Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị

MỤC LỤC
Lời mở đầu
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric ....................................................................................3
1.2. Không gian định chuẩn, không gian Banach
Không gian tôpô .......................................................................................6
1.3. Tập hợp lồi ...............................................................................................8
1.3.1. Định nghĩa và tính chất...................................................................8
1.3.2. Bao lồi và bao đóng ........................................................................9
1.4. Ánh xạ đa trị...........................................................................................10

Chương 2
Điểm bất động của ánh xạ đa trị
2.1. Định lý Caristi .......................................................................................14
2.2. Định lý Nadler........................................................................................18
2.3. Nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng......................................23
2.3.1. Nguyên lý điểm bất động Brouwer ...............................................23
2.3.2. Bổ đề phân hoạch đơn vị...............................................................31
2.3.3. Định lý Kakutani ..........................................................................33
2.3.4. Điểm bất động trong không gian định chuẩn.................................37
Kết luận
Tài liệu tham khảo


LỜI MỞ ĐẦU
Nhiều hiện tượng trong thực tế dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại, duy
nhất và xây dựng xấp xỉ cho phương trình phi tuyến. Phương pháp điểm bất
động là một trong các phương pháp quan trọng và hữu hiệu nhất để chứng
minh sự tồn tại và nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của các lớp phương trình
phi tuyến khác nhau. Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920,

được hoàn thành và phát triển cho tới ngày nay để có thể áp dụng cho ngày
càng nhiều lớp phương trình.
Cùng với sự phát triển của khoa học và do nhu cầu phát triển nội tại của
toán học, các ánh xạ đa trị đã được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950.
Chúng là công cụ hữu hiệu để mô tả nhiều hiện tượng của tự nhiên, xã hội,
kinh tế, ... Từ đó, nảy sinh ra yêu cầu phát triển các phương pháp nghiên cứu
với ánh xạ đa trị, trong đó có phương pháp điểm bất động.
Ngày nay, lý thuyết điểm bất động cho các ánh xạ đa trị đã thu được
nhiều kết quả có giá trị. Tuy nhiên đây vẫn là hướng nghiên cứu đang được
các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và hứa hẹn đạt tới những kết quả thú
vị về lý thuyết cũng như ứng dụng.
Với những lý do đó em đã chọn đề tài:
“Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị”
Mục đích của khoá luận này là trình bày một số định lý điểm bất động
cho ánh xạ đa trị , nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng của nó.
Nội dung khoá luận gồm 2 chương
Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm về một số không gian,
tập hợp và một số định nghĩa về ánh xạ dùng cho chương 2
Chương 2: Chương này giới thiệu một số định lý về điểm bất động của ánh
xạ đa trị , định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co, nguyên lý
điểm bất động Brouwer và suy rộng của nó.

1


Bản khoá luận này được hoàn thành tại trường đại học sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của thầy Phùng Đức Thắng. Em xin bày tỏ lòng biết ơn
sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy trong quá trình em hoàn thành khoá luận
này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, dạy bảo của các thầy cô khoa

toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 trong suốt thời gian em học tập tại
trường.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Ngô Ngọc Huyền

2


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. KHÔNG GIAN METRIC
Định nghĩa 1.1.1.
Không gian metric là một cặp  , d  , trong đó  là một tập hợp khác
rỗng, d :    

thoả mãn các điều kiện sau

i) Với mọi x , y   : d  x, y   0
d  x, y   0  x  y

ii) Với mọi x , y   : d  x, y   d  y, x 
iii) Với mọi x, y, z   : d  x , y   d  x , z   d  z, y 
Ánh xạ d gọi là metric trên 
Mỗi phần tử của  gọi là một điểm của  ; d  x, y  gọi là khoảng cách từ
điểm x tới điểm y.
Định nghĩa 1.1.2.

