Một số mở rộng của định lý riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 
KHOA: TOÁN 
 
  
PHẠM THỊ DIẾN 

 
 

 
MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ 
RIESZ VỀ DẠNG TỔNG QUÁT CỦA 
PHIẾM HÀM 
                                      
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 
                                    Chuyên ngành: Giải tích 
 
 
                                                                         Người hướng dẫn khoa học 
                                                                         TIẾN SĨ BÙI KIÊN CƯỜNG
 
 
 
 
 

Hà Nội, 2012 

  

 


LỜI CẢM ƠN
Trước  khi  trình  bày  nội  dung  chính  của  khóa  luận,  tôi  xin  bày  tỏ  lòng 
biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường người đã định hướng chọn đề tài 
và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. 
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đại 
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. 
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, 
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá 
trình học tập và hoàn thành khóa luận. 
                                                               Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012   
 
                                                                             Phạm Thị Diến
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
               
 
 

  
 


LỜI CAM ĐOAN
Dưới  sự  hướng  dẫn  của  Tiến  sĩ  Bùi  Kiên  Cường  khóa  luận  tốt  nghiệp 
Đại học chuyên ngành Toán Giải tích của tôi với đề tài “Một số mở rộng của 
định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của  phiếm  hàm”  được  trình  bày  hoàn  toàn 
dưới sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác. 
Trong  quá  trình  nghiên  cứu  thực  hiện  khóa  luận,  tác  giả  đã  kế  thừa 
những thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc. 
Một số kết quả tác giả đã đưa ra dựa trên những thành tựu khoa học này. 
 
                                                                  Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012 
 
                                                                               Phạm Thị Diến
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

  
 


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU
BẢNG KÍ HIỆU
BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach ......................................... 8
1.2 Không gian Hilbert.............................................................................. 14
Chương 2: ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG
2.1. Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong không 
gian Hilbert ........................................................................................ 20
2.2. Định lý Lax - Milgram ....................................................................... 22
2.3 Định lý về toán tử ẩn........................................................................... 29
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 
 
 
 
 
 
                                
 

  
 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

LỜI MỞ ĐẦU
Giải  tích  hàm  là  một  ngành  của  giải  tích  toán  học  nghiên  cứu  về  các 
không gian vectơ được trang bị thêm các cấu trúc tôpô và các toán tử tuyến 
tính liên tục giữa chúng. Ra đời từ đầu thế kỉ 20 đến nay Giải tích hàm đã đạt 
được những thành tựu quan trọng và trở thành chuẩn mực trong việc nghiên 
cứu  và  trình  bày  các  kiến  thức  toán  học.  Giải  tích  hàm  đã  được  đưa  vào 
chương trình Đại học như một phần bắt buộc, tuy thế với lượng thời gian có 
hạn chúng ta khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó, bên cạnh đó 
nội  dung  của  Giải  tích  hàm  rất  phong  phú  như:  không  gian  vectơ  lồi  địa 
phương (không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach,…), 
các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian,… 
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu sắc về 
Giải tích hàm, em đã chọn đề tài “Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng 
tổng quát của phiếm hàm”. Khóa luận này nghiên cứu về những mở rộng của 
định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của  phiếm  hàm,  cụ  thể  là  định  lý  LaxMilgram và định lý về toán tử ẩn. 
Nội dung khóa luận bao gồm: 
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. 
Chương  này  đưa  ra  các  kiến  thức  cơ  bản  về  không  gian  định  chuẩn,  không 
gian Banach, không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục, không gian tuyến 
tính liên tục, không gian đối ngẫu. 
Chương  2:  Một  số  mở  rộng  của  định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của 
phiếm hàm. 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán

 

- 4 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Chương này đưa ra một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của 
phiếm hàm, cụ thể là định lý Lax-Milgram và định lý toán tử ẩn. 
Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn và 
trình độ còn non trẻ nên các vấn đề được trình bày trong bài không tránh khỏi 
những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô 
và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn. 
Em xin chân thành cảm ơn! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 5 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

BẢNG KÍ HIỆU
đường thẳng thực 

 
n

 

không gian Euclid  n  – chiều 

f :Y 

ánh xạ từ X vào Y 

.V 

chuẩn trong không gian V 

inf f  

cận dưới đúng của ánh xạ  f  

sup f  

cận trên đúng của ánh xạ  f  

min f  

giá trị nhỏ nhất của ánh xạ  f  

max f  

giá trị lớn nhất của ánh xạ  f  

ker f  

hạt nhân, hạch của ánh xạ  f  

 x, y   

tích vô hướng của hai nhân tử  x  và  y  

 

chứng minh hoàn thành 

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 6 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT

