,

ta có mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.4 Cho T
i
: E −→ E, i = 1, 2, , N là một họ hữu hạn các
ánh xạ không giãn từ không gian Banach E vào chính nó. Khi đó, toán tử
A =

N
i=1
A
i
, với A
i
= I − T
i
, i = 1, 2, , N là một toán tử m − j−đơn
điệu.
Chứng minh. Với mỗi λ > 0 ta cần chỉ ra R(I + λA) = E. Thật vậy, với
mỗi y ∈ E, xét phương trình
x + λA(x) = y. (1.6)
Dễ thấy, phương trình (1.6) tương đương với phương trình
x =
λ
1 + λN
N

i=1
T
i
(x) +

1
1 + λN
y. (1.7)
Để kết thúc chứng minh, ta chỉ ra phương trình (1.7) luôn có nghiệm.
Xét ánh xạ f : E −→ E xác đinh bởi
f(x) =
λ
1 + λN
N

i=1
T
i
(x) +
1
1 + λN
y.
Khi đó ta có,
f(x
1
) − f(x
2
) ≤
λN
1 + λN
x
1
− x
2
,

với mọi x
1
, x
2
∈ E. Suy ra, f là một ánh xạ co trên E và do đó theo nguyên
lí ánh xạ co Banach, f có duy nhất một điểm bất động, hay phương trình
(1.7) có duy nhất nghiệm. Mệnh đề được chứng minh.
Dưới đây, chúng tôi sẽ đề cập đến khái niệm ánh xạ co rút không giãn
theo tia cùng với một số tính chất cơ bản của nó và đây cũng là ánh xạ
thường xuyên được đề cập đến trong hầu hết các kết quả nghiên cứu của
luận án.
15
Định nghĩa 1.16 Cho E là một không gian Banach và C là một tập con
lồi đóng của E. Một ánh xạ Q
C
: E −→ C được gọi là:
a) co rút nếu Q
2
C
(x) = Q
C
(x), ∀x ∈ E;
b) co rút không giãn nếu Q
C
là co rút và là một ánh xạ không giãn, tức
là
Q
C
(x) − Q
C

(y) ≤ x −y, ∀x, y ∈ E;
c) co rút không giãn theo tia nếu Q
C
là một co rút không giãn và thỏa
mãn tính chất
Q
C
(Q
C
(x) + t(x −Q
C
(x))) = Q
C
(x), ∀x ∈ E, t ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.17 Một tập con lồi đóng C của không gian Banach E được
gọi là
a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C;
b) co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn
từ E lên C;
c) co rút không giãn theo tia của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không
giãn theo tia từ E lên C.
Mệnh đề 1.5 [7] Cho E là một không gian Banach lồi đều. Khi đó, mọi
tập con lồi đóng khác rỗng C của E, đều là tập con co rút của E.
Chú ý 1.8 Ánh xạ co rút từ E lên C trong Mệnh đề 1.5 chính là phép
chiếu mêtric P
C
: E −→ C được xác định bởi
c − P
C
x = inf

u∈C
x − u, với mọi x ∈ C.
Mệnh đề dưới đây khẳng định sự tồn tại ánh xạ co rút không giãn từ
không gian Banach E lên tập con lồi đóng của nó.
Mệnh đề 1.6 [21] Cho E là một không gian Banach trơn với dim(E) ≥ 3.
Khi đó, mọi tập con lồi đóng C của E với int(C) = ∅, đều là tập con co
rút không giãn của E.
16
Ví dụ 1.7 [31] Tập hợp
K = {f ∈ L
p
(Ω) : f(x) ≤ 1 hầu khắp nơi trên Ω}
là tập co rút không giãn trong L
p
(Ω), ở đây Ω là tập đo được trong R
n
.
Dễ thấy rằng nếu C là một tập con lồi và đóng trong không gian Hilbert
H, thì phép chiếu mêtric P
C
: H −→ C xác định bởi x − P
C
x =
inf
u∈C
x −u với mọi x ∈ H là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ
H lên C. Tuy nhiên điều này không còn đúng trong không gian Banach.
Dưới đây, chúng tôi sẽ giới thiệu một số kết quả về lớp ánh xạ co rút không
giãn theo tia trên không gian Banach.
Mệnh đề 1.7 [50] Mọi tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach

2 chiều E, đều là tập con co rút không giãn theo tia của E.
Mệnh đề 1.8 [55] Cho E là một không gian Banach phản xạ với chuẩn
khả vi Gâteaux đều. Nếu C là một tập con co rút không giãn của E, thì C
là tập con co rút không giãn theo tia của E.
Mệnh đề dưới đây là một kết quả quan trọng, thường xuyên sử dụng
trong chứng minh các kết quả của luận án.
Mệnh đề 1.9 [38] Cho E là một không gian Banach trơn và cho C là một
tập con lồi và đóng của E. Một ánh xạ Q
C
: E −→ C là co rút không giãn
theo tia khi và chỉ khi
x − Q
C
(x), j(ξ − Q
C
(x)) ≤ 0, ∀x ∈ E, ∀ξ ∈ C. (1.8)
Nhận xét 1.5 Từ Mệnh đề 1.9 suy ra, nếu E là một không gian Banach
trơn và C là tập con co rút không giãn theo tia của E, thì ánh xạ co rút
không giãn theo tia Q
C
: E −→ C là duy nhất.
Ví dụ 1.8 Xét không gian l
p
, p > 1 và tập con C của l
p
được xác định
như sau:
C = {x = {ξ
n
} ∈ l

p
: ξ
k
= 0 với mọi k > N},
trong đó N là một số nguyên dương cho trước.
Khi đó, C là một tập con co rút không giãn theo tia của l
p
và ánh xạ co
rút không giãn theo Q
C
: l
p
−→ C được xác định bởi
Q
C
(x) = {ξ
1
, ξ
2
, , ξ
N
, 0, 0, }
17
với mọi x = {ξ
n
} ∈ l
p
.
Ví dụ 1.9 [74] Cho E là một không gian Banach trơn đều hoặc có ánh
xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy và cho T : C −→ C là một

ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng C của E vào chính nó
với Fix(T ) = ∅. Khi đó, ánh xạ Q : C −→ Fix(T ) xác định bởi
Q(u) = lim
t→0
+
z
t
= z ∈ Fix(T ),
trong đó z
t
là phần tử duy nhất trong C thỏa mãn z
t
= tu + (1 −t)T (z
t
),
t ∈ (0, 1) là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ C lên F ix(T ).
Cuối cùng trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm khoảng các
Hausdorff giữa hai tập hợp trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.18 Cho A và B là hai tập con của không gian Banach E.
Khoảng cách Hausdorff giữa A và B được xác định bởi
H(A, B) = max{β(A, B), β(B, A)},
trong đó β(A, B) = sup
u∈A
inf
v∈B
u − v = sup
u∈A
d(u, B).
Bổ đề 1.2 [12] Nếu E là một không gian Banach trơn đều, C
1

và C
2
là
các tập con lồi, đóng của E sao cho khoảng cách Hausdorff H(C
1
, C
2
) ≤ δ,
trong đó Q
C
1
và Q
C
2
là các ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C
1
và C
2
, tương ứng, thì
Q
C
1
x − Q
C
2
x
2
≤ 16R(2r + d)h
E
(

16Lδ
R
), (1.9)
ở đây L là hằng số Figiel, r = x, d = max{d
1
, d
2
}, R = 2(2r + d) + δ,
d
i
= dist(θ, C
i
), i = 1, 2.
1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh
Trong những bài toán mà chúng ta đặt ra, đặc biệt là lớp những bài
toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà nghiệm của nó
không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn
đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của bài toán), thậm
chí còn làm cho bài toán trở nên vô nghiệm. Ta có thể nói rằng, lớp các
18
bài toán nói trên có nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu
và nó là một trường hợp riêng của lớp bài toán không chính qui hay bài
toán đặt không chỉnh. Trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm bài
toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử, cùng với phương
pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp bài toán loại này.
1.2.1. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh
Khái niệm bài toán chỉnh được Hadamard J. [40] đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabollic. Ở đây, chúng tôi trình bày khái niệm bài toán
đặt không chỉnh ở dạng một phương trình toán tử, cụ thể:

Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình
A(x) = f, (1.10)
trong đó A là một toán tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric
Y với các khoảng cách tương ứng là ρ
X
, ρ
Y
và f
0
∈ Y . Theo Hadamard
J. bài toán (1.10) gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các điều kiện sau được
thỏa mãn:
i) Phương trình (1.10) có nghiệm x
f
với mọi f ∈ Y ,
ii) nghiệm x
f
được xác định một cách duy nhất,
iii) nghiệm x
f
phụ thuộc liên tục vào f.
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn
cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm. Nhất
là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng
máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn số đó đã
dẫn đến những sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài
toán (1.10) được gọi là bài toán đặt không chỉnh.
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
Trước hết, chúng tôi đề cập một cách sơ lược về phương pháp hiệu chỉnh

Tikhonov. Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.10) khi không biết thông
tin về nghiệm chính xác x
0
, Tikhonov A. N. đã đưa ra một khái niệm mới.