Cho không gian metric  , d  , a   , số r  0 . Ta gọi
Tập   a, r   x   : d  x , a   r là hình cầu mở tâm a , bán kính r .
Tập   a, r   x   : d  x , a   r là hình cầu đóng tâm a , bán kính r .
Định nghĩa 1.1.3.
Cho không gian metric  , d  ,    . Ta gọi lân cận của điểm x   là
hình cầu mở tâm x bán kính r  0 nào đấy.

3


Định nghĩa 1.1.4.
Cho không gian metric  , d  ,    . Điểm x   gọi là điểm trong
của  nếu tồn tại một lân cận của x bao hàm trong  .
Định nghĩa 1.1.5.
Cho không gian metric  , d  ,    .  là tập đóng trong  nếu với
mọi điểm x   thì tồn tại một lân cận của x giao  bằng rỗng.

Định lý 1.1.1.
Trong không gian metric bất kỳ mọi hình cầu đóng là tập đóng.
Định lý 1.1.2.
Trong không gian metric bất kỳ thì
a. Giao của một họ tuỳ ý những tập hợp đóng là một tập hợp đóng.
b. Hợp của một họ hữu hạn các tập đóng là một tập hợp đóng.
Định lý 1.1.3.
Cho không gian metric  , d  . Tập    và    . Tập  đóng
trong  khi và chỉ khi mọi dãy điểm xn   A hội tụ tới điểm x thì x   .
Định nghĩa 1.1.6.
Cho dãy xn  trong không gian metric  , d  . Ta nói dãy xn  hội tụ
tới điểm x   nếu   0, n0 

*

: n  n0 thì d  xn , x   

Ký hiệu: lim xn  x hoặc xn  x  n   
n

Điểm x gọi là giới hạn của dãy xn  .
Định lý 1.1.4.
Tập hợp  trong không gian metric  , d  là tập hợp đóng nếu và chỉ
nếu mọi dãy hội tụ trong  đều hội tụ tới điểm thuộc  .

4


Định nghĩa 1.1.7.
Giả sử  là tập hợp tuỳ ý trong một không gian metric  . Số

  sup d  x, y 
x , y

được gọi là đường kính của tập  , nó có thể là một số hữu hạn hay vô hạn.
Nếu    thì  được gọi là một tập hợp bị chặn.
Từ định nghĩa ta có điều kiện sau
a. Để tập hợp  là bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hình cầu

  x0 , R  chứa  .
b. Hợp của một số hữu hạn những tập hợp bị chặn là một tập hợp bị
chặn.
Định nghĩa 1.1.8.

Tập hợp  trong không gian metric  , d  gọi là compact nếu mọi dãy

 

điểm x n  trong  đều có một dãy con x nk hội tụ đến một điểm thuộc  .
Định nghĩa 1.1.9.
Dãy xn  trong không gian metric  , d  được gọi là dãy cơ bản
(hay dãy Cauchy) nếu   0, n0   * : n, m   và n, m  n0 thì

d  x m , xn   
Định nghĩa 1.1.10.
Không gian metric  , d  được gọi là không gian đầy đủ (hay không
gian metric đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong  đều hội tụ tới một điểm thuộc
.

Nghĩa là, nếu dãy x n  là dãy cơ bản trong  thì tồn tại lim xn và
lim x n   .

5


1.2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH
KHÔNG GIAN TÔPÔ
Định nghĩa 1.2.1.
Giả sử  là một trường số thực

hoặc trường số phức

. Tập hợp

 cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân vô hướng)

Phép cộng xác định trên    và lấy giá trị trong 

 x, y   x  y ; x , y  
Phép nhân vô hướng xác định trên    và lấy giá trị trong 

  , x    x ;   , x  
gọi là một không gian tuyến tính (hoặc là không gian vectơ) thoả mãn 8 tiên
đề sau
1) x , y   : x  y  y  x
2) x , y, z   :  x  y   z  x   y  z 
3) Tồn tại một phần tử 0 của  sao cho x   : x  0  x
4) Với mỗi x   , tồn tại phần tử   x  sao cho:   x   x  0
5)   , x , y   :   x  y    x   y
6) x  ,  ,    :      x   x   x
7) x  ,  ,    :    x     x 
8) x   :1.x  x