 

an pha 

 

bê ta 

 ,  

gamma (thường và hoa) 

 

đen ta 

 

ép si lon 

 
 

tê ta 

 

tô, tao 

,  

phi (thường và hoa) 

 ,  

psi (thường và hoa) 

rô 

                              

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 7 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
  Chương  này,  ta  trình  bày  một  số  kiến  thức  cơ  bản  về:  không  gian  định 
chuẩn,  không  gian  Hilbert,  không  gian  Banach,  toán  tử  tuyến  tính  liên  tục, 
phiếm hàm tuyến tính liên tục, không gian đối ngẫu sẽ được sử dụng trong các 
phần sau. 

1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1
Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không 
gian tuyến tính X trên trường   cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực  , 
kí hiệu là  .  và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiền đề sau đây: 
1)  x    x  0, x  0  x    (kí hiệu phần tử không là   ); 
2)  x     

 x

  x ; 

3)  x, y    x  y  x  y . 
Số  x gọi  là  chuẩn  của  vector  x.  Ta  kí  hiệu  không  gian  định  chuẩn  là 

  ,   . Nếu trên    chỉ trang bị một chuẩn ta có thể kí hiệu là   . Các tiên 
đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. 
Định nghĩa 1.1.2
Dãy điểm   xn   trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu: 

lim xn  xm  0.  

m , n

Định nghĩa 1.1.3

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 8 -                 Khóa luận tốt nghiệp 

Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Không  gian  định  chuẩn     gọi  là  không  gian  Banach,  nếu  mọi  dãy  cơ 
bản trong    đều hội tụ. 
Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) 
Cho không gian Banach  V , một ánh xạ co T đi từ  V  vào chính nó, nghĩa
là tồn tại một hằng số,  0  M  1  thỏa mãn: 
Tv1  Tv2  M v1  v2 , v1 , v2 V  

Khi đó, tồn tại duy nhất điểm u thuộc V  sao cho u  Tu . 
Định nghĩa 1.1.4
Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường số thực 

. Ánh xạ A 

từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn 
các điều kiện: 
1)  x, x '      x  x '  x  x ' ; 
2)  x     

   x   x . 

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ 
thỏa  mãn  điều kiện  1) thì  toán tử A gọi  là  cộng  tính, còn  khi  toán  tử  A chỉ 
thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi  Y 

 thì toán tử 

tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. 
Định nghĩa 1.1.5
Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A từ không 
gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số  C  0 sao cho: 
x  C x , x   . 

Định nghĩa 1.1.6

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 9 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Cho  A  là  toán  tử  tuyến  tính  bị  chặn  từ  không  gian  định  chuẩn  X  vào 
không gian định chuẩn Y. Chuẩn của toán tử A, kí hiệu là   , được xác định 
bởi:  

  inf C  0  x  C x ,  x    . 
Định lý 1.1.2 (Tính chuẩn của toán tử) 
Cho toán tử tuyến tính A  từ không gian định chuẩn  X  vào không gian
định chuẩn Y. Nếu toán tử A bị chặn thì: 


 sup  x  
x 1

hay 

 x  sup  x . 
x 1

Định lý 1.1.3 (Tính liên tục của toán tử ngược) 
Toán tử tuyến tính  A  ánh xạ không gian định chuẩn  X  lên không gian
định chuẩn  Y  có toán tử ngược   1   liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số

  0  sao cho: 
x   x  x    . 

khi đó   1 

1



.   

Định nghĩa 1.1.7  
Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiệu   , Y   là tập hợp tất 
cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y. 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 10 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Ta đưa vào   , Y   hai phép toán:  
Tổng của hai toán tử A, B thuộc   ,Y   là toán tử, kí hiệu     , xác 
định bằng hệ thức: 

     x   x  x, x   . 
Tích của vô hướng     với toán tử      ,Y   là toán tử, kí hiệu là 

 A , xác định bằng hệ thức: 

  x     x  . 
Dễ  dàng  kiểm  tra       ,Y  ,      ,Y    và  hai  phép  toán  tổng  và 
tích trên đây thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính. 
Tập   , Y   trở thành một không gian tuyến tính trên trường . 
Định lý 1.1.4 
Nếu Y là không gian Banach, thì    ,Y  là không gian Banach. 
Định lý 1.1.5 (Nguyên lý thác triển Hahn- Banach) 
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục  f  xác định trên không gian tuyến tính
con   0   của không gian định chuẩn       0    ,  đều  có thể thác triển lên
toàn không gian     với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được
phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định trên toàn không gian    sao cho: 
1) F  x   f  x   x  X 0  ; 
2) F



 f

0

.                                