Định nghĩa 1.2.2. (Định nghĩa không gian định chuẩn)
Cho  là không gian tuyến tính trên trường 
+) Chuẩn trong  là một ánh xạ
. : 
x x

6


Thoả mãn 3 tiên đề
i)

x  0,

x  

x  0  x   (  là véctơ 0)

ii)

 x   . x , x  ,   

iii)

xy  x  y ,

x , y  

+) Không gian định chuẩn là  , .  trong đó:
 là một không gian tuyến tính

. là một chuẩn trong 

Khi đó x   thì x gọi là chuẩn của vectơ x .

Định nghĩa 1.2.3. (Định nghĩa không gian Banach)
Nếu không gian định chuẩn  là một không gian metric đầy đủ và
khoảng cách d  x, y   x  y thì  được gọi là không gian định chuẩn đầy
đủ hay gọi là không gian Banach.

Định nghĩa 1.2.4. (Định nghĩa không gian tôpô)

Một họ các tập con   2 của tập hợp  được gọi là một tôpô trong 
nếu thoả mãn các điều kiện sau
i)

  ,   .

ii)

Giao của một họ hữu hạn tuỳ ý các tập hợp thuộc  là một tập
thuộc  .

iii)

Hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc  là một tập thuộc  .

Các tập thuộc  được gọi là các tập mở. Phần bù của một tập mở trong
 gọi là một tập đóng.

7


Tập  được trang bị một tôpô  được gọi là một không gian tôpô và
được ký hiệu bởi  ,  hoặc đơn giản là  .

1.3. TẬP HỢP LỒI
1.3.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.3.1.
Giả sử X là một không gian tuyến tính,

A  X được gọi là lồi nếu: x1 , x 2  A,  

là tập các số thực. Tập

:0    1 thì

 x1  1    x2  A
Hàm số f : A 

được gọi là lồi nếu tập A lồi và

f   x1  1    x 2    f  x1   1    f  x 2  , với x1 , x 2  A,  :0    1

Ví dụ 1.3.1.
1) Cho X là một không gian định chuẩn, và u0  X , r  0 . Khi đó
hình cầu đơn vị B  u  X : u  u0  r là lồi.
2) Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn . . Đặt f  u   u . Khi
đó, hàm số f : X 

liên tục và lồi.

Mệnh đề 1.3.1.
Giả sử A  X ,   I là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ.
Khi đó tập A   A cũng lồi.
I

Mệnh đề 1.3.2.
Giả sử tập Ai  X lồi, i 

(i  1,2,..., m) . Khi đó

1 A1  2 A2  ...  m Am là tập lồi.

8


Mệnh đề 1.3.3.
Một tập lồi A trong không gian

k

bao giờ cũng có ít nhất một điểm

trong tương đối.
Mệnh đề 1.3.4.
Nếu một tập lồi A có một điểm trong a và nếu b  A thì mọi điểm
c   a  1    b với 0    1 cũng là điểm trong của A .

Mệnh đề 1.3.5.
Giả sử X , Y là các không gian tuyến tính , T : X  Y là toán tử tuyến
tính. Khi đó
a) A  X lồi suy ra T  A  lồi.
b) B  X lồi suy ra nghịch ảnh T 1  B  của ảnh B là tập lồi.
Định nghĩa 1.3.2.
Vectơ x  X được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1 , x 2 ,..., x m  X nếu
m

m

tồn tại i  0 (i  1, 2,..., m),  i  1 sao cho x   i xi .
i 1

i 1

Định lý 1.3.1.
Giả sử tập A lồi, x1 , x 2 ,..., x m  A
Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1 , x 2 ,..., x m .

1.3.2. Bao lồi và bao đóng
Định nghĩa 1.3.2.1.
Giả sử tập    , giao của tất cả các tổ hợp lồi chứa  được gọi là bao
lồi của tập  và ký hiệu là co  .
Nhận xét 1.3.2.1.
a. co  là một tập lồi và là tập hợp lồi nhỏ nhất chứa  .
b.  lồi thì co    .