Hệ quả 1.1.1
              Cho Y là không gian tuyến tính con của không gian định chuẩn    và 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 11 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

x0    là một phần tử thỏa mãn điều kiện:  

d  x0 , Y   inf x0  y  d  0 . 
yY

Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục  f  xác định trên không gian    
sao cho: 
1) f  y   0,  y  Y   ; 
2)

f 

1
; 
d

3) f  x0   1 . 
Định nghĩa 1.1.8 

Cho  không  gian  định  chuẩn  X  trên  trường  số  thực 
  ,

.  Ta  gọi  không  gian 

  các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X, là không gian 

liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu  X* (thay cho 
kí hiệu   ,

 ).  

Định nghĩa 1.1.9
Không gian định chuẩn    gọi là không gian phản xạ, nếu    ** .  
Hệ quả 1.1.2  
Không gian phản xạ là không gian Banach. 
Định lý 1.1.6
Không gian con đóng của một không gian phản xạ là không gian phản
xạ.
Định nghĩa 1.1.10 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 12 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Cho  không  gian  định  chuẩn   ,  *   là  không  gian  liên  hợp  của  không 

gian   . Với mỗi  x    ta xét họ   x  tất cả các tập con của không gian    có 
dạng: 





Vx  V  x; f1 , f 2 ,..., f n   y   f j  y   f j  x    , j  1, 2,..., n ,

trong  đó  n  là  số  nguyên  dương  tùy  ý,  f1 , f 2 ,..., f n   là  n   phần  tử  tùy  ý  của 
không gian  * ,    là số dương tùy ý. 
Dễ dàng kiểm tra họ   x  có các tính chất: 
1)  x       x  , Vx   x  x Vx ;   
2)   V1   x ,V2  V1  V2   x ;  
3) V1   x , V2   x  V1  V2   x ;  
4) Vx   x  Wx   x  sao cho   y Wx Vx   y .  
Do đó, tồn tại một tôpô duy nhất trên không gian    sao cho tồn tại mỗi 
điểm  x  X  họ   x  là một cơ sở lân cận của điểm  x . Tôpô này gọi là tôpô yếu 
trên không gian   . Kí hiệu tôpô đó là   , *  . 
Định nghĩa 1.1.11
Tương tự, ta có khái niệm của tôpô yếu* trên không gian  * , kí hiệu là 

    ,   . 
Định nghĩa 1.1.12
Cho không gian định chuẩn   . Dãy   xn   X  gọi là hội tụ yếu tới phần 
tử  x   , nếu với mọi lân cận  yếu U của  x , tìm  được số nguyên dương  n0  
sao cho với mọi  n  n0  thì  xn  U,  kí hiệu: 
yeá
u
xn 

x  n    . 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 13 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Định lý 1.1.7
Cho không gian định chuẩn   . Dãy điểm   xn   X  hội tụ yếu tới điểm 
x    khi và chỉ khi  f  xn   f  x   với mọi  f   . 

Định lý 1.1.8
Cho không gian định chuẩn  .  Nếu dãy điểm   xn   X   hội tụ yếu thì
dãy đó bị chặn.
Định lý 1.1.9
Dãy   f n   *  hội tụ yếu tới  f     khi và chỉ khi  f  xn   f  x   với
mọi  f   .  
Định lý 1.1.10 
Dãy   f n   *  hội tụ yếu và     là không gian Banach,  thì dãy  f n  bị
chặn.
1.2 Không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.2.1
Cho không  gian  tuyến tính X  trên  trường số  thực 

.  Ta  gọi  là  tích  vô 

hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes  X  X  vào 

, kí hiệu 

,  , thỏa mãn các tiên đề: 
1)  x, y    y, x    x, y  ; 
2)    x, y, z    x  y, z    x, z    y, z  ; 
3)    x, y     

 x, y     x, y  ; 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 14 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

4)  x     x, x   0 , nếu  x    (   là kí hiệu phần tử không)  

 x, x   0 , nếu  x   . 
Các phần tử  x, y, z , gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số   x, y   gọi 
là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiền đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ tiên 
đề tích vô hướng. 
Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Schwarz) 
Đối với mỗi  x    ta đặt:             
x 

 x, x  . 