9


Định lý 1.3.2.1.

co  trùng với tất cả các tổ hợp lồi của  .
Hệ quả 1.3.2.1.
Tập  lồi   chứa tất cả các tổ hợp lồi của  .
Định nghĩa 1.3.2.2.
Giả sử tập    , giao của tất cả các tập hợp lồi, đóng chứa  được
gọi là bao lồi đóng của tập  , ký hiệu là co  .
Nhận xét 1.3.2.2.
co  là một tập hợp đóng, đó là tập đóng nhỏ nhất chứa  .

Định lý 1.3.2.2.

Bao lồi đóng của tập  trùng với bao đóng của bao lồi
Tức là co   co 

1.4. ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Xét phương trình:
(P) an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0,

a1  , an  0, x 

Ta thấy phương trình (P) luôn có n nghiệm phức. Ứng với mỗi bộ số

 a0 , a1 ,..., an 

ta có một tập nghiệm, ký hiệu sol(P) , tương ứng. Ta thiết lập

tương ứng :
F:
( a0 , a1 ,..., an ) 

n 1
n 1

2
 sol(P)

ở đó 2 là tập các tập con của tập hợp số phức

.

Ta thấy F không phải là ánh xạ theo nghĩa thông thường.

Xét phương trình (P) trên tập số thực

10

. Ta cũng thiết lập tương ứng


G:
( a0 , a1 ,..., an ) 

n 1
n 1

2
 sol(P)

Ta thấy G cũng không phải là ánh xạ theo nghĩa thông thường . Tuy nhiên
việc nghiên cứu tính chất của G cũng rất hữu ích vì nó cho ta thấy mối liên hệ
giữa các hệ số với sự tồn tại nghiệm của phương trình (P) trên tập số thực

.

Điều này cho thấy sự cần thiết phải mở rộng khái niệm ánh xạ theo nghĩa
thông thường và nghiên cứu những tính chất của nó.

Định nghĩa 1.4.1.
Cho ,Y là hai không gian tôpô. Ký hiệu 2Y được hiểu là tập các tập
hợp con của tập hợp Y . Tương ứng F : X  2Y được gọi là ánh xạ đa trị.
Dom F  x   :
Im F  y  Y :

F  x    được gọi là miền hữu hiệu.
x  X , y  F  x  được gọi là ảnh.

graph F   x, y   X  Y :

y  F  x  được gọi là đồ thị.

Nhận xét 1.4.1.
Với mỗi x  DomF , nếu F  x  chỉ gồm duy nhất một phần tử thì F là
ánh xạ đơn trị (ánh xạ theo nghĩa thông thường).
Ví dụ 1.4.
a, Ánh xạ đa trị
F:

2

 

x  F x   x2

Ta có
Dom F 
Im F 



graph F 

 x, y  



11

:

y  x2




Ta thấy F cũng chính là ánh xạ đơn trị.
b, Ánh xạ đa trị

2

F:



x  F x  y 

: y2  x



Ta có



 x 

Dom F  x 



: F x  



: y  , y 2  x 



Im F  y  : x  , y  F  x 



 y

: x  , y 

graph F   x , y   


 x, y  





x, x

 

: y  F  x 
: y2  x



Định nghĩa 1.4.2.
Ánh xạ đa trị F : X  2Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y
được gọi là nửa liên tục trên tại x  DomF nếu với mọi tập mở V  Y thoả



mãn F x  V có tồn tại lân cận mở U của x sao cho

F  x   V , x  U  DomF .
Nếu F nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc DomF thì F được gọi là nửa
liên tục trên ở trên X .
Định nghĩa 1.4.3.
Ánh xạ đa trị F : X  2Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y
được gọi là nửa liên tục dưới tại x  DomF nếu với mọi tập mở V  Y thoả



mãn F x  V   có tồn tại lân cận mở U của x sao cho

12

F  x   V   , x  U  DomF .

Nếu F nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc DomF thì F được gọi là
nửa liên tục dưới ở trên X .
Ánh xạ F : X  2Y được gọi là liên tục tại x  DomF nếu F đồng thời
nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc DomF thì F được
gọi là liên tục ở trên X.

13


CHƯƠNG 2

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Trong chương này em sẽ trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh
xạ đa trị trong không gian metric đủ  X ,   , có thể xem như khái quát nguyên
lý ánh xạ co Banach.

2.1.Định lý Caristi
Định nghĩa 2.1.
Ta nói hàm số f : X   ,   là nửa liên tục dưới nếu với mọi  
tập x  X : f  x     bao giờ cũng đóng.

Định lý 2.1. (Caristi)
Cho  :   2 là một ánh xạ đa trị từ một không gian metric đủ  ,  
vào chính nó, và f :    0,   là một hàm số nửa liên tục dưới,   .
Nếu

 x      y    x  

  x, y   f  x   f  y 

(1)

thì P có một điểm bất động.
Chứng minh
Với mỗi x ta định nghĩa tập A  x   y  X :   x, y   f  x   f  y 
Khi x cố định thì f  y     x , y  là hàm nửa liên tục dưới theo y, cho nên

A  x  là tập đóng.
Hiển nhiên x  A  x  và cũng dễ thấy nếu y  A  x  thì A  y   A  x 

14


Vì khi ấy với mỗi z  A  y  ta có   y, z   f  y   f  z  cho nên

  x , z     x , y     y, z   f  x   f  y   f  y   f  z   f  x   f  z 
Chứng tỏ z  A  x  . Đặt

v  x   inf f  y 
yA x 

Ta có thể viết

 y  A  x  

  x, y   f  x   v  x 

Từ đó suy ra mọi cặp y, z  A  x  :

  y, z     x , y     x , z   2  f  x   v  x  
Thành thử nếu ký hiệu đường kính của một tập A là
diam A  sup   y, z  : y  A, z  A thì
diam A  x   2  f  x   v  x  

(2)

Bây giờ ta xây dựng một dãy xn  như sau
Lấy x 0  X tuỳ ý, sau đó x1  A  x0  sao cho f  x1   v  x 0   1 / 2
...

xn1  A  xn  sao cho f  xn1   v  xn  

1
2n

Khi ấy, do A  x n1   A  x n  nên v  x n   v  xn1  và suy ra
f  xn1   v  xn  

Vậy 0  f  xn   v  xn  

1
1
 v  xn1   n
n
2
2

1
 0 khi n  
2n1

Do đó theo (2) diam A  xn   0 (n  ) . Mà xnk  A  xnk 1   A  xn1 

15


Cho nên   x nk , x n   diam A  x n1   0 khi n   , chứng tỏ dãy xn  là
dãy cơ bản trong không gian metric đủ X , cho nên xn  x  X .
Do x n  A  x m  với m  n nên cho n   ta được x  A  xm  với mọi m, có
nghĩa là


x   n 0 A  x n 





Do diam A  xn   0 nên x   n0 A  x n 
Với mọi n ta có:

 



 

x *  A  x n  nên A  x *   A  x n  , thành thử A x *   n0 A  x n   x *

và do đó A  x *   x *  .
Nhưng theo (1) phải có một y  P  x *  sao cho y  A  x *  .
Vậy y  x * , có nghĩa x *  P  x *  .

Chú ý :
Nếu hình dung P  x  là tập các điểm mà từ x có thể di chuyển tới được
và f  x  là một hàm thế năng mà ta muốn tìm giá trị thấp nhất, thì giả thiết
(1) có nghĩa là: từ bất cứ vị trí x nào cũng có thể chuyển tới một vị trí y ứng
với một thế năng giảm đi ít nhất một lượng bằng số đo khoảng cách từ x đến
y . Khi ấy, tập A  x  xây dựng trong chứng minh trên bao gồm các vị trí y

thấp hơn x mà có thể chuyển đến được từ x
(“thấp hơn” theo nghĩa f  y   f  x     x, y  ).
Thật ra, chứng minh trên không chỉ xác nhận sự tồn tại một điểm

 

x*  P x*

mà còn cho thấy thêm rằng  x  x *  f  x *   f  x     x * , x  ,

16


vì nếu có x  X thoả mãn   x * , x   f  x *   f  x  thì x  A  x *  , mà như
trên vừa thấy, A  x *   x *  , cho nên chỉ có thể x  x * . Thành thử, từ x *
không còn có thể di chuyển hạ thấp thế năng hơn nữa.