Khi đó với mọi  x, y    ta có bất đẳng thức Schwarz: 

 x, y  

x y . 

Hệ quả 1.2.1  
Công thức  x 

 x, x   xác định một chuẩn trên không gian   . 

Định nghĩa 1.2.2
Không  gian  tuyến  tính  trên  trường  số  thực 

  cùng  với  một  tích  vô 

hướng gọi là không gian tiền Hilbert. 
Định lý 1.2.2 
Tích vô hướng   x, y    là một hàm liên tục của hai biến  x   và  y   theo
chuẩn x 

 x, x  . 

Định nghĩa 1.2.3
Tập      là không gian Hilbert nếu tập    thỏa mãn: 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 15 -                 Khóa luận tốt nghiệp 

Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

1)   là không gian tiền Hilbert; 
2)   là không gian Banach với chuẩn  x 

 x, x  , x .  

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert    là 
không gian Hilbert con của không gian   . 
Định nghĩa 1.2.4 (Hàm song tuyến tính)
Một hàm    được gọi là hàm song tuyến tính trên không gian phức E, với 

  cho bởi   : E  E 

 thỏa mãn hai điều kiện sau:  

(a)     x1   x 2 , y     x1 , y     x 2 , y  ; 
(b)      x ,  y1   y 2     x , y1     x , y 2  , 
với tỉ lệ    và    bất kì và  x, x1 , x2 , y, y1 , y2  E . 
Các hàm đa tuyến tính thường được gọi là dạng Sesquilinear. Chú ý rằng 
hàm song tuyến tính thì đối xứng với biến số đầu và phản đối xứng với biến 
số thứ hai. Rõ ràng, tất cả các hàm song tuyến tính trên tập E lập thành một 
không gian vector. 
Ví dụ 1.2.1. Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính. 
Ví dụ 1.2.2. Đặt A và B là các toán tử trên một không gian tích vô hướng 
E. Khi đó: 

1  x, y     Ax, y ;     2  x, y     x,By  và  3  x, y     Ax,By  

là các hàm song tuyến tính trên E. 
Ví dụ 1.2.3. Với  f  và  g là các hàm tuyến tính trên không gian vector E. 
Khi đó     x, y   f  x  g  y  là một hàm song tuyến tính trên E. 
Định nghĩa 1.2.5 (Các hàm song tuyến tính đối xứng, không âm, dương và bị 
chặn) 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 16 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Với    là hàm song tuyến tính trên E. 
(a)  được gọi là đối xứng nếu    x, y     y, x   với mọi  x, y  E.  
(b)   được gọi là không âm nếu    x, x   0, x  E.  
(c)  được gọi là dương nếu nó không âm và    x, x   0, x  0 . 
(d)  Nếu E là một không gian định chuẩn, khi đó    được gọi là bị chặn nếu 

  x, y   K x y   với  K  0 và  x, y  E.  Chuẩn  của  một  hàm  song 
tuyến tính bị chặn được định nghĩa bởi: 

  su p   x , y  . 
x  y 1

Nếu  f  g trong ví dụ 1.2.3, thì   là đối xứng và không âm. Tích vô hướng 
là dương. Nếu các toán tử A và B trong ví dụ 1.2.2 bị chặn, khi đó  1 ,2  và 

3 bị chặn. Tương tự nếu  f  và  g  trong ví dụ 1.2.3 bị chặn, khi đó hàm song 

tuyến tính được định nghĩa bị chặn. Chú ý rằng  một hàm song tuyến tính bị 
chặn    trên E ta có: 

  x, y    x y ,   x, y  E.  
Định nghĩa 1.2.6 (Dạng toàn phương) 
Với    là một hàm song tuyến tính trên một không gian vector E. Hàm        
:E 

  định  nghĩa  bởi:    x     x, x    được  gọi  là  dạng toàn phương

tương ứng với   . Một dạng toàn phương    trên một không gian định chuẩn 
E được gọi là bị chặn nếu ở đó tồn tại một hằng số  K  0 sao cho: 

 x  K x

2

x  E  

      Chuẩn của một dạng toàn phương bị chặn được định nghĩa bởi:  
  sup   x   
x 1

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 17 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Chú ý rằng một dạng toàn phương bị chặn    trên một không gian định 
2

chuẩn  ta  có    x    x .  Một  hàm  song  tuyến  tính  và  một  dạng  toàn 
phương tương ứng có tính chất tương tự với một tích vô hướng  x, y  và bình 
2