Ta biết rằng nếu X không compac thì một hàm nửa liên tục dưới f  x 
có thể không có điểm cực tiểu trên X , nghĩa là không có điểm x nào với tính



chất  y  f  y   f x . Định lý Caristi cho thấy tuy vậy vẫn có một điểm x *
xấp xỉ cực tiểu theo nghĩa: mọi điểm x  x * đều có

 



f  x   f x *   x, x *



Điều đó được khẳng định tường minh hơn trong định lý sau đây

Hệ quả 2.1. (nguyên lý  - biến phân Ekeland)
Trong một không gian metric đủ X, cho một hàm nửa liên tục dưới

f :    0,   , một điểm u   với f  u    , và một số   0
Bao giờ cũng có một x *   sao cho

 x  x 
*

 





f x *  f  x    x , x * ,

  x * , u    f  u   f  x *   

(3)
(4)

Chứng minh
Chỉ cần chứng minh cho   1, vì không gian X với metric   x , y  / 
cũng là không gian metric đủ. Đặt P  x   y  X :   y, u   f  u   f  y .
Nếu mệnh đề không đúng, tức là không có điểm x * thoả mãn (3) , (4) thì ta có
(1), cho nên theo định lý Caristi phải có một điểm x *  P  x *  . Như vậy x *
thoả mãn (4) và theo nhận xét ở trên, x * cũng chính là điểm có tính chất (3)
(điều này mâu thuẫn)

17


Vậy mệnh đề luôn đúng hay định lý được chứng minh.
Nhận xét 2.1.
Không chỉ định lý Ekeland là hệ quả của định lý Caristi, mà ngược lại
cũng đúng, thành thử đó là hai định lý tương đương.
Chú ý : hai tính chất (3), (4) hạn chế lẫn nhau theo nghĩa  càng nhỏ
thì tính chất (3) của x * càng sát với tính chất một điểm cực tiểu, nhưng tính

 

chất (4) cho thấy  f  u   f x *   , tức là cận trên khoảng cách từ x * đến u
càng lớn.

2.2. Định lý Nadler
Đây là định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co, định lý
đã mở rộng nguyên lý Banach cho các ánh xạ đa trị co.
Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức sau

Định nghĩa 2.2.1. (Định nghĩa ánh xạ co)
Cho hai không gian metric M1   X , d1  , M2   Y , d2  . Ánh xạ A từ
không gian M1 vào không gian M2 gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số  ,
0    1 sao cho:









d2 Ax , Ax '   d1 x , x ' , x, x '  X

Định lý 2.2.1. (Nguyên lý ánh xạ co Banach)
Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian mêtric đầy M   X , d  vào chính nó
đều có điểm bất động x * duy nhất, nghĩa là x *  X thoả mãn hệ thức
Ax *  x * .

Chứng minh
Lấy một điểm bất kỳ x 0  X và lập dãy x n  Ax n 1 (n  1,2,...) ta được

18


d  x 2 , x1   d  Ax1 , Ax0    d  x1 , x0    d  Ax0 , x0 

d  x3 , x2   d  Ax2 , Ax1    d  x2 , x1    2 d  Ax0 , x0 
...
d  x n1 , x n   d  Ax n , Axn1    d  xn , xn 1    n d  Ax0 , x 0 

Với n  1, 2,... Từ đó suy ra n, p  1, 2,... ta có
p

p

d  xn p , xn    d  xn k , xn k 1   d  Ax0 , x0    nk 1
k 1



k 1
n p

n

 
1

d  Ax0 , x0  



n

1

d  Ax0 , x0 

Vì 0    1 , nên lim  n  0 , do đó lim d  x n p , x n   0, p  N *
n

n

Nghĩa là dãy  xn  là dãy cơ bản trong không gian metric đầy M . Từ đó tồn
tại lim xn  x *  X . Ta có
n







   
  
  d  x , x   d  x , x  , n  1, 2,...
ta được d  Ax , x   0 hay Ax  x , nghĩa là x là điểm bất

d Ax * , x *  d Ax * , x n  d xn , x *  d Ax * , Axn1  d xn , x *
*

*

n 1

Cho n  

n

*

*

*

*

*

động của ánh xạ A .
Ta đi chứng minh tính duy nhất
Thật vậy, giả sử tồn tại điểm y*  X cũng là điểm bất động của ánh xạ A , thì






  
 d  x , y   0,(0    1)  x





d x * , y*  d Ax * , Ay *   d x * , y*  1    d x * , y *  0
*

*

*

 y*

Vì vậy x * là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A .
Định lý được chứng minh.

19


Ví dụ 2.2.1.
Giải và biện luận phương trình sau

x  a sin x   , a là tham số, a  1
Phương trình đã cho tương đương với

x    a sin x

(1)

Đặt y  Ax    a sin x , ta nhận được ánh xạ A ánh xạ không gian đầy

1

vào chính nó. Hơn nữa
x  x'
x  x'
Ax  Ax  a sin x  a sin x  2 a cos
sin
2
2
'

'

x  x'
2 a
 a x  x'
2

Suy ra A là ánh xạ co (do a  1 ). Theo nguyên lý Banach về ánh xạ co, ánh
xạ A có điểm bất động duy nhất x * , nghĩa là phương trình (1) có nghiệm duy
nhất x *
Dễ dàng kiểm tra được nghiệm duy nhất đó là x *  
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x   , a   1,1 .
Định nghĩa 2.2.2. (Định nghĩa ánh xạ đa trị co)
Cho không gian metric  X ,  
Một ánh xạ đa trị P từ một tập V  X vào chính X gọi là co nếu có một
số  , 0    1 , sao cho

x, x  V  d  P  x  , P  x      x, x  .
'

'

'

Bổ đề 2.2.1.
Nếu P : V  2 X là ánh xạ co thì f  x     x, P  x   là hàm nửa liên tục
dưới trên V.

20


Chứng minh
Ta phải chứng minh rằng nếu   x k , P  x k     mà   x k , x0   0 thì

  x0 , P  x0    
Theo định nghĩa   x k , P  x k   ta có thể chọn yk  P  x k  để cho

  x k , yk     x k , P  x k    1 / k
Khi ấy do yk  P  xk  nên   yk , P  x 0    d  P  x k  , P  x 0      x k , x 0  và vì
vậy

  x 0 , P  x 0      x 0 , x k     x k , yk     yk , P  x 0  
   x 0 , x k     x k , P  x k    1 / k    x k , x 0 
   x 0 , x k     1 / k    x k , x 0    , khi k  

Do đó   x 0 , P  x 0     .
Bổ đề được chứng minh.

Định lý 2.2.2. (Nadler)
Trong một không gian metric đủ X cho một điểm a  X và một ánh xạ đa
trị P : X  2 X sao cho với mỗi x  X tập P  x  đóng và không rỗng. Nếu có
một số  , 0    1 , để cho

x, x  V 
'



      x, x 

d P  x , P x'

'

thì với mỗi    ,1 tồn tại một điểm x *  P  x *  mà   x * , a  

21

(1)

  a, P  a  
 


Chứng minh
Theo bổ đề 2.2.1, hàm số f  x     x , P  x   là hàm nửa liên tục dưới . Do đó
E  x  X :       x, a   f  a   f  x  là một tập con đóng của X .