phương  của  chuẩn  được  định  nghĩa  bởi  tích  vô  hướng  x  x, x ,                   
theo thứ tự đó. 
Định nghĩa 1.2.7
Cho  A  là  toán  tử  tuyến  tính  bị  chặn  ánh  xạ  không  gian  Hilbert  X  vào 
không gian Hilbert Y. Toán tử  A*  ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi 
là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu: 

 x, y    x, * y  , x  , y  Y.  
Định lý 1.2.3
Cho  A  là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert  X  vào
không gian Hilbert Y. Khi đó, tồn tại toán tử  A*  liên hợp với toán tử A ánh
xạ không gian Y vào không gian X. 
Định lý 1.2.4
Cho  A  là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert  X  vào
không gian Hilbert Y. Khi đó, toán tử liên hợp  A*  với toán tử A cũng là toán
tử tuyến tính bị chặn và  A*  A .
Định nghĩa 1.2.8
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó 
gọi là tự liên hợp, nếu: 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 18 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

 Ax,  y    x,  Ay  ,

x, y  H.  

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử tự đối xứng. 
Định lý 1.2.5
Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó, 
thì: 
  su p   x , x  . 
x 1

Định nghĩa 1.2.9
Cho  không  gian  Hilbert  H.  Tập  K  H   gọi  là  tập  compact  yếu  trong 
không  gian  H,  nếu  mọi  dãy  vô  hạn   xn   K   đều  chứa  dãy  con  hội  tụ  yếu 
trong không gian H. 
Định lý 1.2.6
Nếu tập K bị chặn trong không gian Hilbert H, thì K là tập compact yếu
trong không gian H. 
Định lý 1.2.7 
Cho  H  là không gian Hilbert,  K  là tập con, lồi, đóng khác rỗng của 
H, a(·,·) :  H  H 

  là một dạng song tuyến tính sao cho tồn tại hằng số

C  0  và    0  thỏa mãn: 
a  u, v   C u v

a  u, u    u

2

u, v  H,  

u  H.  

Khi đó, với mọi  y  H,  tồn tại duy nhất vector  x  K sao cho:
a  x, x ' x    y, x ' x  x '   . 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 19 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Chương 2
ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG
2.1. Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong
không gian Hilbert
Định lý 2.1 (Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên 
tục trong không gian Hilbert)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert đều có thể
biểu diễn duy nhất dưới dạng:

            f  x   x, a

, x  H                                            (2.1) 

trong đó, phần tử  a  H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm  f  và:
                       f  a .

(2.2)

Chứng minh:
Giả sử  a là phần tử cố định tùy ý thuộc không gian H. Nhờ các tính chất 
của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công thức: 
f  x   x, a

,xH 

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H. 
Bây giờ giả sử  f  là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên H. Kí hiệu:  
 0   x   : f  x   0 . 
Ta  thấy  H 0   là  không  gian  tuyến  tính  con  của  không  gian  H,  vì 
x, y  H 0 , a, b  P  ta có: 

f ( ax  by )  af  x   bf  y   0  ax  by  H 0 .  

Đồng thời H0 là một tập con đóng trong H. Thật vậy, nếu dãy điểm   xn    0  
hội tụ tới điểm  x  H, thì nhờ tính liên tục của phiếm hàm  f  ta có: 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 20 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

f  x   lim f  xn   0  x  f  x   lim f  xn   0 . 
n 

n

do đó H0 là một không gian con của không gian H. 
Nếu  H 0  H,  chọn phần tử  a   , ta nhận được biểu diễn (2.1): 
f  x   x, 

, x  H.  

Giả sử  H 0  H,  nhờ định lý về hình chiếu lên không gian con, tồn tại phần tử 
x0  H   H 0 , do đó   x0   và  f  x0   0. Với mỗi phần tử  x  H ta đặt:  

y  xf  x0   x0 f  x  , 

thì: 
f  y   f  x0  f  x   f  x  f  x0   0  y   0 . 

từ đó suy ra: 
0  y, x0  f  x0  x, x0  f  x  x0 , x0  
 f  x 

f ( x0 )
f ( x0 )

x0  x, a ,  trong đó  a 
x0  H.  
x0 , x0
x0 , x0

Do đó phiếm hàm  f  có dạng (2.1). 
Giả sử phiếm hàm  f  có hai cách biểu diễn:  
f  x   x, a  x, a '
 x, a  a '  0

, xH 

 x  H   a  a ',  nghĩa là phần tử  a  trong biểu diễn (2.1) 