( E   vì a  E ) và bản thân E , với metric      , cũng là một không
gian metric đủ. Ta chứng minh rằng

 x  E   y  P  x   E        x, y   f  x   f  y 

(2)

Thật vậy, cho x  X . Do   1 nên theo định nghĩa của   x , P  x   phải có

y  P  x  để cho

  x , y     x , P  x  

(3)

Mặt khác vì y  P  x  nên theo giả thiết

  y, P  y    d  P  x  , P  y      x , y 

(4)

Cộng từng vế (3) và (4):

  x , y     y, P  y      x , P  x      x , y 
Từ đó suy ra

      x , y   f  x   f  y 
Sau cùng, vì x  E tức là       x, a   f  a   f  x  , cho nên

      y, a          x, y     x, a 
 f  x   f  y   f a  f  x   f  a  f  y 
Chứng tỏ y  E
Vậy ta có (1), nghĩa là các giả thiết của định lý Caristi được thoả mãn cho
không gian E , ánh xạ P  x   E và hàm f  x     x , P  x   .

22


Do đó theo định lý Caristi, phải có một điểm x *  P  x *   E , tức là

 

x*  P x*

Và   x , a  
*

   f a

f  a   f x*

 

 

(vì f  x *   0 do x *  P( x * ) )

Định lý được chứng minh.

Chú ý :
Nếu ánh xạ P chỉ xác định trong một hình cầu đóng V  X , tâm a , bán
kính r, thì với mọi x  V và y  P  x  ta có

  y, a   d  P  x  , P  a      x, a    r  r .
Tức là y  V, cho nên, đặt E  x  V :       x , y   f  a   f  x , ta vẫn
có (2) do đó định lý vẫn đúng. Nếu lại có thêm giả thiết   a, P  a    1    r
thì có thể khẳng định thêm   x * , a  

1
r.
 

2.3. Nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng
2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer
Nguyên lý điểm bất động Brouwer là định lý trung tâm của lý thuyết
điểm bất động, đó cũng là một trong những nguyên lý cơ bản nhất của giải
tích phi tuyến. Nguyên lý này được Brouwer chứng minh năm 1921 dựa vào
một công cụ tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục. Tuy nhiên cách chứng
minh này là quá khó đối với những người chưa biết lý thuyết này, nên nhiều
người đã tìm cách chứng minh sơ cấp hơn. Ở đây em nêu lên cách chứng
minh của Knaster, Kuratowki, và Mazurkierwicz, dựa trên một kết quả về
toán học tổ hợp của Sperner. Trước tiên ta hãy nhắc lại một vài định nghĩa sau

23


Định nghĩa 2.3.1.
Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong X được gọi là,
một n_đơn hình nếu S  co u0 , u1 ,..., un  với u0 , u1 ,..., un  X và các véctơ

u1  u0 , u2  u0 ,..., un  u0 độc lập tuyến tính. Các điểm ui được gọi là đỉnh, bao

lồi của k  1 đỉnh được gọi là k _diện của S.
Phép tam giác phân một đơn hình S là một phép phân chia S thành
các n_đơn hình con S i (i  0,1,..., m) sao cho hợp của chúng bằng S và hai
đơn hình con nếu giao nhau thì giao phải là một diện chung của hai đơn hình
đó .
Đối với một phép tam giác phân S, Sperner đưa ra một phép gán cho
mỗi đỉnh của các đơn hình con một trong các số 0,1,..., n theo quy tắc sau
đây: nếu co u0 , u1 ,..., un  là diện nhỏ nhất của S chứa v, thì v được gán cho
một trong các số i1 , i2 ,..., ik (Như vậy đỉnh ui phải được gán số i ).
Ta gọi đó là phép gán số Sperner.
Ví dụ 2.3.1.
Trong tam giác u0 u1u2 ba đỉnh lần lượt được gán số 0,1,2 các đỉnh
của đơn hình con nằm trên cạnh ui uk được gán số i hoặc k ; các đỉnh thuộc
phần trong của tam giác được gán số 0 hoặc 1 hoặc 2.
Sau khi gán số, đơn hình con nào có các đỉnh được gán đủ các số
0,1,...,n thì được gọi là đơn hình “tốt”.
Trong đơn hình của ví dụ trên có 5 đơn hình tốt.

24