được xác định một cách duy nhất bởi phiếm hàm   f . 
Cuối cùng ta chứng minh  hệ thức (2.2). Nhờ bất đẳng thức Schwarz ta 
có:  

f  x   x, a  x a , x    f  a . 
Mặt khác, 
f  a   a, a  a  a  f  a . 
Vì vậy,  f  a . 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 21 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Định lý được chứng minh.                                                                              
Nhận xét: Từ định lý Riesz ta có mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục  f  trên 
không gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử  a  H. Tương ứng 
này vừa tuyến tính, vừa đẳng cự. Vì vậy, ta có thể đồng nhất mỗi phiếm hàm 
f  H*  với phần tử  a  H,  nghĩa là  H*  H,  nói  một cách khác, không gian 

Hilbert H là tự liên hợp. 
2.2. Định lý Lax - Milgram
Định lý 2.2.1  
Với    là một hàm song tuyến trên E, và với    là dạng toàn phương tương
ứng với  . Khi đó:    
4  x, y     x  y     x  y   i  x  iy   i  x  iy  x, y  E

(2.1) 

Chứng minh:
       Với   ,  

bất kì, ta có: 

                     x   y     x   y, x   y   
2

2

                 x      x, y     y, x      y                    
Sử dụng kết quả này tương tự cho      1,   1  và    1,   1  và    i , 

  1  và    i  ta được: 

  x  y     x     x, y     y , x     y  , 

                           x  y     x     x, y     y, x     y  , 
                         i  x  iy   i  x     x, y     y, x   i  y  , 
                      i  x  iy   i  x     x, y     y, x   i  y  . 
Bổ sung tương tự ta được (2.1) 
Hệ quả 2.2.

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 22 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Với  1  và  2  là các hàm song tuyến tính trên E. Nếu  

1  x, x    2  x, x  x  E mà  1   2  
thì  1  x, y   2  x, y  ,  x, y  E.  
Tương tự, nếu A và B là các toán tử trên E mà  x, x  x, x , x  E , thì 
A  B.  

Chứng minh:
  Nếu  1  x, x    2  x, x  ,  x  E thì các dạng toàn phương  1  và   2  tương 
ứng với  1  và  2 , theo tứ tự đó, bằng nhau, và do đó từ (2.1), các hàm  1  và 

2   là  bằng  nhau.  Chứng  minh  cho  các  toán  tử  ta  nhận  được: 
1  x, y   x, y  và   2  x, y   x, y . 
Định lý 2.2.2

Một hàm song tuyến   trên E  là đối xứng nếu và chỉ nếu dạng toàn
phương tương ứng    thực. 
Chứng minh:
Nếu    x, y     y, x    x, y  E.  Khi đó: 

  x     x, x     x, x     x  x  E  
và do đó    thực. 
Bây giờ giả sử    x     x  x  E.    
Định nghĩa một hàm song tuyến tính   trên E bởi   x, y     y, x  .     
Khi đó cho dạng toàn phương tương ứng  ta có: 

  x     x, x     x     x   
Do đó,    x, y     x, y  x, y  E.    

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 23 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Hiển nhiên giá trị trung bình ở đây là    x, y     y, x  x, y  E.        
Định lý 2.2.3
Một hàm song tuyến tính    trên một không gian định chuẩn E bị chặn
nếu và chỉ nếu dạng toàn phương tương ứng    bị chặn. Hơn nữa, ta có:
                       2  .                                              (2.2) 
Chứng minh:
   Từ  
  su p   x   su p   x , x   su p   x , y    , 

x 1

x 1

x  y 1

nếu   bị chặn thì    bị chặn và bất đẳng thức đầu được chứng minh. 
Bây giờ ta giả sử rằng    bị chặn, thấy rằng từ (2.1), ta có: 

  x, y  


1
  x  y     x  y   i  x  iy   i  x  iy   
4
1

4

 x y

2

2

2

 x  y  x  iy  x  iy

2

 . 

Do đó, theo quy tắc hình bình hành: 

  x, y   

x

2

 y

2

 . 

Vì vậy, 
             s u p   x , y   s u p
x  y 1

x  y 1



x

2

 y

2

 2

 . 

Do đó, nếu    bị chặn thì   bị chặn và bất đẳng thức thứ hai của (2.2) được 
chứng minh. 
Định lý 2.2.4
Với    là một hàm song tuyến tính trên không gian định chuẩn E và với
  là dạng toàn phương tương ứng. Nếu    đối xứng và bị chặn thì     . 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 24 -                 Khóa luận tốt nghiệp